2022-2023学年上海九年级数学上学期同步精讲第7讲平面向量的线性运算(含详解).pdf

第7讲平面向量的线性运算知识一、实数与向量相乘i.平面向量的相关概念(1)向量：既有大小、又有方向的量叫做向量；(2)向量的长度：向量的大小也叫做向量的长度(或向量的模)；(3)零向量：长度为零的向量叫做零向量，记作6；(4)相等的向量：方向相同且长度相等的两个向量叫做相等的向量;(5)互为相反向量：方向相反且长度相等的两个向量叫做互为相反向量;(6)平行向量：方向相同或相反的两个向量叫做平行向量.2.平面向量的加减法则(1)几个向量相加的多边形法则；(2)向量减法的三角形法则；(3)向量加法的平行四边形法则.3.实数与向量相乘的运算设上是一个实数，。是向量，那么左与。相乘所得的积是一个向量，记作J i a.(1)如果Z w O,且“HO,那么ka的长度卜 卜 闷 对；版的方向：当0时ka与a同方向；当“0时”与a反方向.(2)如果k=0或a =6,那 么=4.实数与向量相乘的运算律设 八为实数，则()加=(?”；(2)(m +n)a =m a+n a 5.平行向量定理如果向量方与非零向量 平行，那么存在唯一的实数加，使=质.6.单位向量单位向量：长度为1的向量叫做单位向量.设 为单位向量，则口=1.单位向量有无数个；不同的单位向量，是指它们的方向不同.对于任意非零向量a ,与它同方向的单位向量记作a。.由实数与向量的乘积可知：a =|a|a o，（）题型探究题型一、向量的相关概念与平面向量定理【例1】（1）（20 20年上海中考课时练习）已知非零向量九b，c，下列条件中，不能 判 定 的是（)A.弟W；B.b，C.a H c b H c D.1 1 _ _a=2 c，。=4c（2）（20 21 上海九年级一模）已知向量值与非零向量。方向相同，且其模为同的2倍：向量5与。方向相反，且其模为同的3倍.则下列等式中成立的是（）2 -2-3-3-A.a=h B.a =b C.a =h D.a =b3 3 2 2（3）（20 20 上海市静安区实验中学九年级课时练习）对 于 非 零 向 量&与 下 列 命 题 是 假 命 题 的 是（）A.若d=5,则同=忖 B.若同=5 ,则1=5C.若&=5,则同=卜5|D.若同=W，则 同=同（4）（20 1 9上海）下列说法中，正确的是（）A.如果k=0,是非零向量，那么%=0 B.如果 是单位向量，那么2=1C.如果份|=|,那么B =Z或坂=-D.己知非零向量,如果向量B=-5 ,那么 口3题型二、作图题【例2】己 知 非 零 向 量 求 作-3a.五 题 型三、向量的表示与相等向量4 b【例3】如图，在平行四边形ABCD中，E、A G、H分别为各边的中点,EG与FH相交于点。设A月=，AD=b,试用向量）或B表示向量OE、。户，并写出图中与OC相等的向量.题型四、向量的运算U 例4填空：AB+BC=；AB+BC+BA=AB-AC+BC=AB+BC+CA=:AE+FC+EF=OA+BC-OC=【例5】计算:,却年;(2)3(2a +5 )-2(3 a-fe)；(3)烬+石 3 9一3侬 Hi【例6】设。、B是已知向量，解关于向量Z的方程22+3 -3 5 =0.7W*【例7】用单位向量e表示下列向量：（1）与 方向相同，且长度为9；（2）B与e方向相反，且长度为5；（3）与 方向相反，且长度为3.5哀 题型五、向量的证明应【例8】已知向量、满 足-巴 丁 =（3 +2），求证：向量 和坂平行.【例 9】已知3+2B=4C?,2 a-b =5 c,其 中 心 0,那么向量 与5 是否平行？/举一反三1.下列说法中，正确的是（）A.一个向量与零相乘，乘积为零B.向量不能与无理数相乘C.非零向量乘以一个负数所得向量比原向量短D.非零向量乘以一个负数所得向量与原向量方向相反2.（2021 上海九年级专题练习）已知:工 和：都是非零向量，在下列选项中，不能判定7/g 的 是（）_ _ _ I A.a/c,b/c B.|a|=|C.a=-3b D-a=-c,h 2 c3.（2020上海市静安区实验中学九年级课时练习）已知1+5=4万，那么了的值为（）A.B.2a C.35 D.4a4.（2020 上海市静安区实验中学九年级课时练习）31与）+1 的长度与方向的关系是（）A.长度相等，方向相同 B.长度相等，方向相反C.长度不等，方向相同 D.长度不等，方向相反5.（2020 上海九年级专题练习）如果向量 与单位向量的方向相反，且长度为3,那么用向量3 表示向量为（）A.a =3eB.a =3eC.e=3aD.e =3a6.（2021 上海九年级一模）已知I、晟是两个单位向量，向量 =3，石=-3瓦，那么下列结论正确的是（）A.I V B.a =-b C.H=W D.同=第7.如图，已 知 求 作-！公（提示：利用三角形的重心）.38.如图，已知点。、E 分别在AABC的边4 8、Z C 上，D E/B C,A D =4,B D =7,试用向量8 c 表示向量诙.9.计算：（-3）x5 =7(a+-4(a-勾+3a=施+*一%10.在四边形 N8CZ)中，AB =a +2b,B C =-4 a-b,C D =-5a-3b.求证：四边形4 8 8 为梯形.知识二、向量的线性运算1.向量的线性运算如果、B是两个不平行的向量，X、y是实数，那 么 刈+该 叫 做、B的线性组合.向量加法、减法、实数与向量相乘以及它们的混合运算叫做向量的线性运算.如2 +5、-3、2夕+3到、-|+（-1月 等，都是向量的线性运算.2.向量的合成与分解如果、B是两个不平行的向量，c =m a+nb（m、是实数），那么向量c就是向量m a与癌的合成；也可以说向量c分解为m a、川两个向量，这时;向量m a与B是向量c分别在。、b方向上的分向量，ma +nb是向量c关于。、坂的分解式.平面上任意一个向量都可以在给定的两个不平行向量的方向上分解.题型探究渠1题型一、作图题【例10】己知两个不平行的向量、尻求 作:3a+2b,a-2b./J网【例11】已知两个不平行的向量、求 作：c i+b -a-2b题型二、向量的线性组合现【例 12】（1）（20 20 上海市静安区实验中学九年级课时练习）如图，O为DABC内一点，点 D、E分别AD 1 Ap 1在 A B、A C ,且筹，黑=；若 砺=M，O C =b，求：用 向 量 入B表示防AB 4 E C 3（20 20 上海九年级一模）如图，在梯形4 3 C D 中，AD/B C,8 c =2 4）,对角线AC、B O相交于点0,设 而=,湎=九试用、B的式子表示向量血.百题型三、向量的分解【例 13 如图，已知向量）、砺 和万、q,求作:（1）向量方分别在西、砺方向上的分向量;（2）向量q分别在C?、砺方向上的分向量.（1）/举一反三1.（20 20上海九年级课时练习）如图，在 平 行 四 边 形 中，E是边/。上一点，C E与8。相交于点O,C E与BA的延长线相交于点G,已知D E=2AE,C E=8.（1）求G E的长：（2）若=A D =b 用、B表示 丽；（3）在 图 中 画 出 氏（不需要写画法，但需要结论）GOB2.（2021 上海九年级一模）如图，四边形48C D是平行四边形，点E是边力。的中点/C、BE相交于点。.设BA=a,CB=b（1）试用a h表示BO;（2）在 图 中 作 出 的 在 丽、丽 上的分向量，并直接用、B表 示 函.（不要求写作法，但要保留作图痕迹，并写明结论）1.（2020 上海市静安区实验中学九年级课时练习）下列各式与31是相等向量的是（）A.4a+2a B.6a-2a C.2b+b D.（5a+a）2.（2020上海市静安区实验中学九年级课时练习）下列说法错误的是（)A.如 果 丽=赤，那么A与B重合 B.若 厉=2丽，则B是0A的中点C.若。4 =2 0 8,则 若 衣=2诟 D.B是0A的 中 点 则OA=2OB3.（20 20上海市静安区实验中学九年级课时练习）如果点C是线段A B的中点，那么下列结论正确的是（）LILUU U LUUlUU UUUA.AC+B C =0 B.AC-B C =0C.AC+B C =Q D.AC-B C =04.（20 21 上海九年级专题练习）已知非零向量、h，且有 =-2万，下列说法中，不正确的是（）A.|a|=21|；B.a D b i C.与B 方向相反；D.a +2b =0-5.（20 20上海九年级一模）已知2，9和 都是非零向量，下列结论中不能判定 口3的 是（）A.“c，b H c B.a =c,b =2c C.a =2b D.|f l|=|6.（2020 上海九年级专题练习）若a =2，向量5和向量不方向相反，且|5|=2|町，则下列结论中不正确的 是（）一 一 1 -A.a 2 B.|5|=4 C.b 4 e D.a -b7.（2021 上海中考真题）如图，已知平行四边形/B C D中，丽=玄 通=5 ,E为 中 点，求;,+5=（）A.E C B.C E C.E D D.D E8.（2021 上海九年级二模）如图，在口/B C中，点。、E分别是边8 C、/C的中点，和8 E交于点G,设 通=4,A E=h，那么向量旃用向量1、万表示为（）AN NN 1 1 1 1 A.a +b B.a +h C.a +b D.a +b3 3 3 3 2 2 2 29.（2021上海九年级一模）己知点是线段43 的中点，那么下列结论中，正确的是（）.A.A M =B M B.A M=-A BC.B M =-AB D.A M +B M =0210.（2021上海）以下说法错误的是（）A.如果24=0，那么=0;B.如果日二一洒，那么|那=2 出|；-2 一C.如果。=/?（5为非零向量），那么a/B;i n _kD.如果小不是与非零向量3 同方向的单位向量，那么值=|初4）.11.（2021 上海九年级一模）已知a是非零向量，力=_2，下列说法中错误的是（）A.在与1 平行 B.B与2 互为相反向量C.b =2 a D.a =12.（2020 上海交大附中九年级期中）下列关于向量的说法中，不正确的个数是（）35）-（3 值-36）=0；匚若同=3W,则=-35 ;若?、是 实 数,则，（疝）=（?）&口如果非零向量5与非零向量1 平行，那么存在唯一的实数，使得6 =,4；如果非零向量乙=族，则 与5所在的直线平行；如果与K分别是G 与b的单位向量，则a0/b.A.2 B.3 C.4 D.513.（2021 上海九年级一模）计算：4 -3-24=.14.（2020上海市位育初级中学九年级期中）化简：3 0 +；杨-2（万-杨=.15.（2021 上海九年级专题练习）已知向量公与工方向相反，长度为6,则&=e16.（2020上海市静安区实验中学九年级课时练习）化简：（1）A B+B C+C D=.（2）A B-A D-D C =.（3）（A B-C D）-（A C-B D）=.17.（2021 上海九年级专题练习）已知向量3,满足关系式石+4（5-2）=。，那 么 可 用 向 量 表 示 向 量；18.（2021 上海松江区九年级二模）如图，已知UZ B CD,是边C。的中点，联结ZE并延长，与 8c的延长线交于点尸.设荏=7而=B,用方,5 表示/为.B19.（2020 上海市静安区实验中学九年级课时练习）如图，已知DEJAC,DFLAB,BD：DC=2：5,设AB=a,B D =b.。出表示：C D,D F,AC,D E.20.（2020 上海市静安区实验中学九年级课时练习）已知、坂都是已知向量，1、都是未知向量，且工+24=0，4 x-y+a +2h=0,求1、y.21.（2021 上海九年级一模）如图，在 n ABC。中，AE平分NMD,AE与 5。交于点尸，AB=1.2,BC=1.8.（1）求 8尸:。尸的值；（2）设 而=,BC=h，求 向 量 砺（用向量入坂表示）.ABC22.（2021 上海九年级一模）如图，一个3x 3的网格.其中点A、B、C、D、M、N、P、Q均为网格点.（1）在点M、N、P、Q中，哪个点和点A、B所构成的三角形与“A B C1相似？请说明理由;（2）设 布=，B C =b,写出向量而关于工坂的分解式.23.（2021 上海九年级一模）如图，已知中，O E 3c，且 0 E经 过 的 重 心 点 G,B D =a，BC=b.（1）试用向量不、万表示向量而；（2）求作向量|（3 1）（不要求写作法，但要指出图中表示结论的向量）.24.（2021 上海）如图，在平行四边形A B C D 中，对角线A C、BD 相交于点O.E为 OC 的中点，连接B E并延长，交边C D 于点F,设 丽=心BC=b.（1）填空：向 量 荏=;（2）填空：向 量 而=,并在图中画出向量而在向量丽和及方向上的分向量.（注：本题结果用含向量、B的式子表示，画图不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量）25.（2020上海交大附中九年级期中）如图，点。、E分 别 在 的 边5 4、C 4的延长线上，且DE/BC,AE=A C,f为A C的中点.（1）设5 2=：,AC=b 试用x W+y i的形式表示几,f i b ；（X、V为实数）（2）作 出 办 在 最、启 上 的 分 向 量.（保留作图痕迹，不写作法，写出结论）第 7 讲平面向量的线性运算知识一、实数与向量相乘1.平面向量的相关概念(1)向量：既有大小、又有方向的量叫做向量；(2)向量的长度：向量的大小也叫做向量的长度(或向量的模)；(3)零向量：长度为零的向量叫做零向量，记作0；(4)相等的向量：方向相同且长度相等的两个向量叫做相等的向量；(5)互为相反向量：方向相反且长度相等的两个向量叫做互为相反向量;(6)平行向量：方向相同或相反的两个向量叫做平行向量.2.平面向量的加减法则(1)几个向量相加的多边形法则；(2)向量减法的三角形法则；(3)向量加法的平行四边形法则.3.实数与向量相乘的运算设是一个实数，是 向量，那么左与 相乘所得的积是一个向量，记作”(1)如果1中如 且0,那么无a的长度|闻=同 利；%”的方向：当k 0时 版 与 同方向；当/a /h 故本选项，不符合题意；C.a/c，bHc，a Hb，故本选项，不符合题意；D.a =2c a=4c,a /b =3A3,则引5=-3之；哀 题 型三、向量的表示与相等向量氏【例3】如图，在平行四边形A8C中，E、F、G、H分别为各边的中点，EG与 切 相 交 于 点0.设4万=,A D =h,试用向量2或B表 示 向 量 诙、O F ,并写出图中与诙相等的向量.【答案】布=;而=-匕，H o d相等的向量有 的;而；丽；丽;亚.2 2【解 析】因 为 四 边 形ABCD是平行四边形，E、F、G、H分别是各边中点，所以利用平行四边形的判定定理可知图中的四个小四边形都是平行四边形，所 以 诙=B=;赤=而=-匕，与。色相等的2 2 2 2向量有 的；而；方；DH;HC五个.哀题型 四、向量的运算【例4】填 空：AB+BC=；AB+BC+CA=AB+BC+BA=；Aft+FC+EF-AB-AC+BC=：OA+BC-OC=【答 案】AC；0；BC；AC-.6：BA.【解 析】此题主要考查向量的加减法则，另外，加减法则之间可以转换，比如=是利用减法法则，箭头指向被减数，同 时 原-恁=福+m=丽+丽=丽，这样运算复杂了，但也是一种思路【例5 1计 算：E创争(2)3(2+5 9-2便 叫;(3)3(2+5-35)-3(9-21-3 3f【答 案】(1)-a-h ；(2)17b；(3)a-b +-c.2 2 2【解 析】(1)a-hla=a-b-a=-a-b；2 2 2 2 2(2)32a+5b)-2(3a-h)=6a+15b-6a+2b=n h；(3)(2a+h-3c-3h c=a+h c-h-3c=a-h+c.2、7 U J 2 2 2 2【例6】设3、B是已知向量，解关于向量)的方程2+3 -3=0.7【答案】c=-h-a.7 2【解析】解：2c+3a-b=0,2c=-h-3a,c=-h-a .7 7 7 2瓦【例7】用单位向量3表示下列向量:(1)与e方向相同，且长度为9；(2)与 方向相反，且长度为5；(3)与 方向相反，且长度为3.5【答案】a=9e；b=-5e；c=e5a【解析】此题主要考查用单位向量工来表示已知向量,=9工=-5；2=-三.题型五、向量的证明电【例8】己 知 向 量 入B满 足 空 父5求证：向量。和B平行.【答案】证明见解析【解析】1-?=1 3 4 +办)去分母：2(a+3b)-5(a-b)=2(3a+2b)去括号：2a+6h 5a+5h=6a+4h移项合并得：7%9系数化1 ：b=-a7所以，向量 和B平行.k【例9】已知3 a+2 b =4 c,2a-b=5c,其 中 那 么 向 量 与 区 是 否 平 行？【答案】平行.）*”3a+2b=4c,解得”2：,根据实数与向量相乘的意义，可 知,?石|,2a-b=5c b=-c所以，向量 与坂平行.“举一反三1 .下列说法中，正确的是（）A.一个向量与零相乘，乘积为零B.向量不能与无理数相乘C.非零向量乘以一个负数所得向量比原向量短D.非零向量乘以一个负数所得向量与原向量方向相反【答案】。【解析】/选项向量与零相乘，结果是零向量；8选项向量可以与任何实数相乘；C选项非零向量乘以一个负数，方向与原向量相反，长度不确定.2.（2 0 2 1 上海九年级专题练习）已知:工和最都是非零向量，在下列选项中，不能判定力/二的是（）-1 A.a/c,b/c B.|a|=|I c-a=-3b D-a=-c,b =2c【答案】B【解析】解：A、a/b/c 力”，故本选项不合题意；B、|；|=|小的模相等，但不一定平行，故本选项符合题意；C、a =-3b a/b 故本选项不合题意；-1 D、a=-c,b =2c ,7/g，故本选项不合题意.故选：B.3.（2020 上海市静安区实验中学九年级课时练习）已知万+5=4万，那么办的 值 为（）A.；B.2a C.3a D.4 a【答案】C【解析】解：a+b =4 a h=4 a-a =3a；故选：C.4.（2020上海市静安区实验中学九年级课时练习）3万与乐+的长度与方向的关系是（）A.长度相等，方向相同 B.长度相等，方向相反C.长度不等，方向相同 D.长度不等，方向相反【答案】A【解析】；25+万=3万，3 1 与2万+M相等向量长度相等，方向相同故选：A5.（2020 上海九年级专题练习）如果向量 与单位向量。的方向相反，且长度为3,那么用向量:表示向量为（)A.a =3e B.a =-3e C.e =3a D.e=-3a【答案】B【解析】解：向量a为单位向量，向量 与向量。方向相反，a -3e.故选：B.6 .（2 0 2 1 上海九年级一模）已知1、1是两个单位向量，向量 =3 1，石=-3 1,那么下列结论正确的是（）A.冢=1 B.a =-b C.H=W D.问=-忖【答案】C【解析】解：匚不、瑟是两个单位向量，方向不一定相同，匚 片与公不一定相等，选项A 错误：q、0 2是两个单位向量，方向不一定相同，口 与 工 不 一定相等，选项B 错误；口=岗=3 邛 卜 卜 3月=3,#=W，选项C正确，选 项 D错误;故选：C7.如图，已知,求作-1 公（提示：利用三角形的重心）.3【答案】图见解析.【解析】作A方=,过点。作线段8 C,使得。是 8c中点，联结/2、A C.取 4C中点，则 N。、8E分别是三角形N 8 C 的中线，根据三角形重心的性质可知：发=-L 为所求作向量.38.如图，已知点。、E分别在AABC的边/8、AC,DE/BC,AD=4,BD=7,试用向量宓表示向量诙.【答案】DE=BC.11AD 4-=一，AB 11DE AD【解析】AD=4,BD=7,又 DEHBC,4 DE=BC.119.计算：(-3)x52=；7(+勾-4(4 一 可 +3a=；茶+可 一 第 一 力-【答案】-15a；6a+l lb；a+b.6 6【解析】(1)(-3)x5a=-15；(2)7(a+石)-4(a +3a=7。+75一4a+4日 +3a=6a4-11/?；(3)-(a +b -(a-b =a +b-a +-b =a +b -2、3V,2 2 3 3 6 610.在四边形/B C D 中，A =+2，B C =-4 a-b,C D =-5a-3b.求证：四边形N8CQ为梯形.【答案】证明过程见解析.【解析】A D =AB +B C +C D =a +2b-4 a-i-5a-3b =-8 a-2b ,B C =-4 a-b,A D =2(-4 a-b)=2 B C,A D I I B C.四边形/8CZ是梯形.知识二、向量的线性运算1.向量的线性运算如果。、6是两个不平行的向量，x、y是实数，那么刈+)石叫做“、6的线性组合.向量加法、减法、实数与向量相乘以及它们的混合运算叫做向量的线性运算.如2+5区、a-3b,2 +3可、+都是向量的线性运算.2.向量的合成与分解如果4、B是两个不平行的向量，c =ma 4-nb(?、是 实 数)，那么向量c就是向量帆4与 方的合成；也可以说向量c分 解 为、两 个向量，这时，向量帆a与 是向量c分别在。方向上的分向量，ma +nb是向量关 于、B的分解式.平面上任意一个向量都可以在给定的两个不平行向量的方向上分解.题型探究题型一、作图题【例10】已知两个不平行的向量、尻求 作:3a+2b,a-2b.【答案】图像见解析.解析】如图,在平面内任取一点O,作 方=,OB=b;再O C =3a,O D=2 b.以OC、O D为邻边，作平行四边形O CED,则O?=3a+2九作向量 丽，则D A =a-2b【答案】图像见解析.【解析】a +h-a-2b =a +h-a +2h=3h-a.如图，在平面内取一点。，作=9 ,。月=3b-再 作A从则2A B=O B-O A =3 b-a.2y 题型二、向量的线性组合队【例 12】（1）（2020上 海市静安区实验中学九年级课时练习）如图，O 为DABC内一点，点 D、E 分别AH 1 AF 1在 AB、AC上，且 筹=；，黑=；若 痂=&，O C =b,求：用 向 量 心B表示品AB 4 E C 3 uci i-【答案】DE=4b 4a【解析】解：券=；,能=:AB 4 E C 3AD AE 1=-AB AC 4 DE BCD E _ A DBC-A B-4 B C =b-a1 -LD E=b-a-4 4(3)(2020 上海九年级一模)如图，在梯形A3c。中，AD I I B C,8C=2 A D,对角线AC、8。相交于点O,设 而=,通=5.试用、B的式子表示向量而.Ba.I _?【答案】=p +V【解析】AD/BC,BC=2ADAO AD iOC-BC-2-A-O-=-1 即Hr l._ 1 .AO=-ACAC 3 3AD=a，而 与 而 同向，:.BC=2aAC=AB+BC=b+2a,1 _ 2/.AO=-b +a3 3君题型三、向量的分解【例13如图，已知向量0 4、。豆和万、q,求作:（1）向量万分别在西、丽方向上的分向量;（2）向量G分别在0 4、o豆方向上的分向量.【答案】（1）私玩是向量万分别在西、砺 方 向 上的分向量.（2）诟、砺 是 向量d分别在 西、而 方 向 上的分向量.【解析】（1）作向量方=万;再过点尸分别 作P E/OA,P D/OB,E为直线P E与 直 线0 B的交点，D为直 线PD与 直 线0 A的交点.作 向 量 历、床.则。方、。后是向量方分别在 丽、丽 方 向 上的分向量.（2）作 丽=，;再过点。分别作。尸 O A,Q G/OB,尸为 直 线。尸与直线08的交点，G为直线QG与直线O A的交点.作向量0 C、。广则O f、。户是向量分别在。4、O启方向上的分向量.“举一反三1.（20 20上海九年级课时练习）如图，在平行四边形/8 C O中，是边/。上一点，C E与8。相交于点O,C E与BA的延长线相交于点G,已知D E=2AE,C E=8.（1）求G E的长；（2）若 两=,AD 用2、石表示丽；（3）在 图 中 画 出 尻（不需要写画法，但需要结论）【答案】（1）G E=4；（2）OB =a-b.,（3）而 即 为 所求，作图见解析【解析】（1）口 四 边 形 是 平 行 四 边 形，A D=B C,A D B C,:AGAES B C,口DE=2AE,GE AE lGC-BC-3 C=8,GE JGE+8-3GE=4.经检验：GE=4符合题意.（2）BD=BA+AD=b-a，DE二BC,DE=2AE,.,.DOEs 8OC,DE OD 2BCOB3OB OB 3而-OD+OB工(3)如图，延长。到H,使得。=/G,连接4/.口 力 BC,:AAGES ABGC,-G-A-=-A-E=一1GB BC 3_G_A_=_ _ _ _G_A_ _ _1=_AB GB-GA 2DH=AG=-B A -a2 2-a +b=AD+DH=AH2而 即 为 所求.2.（2021 上海九年级一模）如图，四 边 形 是 平 行 四 边 形，点 E 是边力。的中点/C、8 E 相交于点O.设BA=a CB=b-（1）试用a h 表示BO;（2）在 图 中 作 出 的 在 无、而上的分向量，并直接用、石 表 示 函.（不要求写作法，但要保留作图痕迹，并写明结论）_ 2 1 _ 2?【答案】（1）BO=-a-b.（2）见解析，CO=-b+-a【解析】解（1）AD/BCOE AE 1BO 二 BE3BO=-B E =-（BA+AE）=-（a-b =-a-b.,3 3 31 2 J 3 3（2）DAEDBC,AO AE _ 1COCB2fCO=-C Af3囱=衿1印+西=洒力!哈如图所示，前 在c Q、丽 上 的 分向量分别为B 和 两.0y课后作业1.（2 02 0 上海市静安区实验中学九年级课时练习）下列各式与3是相等向量的是（）A.4 5+2万 B.6 3-2 5 C.2 5 +5 D.；（5万 +万）【答案】D【解析】解：A选项4 4 +2万=6 1,不符合题意；B选项6。一2 =4 M，不符合题意；c选项2 5+5=3 5；不符合题意；.T T 1T TD选项,（5 a+）=/-6 a =3 a ,符合题意.故选：D.2.（2 02 0 上海市静安区实验中学九年级课时练习）下列说法错误的是（）A.如 果 砺=赤，那么A与B重合 B.若）=2而，则B是OA的中点C.若。A=2 O 3,则 若 丽=2而 D.B是OA的 中 点 则OA=2OB【答案】C【解析】因 为 丽=而 且方向相同，所以A与B重合，此选项正确;B、因 为 况=2而目.方向相同，所以B是0A的中点，此选项正确,C、因为。4=2 0 8,但方向不明确，所 以 方=2万 或 丽=-2通，此选项错误；D、因为B是0A的中点，所以3=2而，此选项正确，符合题意的选项是C,故选：C.3.（2020上海市静安区实验中学九年级课时练习）如果点C是线段AB的中点，那么下列结论正确的是（）A.LILIU LILB1AC+8 c=0B.LILHU LllIUAC-BC=0C.AC+BC=0D.AC-BC=Q【答案】C【解析】解：由题意，匚点C是线段AB的中点，国 啊正 与 而 为相反向量，A C+B C=O；故选：C.4.（2021 上海九年级专题练习）已知非零向量、b，且有 =_2人下列说法中，不正确的是（）A.|=2出|；B.口坂；C.与B 方向相反；D.a+2=0.【答案】D【解析】A.a=-2b表明向量 与-29是同一方向上相同的向量，自然模也相等，口|“|=2出|,该选项不符合题意错误；B.a=-2 b,表明向量Z 与-2石 是同一方向上相同的向量，那么它们是相互平行的，虽然-2 与B 方向相反,但还是相互平行，a另，该选项不符合题意错误；C.a=-2 b,而-2 与各方向相反，与各的方向相反，该选项不符合题意错误；D.0 只表示数量，不表示方向，而 +喇是两个矢量相加是带方向的，应该是之+2；=；，该选项符合题意正确：故选：D5.（2020 上海九年级一模）已知2，石和 都是非零向量，下列结论中不能判定 口看的是（）A.allc b Hc B.a=c,h=2c C.a=2b D.|a|=|【答案】D【解析】解：A.allc i Bc，a b 故本选项错误;B.a-c,b =2c a b 故本选项错误.C.=%，a b，故本选项错误；D.口=向，2 与B 的模相等，但不一定平行，故本选项正确；故选：D.6.（2020上海九年级专题练习）若口=2?,向量5 和向量口方向相反，且|5|=2|町，则下列结论中不正确的 是（）-一 1 -A.|町=2 B.b|=4 C.b=4e D.a=-b【答案】C【解析】4由4=2推知|町=2,故本选项不符合题意.B、由5=4 2推知|5|=4,故本选项不符合题意.C、依题意得：6=-4高,故本选项符合题意.D、依题意得：&=-/,故本选项不符合题意.故选C.-.IC4HBDI.CA=BD.二平行四边形A8CD是矩形.故选：A.7.(2021 上海中考真题)如图，已知平行四边形/BCD中，A*=a,A/5=/；,E为AB中点，求耳1+5=()A.EC B.CE C.ED D.DE【答案】A【解析】四边形/8C O是平行四边形，E为A8中点，-a +h=-AB+BC=EB+BC=EC2 2故选A.8.（2 02 1 上海九年级二模）如图，在一Z 8 C中，点。、E分别是边8 C、4 c的中点，和8 E交于点G,设 标=6，AE =b 那么向量反j用向量1、6表 示 为（）2-2-2 2 -I 1-1 1-A.a +b B.a +h C.a +-b D.a +b3 3 3 3 2 2 2 2【答案】A【解析】解：AB =a AE =b B E =B A+AE =a +b ,AD,B E 是4 8 C的中线，G是I N 3 c的重心，BG=-BE93 2 -2-屁=一4 +1力，故选49.（2 02 1 上海九年级一模）已知点M是线段A B的中点，那么下列结论中，正确的是（）.A.A M =B MC.B M =-AB2【答案】BB.A M-A B2D.A M +B M=O【解析】解：A、A M=M B，故本选项错误:_ _ 1 一B、A M=-A Bf故本选项正确；C 8 M ,故本选项错误；D、A M +B M=Oy,故本选项错误.1 0.（2 02 1 上海）以下说法错误的是（）A.如 果=那么B.如果=-谡，那么|引=2|5|；_ 2 一C.如果4 =。（5为非零向量），那么/5；u u一D.如果小不是与非零向量同方向的单位向量，那 么&引 洲%.【答案】A【解析】A、如果人2=0,那么.6,故该项错误，B、如果=-必，那么|町=2 出|,故该项正确;-2 -C,如果。=彳6（5 为非零向量），那么Z/区，故该项正确；UU_.D、如果旬不是与非零向量公同方向的单位向量，那么口=|&|%,故该项正确；故选：A.1r11.（2 02 1上海九年级一模）已知d是非零向量，力=_ 2 5，下列说法中错误的是（）A.B 与日平行B.8 与 互为相反向量_1 -C.b=2a D.a=-b【答案】B【解析】解：A.因为力=一2（/0），则B与律平行，故此结论正确；B.若两个向量方向相反，大小相等，则为相反向量，故此结论错误；C.因为力=-2-,则历|=2|1|结论正确;D.5=-2彳两边同除以-2，则汗=-；5,故此结论正确.故答案为：B.12.（2020 上海交大附中九年级期中）下列关于向量的说法中，不正确的个数是（）3（f）-（31-3b）=0；口若同=3忖,则G=35;若机、是实数,则?（成）=（?）&；口如果非零向量5与非零向量1平行，那么存在唯一的实数加，使得万=,疝；如果非零向量1=加5,则a与5所在的直线平行；如果与ba分别是1与B的单位向量，则a0 HbnA.2 B.3 C.4 D.5【答案】C【解析】3（6方）-（3及 一35）=3（汗-5）-3（万 5）=0,该选项正确；若同=3问，向量既有大小，也有方向，故不确定，该选项错误；.若?、是 实数，则，（位）=（?）,该选项正确；如果非零向量5 与非零向量1 平行，那么存在唯一的实数加，使得万=3，该选项正确；I 如 果 非 零 向 量 蕨，可得万、5 方向相同，则万与5 所在的直线平行，该选项正确；如果a 与b不平行，则 与总也不平行，该选项错误.综上，匚二口正确，共4 个.故选：C.13.（2 02 1 上海九年级一模）计算：4-3（-2 ）=.【答案】a +6h【解析】解：4 a-3（a-2b）=4 a-3a +6b=+6B故答案为:a +6b -14.（2 02 0 上海市位育初级中学九年级期中）化简：3 0 +g b）-2（万-5）=.【答案】a +7 h-_-3 3 7-【解析】解：3（a +h）2（a b）3a+b 2c i+2b （3 -2）a （+2）j j a-h2 2 2 27 _故答案是：a +b.15.（2 02 1 上海九年级专题练习）已知向量公与工方向相反，长度为6,则&=e【答案】-6【解析】向量屋与工方向相反，长度为6,a=-6e 故填：6.16.(2020 上海市静安区实验中学九年级课时练习)化简：(1)AB+BC+CD=.(2)A B-A b-D C=.(3)(A B-C D)-(A C-B D)=.【答案】AD CB 0【解析】解：(1)AB+BC+CD=AC+CD=AD;LILIU UL1IU UL1U U llU IIUIB U U(2)AB-AD-DC=DB-DC=CB-,(3)(AB-CD)-(.AC-BD)=AB+BD-CD-AC=AD+DC+CA=6 ；故答案为：AD-CB 6.17.(2021 上海九年级专题练习)已知向量 花，满足关系式%+4(B-3)=6,那么可用向量2石表示向量；【答案】+b4【解析】解：石+4-1)=0,3a+4 坂=4x故答案是：一+b .418.（2 02 1 上海松江区九年级二模）如图，已知口48。，是边。的中点，联结N E并延长，与8 c的延长线交于点尸.设入月=6,用区5表示而:为.【答案】a +2h【解析】解：在山18C D中，C D口AC.口 E是边8的中点，C E是：N 8尸的中位线，B C=C F.在 四 边 形 中，AD=B C,A D =b，则而 2前=2诟=2 B.AB =a,AF A B+B F a+2 b .故答案是：a+2 B.19.（2 02 0上海市静安区实验中学九年级课时练习）如图，已知DE DA C,DF DA B,BD：DC=2：5,设A B=a,B D =b .表示：C D D F,AC,D E .AB瓦DC_ 5 _ 5 _ 7 _ o【答案】CD=-b-DF=-a-AC=-b；DE=-a-b2 7 2 7【解析】CBD：DC=2：5,CD=-B D =-bf BD：BC=2：7,CD：BC=5：7,2 2 DF AB,DF CD 5DF=-=-a,7 7 BD：BC=2：7,BC=-b,2Z=丽+元=+兀2 DE/AC,DE BD 2-=一，AC BC 7 2 2-7.2.一DE=AC=（a+h）=a-b.7 7 2 720.（2020 上海市静安区实验中学九年级课时练习）已知、B都是已知向量，1、都是未知向量，且（+2a=。，x-y +a+lb=0,求1、y.【答案】x=-2a;y=-7a+2h【解析】解：1+2口 =6，x=-2a;4x-y+a+2b=6,一 8万 一 y +万 +2 行=0,y =-71+2 5；2 1.（2 02 1 上海九年级一模）如图，在口 A 8 C Q 中，A E