高等代数考研复习讲义解答.pdf

1多项式理论L 2例题1.设/(z)为多项式，证明：如果存在非零常数c,使得/(z-c)=/(z)，则/(z)为常数.证明：令/(z)=a“z+%_亿|+4z +%有 f(z-c)=a(z-c)n+a“_|(z-c)T +.+az-c)+a0W z=c，有f(c)=a c+a,T +4c +a0=/(z-c)=/(O)=a0由cw O,则c,c T,c 线性无关则关于a,.(i =1,2,)方程ca+c q =0 只有零解，故/=a。为常数2.求多项式f(x)=x4+2x3-1l x2-12x +36的标准分解式.解：由 s|a“=l、r a0=3 6.则/(x)有理根可能值为 C =l,2,3,4,6,9,12,士 18S有/(2)=0、/(-3)=0，则/(x)=(x-2)(x +3)(x2+6)a +1 =2得方程 a-2=-1，有 =1，Ai/(x)=(X-2)2(X+3)2一 6。-6=-12旬勾%3.设尸是一个数域，。吗,M-W/.证 明：阶循环矩阵册7 即:限ax a2 a0可逆当且仅当Z 4/与 X”-1互素.=0证明：必要性:D =&%,an-。0 -1 an-2二H-Ii=0an-li=Go T0 0,0 an-2-an-3a a2 0aa2,斯aa2-a ao-a,-=Mi W qw O，（M i为余子式）=0n-1 一 1当 旬=卬=a,i时，行列式不可逆，与题设矛盾，故有（E x ，Z aR）=l/=0的根，即中不含x T因子i=0i=0 i=0 一 1 一 1 “一I 一l-1”-1有(x 1，2)=(x=1，贝U 与 x 1 互素z=0 z=0 i=0 i=0 i=0 i=0充分性：zi-1-1 一 I-1 一1 一1“3 与 x-1 互素，有(%-)=(x-i)Z x，Z。/)=(Xx，)=1i=0 i=0 i=0 i=0 i=0 i=0则1不是Z a R =0的根，有 Z/H01=0 i=0。0%令 人=a,x。I ：-2,假设X=(%,玉，,X i)是AX=e的非零解a a2 a0 o/+g+%=0行卜工。+a(内+.+=0axQ+a2x+aQxn_1=0?一!?一1?一!，一!，一！全部相加有为2者+q 2七+%-|2者=2 4 2天=0f=o/=0 f=o/=0=0由有 x,=o1=0 i=0由方程组，可确定一个解为七）=匹 =瑞_|=CwO（X是非零解）-I有Z =Cw O,矛盾，则假设不成立，则方程AX=。只有零解，故同工0,A可逆.i=Q4.求 四二 的个位数，其中卜 表示x的整数部分.106+3V1O 10.q io _ o io 10 _ o!0解：令“日 有 7 7 r10 x=IO6,带入有；(一3)T(l()6y。-M=1-310+106+310 10由 2(-3)1(1()6)1 j 的个位为零，-1_ 0”=10+310_ q io则(-3产(106产+-6 的个位数为9，即=10+3-的个位数为9106+325.设多项式/(x,y)关于x的次数W，关于y的次数W.设存在两组互不相同的数关于3 =0,1,2,，机)和勺(./=0,1,2,.-,)使得,%)=0(0 i m,0 ；n).证 明:/(x,y)=0证明：根据题意(为 也)是多项式f(x,y)的(m+l)(n +1)个不同的根由 df(x,y)m n(m +1)(/1+1)，故有 f(x,y)三 06.设A eM“F,力(x),%(x)e满足(/(x)J x)=1.令/(x)=力。)%。)证明：齐次方程组/(4)X=夕的任意解x都可以唯一地表示为方程组力(A)X=e的解和f2(A)x =e的解的和.证明：令力(4)X=6的解为囚、1；人(4/=。的 解%&2、A有,(4)(%+a2)=/(A)a,+f(A)a2=f2(A)ft(A)a J +/(A)f2(A)a2=0故齐次方程组4)X=e的任意解X都可以表示为方程组工(4)X=e的解和人(A)X=6*的解的和假设A)X=6*的解X有两种表示方法，即*=%+&2=4+用(a产 四、a#有 A)(a 自)=6，f(A)(a2-fi2)=0由a产 自,有囚为/.(A)X=。的非零解,有|f(A)|=|力 历(A)|=0由(/,(x)/(x)=1,则伉(A)|与f2(A)不能同时为零当伍(A)|=0,有仿(A)|x 0,则力 可逆“4)(%-)=/2(A)/,(A)(a2-)=0，两边左乘6(4)有力(4)(。2-夕2)=。有a 2一 夕2也为力(A)X=。的解，则/(x),A(x)有公共根，有(力(劝/(尤)片1与题设矛盾假设不成立，则齐次方程组A)X=夕的任意解X都可以唯一地表示历方程组工(A)X 的解和力(4/=。的解的和.7.设“X),g(x)为数域尸上的多项式，证明：g(x)整除/(x)当且仅当存在正整数?，使得g，(x)整 除 广(x).证明：必要性：由 g(x)整除了(X)，有 f(x)=/i(x)g(x),有r(x)=(x)g(x)，则 g(x)整除广(X)充分性：当f(x)=0时，有g(x)整除f(x)当F(x)w0时,令(y(x),g(x)=d(x)与g(x)的首项系数为 a(0)则/(x)=p(x)d(x)，g(x)=q(x)d(x)由(x),g(x)=d(x)，有(f(x),gm(x)=dm(x)由 g M(x)整除 f M，有c r(x),g m(x)g(x)(x)，有/(x)=砺a a则 g(x)=d(x)，有 g*)整除/(x)8.设多项式f(x)=x +4 _1XT+/+即是整系数多项式，见H 0，P是素数.若p|q，i =0,1,，-1但p不3能整除明,p?不 能 整 除 证 明：“X)是有理数域上不可约多项式.证明：反证法：假设/(X)是有理数域上可约多项式有/(x)=(hkxk+hk_ixk H-1 仇 x+瓦)(q x +c,_lx/H +C 1X +C o)(,/，k+l =n)由则p|%或 p/o，又 p 2不能整除a。，有 p不能同时整除%和c。设 p能整除d且 p不能整除c。由p不能整除明,有p不能整除“假设为，配,中第一个不能被p整除的是4(注意顺序)比较/(X)的中X,的系数，有a.=b.c0+如 C 1+而，由也也 能 被p整除.有p b jC0由p为素数，则 有 或 H e。，与?整除的是力和p不能整除c 0 矛盾，则假设不成立故x)是有理数域上不可约多项式9.设,生,a”为互不相同的整数，g(x)=(x-a.)-L(1)证明：g(x)在有理数域Q 上不可约.(2)对于整数 1,问/?(x)=(x-q)(x-&)(x-%)+r在有理数域。上是否可约，为什么？(1)证 明:反 证 法:假 设 g(x)在有理数域2 上可约，有 g(x)=/(x)M x)，则 g(a,)=/(%)k()=-l由g(x)为整系数多项式，有/()=1、43,)=-1或/()=-1、k(q)=l，则/3 J +k(a,)=O令 F(x)=/(x)+k(x),有尸(q)=0由况伙(x)”，有况尸(x)，k=0,1,2,，有 deggk(x)deg/(x)或 g.x)=0,并由此推出Newton公式(此题关键在于比较工”的系数)如果1(女 n 则 力-。吊_ +%t_2+(_1)b s j=0证明：/(X)=,则 gk(x)=一(X*K a.+x*T支 a；+支 a.)f(x)/=i x-w ：=x oti i=j i=i i=ig.=廿 M 一 邸 _*_%)_ a：I (x _ a,)-a；(x-%)=5 a /(x)*M x-at 占 x-a,有deggk(x)deg f(x)或 g(x)=0当 14 k 时，xk+if(x)=(s(/+stxk-+-+sk)f(x)+gk(x)Xk+f(X)=(S0Xk+SX*T+S*)(X-T|XT+(-1)+g*(x)由 g(x)不含 x,其中 x的系数为 Sk+%S*_2-+(-1)1(7*_51+(-l)*socrj x+r(x)=卢1 nx-(n-1)(Ttx-2+(一 1严 4 1 其中/的系数为(-1)*(-幻q由 ，有 s-。一 +65*_2-F (-1)*1+(-1)*soak=(-1)*(n-k)ak5由 4=，有7-5%一1+。2，-2-+(+(T)k q =0,即证.当攵2 时，d/(X)=(SQXk+SXk d-Sk)(x 02)2=2/-2/2-(-a -z)2-/2=2a4/2-2/2a y 一(一 片 +2 t zy)2=2/尸 _2y-a2)2=0即有4伍2 _ 2 b)=2(/一2a b+2 c产L 3 练习71 .设f(x),g(x)e Fx有公共复根.证明：如果/(x)在 F 上不可约，那么必有/(x)|g(x).证明：由/(X)，g(x)e x有公共复根,有(/(x),g(x)=d(x)(d(x)f lx且d(x)*O)则有 f(x)=(x)d(x)、g(x)=k(x)d(x)由/(x)在 尸 上不可约，则/(x)=a d(x)(。为/(x)的首项系数)，故有/(x)|g(x)2 .给定不全为0 的多项式力(X),7 2(x),力(X)，证明：存在多项式g(x),g2(x)t g 3(x)和(x),h2(x)%3(x)使,力得 d e t g 1fz Lg2 S 3=(/p/2./3)-h2娟证明：令(九人/)=d,由/；,f2 人不全为0，有d 片。,有&=%d、f2=k2d 于 =k/d e t g 1f2S 2h2g3=d e t g|k2d k 3dgi S 3=dKg2fh -g3%)k i +(gJ i -gi%)k i +5 回-gz h jk j，3 _ _ 九b%由K、k2&互素,有(仁也,43)=1,适当取g,g2 f g 3 和 4，%，h3/,f2可使3 4-&人 4 i+(g g|-g 4)&+(&e-8 2%)勺=1，故d e t g|g2?i h?Agi=(/i/2 J3)恢3 .给定不全为 0 的多项式力(X),f2(x),启 X),证明：，(X)J 2(X)/(X)=G)/(X)，L/2(X)/(X)证明：，令/=伤|，2=如2，3=C,g 3(g|，g 2，为首一多项式)再令，有 g 1 =，g,=，g 3=上 (4,h，儿为首一多项式)a h b h2 ch yg lg 2 g2g3r r f f f f 1 1 -rp o 1 p p 1 1 -gi g?g 2 g 3 _(g|g 2)(g 2 送3)_ _ _ _ _ _gi g2g3 _ _ _ _ _ _ _15/1，1/2，刈-“&1，岛，8 3 一()，(J-g g,g o 一(2)2(2 )6 p6 2/V O 2,6 3/(6 1 6 2 o 2 6 3 )|猪 2，占 3 刀 片 3 1，8 2 (g|，g 2)(g 2，g 3)t n m m t n_ a h b h2 ch3 _ 1 11112H _ m=(，(白，多)，多(多 )=(n)，m)=他 出 外 3)叫 b h 2叫 cn3 叫 b h?%n2由 瓦 儿=岫，又也也=&-，则(九也)=1，同理有他也)=1(九也)则有-=m，即7,(x),f2(X),f(x)=/,(x),f2(x),/2(x),f(x)M，4),(4,%)4.设/(x)9 g(x)9 h(x)G 尸幻满足:/(J5)+x g(x5)+x2h(x5)=(J4 4-x3+x2+x+l)p(x).证明：f(x)9 g(x),/心)有公因式x-l.8证明：令 f+F+x2+x+1 =0 的根为 不、%、x4带入有/(x：)+X|g(x：)+x7(x：)=0/(x；)+X2 g(x；)+x 化)=0,f(x；)+X3 g()+x(x；)=0/(上)+匕8(上)+申(若)=0/+七g +x：=0即/(l)+X2 g(l)+X(l)=0,/+X3 g +X的=0/+x,g +x 7 =0有/=葭 1)=0则1 是/(x),g(x)，力(X)的根，故/(x),g(x),力(X)有公因式x-15 .设n为非负整数.证明：(/+X+1 肛 2 +(X+1 严 1证明：/+x+l =0 的根为%=-+i=e 3 x2=i -=e 32 2 2 2.2 万 ,n _.2 +4.2 n+1则 X:2+a +1)2-1 =(/7)2 +(7 产+1 =丁 +,2 n+4 2 +1 、.2 +4.2 +1、3 4+5 兀.4 +5 冗八=(c os-乃+c os-7)+/(s m-7+i s m-乃)=2 c os-rc os+/2 s i n-4 c os =03 3 3 3 6 2 6 2同理，有 以 2+(/+1 严 1=0,则*-)|以 2+。+1 严 1、(*_*2)业，2+(+1 严 1 又(x-*),(x-)=1,则有(x-x,)(x-x2)|x,+2+(x+l)2 n+l .即(，+x+l)|xn+2+(x+l)2 n+16 .设 x),g(x)e Fx,d(x)=(/(x),g(x),4 是 F 上的 N 阶方阵且 g(A)=0.证明：r(/(A)=r(d(A)证明：由 4(x)=(/(x),g(x)，则存在“(x),v(x)e FxJ 使得 d(x)=(x)f(x)+v(x)g(x)由 g(4)=。,有 d(A)=(A)/(A),则 r(f(A)2 r(d(4)又 f(x)=(x)d(x)，即 A)=(A)d(4),则 r(f(A)4r(4(A)由、，有 r(f(A)=r(d(A)7 .设/(.r),g(x)是数域 F 上的两个不全为 0 的多项式.令/=u(x)fM+v(x)g(x)|(x),v(x)e Fx .证 明(1)/关于多项式的加法和乘法封闭，且对任意(x)e /和任意k(x)e/田 有 k(x)/?(x)e /.(2)/中存在次数最低的首一多项式d(x),使得d(x)=(f(x),g(x).证明：(1)由任意(x)e/，Wh(x)=u(x)f(x)+v(x)(x)有k(x)(x)=k(x)(x)/(x)+k(x)v(x)g(x)由&(x)w(x),k(x)v(x)e Fx,有 k(x)h(x)e I .(2)根据题意,有(x)=k(x)也(x),k“(x)由 /(x)=4(x),A2(x),段(x)(x)、g(x)=k|(x),0(x)-,k“(x)g|(x)有 l =(f i(x),g 2(x)，则存在“(x),v(x)e Fx,使得I =w(x)(x)+v(x)g 2(x)由(1)结 论,kt(x)=u(x)kl(x)fi(x)+v(x)ki(x)g2(x)重复步骤,有尢(X),&2(x),尤(X)=(X)占(x),k2(x),-,k(x)力(x)+v(x)匕(x),k2(x),-,k(x)g2(x)由(x)占(x),&(x),，储(x)、v(x)kt(JC),k2(x),-,kn(x)eFx，则有占丸,k“(x)w/，即d(x)e/则/中存在次数最低的首一多项式d(x),使得d(x)=(,f(x),g(x)8 .设A,8是阶方阵，x)e Fx .设 j f(A)=O,”8)可逆，且 4C=CB.证明：C =0.9证明：A2C =(AC)B =(C B)B =C B2,同理有 MC=CB*(&GZ+)4-/(x)=amxm+a x-+-+atx+a0(am#0,me Z+)则有 A)C=(品/T+%i4i+%A +a E)C=C&B+4 B +%E)=仃 即A)C=(7(B),有 Cf(8)=。，则/(B)为齐次方程 CX=。的解，有-r(C)=r(f(B)由 f(B)可逆,有 r(/(B)=，则/(C)=0，有 C=0.9.已知某个实对称矩阵A 的特征多项式为/(2)=7+3万-6 纪-10万+214-9.求A 的极小多项式.解：由r =-9,5=1,则 f(/l)=0根的可能值为=1,3,9,验证有/=0、/(-3)=0S有/(彳)=(2-1)(2+3)(纪+办2+以+3),解待定系数有/)=(几-1)(4+3)(才+尤-52+3)重复以上过程,有才+汇-5/1+3=(/-1)2(/1 +3),则/(团=(/1-1)3(/1+3)2A 为实对称矩阵，则A 的极小多项式无重根，有机(团=(2-1)(4+3)10.求一个三次多项式f(x),使得x)能被(x-l)2整除，而“X)能被(x +1)?整除.解：根据题意，令/(x)=(a x +b)(x 1产，f(x)-l =a x3+(b 2a)x2+(a-2b)x+b 2b-4a -k&4由(x +l)”(x)-l 可得方程组 2b =2火，得,b =L，有/(x)=4x 3-x +10 4 4 2211.设多项式x)满足/(x)|/()，k 2 2 是一个整数.证明：/(x)的根只能是0 或单位根.证明：令 a为/(x)的根，由,有 a 也是/(x)的根，同理。匚。*,也是/(x)的根由/(x)有有限个根，必有a=ak(加,Z+且 m w )当a =0 时 成立；当awO时;有则a为单位根.即证12.(La gr a n ge)设,生，是个互不相同的整数.设尸(x)=(x-q)(x-电)(工 一,证 明 V 一卫一=1.任 意 多 项 式/(X)用尸(X)除所得的余式为：之/(。;=|(x-a,)F(a;)10(3)对任意/乙也，也，令 L(x)=Z-则：L(aj)=bi i =1,2,/?n/(丫)证明：(1)由F(x)=Z 有尸()=(%-%)(-电)(一%)(一。川)(6 一。)。0/=i1 一有 F x)=d。，对于，有八个互不相同的数4,心，,凡 使 其 里 也=1tr(x-a,.)F(a,.)F(a,)Fat)F()又/白 初)=”7,那 么 有 白。=1，即.尸 _ =尸()Fat)tr(x-a,)F(a,.)令 7有/(x)-r(x)=/(%)-f D=f(x)-=/(x)-f(%)M (x -a,)F(q)/=!(x -a,)F(a,)f(x)-/(q)有根4，的，,4，则 F(x)|f(x)-(q)，即 F(x)|/(x)-r(x)故任意多项式/(x)用尸(x)除所得的余式为：支/(%/，),=|(x-a,)F(a,.)(3)由(2)结论，取 x =q.时,有 L(x)-r(x)=Opn ,f A z .v (x)v(无),“、n即 L(x)-r(x)=X；-7-L；F；z；=bi 以)=0M(x-)F()普(x-a J F Q)x =a,)，则 L(ai)=bi2向量空间、线性方程组2.2 例题1.求下述向量组的秩和一个极大无关组a,=(2,-1,3,2)a2=(-1,2,2,3)，a3=(3,-1,2,2)a4=(2,-1,3,2).2解：由初等变换32-132007 8223-1223-122058 11-132_0000有 r(apa2,a3,a4)=3一个极大无关组为名,%，a32.设向量组q,火，火线性无关.证明：向量组ax+a2,a2+%，%+%，-1 +%,%+四线性无关当且仅当，为奇数.证明：必要性:II1 0 0 11 1 0 0(a,a2,-,ar)A=(a,a2,-,ar)0 1 1 0=+a2,a2+cr3,a3+a4,-,az._I+ar,ar+a)0 0 0 1由，)A)=a 1+a2,a2+a3,a3+a，a +ar,ar+以)=r,有，(A)=r同按第一行展开有冈=1.(1严1严 M,=l+(1严，则 r 为奇数充分性：由 r 为奇数,有|A|=L(T 严 M“+L(_l 产 =+(_ =2 x 0，有 r(A)=厂贝 Ur(%,a2,，叫.)4)=(%+02，。2 +ai,ai+a4,_,+ar,ar+a,)=r故向量组 at+a2,a2+a,a3+a4,-,ar,t+a,.,a,+/线性无关3.设向量组(I)：四,心，4 的秩为一 在 中 任 取 机 个 向 量 得 到 子 组(ID：%,%2,证明：向 量 组(I I)的秩Nr+m-s.证明：令向量组(I I)的秩为5,由余下s-m 个向量与向量组(I I)的极大无关组构成向量组(III)由向量组(H I)与向量组(I)有相同的秩r,向量组(I I I)的向量个数为s-m +/，WB P rm r+m s-4.设名,%，,a,是数域F 上的线性空间V 中的一个线性无关的向量组.讨论向量组%+a2,a2+a,-,an+/线性相关性.讨iP,.(1,2,-,ar)A=(6ZI,a2,.)1 0 0 11 1 0 00 1 1 0=(1+%+。3，+。4,，%+%)0 0 0 1|川按第一行展开有间=1 (一 讨”1 =l+(-l)，+r当r 为奇数时，有 =2 0 0，则r(4)=r有“(%,。2，)=/(%+%+%,%+。4，一 ，氏-1 +%,%+%)=。则向量组a,+%，。2+%，.，%+四线性无关12当r为偶数时，有 同=0,则r(A)rr(al,a2,-,ar)A)=raK+a2,a2+a3,a3+a4,-,ar_t+ar,ar+at)r则向量组a,+a2,a2+a3,-,an+%线性相关5 .设/=(|,2,*J s F ，i =l,2,/线性无关.对每一个添加两个分量得 笈=(即,2,，生”也 也2)尸2，i =l,2,r.证明：4,/V也线性无关.反之，若 夕 凡 线 性 无 关，能否推得四，,见 也线性无关？为什么？证明:由方程由囚,a,线性无关，有r(A)=r(A)=r，则 夕，尸，线性无关B、不能.反例，如_Pr0000 1 0 00 0 1 00 0 0 16 .对于齐次方程组(%+)芭+a2x2+anxn=0一 内+(出+现+-+%乙=0,其 中 象 产0.试讨论a“和满足何种条件时,;=1aixl+a2x2+b)xn=0(1)方程组仅有零解；(2)方程组有非零解，此时，用基础解系表出所有解.证明：(i)系数行列式网aA+b4aafp+a生zf=Izi=l%an+b匕 a2 Q+br=lZ 6+bi=06?2b a“0=(Z+与f=loob13当6/0 且 力 产-方 时，有 40,方程组仅有零解,=|（2）当6=0或%=匕时,/=1有 同=0,方程组有非零解0a.当b=0 时，有 同=al%牝 2-a2%*一明=ai002-0 0 一 -0 0，贝r（A）=n-。2a 0 3-0 0故基础解系由”-1个线性无关向量构成，有X=k,000一a,+攵2:一 +.+&_ 000册b.才卬=-匕时，有 同=。%an%+ba2b，贝 II 九_ 4）=/?_（九-1）=故基础解系由1个向量构成,000000b%1 +2x0-2X3=07.已知方阵B的每一个列向量都是方程组2为-/+云3 =。的解3Xj+工2-工3 =0(1)求;I 的值.(2)证明：忸|=0证明:2-50-22+41-A当a w l时，有同工0,方程组只有零解，有 8=0,则忸|=0141 2-2当4=1时，有 图=0，方程组有非零解，=0 -5 5，则”r(4)=l0 0 0基础解系只有1个向量构成，则8的列向量线性相关，有忸|=08.设A为方阵.请根据方程组(1)加=4和 A x =%的解的情况(以下(a),(b),(c)三种情况)，分别确定如下方程组 1 和 2的解的情况(有解，无解或不能确定)1 (A,bt)x =b2(其中(A,仇)为在4右边加列)所得的矩阵)2(A,b2)x =bt(其中(A,匕2)为在4右边加列匕2所得的矩阵)(a)：(1),(2)都有解；(b)：(1)无解，(2)有 解;(c)：(1),(2)都无解.证明：(a)由(1),(2)都有解，取(1),(2)的解分别为四，a2对于 1 ,取=,有(4,仇)=40 2+4-0 =%，则口 有解；对于 2,取=a,有(A也)x =A%+2-0 =仇，则有解;(b)由(2)有解，取(2)的解为a?对于 1 ，取 工=”,有(4,4)x =A a 2+()=%,则1 1 有解；对 于 ，取 片 ，有(A,%)x =+3()=，由 无解，有不广仇无解，贝I无解；(c)对于 1 ,取 工=,有(A,a)x =A&+仇0 =A%，由(2)无解，有4X1=%无解，则 1 无解；对 于 ，取*=,有(A也)X=AX2+/0=AX2，由 无 解，有人匕二仇无解，贝I 无解.49.设4为l x 矩阵，A产。.如 果 有 非 零 解，取其中一个%，令A,=(a/表示四的转置).如果L i .=0有非零解，再取其一个a 2,令4=(4 2 .如此得至UA，A,，直到A,x =。只有零解为止.问是否存在A使得儿,为,为无穷序列？为什么？若序列有限，可否确定厂的上界？若能确定，则给出上界.证明：由=e只有零解，则A,的行向量线性无关由A,的行向量为维向量，故 4”，否则4的行向量线性相关，有4,4,为有限序列.有r的上界为.1 0 .令四,a?,&是尸 中s个线性无关的向量.证明：存在含个未知量的齐次线性方程组，15使得四,%&是它的一个基础解系证明：把 必看作行向量(i=l,2、s)令=3%则齐次方程a$x X x =%i 的基础解系由n-r(A)=n-s个线性无关的向量构成适当选取S个线性无关的向量用(/=1,2,),使得X =4+分+力1令B“=(A&4 T)，有 2=。,有(AB)=B A=O 则名,4,&是齐次方程8-X,“=冈的一个基础解系11.设A,B,C 是数域尸上的阶方阵，。是可逆矩阵.又设匕是齐次线性方程组A X=9的解空间；匕是齐次线性方程组8 ACX =。的解空间.令Q ai C%,a e F .证明：(1)0是从匕到匕的线性映射.(2)9是同构映射的充要条件是r(8 A)=r(4).(1)证明：取 a,e K，k,l e F有叭k a +/?)=C-(k a +l/3)=k C a +l C (3=k(p a +1啖，则 p 是线性映射X B AC p(a)=B AC(C a)=6.有 ae匕，则 9是从匕到匕的线性映射(2)必要性:9是同构映射，有 d im%=d im 匕，有r(A)=r(8 AC)，又 C 是可逆矩阵，有 r(B A)=r(A)充分性：由r(8 A)=r(4),又C 是可逆矩阵，有 r(8 AC)=r(4)，则两方程的解空间有相同的维数，即(1 而 匕=51!1匕有匕，匕同构，则Q 是同构映射12.设A,B是数域F 上的机x 矩阵,且r a k(A)=r a nk(B).设齐次线性方程组AX =，的B X=0的解空间分别是U ,K.证明：存在尸上的可逆”阶方阵7,使得/(y)=T y(对任意y e。)是。到V的同构映射.证明：由n z 成(A)=r a 欣(B)，则 AX =夕 的B X =6 的解空间有相同个数的线性无关的向量构成，有d i m U=d i m V,贝 l U,V 同构由=r a k(B),则A,B等 价,存在阶可逆矩阵T ,使得A=B C取 y e U，z e V ,贝 U有 B z -Ay=B T y-则 z =T y有/(y)=7 (对任意y e U)是U 到V的同构映射，即证 l l 12 13.设A=的 陶 2 的行向量组是线性方程为+与+/=()的解.,1.2 an-,n令 也 表 示 4中划掉第，列得到的n-阶行列式.(1)证明：f(一 1)0，=o 4的行向量组不是+HFX“=O的基础解系.i=l16(2)令求用,的值.=1(1)证明：方程为+%+X.=0的基础解系由-1个线性无关的向量构成充分性：令阶矩阵4=F,其中 维行向量C =(1,1,1)_a阂=(-1 严 根+(-1)-2必+.+(_ 1严”,=(_ 1)S(T)；M =0 (按第”行展开)1=1则4中必有线性相关的两个行向量当%=(%,如,即,)与a =(1,1,1)线性相关时，有(k,%,我)(k x O)把区代入方程西+色+x“=0,有 江=0,矛盾.当q 与%=(町9 2,，。加)线性相关时，有r(A)n-1,则A的行向量组不是xt+x2 H-=0的基础解系.必要性：4的行向量组不是占+%+x“=0的基础解系，又A的行向量组是线性方程占+/=0的解有r(A)方 程 组(II)为 5 0=O 方 程 组(I I)的一个基础解系的向量个数为2-又/(8)=，则4的列向量线性无关,17则方程组(I I)的一个基础解系为：,“)，(出1，。22,，“2,2)，(4 1，。2,，%.2)15.设线性方程组4X=T有解，其中A=(%)E是数域尸上的矩阵,X =(西,石,居)7，=(仿也，也)7.对于卷个k (l k n 证明：该方程组的任意解的第4 个分量都为0的充分必要条件是，划去增广矩阵(A,夕)的第列后秩要减少1.证明：充分性：把 A 看作列向量组4 =(%,a?，,%)，由4X=?,有+%+%x”=尸由 x*=0，有 a 内+%+%TXI+%+MI+3)-1=r(A)-l =r(al,a2,-,a j._l,at+l,)有方程 .七 +a2x2 H-+a*+|X*+|H-F anxn=,有 解，则有xk=02.3 练习1.当参数a,匕为何值时，以下方程组X +/+X 4 =0士+2%+3,“+。=0 无解？有唯一解？并在有无穷多个解时求出全部解(即一般解或通解)%+4X2+9 3 +少巧=0Xi +8X2+27X3+3X4=b解：令系数矩阵为A,有视为范德蒙德行列式|/1|=(a-3)(a-2)(“-1)(3 -2)(3 -l)(2-l)=2(a-3)(a-2)(a-1)当a H l,2,3 时，有网工0,r(A)=r M)=4 方程有唯一解，由克莱姆法则，有0 111()2 3。0 4 9 a28 8 2 7 a3IT0 1110 2 3 a0 4 9 a26 8 2 7 a 32(3)(Q 2)(1)-b(a -3)(Q-2)(3-2)_ -b2(6 Z-3)(-2)(t z-l)-2(t z-l)1810111011103a103a109a2109a21b2 7a31b2 7a32(a 3)(。2)(t z 1)2(t z 3)(a-2)(7 1)110 11 1 0 11 2 0a1 2 0a1 4 0/1 4 0 a219 b/I 9 b a32(a-3)(a-2)(1)111011101 2 3 01 2 3 01 4 9 01 4 9 01 9 2 7 b1 9 2 7 b仇 3)(1)(3-1)_ b2(。-3)(。-2)(。-1)a-2-b(a -2)(a-1)(2 -1)_ -b2(一 3)(2)(a 1)2(7 3)(3-2)(3-1)(2-1)bhl2(a 3)(。2)(a 1)(a 3)(。一 2)(1)当a=1时,11110 111171-2 3 11 1 4 9 11 8 2 7 10 0 1 0 00 0 0 2 0b 0 0 0 0000b则当q =l,匕HO时，有，(A)r(N),方程无解;当 a=1,8 =0 时,有r(A)=r(A)=30 0b 00 0 11 0 00 2 00 0 0000b则当。=1,bHO时，有r(A)r(A),方程无解;当 a=1,b =0 时,有 r(A)=r(A)=3 4,方程有无穷解，X =%(l,0,0,T)为常数)当a=2时,11110 1 0 0I-1 1 2 3 2A -1 1 1 4 9 41 8 2 7 80 0 1 00 0 0 2b 0 0 00100000b则当a=2,匹0时，有r(A)r(A),方程无解:19当a=2,6 =0 时,有 r(A)=r(A)=3 4,方程有无穷解，X =k(O,l,O,-l)(k 为常数)当。=3 时,匕H OB寸，有 r(A)r(A),方程无解;1111 01 0 0 0 01 2 3 3 0()1 0 0 01 4 9 9 00 0 2 2 01 8 2 7 2 7 b0 0 0 0 b则当。=3,当。=3,8 =0 时，有 r(A)=r(A)=34,方程有无穷解，X =k(0,0,l,-l),(%为常数)2.当/I为何值时，方程组2xt+AX2-x3=1 Ar,-x2+x3=2 有唯一解,4 尤 1+5x-)5 x j =-1有无数多解，无解？在有解时求其解.2 A解：=4 14 5-1 2 21 =2 1-5 45Z-10=(2-1)(5 2+4)0当;IH 1,-1 时，有何关0,r(A)=r(1)=4 方程有唯一解，由克莱姆法则，有1 2 -12 -1 1-1 5 -51 A A 12-10-1 5 0 _ 8(A-1)_ 8(2-1)(5/1+4)-(2-1)(5 2 +4)-5/1+42 1-121 0A 21A2 34 -1-52 4 +4 3 06(2-1)_ 6|A|(2-1)(5 2+4)(A-l)(5 2 +4)-5 A+4-(2-1X5 2 +4)一(几 一 1)(5 2 +4)-5/1+42A 12 A 12-1 24 4 22 1 045 -16 A+5 0(A-1)(2+14)/1+142 1 -1当；1=1时,R14-151-5101-12 T100-1000-110则有 r(A)=r(A)=2-4-55-100051(),则 r(A)=2 2同，i =l,2,力,那么de t(A)().证明：反 证 法，假设de t(A)=O,则方程%巧=0,有非零解.取再满足同 ,卜 0(1 )7=1工 耍=2XjJ=iH iz k闻-zanxi -,洛 卜 Z 卜内I (%kX同)同 0由 Mj Mj即 t%X jj=l0 与=0 矛盾，则假设不成立，故de t(A)w Oa 令/)=a2a22a32fa3。23a33(0 r l)a/an2,31由 0，有/(0)=%W 2 2%。，/(l)=de t(A)假设de t(A)2k小 有 de t(8)w 0,矛盾，则假设不成立.则de t(A)07 .对数域F上的任意矩阵A=(4)冈 和3 =(册).有:r(A)+r(B)Em J L Em J L-BA4B Em可以取到r(A)+r(B)阶子式M,使得|闿/0,有r(C)N r(A)+r(8),即证8.设A=(%)是实数域R上的”阶方阵，满足：%0(1),询1证明：假设(E“-A)X=e有非零解，取X尸0且满足kM m axW I(!；k -t auxj之 k l 一 为%kl=k，l(i -同)o尸 1 j=J=1 j=l与 阳-与 勺=0矛盾，则假设不成立，故(E“-A)X=9只有零解，则怛“-A|w 0,有 纥-A可逆.7=19.设A为s x 型实矩阵，尸e*实向量.证明：线性方程组4 AX=4 一定有解.证明：r(AA)r(AA,AP)=rA(A,fi)r(A)=r(AA),有 r(AA)=r(AA,AJ3)I n-2 nC t X|+6Z|I2+,+X 一|+=一%/)|“一2 na?x,+a2+&x,i+x“=-%有唯一解，并求解.a；%+a：%+x“=-a；由四,。2,%为互不相同的数，有|4*0,则A的行向量线性无关，其延伸组线性无关a；-a；1-2-ax 1证明：系数行列式为|川=名i a/.a 2 1=n(%-。：a；?%11*j n有r(A)=r(A)=n,则方程有唯一解.对于多项式/(y)=y+占了1+x2yn2+-xn_y+x,=023%,产，。都是/(y)=0 的根，由根与系数的关系，有:%(=-(1+a“)x2=axa1+aa3+%a“+-+an_an=(_1)”%的 41 111.设 4,出，。为互不相同的数令V=4%1%其中i v.设a =区,X2-工”)为线性方程组谭V X=。的一个非零解.证明：a 至少有i+l 个非零分量.证明：反证法.假设a 的非零分量个数4 i,令a =(,，七,0,0)x1+x2+xz=011 1得方程组.%占+2+%占=0,得系数行列式qa2,=n(%-4)=lkli再 +a；+毛=0；-a，.有 e =*=o kP-p*P e4+&+=/(A)ooz与k=0 K.