2022-2023学年高三上学期开学考试理科数学试题.pdf

“西南汇”联考2022-2023学年高三上学期开学考试理科数学试题一、单选题1.设集合 M=1,3,M =2,4,5,则()A.i U B.2eUC.3eUD.4 任 U2.设复数z 满足z=U，则 恸=（）3A.2 B.一C.1D.1223.函 数/（力=+忖 的 零 点 共 有（）A.0 个 B.1个C.2 个D.3 个4.已知正方体A B C O-A 4G R 中，E,E 分别为BC,G。的中点，则（）A.A F 1 ED,B.EF1CA,C.A,FLBF D.F VEDy5.已知AABC的内角A B,C 的对边分别是a,b,c,则“a?+廿-c?0时，/(x)=x-l+ln r,则不等式#(x)0的解集为()A.(-,-1)(0,1)B.(-l,0)o(0,l)C.(-1,0)O(l,-K)D.(-oo,-l)u(l,+co)1 0.已知某校高三年级共1400人，按照顺序从1到1400编学号.为了如实了解学生“是否有带智能手机进入校园的行为 ，设计如下调查方案:先从装有2个黑球和3个白球的不透明盒子中随机取出1个球，如果是白球，回答问题一；否则回答问题二.问题如下：一、你的学号的末位数字是奇数吗？二、你是否有带智能手机进入校园的行为？现在高三年级1400人全部参与调查，经统计：有972人回答“否”，其余人回答“是 .则该校高三年级“带智能手机进入校园”的人数大概为()A.8 B.20 C.148 D.2471 1.单位正四面体的外接球内接的最大正三角形边长为()A.34B.叵4r3/24D,巫41 31 12.a=cos ,/?=,c=2-e31,则(4 32)A.abcB.cbaC.bacD.cab二、填空题13.已知函数/(x)=,贝ij/flog,2 =_.I*,x20 II；”14.函数x)=ln(x-1)+2的 一 条 过 原 点 的 切 线 方 程 为.15.设F是抛物线C：V=4x的焦点，点A在抛物线C上，*3,0),若 4耳=2忸耳，则|做=16.已知正实数。满足3a-5 =4/，则的最小值为.a b三、解答题17.在三棱锥C ABD中，平面84。，平面BCD NBAD=NBDC=90,E 是 8 c 的中点.(1)证明：ABLAC-,Q)若CD=&D =6 A B =遥,求二面角E ADC 的大小.18.已知“ABC的内角A、B、C 所对的边分别为。、b、c,3sinAsinC=2sin2B,2sin2A+2sin2C=5sinAsinC.求 B；(2)若 4C,b=#),求。、A.19.记数列%前九项和为S“，2S,+2=2“,+”.(1)证明：%为等差数列；(2)若 q=l,记 1,为数列%的前项积，证明：Z建 6 0),右焦点b(c,0),短轴长为2,直线x=与x 轴的交点到右焦a h c点的距离为3.3(1)求 C 的方程；(2)点 P(l,0),A 8 均在C 上，且满足=若 A 3与x 轴交点为。，求满足条件的点2的坐标.21.设函数/(x)=e*-x+“(x0,a 为常 数).讨论“X)的单调性；若函数/(X)有 两 个 不 相 同 的 零 点,证明：x1x2 1.一fx=2+cos。2 2.在平面直角坐标系xOy中，曲线C 的参数方程是.八(6 为参数)，正方形ABCQ的顶y=sm 夕点均在C 上，且 A B,C,。依逆时针次序排列，点 A(3,0).(1)求C 的普通方程及点8,C,。的坐标；(2)设 P 为C 内(包含边界)任意一点，求归1+回 +归。2+|叫 2的最小值.2 3.已知 a,b,c 为正实数，a1+Z?2+c=l.求证：a+b+&(2)求证：abc .8参考答案:1.B【分析】先求出。=1,2,345,从而判断四个选项的正误.【详解】由题意，得。=123,4,5,则l,2,3,4eU.故选：B2.C【分析】根据已知条件，结合共轨复数的定义，以及复数模公式，即可求解.【详解】设2=。+例(4,。11),则彳=“一 切，z=F，即 2z=z-l,f.2a=a-2(a+bi)=a-l-bi,Bp 0 与xVO时f(x)=O的解得个数即可.【详解】当x 0 时 力=0 无解；当x4O 时，/(X)=X3-X=X(X+1)(X-1)=0-M%)=0,x2=-1.综上，函数f(x)有2 个零点.故选：C.4.D【分析】建立空间直角坐标系，然后计算相应的数量积即可确定垂直关系.【详解】建立如图坐标系，不妨设正方体的棱长为2.则 A(0,0,0),8(2,0,0),C(2,2,0),0(0,2,0),A(0,0,2),B(2,0,2),C,(2,2,2),D,(0,2,2),(2,l,0),F(l,2,2),7.A F=(1,2,2),西=(-2,1,2)，得至I 犷西=4,EF=(-1,1,2),C=(-2,-2,2)n 而 y=4,率=(1,2,0),BF=(-1,2,2)n 4 F.丽=3,AF=(1,2,0),西=(-2,1,2)=中也=0,故 A尸，ER.故选：D.5.A【分析】由。2+/_20结合余弦定理求出88。0,求出C 为钝角，充分性得证，再举出反例推出必要性不成立.【详解】a2+b2-c20,由余弦定理得：cosC=-0,故必要性不成立.故选：A.6.D【分析】利用辅助角公式对/(x)=&cos2尤-sin2x恒等变形，从而求出最小正周期判断A,利用整体代入法可判断B 与 C,根据图像平移判断D.详解】f（x）=y/3 cos 2x sin 2x=2sin（2%一 方J,得r 号=%故A选项错误；.7 C 兀，“5兀 kit,.-2x-=+71,（A:G Z）=x=+,（Z:G Z）,二 直线x 不为其对称轴，故 B 选项错误；12当x e（0,篇，时，）,=2sin（2 x-g j单调递增,函数”x）=-2sin（2 x-）单调递减，故 C 选项错误；将/（X）=28s 2x的图像向左移l个单位得/（x）=2cos（2（x+方）=2cos（2x+仁）=2sin（2x+专）=2sin（2x）=2sin（2x g）.故 D 选项正确.故选：D.7.B【分析】根据已知可求得A,B的夹角和32 的夹角相等，进而可求解.【详解】由牛石=用2 可 得,同 W|cos&5）=同.卜/际仁,又因为A,b,c,，均为单位向量,所以a B的夹角和a7 的夹角相等,作图知P，4命题必有一个为真命题，故恒为真命题的是PV 4.故选：B.8.A【分析】由诱导公式以及基本不等式即可求最值.【详解】因为cos2c0,原式=f 4-+cos2a 2.co s 2 a*.当且仅当=co s2a=co s a=-时，1 9 co s-a 9)V 9 co s2a 9 9 9 co s 2 a 3取等号.故选：A9.D【分析】求 导 可 得 为 增 函 数，且/=0,再求解 引 0 的解集，结合(x)的奇偶性求解即可.【详解】由题意，得 r(x)=l +g 0则 单 调 递 增，又 加=0,所以当/(x)0 时，x e(l,+a).x 0 时，(犬)。的解集为(1，+8).又 为 奇 函 数，#(x)为偶函数,.,.好(%)0 的解集为(9,-1)5 1,+8).故选：D10.B【分析】根据题意，按比例将14 0 0 人分为84 0 人和5 6 0 人，其中84 0 人中将有4 20 人回答“否”，则则5 6 0 人中有9 72-4 20 =5 5 2(人)回答“否，8 人回答“是”，则可求出问是否带手机的回答是的人数所占的比例，从而可求出该校高三年级“带智能手机进入校园”的人数.3?【详解】根据题意，14 0 0 人分为14 0 0 x j =84 0 (人)和 14 0 0 x 1=5 6 0 (人)，84 0 人中将有4 20 人回答“否”，则5 6 0 人中有9 72-4 20 =5 5 2(人)回答“否，8 人回答“是”，则问是否带手机的回答是人数约占5，该校高三年级“带智能手机进入校园 的人数约为14 0 0 x =20 (人).故选：B11.C【分析】先求得外接球半径，然后计算外接球内接的最大正三角形边长即可.【详解】如图为单位正四面体A-BC D.A过点A 作面B C D 的垂线交面于点E,尸为外接球球心，则E为 8 8 的中心，则 8E =且，3在 R tZV I BE 中，AE =jAB2-B E2=.3设=则 在 心 尸 中，9-R =R：解得R =手.外接球内接的最大正三角形即为球的大圆的内接正三角形，由正弦定理可得边长为2/?si n 6 0。=6R=逑.4故选：C12.A【分析】通过构造函数-c o sx,由函数的单调性比较力的大小，再构造函数g(x)=e*-x-l,判断其单调性后比较Ec的大小，从而可得结果.【详解】构造/(x Q l-5-c o sx,x e(o,3，则/(x)=-x+si n x,令h(x)=fx)=-x+si n x ,则 hx)=-1+c o sx 0 ,所以X)在 上 递 减，所以抑x)林0)=0,所以/(尤)0,所以，(幻在(0,?上递减，所以x)/(0)=0,所以31 1 31 1所以乙一8 5 2 0,B|J b,32 4 32 4令 g(x)=e，-x-l (x e (0,+o o),贝 lj g (x)=e*-1 0 ,所以g(x)=e、-x -1在(0,+s)上递增,所以g(x)g(0)=0,所以e*x+l,所以 2-evl-x,-L i 31所以2-e 3i 2 e 32 c32 32故 a b c.故选：A【点睛】关键点点睛：此题考查比较大小，考查导数的应用，解题的关键是构造函数，通过判断函数的单调性，利用函数的单调性比较大小即可，考查数学转化思想，属于较难题.13.1#0.5【分析】根据分段函数解析式计算可得.【详解】解：因为b g|2=l o g N 2=-；l o g 2 2=T，522又所以/lo g /(-)=2-2=专,x,x 0 4 J 2/2故答案为：g14.y=x【分析】求出函数的导函数，设 切 点 为&,山 小-1)+2),即可求出切线的斜率，从而得到1 =l n(A-0-l)+2 令 (司=_ 三+访(_ 1)+2,X (l,y),利用导数说明函数的单调性，即可 得 到%=2,从而求出切线方程.【详解】解：因为/(x)=l n(x-l)+2,所以工，X-1设切点为(%,皿与-1)+2),则，所 以 工=的 二 1 H3,即 一 气+i n(x l)+2=0,%-1 x x0-4-/i(x)=-+l n(x-l)+2,x e(l,-K 0),则 =(炉+0，所以力在(LE)上单调递增,又网2)=0,所以%=2,则/(为)=2,7(%)=1,所以函数f(x)过原点的一条切线方程为y=x.故答案为：丫 =15.273【分析】根据题意可得焦点F 的坐标，进而可得怛目，由|A尸|=2忸 尸 可得|AE|=4,结合抛物线的定义可得A 点的横坐标，再代入抛物线的方程，即可得出答案.【详解】由可知焦点尸（1,0）,3（3,0）,.网=2,：AF=2BF,；.AF4,点A到抛物线准线的距离为4.抛物线的准线方程为x=-l,.点A 的横坐标x=3,.（3,2班）或（3,-2后），：.AB=2y/3.故答案为：2 G.16.|Vio【分析】由3/得答内，将*:同乘蜷，利用代 换 得 襟 黑结合导数研究增减性，进而可求最小值.【详解】原式1 1Y 4a2b2a b）3a-5b4（&+l）lZ（3 人-5）（其中a=kb,令%）=4 T则广化）=（出+）2 3A（3 后 一 5）_（6A_5）（A +l）_（Z+l）2（3k_l）（&_5）,（3 5）了 3A-5）因为A|,所以（氏+l）2（3*-I）0,当 可|,5）时，f（k）0,在（|，5）上单调递减；当壮（5,+8）时，/（力0,/（%）在（5,内）上 单 调 递 增,故/=5）,将%=5代入”尸）、,得原式2 2M d.k（3k-5）5故答案为：-V io【点睛】本题重点考查了利用导数求解函数最值，解题突破口在于利用力”的妙用思路和无=进行整体代换，入手难度大，平时应多加强此类题型积累.17.(1)证明见解析吗【分析】(1)利用条件先证明8 4 _L平面CA ,再证明A8_LAC；(2)建立空间直角坐标系，运用空间向量分别计算出平面平面AOC和 平 面 EAO的法向量，再利用数量积算出二面角E-A O-C 的大小.(1)证明：由题意，平面 平面 8 8 ,平面 BAn 平面 3 8 =班 ,:.C D L B D,C D u 平面 8C。，CD1 平 面&4。，B A u 平面 R4D,：,C D 1 B A；又 BAJ_AD,AZ)nDC=,且 AD,DC 均在面 CDA 内，；.84 J.平面的，ACu 平面CD4,-.ABrAC；(2)以A 为原点，AO为 x 轴，A 8为 y 轴，过 A 点作平行于。C 的直线为z 轴，建立空间直角坐标系如下图：由题意，得 8=M 4 0 =1,A8=&,A(0,0,0),0(1,0,0),C(1,0，C3(0,6 0),E 与而=(1,0,0),觉=(0,0,伺，通=；,当年，显 然 平 面 APC的一个法向量为3=(0,1,0),设 平 面 E4O 的一个法向量为4=(x,y,z),则有，n.AD=0 x =0得1 0 瓜-X 4-1 2 y +z =02 2令 z =-l则 y=y/3 ，所 以 平 面 E 4 O 的一个法向量1 =(。,百I)，则c o s ,，)=背曲，则二面角E43-C的大小为；|卜同2 6综上，二面角E-A D-C的大小为J.O7 T1 8.(1)8 =57 1(2)a =2,A=【分析】(1)利用正弦定理将角化边，再由余弦定理计算可得；(2)将6 =石 代 入(1)中两式，得到o c =2,(2 -c)(a-2 c)=0,再分2 a =c、a =2 c 两种情况讨论，分别求出。、c,再由A C,即可确定。、c,最后由余弦定理求出A.(1)解：因为 3 s i n As i n C =2 s i n 2 8 ,2 s i n2A+2 s i n2C =5 s i n As i n C ,由正弦定理得3 讹=2 从，2 a2+2 c2=5 ac.3ac ac2lac5a2+c2-b2 2c o s B=-=lac1，2又 8e(O,乃)，7(2)解：将=G 代 入(1)中两式，得 ac=2,2 a2+2 c2=5 ac.a c =2,(2 t z 2 c)=0.当 2 t z =c,时，解得 a =l,c =2 ；当=2 c 时，解得c =l,a=2.又A C,:,a=2,c=.b2+c2-a2 _ A(a 2 万/.c o s A=-=0 ,又 A 0,-2 bc I 3综上，a=2,A =y.1 9.(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】(1)根据4与S ”的关系，用(-1)替换”，然后作差即可证明.(2)先 由(1)中结论得到“通项，从而得到1 +；,然后裂项放缩，即可得证.(1)由题意，得 2S =lnan+n n2.则 25,f=2(n-l)a_1+-l-(/j-l)2.两式相减，得(2-2,“-(2-2 Hl=2-2,n2,eN,即 an-a_x=L n 2,n GN*,.是等差数列.(2)因为。=1,由 知4 r z z =L n2,H GN*(4=1也符合此式)故数列 q 的通项公式为则北%=加-1111T%所以 I1 =1!-2!-1-3-!-FL1+一n=1 +1+=2-2n故绥7 5 o =0,此时点。的坐标为(0,0)或S,0).Q 10综上所述，符合条件的点Q的坐标有(0,0)或弓,0)或(5,0).21.在(0,1)上单调递 减,(1,收)上单调递增.(2)证明见解析【分析】(1 )对函数求导后，再构造函数,再次求导，可得/(X)在(0,内)上单调递增，再由(=0 ,可求出x)的单调区间,1 1 A(2)不妨设0 V xi 1/，转化为只需证/(%)/-0/&)0 ),得/(x)=e -l-二，x令状x)=r(x)=e -1 -二，则(X)=e*+0 ,rX所以f(X)在(0,+8)上单调递增，因为尸(l)=e-l-=0,所以当 0 v x 1 时，fx)1 时，fx)0,所以“X)在(0,1)上单调递减，。,收)上单调递增.(2)由(1)的结论，不妨设。七 1%2，x2x2 ,为1 ,z、又知一均(1，+8),x只需证 当 O1、f M f ,玉 0，1).XI 7构造函数 g(x)=/(x)=e*e+-|-ex,x e(0,1).人则Jg(，/x)、=e A-+.二e 一一e7-e厂 x-因为x e(O,l),所以e*-e 0.x2 e*-e,所以屋）/一。+8ex-e +ex-e=0 当且仅当了=1时取等号，而 x e（0,l）,所以取不到等号,所以 g(x)0,所以g（x）在（0,1）上单递增,所以g(x)(2,-1):(2)4【分析】（1）消去参数得到普通方程，画出图形，数形结合求出点8 C,。的坐标;（2）利用两点间距离公式表达出归呢+俨8+俨。2+|叫 2,利用配方法求出最小值.(1)x=2+cos。-ne变形为x-2 =cos0，平方后相加得到曲线C 的普通方程为（x 2 y+y 2=i；结合图象可求出B（2,l）,C（l,0）,D（2,-l）设尸(x,y).原式=(x-3 y +y2+(x_2)2 +(y-l)2+(x-l)3+/+(x-2)3+(y+l)2=(4x2-16x)+4y2+20=4(x-2)2-16+4y2+20=4(x-2)2+4/+4,当x=2.y=0 即P(2,0)时取等号，其最小值为4.23.(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）根据柯西不等式直接证明即可；（2）根据4 元均值不等式得亚 4产詈，再整理即可得答案.（1）证明：因为 2+b2+c=l,a,b,。为正实数a+b+&=y（a+b-c）2 /（l2+12+l2）（ez2+Z?2 4-c）=G当a=6=&=3时，取等号.3（2）证明：由平均不等式，得1=/+从+之 殳 忙 竺，当a=c=：时，取等号2 2 V 4 2所以，迪 江 4 仕 丫，整 理 得 仍 当 a=b=c=1 时，取等号.4 8 2