2022-2023学年长沙市高二上期末考试数学模拟试卷附答案解析.pdf

2022-2023学年长沙市高二上期末考试数学模拟试卷一.选 择 题（共8小题）1.（20 12湖南）命 题“若a=L,则 t a n a=l”的逆否命题是（）4A.若aW-,则 t a n a#1 B.若a=-,则 t a n a#14 4C.若 t a n a W l,则awH-D.若 t a n a#1,则a=_4 42.（20 19秋浏阳市期末）下列各组数能组成等比数列的是（）A.1,1,1 B.Ig3,/g 9,I溟73 6 9C.6,8,10 D.3,-3 73 -93.（20 19秋雨花区期末）不等式-/-2 x+3 0 的解集为（）A.（-1,3）B.（-3,1）C.0D.（-,-3）U（1,+8）4.（20 21全国模拟）围棋起源于中国据先秦典籍 世本记载：“尧造围棋，丹朱善之”，至今已有四千多年历史.围棋不仅能抒发意境、陶冶情操、修身养性、生慧增智，而且还与天象易理、兵法策略、治国安邦等相关联，蕴含着中华文化的丰富内涵.在某次国际围棋比赛中，甲、乙两人进入最后决赛.比赛采取五局三胜制，即先胜三局的一方获得比赛冠军，比赛结束.假设每局比赛甲胜乙的概率都为2,且各局比赛的胜负互不影3响，则在不超过4 局的比赛中甲获得冠军的概率为（）A.A B.C.西 D.工9 27 27 815.（20 20 春五华区校级期末）设复数z 满足（l+i）z=2,则复平面内表示z 的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限6.（20 20 秋岳麓区校级期末）己知抛物线C i 的顶点在坐标原点，焦点尸在y轴正半轴上.若点 F到双曲线,2：*-看=1 的一条渐近线的距离为2,则。的标准方程是（）第1页 共2 6页A.y2警x B.y2 C.f =8y D.x2=6y2 27.（2021五模拟）过双曲线C：3 _-匚=1 的右顶点作x 轴的垂线与C 的一条渐近线相2,2a b交于4若以双曲线C 的右焦点尸为圆心、半径为2 的圆经过/,。两 点（。为坐标原点），则双曲线C 的离心率为（）A.V3 B.2 C.7 5 D.38.（2020秋天心区校级期末）过点P（2,2）作抛物线炉=4 x的 弦 恰 好 被 产 平 分，则弦月8 所在的直线方程是（）A.x-=0 B.2x-y-2=0 C.x+y-4=0 D.x+2y-6=0二.多 选 题（共 4 小题）9.（2020秋岳麓区校级期末）已知函数f（x）=x+包-2,则下列结论正确的是（）xA.当 a 1时，/（x）无零点B.当。=1时，f（x）只有一个零点C.当“sinxB 3 XQ E R,XQ+XQ=-2cq UP。；2X0,2X0 1。=i xot R，s in+cosD.V x（0,4）,（4）x l o g1 XJ 4 3第2页 共2 6页1 2.（2 0 1 9秋岳麓区校级期末）若直线/与曲线C满足下列两个条件：直线/在点P（xo,泗）处与曲线C相切；曲 线C在点尸附近位于直线/的两侧，则称直线/在点P处“切过”曲线C.则下列结论正确的是（）A.直线/：夕=0在点尸（0,0）处“切过”曲线C：夕=3B.直线/：y=x-1在点尸（1,0）处“切过”曲线C：y lnxC.直线/：y=x在点P （0,0）处“切过”曲线C：y=s i n xD.直线/：y=x在点尸（0,0）处“切过”曲线C：y=ta nx三.填 空 题（共4小题）1 3.（2 0 2 1 湖南模拟）若过点/（a,0）的任意一条直线都不与曲线C：y=（x-1 ）炉相切，则4的 取 值 范 围 是.1 4.（2 0 2 0春德州期末）已知函数/（x）ex-x,g（x）x2-2 m x,若对任意xi R,存在X 2 l,2 ,满足/（xi）g（X 2）.则 实 数 加 的 取 值 范 围 为.2 21 5.（2 0 1 9秋天心区校级期末）椭 圆 三/，=1的焦点在y轴上，且 怎 1,2,3,4,5）,m nn L 2,3,4,5,6,7 ,则 这 样 的 椭 圆 的 个 数 为.1 6.（2 0 1 9秋岳麓区校级期末）已知/8 C是边长为2y的正三角形，。为8c的中点，沿将 N 8 C折成一个大小为6 0 的二面角8-ND-C,设。为四面体N 5 C。的外接球球心.则（1）球心。到平面BC D的距离为；（2）球。的体积为.四.解 答 题（共6小题）1 7.（2 0 2 0秋岳麓区校级期末）国家发改委、城乡住房建设部于2 0 1 7年联合发布了 城市生活垃圾分类制度实施方案,规定某4 6个大中城市在2 0 2 0年底实施生活垃圾强制分类,并且垃圾回收、利用率要达标.某市在实施垃圾分类的过程中，从本市人口数量在两万人左右的4类 社 区（全市共3 2 0个）中随机抽取了 5 0个进行调查，统计这5 0个社区某天产生的垃圾量（单位：吨），得到如表频数分布表，并将这一天垃圾数量超过2 8吨的社区定为“超标”社区.垃 1 2.5,1 5.5,1 8.5)1 8.5,2 1.5)2 1.5,2 4.5)2 4.5,2 7.5)2 7.5,3 0.5)3 0.5,3 3.5 第3页 共2 6页(1)估计该市4类社区这一天垃圾量的平均值7;圾里1 5.5)频数5691 2864(2)若该市4类社区这一天的垃圾量大致服从正态分布N(H，2 7.0 4),其中日近似为5 0个样本社区的平均值7(精确到0.1 吨)，估计该市4类社区中“超标”社区的个数；(3)根据原始样本数据，在抽取的5 0 个社区中，这一天共有8 个“超标”社区，市政府决定从这8 个“超标”社区中任选5个跟踪调查其垃圾来源.设这一天垃圾量不小于3 0.5 吨的社区个数为X,求 X的分布列和数学期望.附：若 X服从正态分布N (因。2),则o XWp+。)q0.6 8 2 6；尸(口-2。%W p+2 o)*0.9 5 4 4；P -3。0 时，(x-k)f(x)+x+l 0,求 A 的最大值.1 9.(2 0 2 0 秋岳麓区校级期末)如图，在四棱锥尸-/B C D 中，底面/B C D 是边长为3的正方形，以，平面/B C D,P A=3.点E 在侧棱PC上(端点除外)，平面/8 E 交尸。于点 F.(1)求证：四边形Z 8 E尸为直角梯形；(2)若 P F=2 F D,求直线PC与平面/B E尸所成角的正弦值.2 0.(2 0 1 9 秋岳麓区校级期末)已知等差数列 如 满足m=3,当 22时。=4 .(I )求数列 斯 的通项公式；(I I )若数列 a 满足b+2 b2+2 n T b n=n a n(n C N*)求数列 3 的前项和Sn-第4页 共2 6页2 1.（2 0 2 1 小店区校级模拟）如图所示，在三棱锥尸-/8 C 中，尸平面4 B C,P C=3,N A C B=2 L,D、E 分别为线段/8、8 c 上的点，且 C Z）=O E=7 历，CE=2E B=2.2（1）证明：DE_ L平面P C D；（2）求二面角A-PD-C的余弦值.2 22 2.（2 0 1 6 江西模拟）椭圆C：三 b 0）的离心率为工，其左焦点到点P （2,2,2 9a b 乙1）的距离为（I ）求椭圆C 的标准方程；（I I ）若直线/：y=f c r+加与椭圆C 相交于4B两 点（4,8 不是左右顶点），且以N 8为直径的圆过椭圆C 的右顶点.求证：直线/过定点，并求出该定点的坐标.第5页 共2 6页2022-2023学年长沙市高二上期末考试数学模拟试卷参考答案与试题解析一.选 择 题（共 8 小题）1.（2 0 1 2 湖南）命题 若a=3_,则 ta n a=l 的逆否命题是（4A.若aW2_,贝 U ta n a W l4B.若a=2 I _,贝!|ta n a W l4C.若 ta n a W l,贝！4D.若 ta n a W l,贝 l J a=2 L4【考点】四种命题.【专题】简易逻辑.【分析】根据命题若P，则夕”的逆否命题是“若 夕，则-p”，直接写出它的逆否命题即可.【解答】解：命 题 若a=2L 贝 U ta n a=l”的逆否命题是”若 ta n a W l,贝4故选：C.【点评】本题考查了命题和它的逆否命题之间的关系的应用问题，解题时应根据四种命题之间的关系进行解答，是基础题.2.（2 0 1 9 秋浏阳市期末）下列各组数能组成等比数列的是（）A.1,1,1 B./g 3,妒,lg273 6 9C.6,8,1 0 D.3,-3 7 3 ,9【考点】等比数列的性质.【专题】等差数列与等比数列.【分析】直接把四个选项中的三个数作比进行判断.【解答】解：-,4,.选项/中的三个数不能组成等比数列：X X O.I g 9 =2 1 g 3 l g 2 7 =3 1 g 3 二选项台中的三个数不能组成等比数列；lg3 lg3 lg9 21g3 2第6页 共2 6页.g=&,也 _ 至，.选项8中的三个数不能组成等比数列：6 3 8 4.3 2=、n，=飞，.选项。中的三个数能组成等比数列.3 ,-3A/3故选：D.【点评】本题考查了等比数列的定义，是基础的概念题，属会考题型.3.(2 0 1 9秋雨花区期末)不等式-/-2 x+3 0的解集为()A.(-1,3)B.(-3,1)C.0D.(-8,-3)U (1,+8)【考点】一元二次不等式及其应用.【专题】转化思想；转化法；不等式的解法及应用；数学运算.【分析】不等式化为X2+2X-3 V 0,求出解集即可.【解答】解：不等式-x2-2 x+3 0可化为x?+2 x-3 0,即(x+3)(x-1)V 0,解 得 3 x所以不等式的解集为(-3,1).故选：B.【点评】本题考查了一元二次不等式解法与应用问题，是基础题.4.(2 0 2 1全国模拟)围棋起源于中国据先秦典籍 世本记载：“尧造围棋，丹朱善之”，至今已有四千多年历史.围棋不仅能抒发意境、陶冶情操、修身养性、生慧增智，而且还与天象易理、兵法策略、治国安邦等相关联，蕴含着中华文化的丰富内涵.在某次国际围棋比赛中，甲、乙两人进入最后决赛.比赛采取五局三胜制，即先胜三局的一方获得比赛冠军，比赛结束.假设每局比赛甲胜乙的概率都为2,且各局比赛的胜负互不影3响，则在不超过4局的比赛中甲获得冠军的概率为()A.A B.-L C.至 D.工9 2 7 2 7 8 1【考点】相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式.第7页 共2 6页【专题】方程思想；定义法；概率与统计；数学运算.【分析】甲以3：0 获胜为事件4 甲以3：1 胜为事件8,则4 8 互斥，利用互斥事件概率加法公式能求出在不超过4 局的比赛中甲获得冠军的概率.【解答】解：甲以3：0 获胜为事件4甲以3：1胜为事件8,则/,B互斥,且p（A）岩尸嗡p应修产界看啥，所以在不超过4 局的比赛中甲获得冠军的概率为：p（A+B）=-K-=-m 2 7 2 7 2 7故选：C.【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合、互斥事件概率加法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.5.（2020春五华区校级期末）设复数z 满足（l+i）z=2,则复平面内表示z 的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【考点】复数的代数表示法及其几何意义.【专题】方程思想；转化法；数系的扩充和复数.【分析】利用复数的运算法则即可得出.【解答】解：V（1+j）z=2,_ 2 _ 1 .zl+i ii，则复平面内表示z 的点位于第四象限.故选：D.【点评】本题考查了复数的运算法则及其几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.6.（2020秋岳麓区校级期末）已知抛物 线。的顶点在坐标原点，焦点尸在y 轴正半轴上.若点 尸到双曲线C?：卷=逆一条渐近线的距离为2,则 G 的标准方程是（)A.y2 挈x B.y2U.x C.=8伊【考点】抛物线的标准方程：双曲线的性质.D.X2 6 y【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算.【分析】求出双曲线的渐近线方程，求出抛物线的焦点坐标，利用点到直线的距离转化第8页 共2 6页求解p,得到抛物线方程即可.【解答】解：双曲线C 2的渐近线方程是/_ d=0,即y=x.2 6因为抛物线的焦点F（O,段（p 0）到渐近线E x-y=O的距离为2,则一F 二2 即 P=8，2炳所以C l的标准方程是2=1 6 y，故选：D.【点评】本题考查双曲线的简单性质以及抛物线的简单性质的应用，点到直线的距离公式的应用，是基础题.2 27.（2 0 2 1 五模拟）过双曲线C：工-匚=1的右顶点作x轴的垂线与C的一条渐近线相2 ,2a b交于4 若以双曲线C的右焦点尸为圆心、半径为2的 圆 经 过 儿。两 点（。为坐标原点），则双曲线C的离心率为（）A.V 3 B.2 C.遥 D.3【考点】双曲线的性质.【专题】计算题：转化思想：综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算.【分析】求出/的坐标，利用已知条件列出方程，求出。，然后求解双曲线的离心率即可.【解答】解：因为双曲线的渐近线方程y=土2X，a所以/（a,b）或/（a,-b）,因此M F|=c=2,即J（3-a）2+b2 =2,整理可得：a W -4 a=0,因为+6 2=0，2=4,解得a=l,所以双曲线的离心率为：e=2.a故选：B.【点评】本题主要考查双曲线的简单性质的应用，根据圆的性质先求出半径c=2是解决本题的关键.8.（2 0 2 0秋天心区校级期末）过点尸（2,2）作抛物线炉=4 x的 弦 恰 好 被P平分，则弦月8所在的直线方程是（）第9页 共2 6页A.x-y=0 B.2x-y-2=0 C.x+y-4=0 D.x+2y-6=0【考点】直线与抛物线的综合.【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算.【分析】先设出直线方程，再联立直线方程与抛物线方程整理可得4 8 的横坐标与直线的斜率之间的关系式，结 合 弦 恰 好 是 以 尸 为 中 点，以及中点坐标公式即可求出直线的斜率，进而求出直线方程.【解答】解：设”（x i，y）,B（X2，”），弦 4 8 所在直线方程为：y-2=k（x-2）,即 y=kx+2-2k,y=kx+2 2k联立，消去、整理得庐/+2k（2-2无）-4x+（2-2k）2=0./=4 x所以有xi+x2=/k（2节A4,k2 .弦 恰 好 是 以 P 为中点，一 2k（2-2k）-4_/，4 k2解得k=.所以直线方程为N=X,由尸在抛物线的开口之内，可得这样的直线存在.故选：A.【点评】本题主要考查直线与圆锥曲线的综合问题.解决本题的关键在于利用中点坐标公式以及韦达定理得到关于直线的斜率的等式，是中档题.二.多 选 题（共 4 小题）9.（2020秋岳麓区校级期末）已知函数f（x）=x B-2,则下列结论正确的是（）xA.当。1时，/（X）无零点B.当。=1时，/（x）只有一个零点C.当时，/（x）有两个零点D.若/（X）有两个零点XI，X 2,贝 lJxi+X2=2【考点】函数零点的判定定理.【专题】数形结合；数形结合法；函数的性质及应用；逻辑推理；数学运算.【分析】依题意，考察直线夕=。和抛物线夕=-/+2 x （xWO）的位置关系，作出图象，即可判断选项Z 8 C,再由韦达定理即可得XI+X2=2,进而得解.第1 0页 共2 6页【解答】解：令/(x)=0,则 X4 -2=0，即 -2 工+。=0(x W O),即 4=-，+2 1(xXW O),由图可知，当时，f(x)无零点，故 4 正确；当。=1或。=0 时，f(x)只有一个零点，故 8 正确；当且时，/(x)有两个零点，故 C错误；若/(X)有两个零点X I，X 2，则 x i，X 2是方程，-2x+=0 的两根，由韦达定理，得制+冗2=2,故。正确.故选：AB D.【点评】本题主要考查函数的零点问题，考查数形结合思想，是基础题.2 21 0.(201 9 秋岳麓区校级期末)设椭圆C：号专=1 的左、右焦点分别为尸1，尸 2，点 P为椭圆C上一动点，则下列说法中正确的是()A.当点尸不在X轴上时，尸 尸 1 尸 2的周长是6B.当点P 不在x轴上时，/%&面积的最大值为C.存在点P,使 PFJPF2D.尸内的取值范围是 1,3【考点】椭圆的性质.【专题】计算题：转化思想；分析法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算.【分析】利用椭圆的定义与性质，逐步验证选项的正误即可.【解答】解：由椭圆方程可知，a=2,b=V 3.从而c=V a 2-b 2=r第1 1页 共2 6页据椭圆定义，P Fi+P F2=2a=4,又 FIF2=2C=2,所以尸尸1 放的周长是6,4 项正确.设点尸（x o,次）（网 0）,因为尸1 乃=2,则5泣/2季遇2 可 产 0.因为O siruB 3 XQ R,Xg+x0=-2cq U p 2*0,2X0 1。x01 R，s in w+c o s 石O O OD.V x （0,4）,4）x 1,而 sinxe-l,1 ,即可判断4B,利用配方法即可判断；C，根据同角三角函数的平方关系可判断：D,根据指数函数和对数函数的单调性求出两个函数在区间（0,工）上的值域即可.3【解答】解：对于Z 项，当x 0 时，则/（x+3）/3/e=l,第 12 页 共 2 6 页又一 K s i nx W l,所 以（x+3）s i n_ v恒成立，即Z正确；对于8项，因为x 2+x+2=（x+）2 q，所以方程-=-2无解，即8错误；对于C项，因为对V x E R,5玩2 m+$2三=1恒成立，即C错误；3 3对于。项，指数函数f（x）=（工）X在（0,工）上单调递减，所以/（X）2/（0）=1,2 3对数函数g（x）=lo g i X在（0,工）上单调递减，所以g（X）加”g（1）=：，所以。正T 3 3确，故选：AD.【点评】本题考查命题的真假判断，涉及指对函数的图象与性质、三角函数等知识点，熟悉基本初等函数的图象与性质是解题关键，属于基础题.1 2.（2 0 1 9秋岳麓区校级期末）若直线/与曲线C满足下列两个条件：直线/在点尸（x o,/）处与曲线C相切；曲 线C在点尸附近位于直线/的两侧，则称直线/在点P处“切过”曲线C.则下列结论正确的是（）A.直线/：夕=0在点P （0,0）处“切过”曲线C：y=x 3B.直线/：y=x-l在点尸（1,0）处“切过”曲线C：y=lnxC.直线/：y=x在点尸（0,0）处“切过”曲线C：y=s i nxD.直线/：y=x在点尸（0,0）处“切过”曲线C：y=t a nx【考点】命题的真假判断与应用；利用导数研究曲线上某点切线方程.【专题】数形结合；综合法；导数的概念及应用；数学运算.【分析】先求出曲线C在点P处的切线方程，再由曲线在点P两侧的函数值与对应直线上点的值的大小判断是否满足题意即可.【解答】解：对 于 从 因 为y=3/,当x=o时，y=o,所以在点p（0,0）处的切线为/：y=O.当x V O时，y 0时，y 0,所以曲线C在点尸附近位于直线/的两侧，即4正确；对于8,寸，当x=l时，.=1,在 尸（1,0）处的切线为/：y=x-1.X第1 3页 共2 6页令 h(x)-1 -Inx,则h，(x)=l二=x-l(xo),X X当 x l 时，h(x)0；当 O V x V l 时，h(x)0时，曲线C全部位于直线/的下侧(除切点外)，即8错误；对于 C,y =c o s x,当 x=0 时，y l 在 P (0,0)处的切线为/：yx,由正弦函数图象可知，曲线C在点尸附近位于直线/的两侧，即C正确：对于。，y，=_ 1一，当x=0时，y=l,在 尸(0,0)处的切线为/：y=x,c o s x由正切函数图象可知，曲线C在点尸附近位于直线/的两侧，即。正确.故选：ACD.【点评】本题考查切线方程的求法、曲线与切线的位置关系，熟悉函数图象是解题的关键，属于基础题.三.填 空 题(共4小题)1 3.(2 0 2 1湖南模拟)若过点/Ca,0)的任意一条直线都不与曲线C：y=(x -1)/相切，则。的取值范围是(-3,1).【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程.【专题】方程思想；转化法；导数的概念及应用；数学运算.【分析】设点B(x。，Go-D e%)为曲线C上任意一点，求出函数在切点处的切线方程，把点力的坐标代入，可得关于x o的一元二次方程，利用判别式小于0求解”的取值范围.【解答】解：设点B(x。，(x o-l)e*)为曲线。上任意一点，.片/+(x-1)/=,V lx=xo=xoe，则曲线C在点8处的切线/的方程为了_&。-1)。=乂0/(X-X。).据题意，切 线/不 经 过 点 儿 则 关 于X。的 方 程-(Xo-l)e X=Xo e*(a-x 0)，即+X2 O-/IXa Xo+l=O无头根，(a+1)2-4 0,解 得-3 V a 再求函数最值解不等式即可求得m的取值范围.【解答】解:若对任意X1 6 R,存在X2 l,2 ,满足/(x i)2 g(X2)则/(X)min g(X)min，f当 x 0 时，/(x)0 时，/(x)0,函数/(x)单调递增，Wf(x)m in=f(O)=e-O=l=当 1 WXW2时，因为g(x)是二次函数，对称轴为=机，下面对加进行分类讨论，当加1时，g(x)在区间 1,2 上单调递增，所以g(X)ming(1)=1 *2 m,因 为/(X)加 g(X)mis于是 1 2 1 -2?=Z M2 0=0W?2时，g(x)在区间 1,2 上单调递减，所以g(x)ming(2)=4 -4 m,因为/(X)min g(X)min,于是 1 2 4 -4 7=/n 2 3=m 2：4综上所述，加的取值范围为 0,+).【点评】本题考查了恒成立与存在性问题、二次函数最值及利用导数求函数最值的方法,考查了转化与化归思想，属于中档题.第1 5页 共2 6页2 21 5.（2 01 9秋天心区校级期末）椭圆+匚=1的焦点在夕轴上，且心1,2,3,4,5 ,m n G 1,2,3,4,5,6,7 ,则这样的椭圆的个数为2 0.【考点】椭圆的性质.【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程.【分析】根据题意可知要使椭圆的焦点在y轴上，需满足 ，对=1,2,3,4,5,6,7,看?能取的数的个数，最后向加即可求得答案.【解答】解：要使椭圆的焦点在y轴上，需机，故=2时，m可 取1个数，=3时，机可取2个数，=4时，可取3个数，“=5时，加可取4个数，n=6时，机可取5个数，=7时，可 取5个数，故椭圆的个数1+2+3+4+5+5=2 0故答案为：2 0.【点评】本题主要考查了椭圆的标准方程，排列组合知识.考查了学生综合分析问题和解决问题的能力.1 6.（2 01 9秋岳麓区校级期末）已知 Z 8 C是边长为2次的正三角形，。为B C的中点，沿/。将力8 c折成一个大小为60的二面角B-Z D-C,设。为四面体力B C D的外接球球心.则（1）球心O到平面BC D的距离为_一；一2-（2）球O的体积为_ 1晒5冗一 6【考点】球的体积和表面积：点、线、面间的距离计算.【专题】计算题；分析法；空间位置关系与距离；直观想象；数学运算.【分析】（1）画出图形，利用已知条件，判断外心的位置，然后求解即可.（2）通过求解三角形，转化求解几何体的体积即可.【解答】解：（1）如图，在四面体N88中，A D V D C,4D _ L Z）B,则N 8 D C=60.因为D B=D C=,贝U B C f/i第1 6页 共2 6页设 5。的外心为E,则0 _ L平面B CD.因 为 平 面 8 c 0,P l J O E/AD.取力。的中点凡 因为。1 =O。，则O FLAD,（2）在正 8 C O中，由正弦定理，得D EX返L=L2 sin60在 R tZ X O E D 中，OD=所以V球 卷613A中【点评】本题考查空间几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力，转化思想的应用.四.解 答 题（共6小题）1 7.（2020秋岳麓区校级期末）国家发改委、城乡住房建设部于201 7年联合发布了 城市生活垃圾分类制度实施方案,规定某4 6个大中城市在2020年底实施生活垃圾强制分类,并且垃圾回收、利用率要达标.某市在实施垃圾分类的过程中，从本市人口数量在两万人左右的人类社区（全市共3 20个）中随机抽取了 5 0个进行调查，统计这5 0个社区某天产生的垃圾量（单位：吨），得到如表频数分布表，并将这一天垃圾数量超过2 8吨的社区定为“超标”社区.（1）估计该市A类社区这一天垃圾量的平均值x：垃圾量 1 2.5,1 5.5)1 5.5,1 8.5)1 8.5,21.5)21,5,24.5)24.5,27.5)27.5,3 0.5)3 0.5,3 3.5 频数5691 2864第1 7页 共2 6页（2）若该市4 类社区这一天的垃圾量大致服从正态分布N（u，27.04）,其中p 近似为5 0个样本社区的平均值7（精确到0.1吨），估计该市4类社区中“超标”社区的个数：（3）根据原始样本数据，在抽取的5 0 个社区中，这一天共有8个“超标”社区，市政府决定从这8 个“超标”社区中任选5个跟踪调查其垃圾来源.设这一天垃圾量不小于3 0.5 吨的社区个数为X,求 X的分布列和数学期望.附：若 X服从正态分布N（p,。2）,则 P （四-。）%0.6 8 2 6；尸（p-2o 2 8）=P （X+C T）-1Q-1 82b=0.15 8 7-因为3 2 0 X 0.15 8 7=5 0.7 8 4 4 5 1,估计该市4类社区中“超标”社区约5 1个.（3）由频数分布表知，8 个社区中这一天的垃圾量不小于3 0.5 吨的“超标”社区有4个，则垃圾量在 2 7.5,3 0.5）内 的“超标”社区也有4个，则 X的可能取值为1,2,3,4.“14 广 3 c 2 l 4 clv 4 C 4 11P（X=l）=-=Tr P（X=2）=-=7 P（X=3）=-g-=y.P（X=4）=-5-=b8 b8则X的分布列为：X1234Y1143,73,71五所以E X=1 X 吉+2 X%X*X a号第1 8页 共2 6页【点评】本题考查了离散型随机变量的期望和方差以及正态分布的性质，考查了学生的运算能力，属于中档题.18.(2 0 2 0秋天心区校级期末)设函数/(x)=ec-a x-2,其导函数为/(x).(1)求函数/(x)=/-o r-2的单调区间：(2)若。=1,%为整数，且当x 0时，(x-k)f(x)+x+l 0,求的最大值.【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的最值.【专题】分类讨论；分类法；转化法；高考数学专题；导数的综合应用；数学运算.【分析】(1)由/(X)=/-a x-2,求出/(x),然后根据x变化时，/(x),/(X)变化情况，得到/(x)的单调区间；(2)根据条件，可 知(x -k)f(x)+x+l 0等价于k 0),然后构造函ex -1数g(x)=*L+x，进一步得到的最大值.ex-l【解答】解：(l)/(x)的定义域为R,f(x)当a W O时，则/(%)0,/(%)在R上单调递增；当 a 0 时，则/(x)=0 解得当x变化时，f(x),f(x)变化如下表：X(-8,Ina)Ina(Ina,+8)f(X)-0十f(x)减极小值增综上，当“W 0时，/(X)在R上单调递增；当a 0时，f(x)的单调减区间是(-8,增区间是Q ua,+).(2)由于 a=1,/Q x-k)/(x)+x+l =(x-k)(-1)+x+l,故当 x 0 时，(x-l)/(x)+x+l 0 等价于 k 0),ex-l令g(x)=*L+x，则gG)=式9二嘤.eX-l(ex-l)由(1)知，函数/z (x)=-x-2 在(0,+8)上单调递增，而 h(I)0,：.h(x)在(0,+8)存在唯一的零点，故f (x)在(0,+8)存在唯一的零点.第1 9页 共2 6页设此零点为“，则 ae(1,2),当 xW (0,a)时，g(x)0,：.g(x)在(0,+8)的最小值为g(a),又由 g(a)=0,可得/=a+2,.,.g(a)=a+16(2,3),由于式等价于 AP=(0,0,3)，P D=(0,3,-3)P C=(3,3,-3)-因为 P F=2 E D,则 正=薪+用=和4而=(0,0,3)+(0,2,-2)=(0,2,1,设=(x,y,z)为平面4B E尸的法向量，m AB=0(即 俨=0,取 产i,则z=-2,所 以 常(0 1 -2).m-AF=0 l 2y+z=0.因为co s 飞，P C-登 或 3+6 二 任|m|-|P C T V 5 X 3 V 3 -5所以直线P C与平面Z 8 E尸所成角的正弦值为，运.5【点评】本题考查直线与平面垂直以及直线与平面平行的判定定理的应用，直线与平面所成角的求法，考查空间想象能力，转化思想以及计算能力，是中档题.20.（20 1 9秋岳麓区校级期末）已知等差数列 小 满足ai=3,当篦2 2时。/+斯=4.（I ）求数列 斯 的通项公式；（II）若数列 d满足b+2b2+2n Tbn=n an（n N*），求数列 为 的前项和Sn-【考点】数列的求和；数列递推式.【专题】综合题；转化思想；转化法；等差数列与等比数列；数学运算.【分析】本 题 第（I）题根据题干及等差数列的通项公式求出公差d的值，即可得到数列 an的 通 项 公 式；第（II）题 先 根 据 题 干 等 式 及 其 类 比 式b+2b?+2n bn+=（n+l）a相减，通过计算可得数列彷”的通项公式，然后根据通项公式的特点采用错位相减法可求出前n项和S,.【解答】解：（Z）由题意，an.i+an-4 n,则的+。2=8,又“1=3,则 及=5.第2 2页 共2 6页.，.等差数列 ”的公差d=02-01=2,又,；m=3,，数列 而 的通项公式为即=2+1,GN*.(/)由题意，bj +2b2+-,+2n1bn=n an,贝2b2+“.+2%+1=11，两式相减，得 2b+i=(+1)(+1)(2+3)-n(2+1)=4+3,.当22 0寸，b 里 工.11 2n-1经检验，历=3 也符合该式，数列步“的通项公式是1=耳，CN*.7 Sn=3+7 y+-+(4n-l)(y)1,y Sn=3 y+7-(y)2+-+(4n-5)-(y)n-1+(4n-l)(y)n,两式相减,得_%=3+4或+6)+,+仔)-(4n-l)皮)1 1=3+4 l-(y)n 1-(4n-l)(y)n=7 -s =1 4_3+7 一.Sn 1 4 2，【点评】本题主要考查等差数列的基础知识，错位相减法求前项和，考查了方程思想,转化思想，类比方法的应用.本题属中档题.21.(2021小店区校级模拟)如图所示，在三棱锥尸-/8 C 中，P C,平面/8C,PC=3,ZACB=,D、E 分别为线段力8、8 c 上的点，且 CD=DE=五,CE=2EB=2.2(1)证明：DE工平面PCD；(2)求二面角A-P D-C的余弦值.第2 3页 共2 6页【考点】直线与平面垂直；二面角的平面角及求法.【专题】证明题；数形结合；向量法；空间位置关系与距离：空间角.【分析】（1）要证明。E _ L平面尸C ）,可 转 化 为 证 明 与。E J_ PC；（2）建立空间直角坐标系，将问题转化为求平面处。与平面P C D的法向量的夹角的余弦值.【解 答】证 明：（1 ）：PC _ L平 面AB C,D Eu平 面AB C,：.P C V D E .：C D=D E=V 2，C E=2 E B=2,.,故平面P C D的法向量7=丽=（1.*1，0）,第2 4页 共2 6页【点评】本题主要考查空间中线面的垂直关系、二面角的求法、空间向量的应用，考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、转化能力.2 22 2.（2 0 16江西模拟）椭圆C：三，二=1（4 6 0）的离心率为上其左焦点到点P（2,2 ,2 9a b 41）的距离为小诬.（I ）求椭圆C的标准方程；（I I）若直线/：y=fcc+机与椭圆C相交于4,B两 点（4 B不是左右顶点），且以N8为直径的圆过椭圆C的右顶点.求证：直线/过定点，并求出该定点的坐标.【考点】直线与圆锥曲线的综合.【专题】圆锥曲线中的最值与范围问题.【分析】（I）利用两点间的距离公式可得c,再利用椭圆的标准方程及其性质即可得出。，b（I I）把直线/的方程与椭圆的方程联立可得根与系数的关系，再利用以4 8为直径的圆过椭圆的右顶点。，可得k o.当 m=-2%时，/：yk(x -2),直线过定点(2,0)与已知矛盾；当?=-半 时，/：y=k(x-1-)直线过定点 g,0).综上可知，直线/过定点，定 点 坐 标 为 号，0)-【点评】本题综合考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、圆的性质、两点间的距离公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题.第2 6页 共2 6页