2022年高考数学复习思维导图（人教A版2019）（必修第一册）第3章+函数的概念与性质.pdf
第3草 函数的概念与性质概念三要素一般地，设A,B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x,按照某种确定的对应关系f,在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f:ATB为从集合A到集合B的一个函数分段函数对 应 关 系0 y=x）,xWA定 义 域 自 变 量（x）的 取 赢 围与x的值相对应的y的值的集合f（x）|xCA值 域“-1 因变量的取值范围三 性 任 意 性、存在性、唯一性-设。，。号R,且 规 定 如 下:定义名称符号数轴表示a，+工）u,闭区间b-.1=1,-.a b（也叫(a,+，).xaxb开区间(明)I_ _ _ I _.a b（一工，1闺必9）半开半闭区间）I-1 一(8,A)1.a bWaxd)半开半闭区间（。，b1 1R(-8,+a b8)（1）定 义 域相同（不能化简解析式）（2）对应关系相同（解析式化简）作出列斯图像法任取一条垂直于X轴的直线I ;在定义域内平行移动直线I 若I与图形有且只有一个交点，则是函数；若在定义域内没有交点或有两个或两个以上的交点，则不是函数.基本标准 使各函数表达式有意义函数概念及表示方法解题思路定义域解析式函数求值一般准则分式的分母不为o偶次根式的被开方数非负易错点 y=x要求x#=0不对解析式化简变形，以免定义域变化一个函数由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使得各式子都有意义的公共部分的集合换元法：设t=g(x),解出X,代入f(g(x),求f(t)的解析式即可配凑法：对f(g(x)的解析式进行配凑变形，使它能用g(x)表示出来，再用X代 替 两 边 所 有 的“g(x)”即可待定系数法：若已知f(x)的解析式的类型，设出它的一般形式，根据特殊值确定相关的系数即可方程组法(或消元法)：当同一个对应关系中的两个之间有互为相反数或互为倒数关系时，可构造方程组求解已知f(x)的表达式时，只需用a替换表达式中的x即得f(a)的值 求f(g(a)的值应遵循由里往外的原则区间表示数集区间左端点值小于右端点值 区 间 两端点之间用“，”隔开含端点值的一端用中括号，不含端点值的一端用小括号 以“一 8,“+8”为区间的一端时，这端必须用小括号作图学过的函数，则描出图象上的几个关键点，直接画出图象即可,有些可能需要根据定义域进行取舍不是所学过的函数之一，则要按：列表；描点；连线三个基本步骤作出y=x)的图象.2/8最大值最小值前提条件设 函 数FG）的定义域为/,区 间 区/条件V*”xWD,x 5都 有，），（）都有图示y血)!fM：!1NL 河叫0|X|耳 XOX|x2 x结论。（必在区间上单调递增a a在区间。上单调递城特殊情况当函数FG）在它的定义城上单调递增时，就称它是增函数当函数，（分在它的定义城上单谓递减,时，就称它是戒函数函数在定义域上不都具有单调性，例加函数尸之X如 果 函 数y=f（X）在 区 间D上单调递增或单调递减，那 么 就 说 函 数y=f（x）在 这 一 区 间 具 有（严定 义 G 格 的）单 调 性，区间D叫做y=f（x）的单调区间单 调 性 是 整 个 区 间 上 的 性 质，单独一点不存在单调性问题,单 调 区 间 的 端 点 若 属 于 定 义 域，则 该 点 处 区 间 可 开 可 闭，注意 若 区 间 端 点 不 属 于 定 义 域 则 只 能 开事 项”-a单 调 区 间D区 定 义 域 最大值最小值条件一般地，设 函 数HA）的定义域为/,如果存在实数“满足：V x e/,都有/LOW”一般地，设函数的定义战为/,如果存在实数“满足：Vx/,都有 HA）XBje/,使得 f(G=M结论称 是 函 数h的最大值称”是 函 数 万 外0的最小值几何意义/（a图象上最高点的纵坐标FG）图象上最低点的纵坐标3/8用定义证明函数单调性的步骤:取值，设三小e D,且不 七与最值解题单调性的方法单调性求参数范围差，求/（怎）-/。2）变形，（合并同类项、通分、分解因式、配方等）向有利于判断差值符号的方向变形定 定号，判断/（xj-/（xj的正负符号，当符号不确定时应分类讨论法 下结论，根据函数单调性的定义下结论 0-性质法一次函数反比例函数一元二次函数对勾函数-O-0-0-分 离 常 数 法 分子分母为同类型函数-.-图 像 法 含 有绝对值的解析式-0-由函数解析式求参数若 为 二 次 函 数 判 断 开 口 方 向 与 对 称 轴 利 用 单 调 性 确 定 参 数 满 足 的 条 件若 为 一 次 函 数 由一次项系数的正负决定单调性若 为 复 合 函 数y=|f（x）I或y=f（|x|）数 形 结 合，探求参数 满 足 的 条 件（2）当 函 数H x）的 解 析 式 未 知 时，欲 求 解 不 等 式，可以依据函数单调性的定义和 性 质，将 符 号“产 去 掉，列 出 关 于 自 变 量 的 不 等 式（组），然 后 求 解，此时注意函数的定义域.图 象 法：作 出y=f（x）的 图 象，观 察 最 高 点 与 最 低 点，最 高（低）点值常方最的用法的 纵 坐 标 即 为 函 数 的 最 大（小）值函数的单调性分 段 函 数 的 最 大（小）值 是 指 各 段 上 的 最 大（小）值 中 最 大（小）的那个4/8奇偶性义定奇偶性的判断O奇偶性定义图象特点偶函数设函数X)的定义域为3如果都有一xej,且/(x)=/(x),那么函数是偶函数关于F轴对称奇函数设函数x)的定义域为I,如果都有一xl,且八一x)=-7lx),那么函数人2是奇函数关于原点对称若函数定义域不关于原点对称，则函数为非奇非偶函数；若函数定义域关于原点对称，则应进一步判断一X)是否等定义法 于f(x),或判断一 x)x)是否等于0,从而确定奇偶性-若函数图象关于原点对称，则函数为奇函数；囱务上 若函数图象关于y轴对称，则函数为偶函数.图豕法C-1)-奇偶性求值若解析式含参数，则根据f(-X)=-f(X)或f(-X)=f(X)列式，比较系数利用待定系数法求解；求参 若定义域含参数，则根据定义域关于原点对称，利用区间的端点和数值O 为0求参数求函 利用f(-x)=-f(x)或f(x)=f(x)求解，有时需要构造奇函数或X数值一偶函数以便于求值.-用奇偶性求解析式“求谁设谁”，即在哪个区间上求解析式，X就应在哪个区间上设.要利用已知区间的解析式进行代入.利用f(X)的奇偶性写出一f(X)或f(一X),从而解出f(X).若f(x)为奇函数且在区间a,b(ab)上单调递增，则f(x)在 b,-a单调递增，即在对称区间上单调性一致(相同).若f(x)为偶函数且在区间a,b(af(X2)的形式;根据奇函数在对称区间上的单调性一致，偶函数在对称区间上的单调性相反，去掉不等式中的“f”转化为简单不等式(组)求解.提醒：列不等式(组)时不要忘掉函数定义域.5/8一般地，彩*y-x(a R)的函数称为冢函数，其中x是自变量，a是常数T (1)自变量X处 在 嘉 触 的 位 置，嘉 指 数a为 常 数(2)等 函 数 的 系 薮1单调性 a 0单 调 递 增(在 第 一 象 限a l图像靠近y轴,0 a l图像靠近、轴)；a 0lfx|x*OI值域,Rly|yOlRly|y0lIrlx*O)寺偶性专函数修函数奇房教非奇非低所效奇函数单调性在R上单洞递增在(一8,0上单调递或；在(0,+)上单词递增在R上单词递增在 0,+)上单调速增在(一8,0)和(0,+8)上单词递成公关点(1,1)寐的数y二x。前 提：定义域关于原点对称奇偶性a为奇数则奇的数；a为偶数则偶函数;a为分数a=11=n为偶数则为偶晶数;m、n均为奇数则为奇明数；m偶数n奇数则非奇非偶6/8幕函数的判断判断一个函数是否为搴函数的依据是该函数是否为y=V（a 为常数）的彩式，需满足：招数为常数底数为自变量的系数为1函图的法赛数象画确定暴函数在第一象限内的图象：先 根 据a的取值，确定赛函数y=*a在第一象限内的图象确定幕函数在其他象限内的图象：根据源函数的定义域及奇偶性确定赛函数H x）在其他象限内的图象比较幕值大小若两个幕值的指数相同或可化为两个指数相同的取值时，则可构造函数，利用薪函数的单调性比较大小若底数、指数均不同，则考虑用中间值法比较大小，这 里 的 中 间 值 可 以 是“0”或“1”7/88/8
