2022年中考数学真题分类汇编 专题13 相似三角形（学生版+解析版）.pdf

专题1 3 相似三角形选择题1.（2022黑龙江哈尔滨）如图，488.4。,3。相 交 于 点 区=1,EC=2,OE=3,则8。的长为（）3 9A.B.4 C.D.62 22.（2022广西贺州）如图，在45C中，D E/B Cf D E =2,B C =5,则S闻小山 内 的 值 是（）AABL-3 4A.B.C.25 253.（2022广西梧州）如图，以点O为位似中心,2 3-D.-5 5r）A 1作四边形ABC。的位似图形AFC。，已 知 会 二:，若四OA 3(边形ABCD的面积是2,则四边形ARC力的面 积 是（）DrCA.4 B.6 C.16 D.4.（2022 四川雅安）如图，在SABC中，D,E分别是AB和AC上的点,18O 0BC,若 胎=,，那 么 祭=)Ac-ID.325.（2022内蒙古包头）如图，在边长为1 的小正方形组成的网格中，A,B,C,。四个点均在格点上，A C与 5 0 相交于点E,连接则八45七与（?的周长比为（）B.4：1C.1：2D.2：16.（2022黑龙江绥化）如图，在矩形A3CD中，P 是边4。上的一个动点，连接BP,CP,过点8 作射线,交线段CP的延长线于点E,交边A 0于点M,且使得NABE=NCBP,如果AB=2,8C=5,A P =xf P M =y,其中2 兀,5.则下列结论中，正确的个数为（）43(1)y 与 x 的关系式为y=x-；(2)当 AP=4 时，A B P D P C；(3)当 AP=4 时，tanZEBP=.x 5A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个7.（2022湖北鄂州）如图，定 直 线20,点 8、C 分别为MN、PQ上的动点，且 BC=12,8C 在两直线间运动过程中始终有勖CQ=60。.点4 是MN上方一定点，点。是 PQ下方一定点，且AE/BC/DF,AE=4,DF=8,AD=24+,当线段BC在平移过程中，A8+CD的最小值为（)DA.24713 B.24s/15 C.12713 D.12 7158.（2022 广 西 贵港）如图，在边长为1的菱形ABC。中，ZAfiC=6 0 ,动点E在A 8边 上（与点A、B均不重合），点P在对角线AC上，CE与BF相交于点G,连接A G O F,若A F =B E，则下列结论错误的是（）A.D F =C E B.ZBGC=120 C.A F2=E G EC D.AG的 最 小 值 为 逑39.（2022贵州贵阳）如图，在 4 3 c中，D是 A 3边上的点，N B =NACD,AC:45=1:2,贝U AAOC与 AACB的周长比是（）A.1:72 B.1:2 C.1:3 D.1:410.（2022广西）已知S4BC与0A/B/G是位似图形，位似比是1：3,则财BC与 回A/B/G的面积比（）A.1：3 B.1：6 C.1：9 D.3：1An 211.（2022山东临沂）如图，在AABC中，D E/B C,=-,若AC=6,则E C=（）DB 312.（2022山东威海）由12个有公共顶点。的直角三角形拼成如图所示的图形，N A O B=N B O C=N C O D=/LO M=30.若S ZA O B=1,则图中与AOB位似的三角形的面积为（）二.填空题13.（2022贵州黔东南）如图，折叠边长为4cm的正方形纸片ABC。，折痕是D 0 ,点C落在点E处，分别延长M E、交A 8于点尸、G,若点M是BC边的中点，则F G=c m.14.（2022上海）如图，在（M B C中，0A=30。，囱B=90。，。为A B中点，E在线段AC上,爷=嚣，则 非Ap 115.（2022 北京）如图，在矩形A3CO中，A B =3,AC=5,=-,则AE的长为_ _ _ _ _ _ _FC 416.（2022江苏常州）如图，在RtZSARC中，ZC=90,AC=9,ZF=90,D F =3,EF =4.用一条始终绷直的弹性染色线连接CF,8）所 从 起 始 位 置（点。与点8重合）平移至终止位置（点E与点A重合），且斜边 始终在线段A 3上，则RtAABC的 外 那 被 染 色 的 区 域 面 积 是.17.（2022广西）数学兴趣小组通过测量旗杆的影长来求旗杆的高度，他们在某一时刻测得高为2米的标杆18.（2022广东深圳）已知AABC是直角三角形，NB=90。,AB=3,BC=5,AE=2 ,连接CE以CE为底作直角三角形COE且8=。鼠产是AE边上的一点，连接2。和8尸，3。且/尸8。=45,则 河 长为.19.（2022 广西河池）如图，把边长为1：2的矩形A8C。沿长边BC,AO的中点E,F对折，得到四边形2A B E F,点G,”分别在B E,上，且 B G=E H=三BE=2,4G与8交于点O,N为A尸的中点，连接O N,作 OM0ON 交 A8 于点 M,连接 则 ta n E L 4 M N=.20.（2022内蒙古赤峰）如图，为了测量校园内旗杆AB的高度，九年级数学应用实践小组，根据光的反射定律，利用镜子、皮尺和测角仪等工具，按以下方式进行测量：把镜子放在点。处，然后观测者沿着水平直线2。后退到点。，这时恰好能在镜子里看到旗杆顶点A,此时测得观测者观看镜子的俯角a=60。，观测者眼睛与地面距离C=1.7m,B D=llm,则旗杆AB的高度约为 m.（结果取整数，下,=1.7）21.（2022湖北鄂州）如图，在边长为6的 等 边 中，D、E分别为边BC、AC上的点，与BE相交于点P,若BO=CE=2,则S4BP的周长为.22.（2022山东潍坊）墨子,天文志记载：执规矩，以度天下之方圆.度方知圆，感悟数学之美.如图,正方形A3CD的面积为4,以它的对角线的交点为位似中心，作它的位似图形A B C D,若AQ:A8=2:1,则四边形A 8C D的 外 接 圆 的 周 长 为.。(DB?-23.（2022内蒙古包头）如图，在RhABC中，ZACfi=90,AC=BC=3,。为A 8边上一点，且8=3C,连接C D,以点。为圆心，D C的长为半径作弧,交BC于点E（异于点C）,连接D E，则B E的长为24.（2022江苏泰州）如图上，A4BC中,NC=90,4C=8,BC=6,O为内心，过点O的直线分别与AC、AB相交于。、E,若 D E=C D+B E,则线段CO的长为.25.（2022黑龙江绥化）如图，ZAO3=60。，点 在射线0 4上，且。=1,过点交4 于点E.若点A,E,。所对应的刻度值分别为5,1.5,0,*皿 的 值 为 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _.图32.（2022山东青岛）如图，在 RtZSABC 中，Z A C B =90,AB=5cm,B C =3cm,将 AABC绕点 A 按逆时针方向旋转90。得到AA D E,连接CO.点 尸 从 点 8 出发，沿 8 4 方向匀速运动，速度为lcm/s；同时，点。从点 4 出发，沿 AD方向匀速运动，速度为lcm/s.PQ交AC于点F,连接CP,E Q .设运动时间为r（s）（O r ,E 分别在边AC,AB的延长线上，请添加一个条件（不再添加新的字母），使得B D=C E,并证明.探究：用数学的语言表达如图3,在AA3C中，AB=AC=2,0A=36。，E为边AB上任意一点（不与点A,B重合），F为边AC延长线上一点.判断BF与CE能否相等.若能，求CF的取值范围；若不能，说明理由.35.（2022山东烟台）（1）【问题呈现】如图1,0ABe和0AOE都是等边三角形，连接BO,C E.求证：BD=CE.（2）【类比探究】如图2,M 8 C和S4OE都是等腰直角三角形，0AfiC=fM DE=9O.连接8。，C E.请直接写 出 丝 的 值.【拓展提升】如图3,S4 8 c和财。E都是直角三角形，姐BC=M OE=90。，且 丝=空CEBC D E=1.连接B,C E.求 箸 的 值；延 长CE交 于 点 色 交A 8于点G.求s i n*的值.36.（2022黑龙江绥化）我们可以通过面积运算的方法，得到等腰三角形底边上的任意一点到两腰的距离之和与一腰上的高之间的数量关系，并利用这个关系解决相关问题.（1）如图一，在等腰AASC中，AB=AC,BC边上有一点。，过点。作DE_L AB于E,。尸，AC于F,过点C作CG_L43于G.利用面积证明：QE+F=C G.如图二 将矩形A3CO沿 着 所 折 叠，使点A与点C重合，点8落 在 处，点G为折痕所上一点，过点G作GM_LFC于M,G N 1.B C 于 N.若 BC=8,BE=3,求GM+GN的长.如图三，在 四 边 形 中，E为线段BC上的一点，E A V A B,E D A.C D,连接BO,AB A.E且K=BC=而,C D =3,B D =6,求EO+E4的长37.（2022黑龙江齐齐哈尔）综合与实践数学是以数量关系和空间形式为主要研究对象的科学.数学实践活动有利于我们在图形运动变化的过程中去发现其中的位置关系和数量关系，让我们在学习与探索中发现数学的美，体会数学实践活动带给我们的乐 趣.如 图 ，在矩形A8CO中，点E、F、G分别为边8C、AB,A。的中点，连接E尺DF,H为。尸的中点，连接G H.将 回BEF绕点8旋转，线段。尸、GH和CE的位置和长度也随之变化.当回8E尸绕点B顺时针旋转90。时，请解决下列问题：A（1）图中，A B=B C,此时点E 落在A 8的延长线上，点 F 落在线段BC上，连接A F,猜想GH与 CE之间的数量关系，并证明你的猜想；（2）图中，AB=2,B C=3,则 不 7=_；当AB=7,BC=CE时.=_ _ _ _ _ _ _ _ _.在（2）的条件下，连接图中矩形的对角线A C,并沿对角线AC剪开，得财BCCE（如图）.点 M、N 分别在AC、B C E 连接M N,将 回CMN沿 MN翻折，使点C 的对应点P 落在AB的延长线上，若 平 分 0A PN,则 CM长为38.（2022湖南郴州）如图1,在矩形ABC。中，AB=4,BC=6.点 E 是 线 段 上 的 动 点（点 E 不与点A,。重合），连接C E,过点E 作 E F L C E,交 AB于点F.求证：AAEFS ADC E；如图2,连接C F,过点B 作 5 G J_ C F,垂足为G,连接A G.点 M 是线段BC的中点，连接G M.求 AG+GM 的最小值；当 AG+GM取最小值时，求线段OE的长.39.（2022山东潍坊）【情境再现】甲、乙两个含45。角的直角三角尺如图放置，甲的直角顶点放在乙斜边上的高的垂足。处，将甲绕点。顺时针旋转一个锐角到图位置.小莹用作图软件Geogebra按图作出示意图，并连接AG,B，如图所示，A B 交H（）于 E,A C 交O G 于 F,通过证明O3E丝，可得OE=OF.图3图【迁移应用】延长G4分 别 交 所 在 直 线 于 点P,D,如图，猜想并证明OG与3”的位置关系.图4【拓展延伸】小亮将图中的甲、乙换成含30。角的直角三角尺如图，按图作出示意图，并连接HB,A G ,如图所示，其他条件不变，请你猜想并证明AG与8的数量关系.40.（2022广西贵港）已知：点C,。均在直线/的上方，AC与8 0都是直线/的垂线段，且6。在A C的右侧，B D =2AC,与BC相交于点O.图1图2图3An(1)如图1,若连接C。，则3CO的形状为_ _ _ _ _ _,二式的值为_ _ _ _ _ _；A D若将5 0沿直线/平移，并以A D为一边在直线/的上方作等边“ADE.如 图2,当AE与AC重合时，连接0 E,若4 c =,求0 E的长；如 图3,当NAC3=6()。时，连接EC并延长交直线/于点F,连接Q F.求证：41.(2022 辽宁)如图，在 A4 3 c中，AB=AC=2右,BC=4,E,F分别为 AC,AB,8c 的中点，连接DE,。尸.Si如图】，求证：D F D E；(2)如图2,将 皿 尸 绕 点。顺时针旋转一定角度，得 到 加。，当射线在交A 8于点G,射线。交BC于点N时，连接在并延长交射线。尸 于点M,判断F N与 的 数 量 关 系，并说明理由；(3汝口图3,在(2)的条件下，当D P L A 3时，求W的长.4 2.(2 0 2 2 辽宁营口)如图1,在正方形A B C O 中，点 M为C。边上一点，过点M作用N，C。且。M,连接D N,B M,C N,点 P,。分别为B M,C N 的中点，连接尸。.证明：=2PQ；将图1 中的AOMN绕正方形A8 C。的顶点。顺时针旋转。(0 1,连结D5、D C,使 O 3 C 与AABC全等:在图中 A 5 C 的边B C 上确定一点E,连结 A E,使在图中A4 3 c 的边48上确定一点尸,在边8 c 上确定一点Q,连结PQ,使 P B 0-N 18 C,且相似比为 1：2.专题1 3 相似三角形选择题1.（2022黑龙江哈尔滨）如图，488.4。,3。相 交 于 点 区=1,EC=2,OE=3,则8。的长为（）3 9A.-B.4 C.-D.622【答案】C【分析】根据相似三角形对应边长成比例可求得8E的长，即可求得8。的长.AP BE【详解】AB/CD：.AABESCDE：.=EC D E3V AE=1,EC=2,DE=3,A BE=-29,:B D =B E+E D :.BD=a 故选：C.【点睛】本题考查了相似三角形的对应边长成比例，解题的关键在于找到对应边长.2.（2022广西贺州）如图，在 中，DE/BC,D E =2,B C =5,则 S ,E：LHC 的 值 是（）【答案】B【分析】根 据 相 似 三 角 形 的 判 定 定 理 得 到 根 据 相 似 三 角 形 的 面 积 比 等 于 相 似 比 的 平 方 计 算,得到答案.【详解】解：D E /BC,D E =2,B C =5 ：.ADE ABC,【点睛】此题考查相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键.nA 13.（2022广西梧州）如图，以点O为位似中心，作四边形A5CO的位似图形AB。，已知芸二彳，若四OA 3边形ABCD的面积是2,则四边形A 8C力的面 积 是（）A.4B.6C.16D.18【答案】D【分析】两图形位似必相似，再由相似的图形面积比等于相似比的平方即可求解.【详解】解：由题意可知,四边形ABC。与四边形A，四O相似,由两图形相似面积比等于相似比的平方可知：2 3 A BCD又四边形A 3 8的面积是2,.四边形A E C D的面积为1 8,故选：D.【点睛】本题考察相似多边形的性质，属于基础题，熟练掌握相似图形的性质是解决本题的关键.An 0 D F4.（2022 四川雅安）如图，在ABC中，D,E分别是AB和AC上的点，D E/BC,若 黑=彳，那 么 考BD I=（）【答案】D【分析】先求解黑AD二 9;再 证 明 陀s”5 c可得n盥r 二A禺H =?;AD 3 BC AD 3【详解】解:A D 2,A D _ 2而=7 益=3 DE/BC,:.ADEABC,匹=四=2,故选 DB C AB 3【点睛】本题考查的是相似三角形的判定与性质，证明A D E s M C 是解本题的关键.5.（2022内蒙古包头）如图，在边长为1 的小正方形组成的网格中，A,B,C,。四个点均在格点上，AC与 8。相交于点E,连接A 8,C D,则M E 与CDE的周长 比 为（）B.4：1C.1：2 D.2：1【答案】D【分析】运用网格图中隐藏的条件证明四边形DC8M为平行四边形，接着证明AABES AC D E,最后利相似三角形周长的比等于相似比即可求出.【详解】如图：由题意可知，D M =3,B C =3,:.D M =BC,而。W 3 C,四边形D C B M为平行四边形，A AB/D C,：.Z B A E =Z D C E,Z A B E =Z C D E,【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、相似三角形的判定与性质及勾股定理，熟练掌握相关知识并正确计算是解题关键.6.（2022黑龙江绥化）如图，在矩形A8CO中，P是边AO上的一个动点，连接BP,C P,过 点 B 作射线，交线段CP的延长线于点E,交边AO于 点 M,且使得NABE=/C 8 P,如果A8=2,8 C=5,A P =x,P M=y,其中2/5，:/FPM=NAPB,：F P M sgP B,.MF PF PMABAPPBMF PF 3：.MF 到l,PF=迄,5 5/.BF=BP-PF=2亚-=,5 53君MFtan/EBP=BF5故（3）不正确；故选：C.【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质，勾股定理的应用，矩形的性质，正确找出相似三角形是解答本题的关键.7.（2022湖北鄂州）如图，定 直 线 尸。，点 2、C 分别为MM PQ 上的动点，且 BC=12,BC在两直线间运动过程中始终有/8CQ=60。.点 A 是 MN上方一定点，点。是 P。下方一定点，且 AEBC/5F,AE=4,DF=8,A=24G，当线段BC在平移过程中，AB+C。的最小值为（)DA.24713 B.24 715 C.12/13 D.12/15【答案】C【分析】如图所示，过点尸作户H C D交B C于H,连接E H,可证明四边形8/7 7是平行四边形，得到CH=DF=8,C A F H,则8 H=4,从 而 可 证 四 边 形 是 平 行 四 边 形，得至ij 即可推出当E、F、H三点共线时，E H+”有最小值E F即A 8+C 7）有最小值E F,延长A E交P Q于G,过点作E T LP。于7,过点A作A LLP。于L,过点。作。K L P Q于K,证明四边形B E GC是平行四边形，NEGT=NBCQ=60,得到EG=BC=12,然后通过勾股定理和解直角三角形求出E T和T F的长即可得到答案.【详解】解：如图所示，过点尸作五”8交B C丁 H,连接E H,V BC/DF,FH/CD,四边形C C F”是平行四边形，：.CH=DF=8,CD=FH,:.BH=4,：.BH=AE=4,又：AE/BC,：.四边形4 B H E是平行四边形，：.AB=HE,：E H+F H E F,.当E、尸、”三点共线时，E H+H尸有最小值E F即A 8+C O有最小值E F,延长A 交尸Q于G,过点E作E T J _ P Q于7,过点A作A L L P Q于L,过点。作Q K 1.P Q于K,；M N /PQ,BC/AE,：.四边形B E G C是平行四边形，ZEGT=ZBCQ=60,：.EG=BC=12,/.G T=G E -cos ZEGT=6,ET=GE-s i n ZEGT=6/3,同理可求得 GL=8,AL=8 0 KF=4,DK=4x/3,:.TL=2，9AL_LPQf DKLPQ,：.AL/DK.：.ALOS/XOK。，.AL A。c 2 fDK DO：.AO=-AD =6,DO=-AD=s4i,3 3*-OL=AO-A I：=24,OK=力 DO?-DK2=12 TF=TL+OL+OK+KF=42,EF=NET2+TF?=12713 故选C.【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，勾股定理，解直角三角形，正确作出辅助线推出当E、F、三点共线时，EH+”尸有最小值EF即AB+CO有最小值E尸是解题的关键.8.（2022广西贵港）如图，在边长为1的菱形ABCO中，ZABC=60,动点E在4 8边 上（与点A、8均不重合），点尸在对角线AC上，CE与命相交于点G,连接A G,O F,若AF=B E,则下列结论错误的是)A.DF=CEB.ZBGC=120 C.AF2=EG EC D.AG的 最 小 值 为 逑3【答案】D【分析】先证明BA尸丝ABC是等边三角形，得DF=CE,判断A项答案正确，由NGC8+BE CEZGBC=60,得/BGC=120 ,判断B项答案正确，证ABEGs ACEB得二 二 二，即可判断C项答案正确，由N8GC=120。，BC=1,得点G在以线段BC为弦的弧B C匕易得当点G在等边ABC的内心处时，4G取最小值，由勾股定理求得A G=3,即可判断。项错误.3【详解】解：四边形ABCD是菱形，ZABC=60,：.AB=AD=BC=CD,NBAC=NDAC=g x(l800-ZABC)=6()=ZABC,：.BAF/DAFCBE,ABC是等边三角形，：.DF=CE,故A项答案正确，ZABF=ZBCE,:ZABC=NABF+Z CBF=60,二 NGC8+NGBC=60,A ZBGC=180-60=180(NGCB+NGBC)=120 ,故 B 项答案正确，,/ZABF=Z BCE,Z BEG=Z CEB,:.丛 BEGsCEB,.BE CEGEBE/.BE2=GE.CE,AF=BE,AF-=GE-CE,故C项答案正确，V ZBGC=120,BC=1,点G在以线段BC为弦的弧BC上，二当点G在等边ABC的内心处时，AG取最小值，如下图，T ABC是等边三角形，BC=1,：.BF1AC,AF=AC=,NGA尸=30,：.AG=2GF,AG2=GF2+AF2,2，AG2二,l ,解得A G=,故D项错误,故应选：D【点睛】本题主要考查r菱形的基本性质、等边三角形的判定及性质、圆周角定理，熟练掌握菱形的性质是解题的关键.9.（2022 贵州贵阳）如图，在AA B C中，。是A 3边上的点，NB=ZACD,AC:=1:2,则AA DC与ACS的周长比是（）A.1:72 B.1:2 C.1:3 D.1:4【答案】B【分析】先证明A C D S/X A B C,即 有 绘=空=Z=（，则可得。+华+:？=问题得解.AB AC BC 2 AB+AC+BC 2【详解】VZB=ZACD,NA=NA,/.ACOs/XABC,.AC AD CD 瓦 就 一 茄，1 A B 2f.AC AD CD 1.-=-=-=-,AB AC BC 2.AC AD CD AC AD+CD I 前 一 就 一 正-AB+AC+BC _ 5 AOC与AC3的周长比1:2,故选：B.【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，证明A C 0S A 48C是解答本题的关键.10.（2022 广西）已知ABC与向G是位似图形，位似比是1：3,则A3。与?1向G的面积比（）A.1：3B.1：6C.1：9D.3：1【答案】C【分析】根据位似图形的面积比等于位似比的平方，即可得到答案.【详解】:ABC与4 8/C/是位似图形，位似比是1：3,.ABC与的面积比为1：9,故选：C.【点睛】本题考查位似图形的性质，熟练掌握位似图形的面积比等于位似比的平方是解题的关键.A)211.(2022山东临沂)如图，在中，D E/B C,若AC=6,则E C=()DB 3【答案】C4D 9 AD AF?【分析】由 小 5 C,黑=彳，可得黑=芸=彳,再建立方程即可.DB 3 DB EC 3An 7【详解】解：DE/BC,M =，DB 3 AC=6,6-C E _ 2CE 39A D _ A E _2DB -E C-3,1 Q解得：CE=.经检验符合题意故选C【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例，证明4黑0 =A等F=?是解本题的关键.DB EC 312.（2022山东威海）由1 2个有公共顶点。的直角三角形拼成如图所示的图形，Z A O B=Z B O C=Z C O D=NLOM=30.若S Z A 0 3=l,则图中与AOB位似的三角形的面积为（）4A.(-)334B.(-)734C.(-)63D.（|）6【答案】C【分析】根据题意得出A、0、G在同一直线上，B、O、”在同一直线上，确定与 AOS位似的三角形为G O H,利用锐角三角函数找出相应规律得出0G=再由相似三角形的性质求解即可.【详解】解：Z A O B=Z B O C=Z C O D=.=ALOM=30A Z A O G=180,Z B O H =180,0、G在同一直线上，B、。、“在同一直线上,.与 4 0 B位似的三角形为 G0”,S.AOB=1，S.G CW,故选：C.【点睛】题目主要考查利用锐角三角函数解三角形，找规律问题，相似三角形的性质等，理解题意，找出相应边的比值规律是解题关键.二.填空题13.（2022贵州黔东南）如图，折叠边长为4cm的正方形纸片4 5 8,折痕是Z W,点C落在点E处，分别延长M E、E交4 8于点f、G,若点M是8 c边的中点，则F G=c m.【分析】根据折叠的性质可得OE=CC=4,E M=C M=2,连接。尸，设FE=x,由勾股定理得BF,D F,从而求出X的值，得出尸8,再证明A/尢G B A/,利用相似三角形对应边成比例可求出FG.【详解】解:连接。尸,如图，四 边 形 是 正 方 形，:.AB=BC=CD=DA=4,NA=N8=NC=NCDA=90.点M为8 c的中点，Z.BM=CM=-B C =-x 4 =22 2由折叠得，ME=CM=2,DE=DC=4,/D E M =NC=9。,.Z DEF=90,N尸EG=90,设=x,则有 DF?=DE2+EF-:.OF2=42+X2又在RfAFMB 中，FM=2+x,BM=2,*FM2=FB2+B M2FB=ylFM2-B M2=7(2 +X)2-22A A F A B-FB =4-J(2+x -2?在心ADAF 中，DAc+AF-=DF2,：.42+(4-J(2+X-2 2)=42+X2,4解得，%=，*2=8(舍去)4.FE=:3.FM=FE+ME=4 +2=103 3.电2 +$2-汨：Z DEM=90；.N FEG=90:/FEG=NB,又 NGFE=4MFB.：./FEG FB M4 FE 1 0 TT 3故答案为：【点睛】本题主要考查了正方形的性质，折叠的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解答本题的关键.An DE1 4.（2 0 2 2 上海）如图，在 A B C中，Z A=30,Z B=9 0,。为 A8中点，E在线段4c上，,则AB BCAE【分析】由题意可求出。E =；B C,取 AC 中点以，连接 日，则力臼是A A B C 的中位线，满足。月=g z?C,A p I进而可求此 时 黑=：,然后在AC 上取一点及，使得DEJ=D E 2,则。刍=彳8。，证明AOE/EZ是等边三角A C 2 2形，求出E/E2=XC,即可得 至 唠 j问题得解.【详解】解：。为A8中点,-=B P DE=-B CtAB BC 2 2取A C中点,连接则。，是AABC的中位线，此时OE/BC,=；BC,.AE.AD 1 a -.AC AB 2在A C上取一点E 2,使得。=。及，则V ZA=30,ZB=90,AZC=60,B C=-A C f2 :D E iBC,：.NDEJE2=60,OE/E2是等边三角形，DE/=DE2=E 1 E 2=-B C ,2:E1E2=LAC,4/AE.=-AC,2A AE2-A C,即 股2,-4 AC 44/7 1 1综上，:K 的值为：5或1，AC 2 4故答案为：；或!.2 4【点睛】本题考查了三角形中位线的性质，平行线分线段成比例，等边三角形的判定和性质以及含30。角的宜角三角形的性质等，根据OE=g 3 c进行分情况求解是解题的关键.A r 115.（2022北京）如图，在矩形ABCO中，AB=3,AC=5,-=-f则A E的长为_ _ _ _ _ _ _.FC 4AEDB（【答案】1【分析】根据勾股定理求出8 C,以及平行线分线段成比例进行解答即可.【详解】解：在矩形ABCO中：AD/BC,Z A B C =90 ,.正=工=BC7AC-AB-=5=4AE 1：,AE=l,故答案为：L【点睛】此题考查了勾股定理以及平行线分线段成比例，掌握平行线分线段成比例是解题的关键.16.（2022江苏常州）如图，在 RtZVIBC中，ZC=90,AC=9,8C=12.在 RsO EF 中，NF=90。,D F =3 ,所=4.用一条始终绷直的弹性染色线连接CF,RQ。由 从 起 始 位 置（点。与点B重合）平移至终止位置（点E 与点A重合），且斜边O E始终在线段AB上，则RtABC的 外 即 被 染 色 的 区 域 面 积 是.B（D）FC1-【答案】28【分析】过点F 作A 3的垂线交于G,同时在图上标出M,M F 如图，需要知道的是RABC的被染色的区域面积是S梯 物 所以需要利用勾股定理，相似三角形、平行四边形的判定及性质，求出相应边长，即可求解.【详解】解：过点尸作A 8的垂线交于G,同时在图上标出M,M F 如下图：.NC=90,AC=9,BC=12,：.AB=yjAC2+BC2=15-在RtXJE/中，N 尸=90,DF=3,EF=4.：.DE=yjDF2+FE2=5.AE=AB-DE=5-5=0,.EFHAF,EF=AF,四边形AEFF为平行四边形，.-.AE=FF=IO,：S DD匕FrF=-2D F EF2=-D E GF=6,12解 得:G F=y,vDF/MC,/.NDFM=ZACM,/FDM=ZG4M,s.DFMACM,DM DF 1/.-=-,AM AC 3：,DM=-AM=-AB=t3 4 4/BC/M F,同理可证：AANFSDNC,.AF,-_1BCD N33 45:.DN=3AN=-AB=f4 4:.M N =DN-DM=-,4 4 41 (30、12心AABC的外部被染色的区域面积为S怫 胫MNFT=2xl 7+1 0Jxy =2 8，故答案为：28.【点睛】本题考查了直角三角形，相似三角形的判定及性质、勾股定理、平行四边形的判定及性质，解题的关键是把问题转化为求梯形的面积.17.（2022广西）数学兴趣小组通过测量旗杆的影长来求旗杆的高度，他们在某一时刻测得高为2米的标杆影长为1.2米，此时旗杆影长为7.2米，则旗杆的高度为 米.【分析】根据同时、同地物高和影长的比不变，构造相似三角形，然后根据相似三角形的性质解答.【详解】解：设旗杆为A 8,如图所示：根据题意得：MB C-A DE F ,.D E EF,A B C,:D E =2 米,尸=1.2 米，B C =1 2 米,_ _2_ _ _1_.2解 得:43=12米.故答案为：12.【点睛】本题考查了中心投影、相似三角形性质的应用，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题.18.（2022广东深圳）已知AABC是直角三角形，N8=90。,A8=3,8C=5,AE=2 6,连接C E以CE为底作直角三角形C 0E且 8=。旦 产是AE边上的一点，连接8D 和 所，比 且 ZFBD=45。,则AF长为.【答案】之亚4【分析】将线段8。绕点。顺时针旋转90。，得到线段H O,连接6”，H E,利用SA5证明二 CD8,得 EH=CB=5,/HED=NBCD=9 0 ,从而得出E7/X/A 8,则 AABFS/H尸,即 可解决问题.【详解】解：将线段3 0 绕点。顺时针旋转90。，得到线段H O,连接5”，HE,H又 AEDC是等腰直角三角形，:.HD=BD,D H =/C D B,ED=CD,EDH=ACDBGAS),:.EH=CB=5,Z.HED=/BCD=90,NEDC=90。，ZABC=90,:.HE/DC/AB,ZABF=/E H F,ZBAF=ZHEF,:.ABFS/HF,.AB AF AFEH1EF A E-A F9.4E=2石,3_ AF 5 2/5-A F AR3A/5.AF=,4故答案为：3节.4【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等知识，解题的关键是作辅助线构造全等三角形.19.（2022广西河池）如图，把边长为1：2 的矩形A8C。沿长边2C,AZ）的中点E,尸对折，得到四边形A B E F,点、G,”分别在BE,EF上，且 B G=E H=BE=2,4G 与 8H 交于点O,N 为 AF的中点，连接O N,作 OMJ_ON 交 AB 于点 M,连接 M N,则 t a n/A MN=.【分析】先判断出四边形A8EF是正方形，进而判断出ASG丝BE”，得出N B A G=N E B H,进而求出/AO8=90。，再判断出A。Q A 8 G,求出。4=餐,。8=%，再判断出47 29 A/29O B M8 O A N,求出BM=1,即可求出答案.【详解】解：点E,尸分别是BC,A D的中点，A F =AD,BE=B C,.四边形A8CO是矩形，,N4=90,AD/BC,AD=BC,：.A F =BE=-A D,2.四边形ABE尸是矩形，由题意知，AD=2AB,：.AF=AB,矩形ABEF是正方形，：.AB=BE,Z ABE=Z BEF=9Q,:BG=EH,:/ABG咨/BEH(SAS),/.NBAG=NEBH,：.ZBAG+ZABO=ZEBH+ZABO=ZABG=90,NA 08=90,2,:BG=EH=-BE=2f工 BE=5,AAF=5,A G 7A B?+B G?=回，*：ZOAB=ZBAG,ZAOB=ZABGf：./XAOBsAABG,OA=O B=AB O A =O B 5AB BG AG 5 2 V29.,如舒如券：OM1ON,：.NMON=90=NAOB,J /BOM=/AON,ZBAGZFAG=90 NA8O+NE8”=90,NBAG=NEBH,：.ZOBM=ZOANf:/OBM 丛 OAN,.OB BM 夜 俞二点N 是 A尸的中点,：.AN=-A F =-2 210.嚼=饕，解得：BM=1,729 2：.AM=AB-BM=4f5AN O 5,tan ZAMN=2 =2.AM 4 8故答案为：o【点睛】此题主要考查了矩形性质，正方形性质和判定，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，求出8M是解本题的关键.20.(2022内蒙古赤峰)如图，为了测量校园内旗杆A 8的高度，九年级数学应用实践小组，根据光的反射定律，利用镜子、皮尺和测角仪等工具，按以下方式进行测量：把镜子放在点。处，然后观测者沿着水平直线B。后退到点。这时恰好能在镜子里看到旗杆顶点A,此时测得观测者观看镜子的俯角a=60。，观测者眼睛与地面距离CD=1.7m,B O=llm,则旗杆AB的高度约为 m.(结果取整数，石a 1.7)【分析】如图容易知道即/CZ)O=NABO=90。.由光的反射原理可知/COQ=/AOB=60。，这样可以得到C O OS/V I O B,然后利用对应边成比例就可以求出AB.【详解】解：由题意知/CO=/AO8=60。，ZCDE=ZABE=9O,：CD=1.7m,C D 1.7A 0 D=F=1(m)，OB=ll-l=10(m),.C D O D Hn 1.7 1,=,即=,AB OB AB 10答：旗杆AB的高度约为17m.故答案为：17.【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，相似三角形的应用，本题只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的性质就可以求出结果.2 1.（2 0 2 2 湖北鄂州）如图，在边长为6的等边 A BC 中，、E分别为边8 C、AC上的点，与 B E 相交于点尸，若BD=CE=2,则 A BP 的周长为.【答案】6 +竺 立7【分析】如图所示，过点E作 防，4 8于凡 先解直角三角形求出AR E F,从而求出3 F,利用勾股定理求出5 E 的长，证明得到N A 4 O 二 N C 3 E,AD二B E,再证明 BO P s 4 以 得到2 BP PD=,即可求出8 P,P D,从而求出AP,由此即可得到答案.【详解】解：如图所示，过点E作于尸，:A B C 是等边三角形，：.AB=BC,ZABD=ZBAC=ZBCE=60,：CE=BD=2,AB=AC=6,/.4 E=4,/.AF=AE-