2022-2023学年深圳市高二下期中考试数学模拟试卷及答案解析.pdf

2022-2023学年深圳市高二下期中考试数学模拟试卷一.选 择 题（共8小题）1.（2 02 1甘肃模拟）设 S”是数列 布 的前项和,若S=2+2,则.2 0 2 1=（）A.4043 B.4042 C.4041 D.2 02 12.（2 02 1春杭州期中）某教育局安排4 名骨干教师分别到3 所农村学校支教，若每所学校至少安排1 名教师，且每名教师只能去一所学校，则不同安排方案有（）A.6 种 B.2 4 种 C.36 种 D.72 种3.（2 02 1春无棣县期中）某产品生产厂家的市场部在对5 家商场进行调研时，获得该产品的售价x （单位：元）和销售量y （单位：百个）之间的五组数据：（1,5）,（2,m）,（3,6）,（4,6）,（5,8）,根据数据可得回归直线方程为y=0.8 i+4,则?的值为（）A.5 B.6 C.7 D.84.（2 02 1 泰安二模）已知随机变量;N （因。2）,有下列四个命题:甲：P（J V a -1）P 熊+2）乙:P a）=0.5丙：P（J W a）=0.5T：P P（a+l ”的通项公式.1 8.(2 0 2 1 昆明一模)已知函数/(x)e+x2-x.(1)求曲线y=/(x)在 点(0,/(0)处的切线方程；(2)证明：对任意x C R,都有/(x)2 1.1 9.(2 0 2 1 春泗水县期中)在今年年初抗击新冠肺炎疫情的战役中，我省积极组织选派精干医疗工作者支援湖北省.某医院有内科医生1 0 名，外科医生4名，现选派4名参加援助医疗队，其中：(1)某内科医生甲与某外科医生乙必须参加，共有多少种不同选法？(2)队中至少有一名内科医生和一名外科医生，有几种选法？第3页 共2 4页2 0.（2 0 2 1 春滨州期中）2 0 2 0 年初，新型冠状病毒（2 0 1 9-n C o K）肆虐，全民开启防疫防控.新型冠状病毒的传染主要是人与人之间进行传播，感染人群年龄大多数是4 0 岁以上人群.该病毒进入人体后有潜伏期，潜伏期是指病原体侵入人体至最早出现临床症状的这段时间.潜伏期越长，感染到他人的可能性越高，现对2 0 0 个病例的潜伏期（单位：天）进行调查，统计发现潜伏期平均数为7.1,方差为2.2 5 2.如果认为超过8天的潜伏期属于“长潜伏期”，按照年龄统计样本，得到下面的列联表：年龄/人数长期潜伏非长期潜伏4 0 岁以上3 01 1 04 0 岁及4 0 岁以下2 04 0（1）根据小概率值a=0.0 5 的独立性检验，分 析“长期潜伏”与年龄是否有关；（2）假设潜伏期X服从正态分布N （山。2）,其中u 近 似 为 样 本 平 均 数。2 近似为样本方差$2.（/）现在我国对入境旅客一律要求隔离1 4 天，请用概率的知识解释其合理性；Ui）以题目中的样本频率估计概率，设 1 0 0 0 个病例中恰有衣*6 N*）个 属 于“长期潜伏”的概率是g （k）,当 k 为何值时，g *）取得最大值.(a+b)(c+d)(a+c)(a+d)P（#刈）0.10.0 50.0 1 0 xo2.7 0 63.8 4 16.6 3 5若 W N（u，。2）,则尸-。n+o ）=0.6 8 2 6,P（口-2。f u+2。）=0.9 5 4 4,P（U -3。?0),x G (0 1 1).(1)讨论函数/(x)的单调性；(2)若/(x)对V x e (0,1)恒成立，求实数a的取值范围.第5页 共2 4页2022-2023学年深圳市高二下期中考试数学模拟试卷参考答案与试题解析一.选 择 题（共8小题）1.（2 0 2 1 甘肃模拟）设 S”是数列“”的前项和，若 4=2+2,则 0 2 0 2 1=（）A.4 0 4 3 B.4 0 4 2 C.4 0 4 1 D.2 0 2 1【考点】数列的函数特性；数列递推式.【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；等差数列与等比数列；数学运算.【分析】根据题意，有。2 0 2 1 =$2 0 2 1 -$2 0 2 0，计算可得答案.【解答】解：根据题意,数列 劭 中&=#+2,则。2 0 2 1 =S 2 O 2 1-S 2 0 2 0=（2 0 2 1 2+2 X2 0 2 1）-（2 0 2 02+2 X2 0 2 0）=4 0 4 3,故选：A.【点评】本题考查数列的前项和与通项的关系，涉及数列的表示方法，属于基础题.2.（2 0 2 1 春杭州期中）某教育局安排4名骨干教师分别到3 所农村学校支教，若每所学校至少安排1 名教师，且每名教师只能去一所学校，则不同安排方案有（）A.6 种 B.2 4 种 C.36 种 D.7 2 种【考点】排列、组合及简单计数问题.【专题】计算题；方程思想；转化思想；排列组合；数学运算.【分析】根据题意，分 2步进行分析：在 4位教师中任选2个，安排到其中1 所农村学校，将剩下的2 位教师安排到其他两个农村学校，由分步计数原理计算可得答案.【解答】解：根据题意，分 2步进行分析：在 4位教师中任选2个，安排到其中1 所农村学校，有 C 4 2 c 31 =1 8 种安排方法，将剩下的2 位教师安排到其他两个农村学校，有A22=2种安排方法，则 有 1 8 X 2=3 6 种安排方案；故选：C.【点评】本题考查排列组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题.3.（2 0 2 1 春无棣县期中）某产品生产厂家的市场部在对5 家商场进行调研时，获得该产品的售价x （单位：元）和销售量y （单位：百个）之间的五组数据：（1,5）,（2,加），（3,第6页 共2 4页6),(4,6),(5,8),根据数据可得回归直线方程为y=0.8 i+4,则机的值为()A.5 B.6 C.7 D.8【考点】线性回归方程.【专题】方程思想；数学模型法；概率与统计；数学运算.【分析】由己知求得样本点的中心的坐标，代入线性回归方程得答案.3比、唬-1+2 +3+4+5 o-5 +m +6+6 +8 2 5+m 解答 解：X-=3，y =-=-,5 5 5则样本点的中心的坐标为(3,),52 5 +m代入y=0.8 i+4，得-=0.8 X 3+4,解得加=7.故选：C.【点评】本题考查线性回归方程的求法，明确线性规划方程恒过样本点的中心是关键，是基础题.4.(2021泰安二模)已知随机变量W N(H，。2),有下列四个命题:甲：P-1)P 熊a+2)乙：P(a)=0.5丙：P(JWa)=0.5T：P(aV：a+l)P(a+la+2)如果只有一个假命题，则该命题为()A.甲 B.乙 C.丙 D.丁【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义.【专题】对应思想：分析法；概率与统计；数据分析.【分析】由已知结合选项可得乙、丙必为真命题，求得u=“，则1 N(a,。2),再由正态分布曲线的对称性分析甲与丁即可.【解答】解：.只有一个是假命题，乙、丙必为真命题(乙与丙共真假)，|i=a,贝岐N(a,o 2),由正态分布曲线的对称性可得，P(P(a+2),P(a F P(a+l F 0,21 2函数/(x)=4加X-1-+3在在口，。+1 上单调递增，24：.f(x)=-x+3 0,可得/-3 x-4 0解得：“(0 3b+i 4故选：A.【点评】本题重点考查导数知识的运用，考查函数的单调性，二次不等式的解法，是一个综合题，解题时确定函数的单调性是关键.8.(20 20秋宝鸡期末)若函数/(x)=e 3 x-a-F-a存在零点，则实数a的取值范围为()A.-2,+8)B.-e,+8)C.-e2,+)D.-1,+)【考点】利用导数研究函数的最值；函数零点的判定定理.【专题】计算题；转化思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算.【分析】根据题意，求出函数的导数，分析/(x)单调性，可得/(x)(0)=-。-1,由函数零点的定义可得-a-1 W 0,解可得答案.【解答】解：根据题意，函数/(x)=0-e Z j/-a,第9页 共2 4页其导数，（x）=3e3x-2eZj，=，（30入-2炉-1）=，（，-1）（3/+1）,若/（x）=0,即 y-1=0,则有 x=0,在 区 间(-8,0)上，(x)0,/(x)为增函数，则 f(X)min f (0)-a-X f+8 时，f (%)+o,若函数/(x)=e 3 x-a-/-“存在零点，必有-a-1W 0,则 a 2-l,即 a 的取值范围为-1,+8),故选：D.【点评】本题考查利用导数分析函数的单调性、最值，涉及函数零点的判断，属于基础题.二.多 选 题(共 4 小题)(多 选)9.(2021春 荷泽期中)在(2 x-!)4的展开式中有理项为()4,1A.16x4 B.8x2 c.24x D.-2X【考点】二项式定理.【专题】转化思想；综合法；二项式定理；数学运算.【分析】先求出展开式的通项公式，然后根据有理项的特征令x 的指数为整数，求出对应的，的值，代入通项公式即可求解.【解 答】解：二 项 式 的 展 开 式 的 通 项 公 式 为 T.,=Cr(2 x)4-r(L)=X3r44 2 7(1)rx 2 13r因为厂=0,1,2,3,4,又 4-G Z，所以，,=()，2,4,2当厂=0 时，7 =24 I，=1 6 1,，故/正 确，当厂=2 时，7=C；，2-I 宏=2 4 x,故 C 正确，当厂=4 时，7$=2(I)1-=一，故。正确，3 4 2X-第 1 0 页 共 2 4 页故选：ACD.【点评】本题考查了二项式定理的应用，涉及到展开式的有理项求解问题，考查了学生的运算能力，属于基础题.(多 选)10.(2019秋济宁期末)已知函数/(x)的定义域为R 且导函数为了(X),如图是函数(x)的图象，则下列说法正确的是()A.函数/(X)的增区间是(-2,0),(2,+8)B.函数f (x)的增区间是(-8,-2),(2,+8)C.x=-2 是函数的极小值点D.x=2 是函数的极小值点【考点】导数及其几何意义.【专题】计算题；数形结合；函数的性质及应用；导数的概念及应用；数学建模.【分析】根据题意，由 函 数 夕=步(x)的图象分析导函数的符号，进而可得/(x)的单调区间以及单调性，据此分析可得答案.【解答】解：根据题意，由函数、=叶(%)的图象可知：当x V-2 时，(%)0,此时/(x)为增函数，当-2 x0,f (x)0,此时/(x)为减函数，当 0工 2 时;x f(x)0,f (x)2 时，x f(x)0,f (x)0,此时/(x)为增函数：据此分析选项：函数f(x)的增区间是(-8,-2),(2,+8),则 8 正确，/错误；x=-2 是函数的极大值点，x=2 是函数的极小值点，则。正确，C 错误；故选：BD.【点评】本题考查函数的单调性与导数的关系，涉及函数的图象分析，属于基础题.(多选)11.(2021春滨州期中)下列叙述正确的是()A.相关关系是一种确定性关系，一般可分为正相关和负相关第1 1页 共2 4页B.回归直线一定过样本点的中心还，）C.在回归分析中，R 2为0.9 8的模型比及2为0.8 0的模型拟合的效果好D.某同学研究卖出的热饮杯数y与气温x（）的关系，得到回归方程y=-2.3 5 X+1 4 6.7,则气温为2 C时，一定可卖出1 4 2杯热饮【考点】命题的真假判断与应用.【专题】常规题型；转化思想；逻辑推理.【分析】利用回归直线中的相关关系，样本中心点，曲线拟合的知识.【解答】解：相关关系是一种不确定的关系，分为正相关和负相关；所有的回归直线一定过样本中心点；相关指数越大，曲线拟合的越好，越能反映真实情况；回归直线只是接近于事实，能大致反映真实情况，。答案叙述的太绝对，故。错误故选：B C.【点评】本题考查了回归直线中的相关关系，样本中心点.（多选）1 2.（2 02 1春薛城区期中）有3台车床加工同一型号的零件.第1台加工的次品率为6%,第2,3台加工的次品率均为5%,加工出来的零件混放在一起.已知第1,2,3台车床的零件数分别占总数的2 5%,3 0%,4 5%,则下列选项正确的有（）A.任取一个零件是第1台生产出来的次品概率为0.0 6B.任取一个零件是次品的概率为0.0 5 2 5C.如果取到的零件是次品，且是第2台车床加工的概率为总73D.如果取到的零件是次品，且是第3台车床加工的概率为7【考点】概率及其性质.【专题】计算题；对应思想；综合法；概率与统计；数据分析.【分析】记事件4车床加工的零件为次品，记事件为：第7 台车床加工的零件，则产（J|5 i）=6%,P（/|历）=P（/曲）=5%,P（5|）=2 5%,P（历）=3 0%,P（生）=4 5%,再依次求选项中的概率即可.【解答】解：记事件4车床加工的零件为次品，记事件无：第i台车床加工的零件，则/（/4|5 i）=6%,P（4|历）=P（小氏）=5%,第1 2页 共2 4页P(B i)=2 5%,P(历)=3 0%,P(8 3)=4 5%,对于选项/，任取一个零件是第1台生产出来的次品概率为P(AB i)=6%X 2 5%=1.5%,故错误;对于选项8,任取一个零件是次品的概率为P(4)=P C AB O+P(/历)+P(AB 3)=6%X 2 5%+5%X 7 5%=5.2 5%,故正确；对于选项C，如果取到的零件是次品，且是第2台车床加工的概率为P(A与)P(AB2)P(B2)5%X 3 0%2 卅P(历|/)=-=-=-=一,故错陕；P(A)P(A)5.2 5%7对于选项。，如果取到的零件是次品，且是第3台车床加工的概率为P(A B3)P(BZ)5%X 4 5%3%下 福P(8 3 M)=-=-=-=，故正确：P(A)P(A)5.2 5%7故选：B D.【点评】本题考查了条件概率的应用，难点在于确定所求的概率，是中档题.三.填 空 题(共4小题)13.(2 0 2 0秋建邺区校级期末)已知数列 J满足如+1 =3斯+4,0=1,则5=2 4 1【考点】数列递推式.【专题】方程思想；定义法；等差数列与等比数列；数学运算.【分析】利用数列的递推公式，结合递推思想，依次求出数列的前5项，即可.【解答】解：.数列 斯 满足为+1=3板+4,ai=l,.4 2=3 X 1+4=7,4 3=3 X 7+4=2 5,4 4=3 X 2 5+4=7 9,5=3 X 7 9+4=2 4 1.故答案为：2 4 1.【点评】本题考查数列的递推公式、递推思想的应用，考查推理论证能力、运算求解能力等核心素养，是基础题.14.(2 0 2 1 春滨州期中)已知仁=4 0+。1 (x+1)+0 2 (x+1)2+-+an(x+1)(n G N*)对任意x 6 R恒成立，则ao=_为 偶 数)_.若 4+。5=0，则 =9.I 1(n为奇数)第1 3页 共2 4页即ao=【考点】二项式定理.【专题】计算题：换元法；二项式定理；数学运算.【分析】先由赋值法求再利用二项式定理及展开式的通项公式求即可得解.【解答】解：因 为/=o+m (x+1)+。2 (x+l)2+斯(x 4-l)n(MGN*),令 x=-1,则。0=(-1)，1(n 为偶数)1(n 为奇数)因为。4+。5 =0，由/=(x+1)-1 展开式的通项为 7 k i=(-1)(x+1)得：n(-1)4 c l+(_)“=0,n nB P c4=c3-n n解得=9,故 n=9.【点评】本题考查了二项式定理及展开式的通项公式，属中档题.15.(2 0 2 1春无棣县期中)现有5种不同颜色要对如图所示的四个部分进行着色，要求有公共边界的两块不能用同一种颜色，则不同的着色方法种数为 1 8 0 .【考点】计数原理的应用；排列、组合及简单计数问题.【专题】计算题；对应思想；综合法；排列组合；数学运算.【分析】按/、B、C、。顺序着色，利用分步乘法计数原理求解.【解答】解：按 4、B、C、。顺序着色，A区块有5 种着色方案，8区块有4 种着色方案，C 区块有3种着色方案，第1 4页 共2 4页。区块有3种着色方案，故不同的着色方法种数为5X 4X 3 X 3=1 8 0,故答案为：1 8 0.【点评】本题考查了分步乘法计数原理的应用，是基础题.1 6.（2 0 2 1 开福区校级模拟）曲线夕=。-/在 点（1,a）处的切线与曲线夕=-/相切，则 a-2 .【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程.【专题】方程思想；综合法；导数的概念及应用；数学运算.【分析】利 用 导 数 求 得 曲 线 在 点（1,a）处的切线方程，再设所求曲线与曲线相切于点面，_ex,由斜率相等求得切点坐标，把切点坐标代入切线方程即可得到a值.【解答】解：对、=。-/力求导，得;/=一-X y|x=i -1 则曲线y=a 7 x 在 点（1,a）处的切线方程为y-a=-（x -1）,即y=-x+a+l.设 =-x+a+1 与 =-/相切于点（力，一e 对y=-ex求导，得 y=-由 _e“=_ l，得M）=O,即切点为（0,-1）.又切点在切线y=-x+a+1 上，.a+l =-1,即 a=-2.故答案为：-2.【点评】本题考查利用导数研究过某点处的切线方程，熟记基本初等函数的导函数是关键，考查运算求解能力，是中档题.四.解 答 题（共 6小题）1 7.（2 0 2 0 秋海原县校级期末）已知等差数列 斯 满足0+。2=-1 2,。4-。3=6.（1）求 斯 的通项公式及前项和S”；（2）设等比数列 仇 满足历=&3,b3=ai,求数列 与 的通项公式.【考点】等差数列的前n项和.【专题】转化思想；定义法；等差数列与等比数列；数学运算.第1 5页 共2 4页【分析】(1)利用等差数列的通项公式将已知等式用首项和公差表示，求出首项和公式,即可得到数列的通项公式和前项和：(2)利用等差数列“”的通项公式结合已知条件求出加和为，即可求出公比夕，利用等比数列的通项公式求解即可.【解答】解：(1)设等差数列 斯 的公差为，f a，+a,=2 a1+d=1 2则有 ,解得a i=-9,d=6,i a4-a3=d=6所以 an=-9+(-1)X 6=6 -1 5,snn(-9 +6 n-l5)=3n22-1 2 n：(2)因为方2=。3，bi=ai,所 以 历=3,的=2 7,又 加 为等比数列,b,2 7所以公比4=二=9，bn 3所以 b=3X9n-2=32n-3-n【点评】本题考查了等差数列和等比数列的基本运算，涉及了等差数列通项公式和前项和公式、等比数列的通项公式，解题的关键是转化成基本量进行求解，属于基础题.1 8.(2 0 2 1昆明一模)已知函数/(x)=/+f-x.(1)求曲线夕=f (x)在 点(0,/(0)处的切线方程；(2)证明：对任意x e R,都有f(x)【考点】利用导数研究函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程.【专题】计算题：函数思想；导数的综合应用；数学运算.【分析】(1)根据函数导数的几何意义，即可求得函数在点(0,/(0)处的切线方程；(2)法一：根据题意，只需证明函数/(x)在R上的最小值为1,即可.法二：只需证明/-X -10即可.【解答】(1)解：根据题意可得，f(x)=+2 x-1,根据函数导数的几何意义即得，曲线夕=/(x)在 点(0,/(0)处的切线方程即为y-/(0)=f(0)(x-0)第 1 6 页 共 2 4 页V/(0)=1,f (0)=0,.函数y=/(x)在 点(0,1)处的切线方程即为：y-l=0=y=l.(2)证明：法一：由(1)得，/(x)=/+2 x-1,=F+2 0,即得/(x)在 R 上单调递增，又因为/(0)=0,所以当x 0 时，/(x)/(0)=0,此时函数/(x)单调递增；当x 0 时，/(x)f (0)=0,此时函数/(x)单调递减；综上可得，函数/(x)在(-8,0)上单调递减；在(0,+8)上单调递增.即得了(X)min f(0)1,所以对任意的X 6 R,都有/(x)21.法二：令 g(x)=/-x-1,g(x)=ev-1,易知g(x)在(-8,o)上递减，在(0,+8)上递增，g(x)2g(0)=0,又 fN O,所以/-x-l+x220.【点评】本题考查函数导数几何意义的使用，以及导数法求解函数单调性，属于基础题.19.(2021春泗水县期中)在今年年初抗击新冠肺炎疫情的战役中，我省积极组织选派精干医疗工作者支援湖北省.某医院有内科医生10名，外科医生4 名，现选派4 名参加援助医疗队，其中：(1)某内科医生甲与某外科医生乙必须参加，共有多少种不同选法？(2)队中至少有一名内科医生和一名外科医生，有几种选法？【考点】排列、组合及简单计数问题.【专题】整体思想；定义法；排列组合；数学运算.【分析】(1)利用组合公式直接进行计算即可.(2)利用排除法进行计算即可.【解答】解：(1)只需从其他12人中选2 人即可，共 有 c?=6 6 种；(2)由总数中减去四名都是内科医生和四名都是外科医生的选法种数，得-v 1 4(r4-l-C4)=790 种.J o 丁 J【点评】本题主要考查组合的简单应用，根据条件利用直接法和排除法是解决本题的关键，是基础题.第1 7页 共2 4页2 0.（2 0 2 1 春滨州期中）2 0 2 0 年初，新型冠状病毒（2 0 1 9-n C o K）肆虐，全民开启防疫防控.新型冠状病毒的传染主要是人与人之间进行传播，感染人群年龄大多数是4 0 岁以上人群.该病毒进入人体后有潜伏期，潜伏期是指病原体侵入人体至最早出现临床症状的这段时间.潜伏期越长，感染到他人的可能性越高，现对2 0 0 个病例的潜伏期（单位：天）进行调查，统计发现潜伏期平均数为7.1,方差为2.2 5 2.如果认为超过8天的潜伏期属于“长潜伏期”，按照年龄统计样本，得到下面的列联表：年龄/人数长期潜伏非长期潜伏4 0 岁以上3 01 1 04 0 岁及4 0 岁以下2 04 0（1）根据小概率值a=0.0 5 的独立性检验，分 析“长期潜伏”与年龄是否有关；（2）假设潜伏期X 服从正态分布N （山。2）,其中u 近 似 为 样 本 平 均 数。2 近似为样本方差$2.（/）现在我国对入境旅客一律要求隔离1 4 天，请用概率的知识解释其合理性；Ui）以题目中的样本频率估计概率，设 1 0 0 0 个病例中恰有衣*6 N*）个 属 于“长期潜伏”的概率是g（k）,当 k 为何值时，g*）取得最大值.(a+b)(c+d)(a+c)(a+d)P（#刈）0.10.0 50.0 1 0 xo2.7 0 63.8 4 16.6 3 5若W N（“，。2）,则尸（|1 -。n+o ）=0.6 8 2 6,P（口-2。f（u+2。）=0.9 5 4 4,P（口 -3 o?g(k-l)融 山，B n，用串出K iU a)g(fc+i)g(k)=ck,(-!-)k-)1 0 0 0-k,若 g(“)最大，则,1 0 0 4 4可求解.9,际由、曲/、，2 2 0 0 X(3 0 X4 0-1 1 0 X 2 0)-【解答】解：(1)X =-七 3.1 7 5 g(k-l)g(k)g(k+l),M,3 1000-it、故C 0 0 c 1k-1,1%t 1,3 1001 2.(丁且/1#,3 l o o o c,k+1小looo 444k+l,3 9 9 9-,()4“a 9 9 7 ,1 0 0 1解得 k -4 4X eN*,.次=2 5 0,故当=2 5 0 时;g(k)取得最大值.【点评】本题主要考查独立性检验公式，以及正态分布的对称性，以及二项分布的概率公式，需要学生较强的综合能力，属于中档题.2 1.(2 0 2 1 春无棣县期中)为加强进口冷链食品监管，进一步确定某批进口冷冻食品是否感染病毒，在入关检疫时需要对其采样进行化验，若结果呈阳性，则有该病毒；若结果第1 9页 共2 4页呈阴性，则没有该病毒，对于，（N*）份样本，有以下两种检验方式：一是逐份检验,则需检验次：二是混合检验，将份样本分别取样混合在一起，若检验结果为阴性，那么这份全为阴性，因而检验一次就够了；如果检验结果为阳性，为了明确这人份究竟哪些为阳性，就需要对它们再次取样逐份检验，则 4 份检验的次数共为4+1 次，若每份样本没有该病毒的概率为L，而且样本之间是否有该病毒是相互独立的.3（1）求 2 份样本混合的结果为阳性的概率；（2）若取得4份样本，考虑以下两种检验方案；方案一：采用混合检验；方案二：平均分成两组，每组2份样本采用混合检验.若检验次数的期望值越小，则方案越“优”.试问方案一、二哪个更“优”？请说明理由.【考点】离散型随机变量的期望与方差.【专题】转化思想；综合法；概率与统计；逻辑推理；数学运算.【分析】（1）利用相互独立事件概率乘法公式能求出该混合样本阴性的概率，根据对立事件可得阳性的概率.（2）方案一：混在一起检验，方案一的检验次数记为X,则 X 的可能取值为1,5,分别求出相应的概率，能求出X 的分布列和E （X）.方案二：由题意分析得每组2份样本混合检验时，若阴性则检验次数为1,概 率 为（）2=工，若阳性，则检测次数为3,概3 91 O率 为 1方案二的检验次数记为匕 则 丫的可能取值为2,4,6,分别求出相9 9应的概率，能求出y的分布列和E（丫），由此推导出方案一更优.【解答】解：（1）该混合样本阴性的概率是（）2=_ 1,3 9根据对立事件可得阳性的概率为：1 -9 9（2）方案一：混在一起检验，方案一的检验次数记为X,则X 的可能取值为1,5,P（X=l）=（）4 =J_,3 81第2 0页 共2 4页P(X=5)1 8 0=1 -=,8 1 8 1的分布列为:X15P18 18 08 1：.E(X)=1 X+5 X8 0 4 0 18 1 8 1 8 1方案二：由题意分析得每组2份样本混合检验时,若阴性则检验次数为1,概 率 为(-)2 =-1,3 91 O若阳性，则检测次数为3,概率为9 9方案二的检验次数记为匕则丫的可能取值为2,4,6,p(丫=2)=，8 1/、M 1 8 1 6p(y=4)=c -=2 9 9 8 18、,6 4p(y=6)=()2=,9 8 1二丫的分布列为:Y246P18 11 68 16 48 1：.E(X)=2 X-L+4XJ +6 X丝=4 5 0 5 08 1 8 1 8 1 8 1 9E(D-E(X)5 04 0 18 14 98 1:.E(X)0),xE(0,1).(1)讨论函数/(x)的单调性；(2)若/(x)/内 对(0,1)恒成立，求实数a的取值范围.【考点】利用导数研究函数的单调性：利用导数研究函数的最值.【专题】计算题；函数思想；综合法；导数的综合应用；数学运算.【分析】(1)先求出函数/(x)的导数，再利用导函数的正负对。的值分情况讨论，即可得到函数/(x)的单调性；In(ae)I nx(2)由/(x)对(0,1)恒成立可得-对任意在(0,ae x x 1 rlI n x1)恒成立，设(x)=,利用导数得到函数(X)在(0,1)上单调递增，所X以H(x)0,再 分 情 况 讨 论 得 到 对 任 意x W (0,1)恒成立，即-对任意Xexe(0,1)恒成立，设G (x),利用导数得到G (x)在(0,1)单调递增，所Xe以G (x)G (1)=a,即的取值范围为-L,+8).e e【解答】解：(1)因为函数/(x)x1+xlna,X&(0,1),所以/(x)=/”a+2 x,x e (0,1),若 aWe 2,即/-2,当x e (0,1)时，/(x)0,函数/(x)单调递增；1 n Q若 e-2 al 时，B P -2/n a 0,0 -1,2当 0 x 0 函数f(x)单调递减；当-a Vx 0,函数/(x)单调递增；综上所述，当aW e?时，函数/(x)在 正(0,1)单调递减：当时，函数次x)在x(0,-单调递减,函数人x)在-色 巴，1 2 2单调递增；当时，函数/(x)在 灰(0,1)单调递增.(2)因为 aelnx+xlna,所以 Z L 3对任意x w(o,1)恒成立，xMae xInx 1-ln x设，(x)=-，则”(x)=-,2宏X所以，当/(0,1)时，H(x)0,函数(x)单调递增，当比(0,1)时，H(x)H(X),若因为(ae D H(x),且(x)在(0,1)上单调递增，所以aexx,综上可知，aex x对任意x E(0,1)恒成立，即。二 匚 对 任 意 在(0,1)恒成立.Xe定1 1设 G (x)=-,xE(0,1),则 G (x)=-0,X Xe e所以G (x)在(0,1)单调递增，所以 G(x)G (1)e即。的取值范围为-L，+8).e【点评】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和最值，是中档题.第2 3页 共2 4页第2 4页 共2 4页