2023届新高考数学（新高考Ⅰ卷）模拟试卷十六（学生版+解析版）.pdf

绝密启用前2023年普通高等学校招生全国统一考试新高考I卷数学模拟卷十六学校：姓名：一 一班级：考号：一题号一二三四总分得分注意：本试卷包含I、H两卷。第I卷为选择题，所有答案必须用2 B铅笔涂在答题卡中相应的位置。第I I卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。答案写在试卷上均无效，不予记分。第I卷(选择题)一、单选题：本题共8 小题，每小题5 分，共 40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知全集=x|x W 4,A=x-2 x 3,B=x|-3 x 2 ,则(C M U(Q B)=()A.(-8,-2 U(2,+oo)B.(-oo,-2 U(2,4JC.(-00,-2)U 2,4 D.(-3,42.已知i是虚数单位，若2=当为纯虚数，则实数a=()1+1 A.1 B.2 C.-1 D.-23 .若*6 =a。+&(x +1)+1)2 +1)3 +。6(%+1)6,则(X 3 =()A.20 B.-20 C.15 D.-154.下列说法中正确的是()A.已知随机变量X服从二项分布8(4,1 则E(X)=|B.4 与B是互斥事件”是“4 与B互为对立事件”的充分不必要条件C.己知随机变量X的方差为。(X),则O(2X-3)=2D(X)-3D.已知随机变量X服从正态分布N(4,d)且P(X 6)=0.8 5,则P(2 1 B.a -2 3 C.a 31 D.a 78 .已知双曲线C$-=l(a 0,b 0)的左、右焦点分别为&、F2,M、N 为双曲线一条渐近线上的两点,4为双曲线的右顶点，若四边形M&N F 2 为矩形，且 M A N =y,则双曲线C 的离心率为()A.V 3 B.V 7 ,4 D.V 1 3二、多选题：本题共4 小题，每小题5 分，共 2 0 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对得5 分，部分选对得2分，有选错的得。分。9 .下列说法正确的是()A.为了更好地开展创文创卫工作，需要对在校中小学生参加社会实践活动的意向进行调查，拟采用分层抽样的方法从该地区4B C。四个学校中抽取一个容量为40 0的样本进行调查，已知2 B C D 四校人数之比为7:4:3:6,则应从B 校中抽取的样本数量为8 0B.6 件产品中有4件正品，2 件次品，从中任取2 件，则至少取到1 件次品的概率为0.6C.己知变量x、y 线性相关，由样本数据算得线性回归方程是#=0.4x +Q,且由样本数据算得元=4,歹=3.7,则8 =2.1D.箱子中有4个红球、2 个白球共6 个小球，依次不放回地抽取2 个小球，记事件M=第一次取得红球,N=第二次取得红球,则M、N 为相互独立事件1 0 .已知函数/(x)=c o s E(x -2)-s i n(x +2),则()A.函数/(X)的图像关于y 轴对称B.x 2,4 时,函 数 的 值 域 为 1,外C.函数/(x)的图像关于点(5,0)中心对称D.函数/(x)的最小正周期是81 1.已知圆C过点4(1,3)、8(2,2),直线m:3 x-2 y =0 平分圆C 的面积，过点。(0,1)且斜率为k 的直线/与圆C有两个不同的交点M、N,则()A.圆心的坐标为C(2,3)B.圆C 的方程为(x -2)2+(y -3尸=1C.k 的取值范围为(；,9D.当k =货寸，弦MN 的 长 为?1 2.已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数，当x 0 时，/(x)=-ex(x-1)B.函数/(x)有3个零点C./(%)0 的解集为(一 8,1)U (0,1)D.VXi，x2 e R,都有D(%i)f(%2)l 2第I I卷(非选择题)三 填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共 2 0 分。1 3.若直线I 的方向向量访=(x,-1,2),平面a 的法向量记=(-2,-2,4),且直线1 J L平面a,则实数x 的值是一1 4.已知抛物线/=2 y 上有两动点P、Q,且|P Q|=5,则线段P Q 的中点到x 轴距离的最小值是一.15 .已知函数(二,若对任意0 1 外，恒有J 3)m xt-x2则实数m的 取 值 范 围 是.16.用g(/i)表示自然数n 的所有正因数中最大的那个奇数，例如：9 的正因数有1、3、9,g(9)=9,10的正因数有 1、2、5、10,g(10)=5 记S(n)=g(l)+g(2)+g(3)+。(2 刃，则(1)S(4)=.(2)S(n)=.四、解答题：本题共6 小题，共 7 0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17 .在 A B C 中，内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,已知a -b co s C=3 cs i nB，3角C 的内角平分线与边4 8 交于点D.(1)求角B 的大小；(2)记8 C。，4 CD的面积分别为Si，S2,在c=2,b=S-B C=等，b=J 7,A C 这两个条件中任选一个作为已知，求在的值.3218.已知数列 即 的前n项的和为Sn,且满足%=2 0n-l(n e N*).(1)求数列 即 的通项公式即及%;(2)若数列也 满足垢=|Sn-3 1|,求数列 与 的前几项的和419.筝形是指有一条对角线所在直线为对称轴的四边形.如图，四边形4 B CD是一个筝形,AB=AD =V3,CD =CB=1,AC=2,沿对角线AC将 4 0C折起到E点，形成四棱锥E-ZB CD.(I )点M为线段AE中点，求证：B M平面ECD;(口)当 班=|时，求直线BC与平面EAD所成角的正弦值.2 0.某市为了解2022年春节期间市民旅游出行的方式及满意程度，对去往该市区内甲、乙、丙三个景点旅游的市民进行了调查.现从中随机抽取100人作为样本，得到如表(单位：人)满意度得分甲乙丙报团游自驾游报团游自驾游报团游自驾游10分12112107145分4144490分107217合计17223161230(1)从样本中任取1人，求这人没去丙景点的概率；(2)根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率.针对甲、乙、丙三个景点，从全市春节期间旅游出行选自驾游的所有人中，随机选取2人，记X为去乙景点的人数，求X 的分布列和数学期望；(3)如果王某要去甲、乙、丙三个景点旅游，那么以满意度得分的均值为依据，你建议王某是报团游还是自驾游说明理由.21.在平面直角坐标系xOy中，设F为椭圆C:5+，=l(a 0,b 0)的左焦点，直线x=一右与x轴交于点P,M为椭圆C的左顶点，已知椭圆长轴长为8,且 丽=2FM.C(1)求椭圆C的标准方程；(2)若过点P的直线与椭圆交于两点A、B,设直线4尸、BF的斜率分别为七、k2.求证：的+心 为定值；求力 BF面积的最大值.22.已知函数/1(x)=3尤 3 4%2 x.(1)若x e 0,2,求f(x)的值域;(2)若x/(x)+2ex-1+a2x2lnx-axlnx 0.求实数a的取值范围.绝密启用前2 0 2 3年普通高等学校招生全国统一考试新高考I卷数学模拟卷十六学校:姓名：一 班级：.考号：一题号一二三四总分得分注意：本试卷包含I、II两卷。第I卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。第1【卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。答案写在试卷上均无效，不予记分。第I卷(选择题)一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共4 0分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。2 3.己知全集 U=W 4,A=x-2 x 3),B=(x-3 x 2 ,则(QZ)U(CuB)=()A.(-oo,-2 U(2,+oo)B.(-oo,-2 U(2,4C.(-oo,-2)U 2,4 D.(-3,4【答案】B【解析】【分析】根据全集U求出A的补集，找出4补集与B补集的并集即可.此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键.【解答】解：.全集U=x|x 4,A=x|-2 x 3,=x|3 x 2,:.QVA=xx -2或3 x 4,QuB=xx -3或2 x W 4(CMU(CuB)=(-8,-2 乂2,4,故 选:B.2 4.已知i是虚数单位，若2=署 为 纯 虚 数，则实数a=()A.1 B.2 C.-1 D.-2【答案】C【解析】【分析】本题考查了复数的运算法则、纯虚数的定义，属于基础题.利用复数的运算法则、纯虚数的定义即可得出.【解答】解：“币气1+/二广 为 纯 虚数,=0贝，解得a=-l，*0I 2故选C.25.若/=劭+%(%+1)+a2。+1)2+1尸 H-F a6(x+I)6.则a?=()A.20 B.-20 C.15 D.-15【答案】B【解析】【分析】本题考查了二项式定理的应用问题，是基础题.由”=(X+1)-16,根据二项式展开式即可求出展开式的第4项系数.【解答】解：-.6=(%+1)-16,展开式的第4项系数就是。3，=(-l)3Cg=-20.故选B.26.下列说法中正确的是()A.己知随机变量X服从二项分布B(4,6则E(X)=?B.4与B是互斥事件”是“4 与B互为对立事件”的充分不必要条件C.已知随机变量X的方差为)(X),则O(2X-3)=2D(X)-3D.已知随机变量X服从正态分布N(4,o2)且p(x 6)=0.85,则P(2 X 4)=0.35【答案】D【解析】【分析】本题考查二项分布的期望、事件的关系、筒易逻辑的判断、方差和正态分布，属于基础题.利用二项分布的期望、事件的关系、简易逻辑的判断、方差和正态分布逐个判断即可.【解答】解：已知随机变量X s 8(4,，则E(X)=4x 1 =g,故A错误；充分性：“4与B是互斥事件”#“4与B互为对立事件”，充分性不成立；必要性：4与B是互斥事件”u “4与B互为对立事件”，必要性成立.因 此“A与B是互斥事件”是“4与B互为对立事件”的必要不充分条件，故8错误D(2 X-3)=4D(X),故 C错误;因为随机变量XSN(4Q2),P(X 6)=0.85,所以P(XW2)=0.1 5,所以P(2 0,则导函数化为：y =花+2反+3=干 净4-7(t)=t +|+2 V 3,t 0,已知该函数在(0,6)上递减，在(祗+8)上递增,/(C)m t n=/(V 3)=4 V 3.且t-或tT+8时，/(t)-+0 0.y G (0,y )直线的倾斜角为a(0 a T T),故0 tana 3 6 a 6(0,勺.o故选：A.先对原函数求导数，然后求出导函数的值域，即为切线斜率的取值范围，结合正切函数的单调性求角的范围.本题考查了导数的几何意义以及正切函数的单调性，考查运算求解能力，属于中档题.2 8.蹴鞠，又名蹴球，踢圆等，蹴有用脚蹴、踢、蹋的含义，鞠最早系外包皮革、内实米糠的球.因而蹴鞠就是指古人以脚蹴，蹋、踢皮球的活动，类似今日的足球。2 0 0 6年5月2 0日，蹴鞠已作为非物质文化遗产经国务院批准列入第一批国家非物质文化遗产名录。己知某鞠的表面上有五个点P、4、B、C、。恰好构成一正四棱锥P-4 B C D,若该棱锥的高为8,底面边长为4/，则该鞠的表面积为()A.64 7 r B.1 0 0兀 C.1 3 2 7 r D.1 4 4 7 r【答案】B【解析】【分析】本题考查球的表面积，属于中档题.设P 在底面2 B C D 上的射影为。，因为四棱锥为正四棱锥，设。为球的球心，球的半径为R,则。在 P 0 上，又 2=0 0 2+0 5 2 即:R 2 =（8-R）2+4 2,求得 R =5,即可求解；【解答】解：设P 在底面4 B C D 上的射影为0 ,因为四棱锥为正四棱锥，所以底面4 B C D 为正方形，0 为底面的中心，又因为底面边长为4 V L O C=4,设0 为球的球心，球的半径为R,若0 在线段P。上，如图所示：则0 0，=8 R,X 0 C2=O O 2+O C2,即：/?2=(8-R)2 +42 R=5,S=4 nR2=lO O z r.若0 在线段P 0 的延长线上，贝|0。=/?-8,又0 c 2 =。，2+。，。2,即：/?2=(/?-8)2+42 ./?=5 1 B.a -23 C.a 31 D.a 7【答案】A【解析】【分 析】本题考查某函数的定义以及函数的单调性问题，考查求函数的值域问题，根据基函数的定义以及函数的单调性求出f(x)的解析式，分别求出f(x),g(x)的值域，问题转化为关于a的不等 式，求出a的范围即可.【解 答】解：因为累函数/(X)=(小一 l)2 xmJ 4 m+2在(0,+8)上单调递增，所 以 ，加一 1=1=巾=0,即/3)=/,x e 1,5 则/(X)=M 的值域为 1,2 5,又因为函数g(x)=2 X-a在R上为增函数，所以*C 1,5,g(x)的值域为 2 -a,2$-a,因为V X 1 6 1,5,3X2 e 1,5.使得/1(7)之 g(X 2)成立，所以1 2 2-a,解得a 2 1.3 0.已 知 双 曲 线 一，=l(a 0,b 0)的左、右焦点分别为F i、F2,M、N为双曲线一条渐近线上的两点，4为双曲线的右顶点，若四边形M&NB为矩形，且4 M A N =学，则双曲线C的离心率为()A.V3 B.V7 C.4 D.y/13【答 案】C【解 析】【分 析】本题考查求双曲线的离心率，属于一般题.求出M,N的坐标，利 用 余 弦 定 理 得 炉=g a 2,进而可求离心率.【解 答】解：如 图，因为四边形M&N F 2为矩形，所 以|MN|=I&F 2 I =2 c(矩形的对角线相等),所以以M N为直径的圆的方程为/+/=2.直线M N为双曲线的一条渐近线，不妨设其方程为y=由.by=aX-女2+y 2 =所以N(a,b),M(-a,-b)或N(-a,-b),M(a,b).不妨设N(a,b),M(-a,-d),又4(a,0),所以|A M|=J (a +Q)2 +b?=V 4 a2+&2 AN=J(a a)2 +b2=b.在AMN中，Z-MAN=y,由余弦定理得|MN=AM2+AN2 一 2AMANcos-t即4c2=4Q2+82+%2+,4Q2+岳 x 力，则2b=y/4 a2+b2所以4b2=4a2+b?,则b?=|a2,所以e=”=亨.故选C.二、多选题：本题共4 小题，每小题5 分，共 20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对得5 分，部分选对得2 分，有选错的得。分。3 1.下列说法正确的是()A.为了更好地开展创文创卫工作，需要对在校中小学生参加社会实践活动的意向进行调查，拟采用分层抽样的方法从该地区4BCD四个学校中抽取一个容量为400的样本进行调查，已知ABCD四校人数之比为7:4:3:6,则应从B校中抽取的样本数量为80B.6件产品中有4件正品，2件次品，从中任取2件，则至少取到1件次品的概率为0.6C.已知变量、y线性相关，由样本数据算得线性回归方程是5=O.4x+,且由样本数据算得元=4,y=3.7,则6=2.1D.箱子中有4个红球、2个白球共6个小球，依次不放回地抽取2个小球，记事件M=第一次取得红球,N=第二次取得红球,则M、N为相互独立事件【答案】ABC【解析】【分析】本题考查命题真假的判定，涉及分层随机抽样、古典概型、线性回归方程、相互独立事件等知识，属于基础题.根据相关知识逐分析求解即可.【解答】解：4 由分层随机抽样可知，应抽取人数为A正确；7+4+o+oB.至少取到1件次品的概率为1-终=I，B 正确;5C.1 回归直线必过样本中心点(4,3.7),0 4 x 4 +2=3.7,即&=2.1，C 正确；。.由于第一次取到球不放回，因此会对第2次取球的概率产生影响，因此M、N不是相互独立事件.故选：ABC.3 2.已知函数f(x)=cosE(x-2)-sing(x+2),贝 i j()A.函数/(x)的图像关于y轴对称B.x G 2,4时,函数f(x)的值域为1,夜C.函数/(X)的图像关于点(5,0)中心对称D.函数/(x)的最小正周期是8【答案】BCD【解析】解：/(x)=cosg(x-2)-sinJ(x+2)/7T TTx/兀 7T IT=cos(-x-sm(-x 4-)=sin-x-cos-%=Vising%一4 当 =0时，则f(0)二&工企，.A错误，B：当x E 2,4,即时，s in(+E)停,1，/(x)1,迎，正确，C：当 =5时,则 f(5)=或 sizur=0，正确，0：,.7=誓=8,.函数/(%)的最小正周期是8,.。正确，4故选：BCD.利用两角和与差的正弦公式，诱导公式得到f(x)=&s in x-3,再利用正弦函数的图象与性质求解即可.本题考查的知识点是两角和与差的正弦公式，诱导公式，正弦函数的图象与性质，属于中档题.3 3.已知圆C过点4(1,3)、8(2,2),直线?n:3x-2y=0平分圆C的面积，过点0(0,1)且斜率为 的直线/与圆C有两个不同的交点M、N,贝 i j()A.圆心的坐标为C(2,3)B.圆C的方程为(x-2 +(y-3/=1C.k的取值范围为 I)D.当k 时，弦MN的长为独25【答案】ABD【解析】【分析】本题主要考查了直线与圆的位置关系，考查圆的方程的综合应用，属于中档题.设圆的标准方程为(x-a)2 +(y b)2=N,根据已知条件由圆C被直线nr平分，结合点4,B在圆上建立关于a,b,r 的方程组，即可求出圆C的方程，再利用点到直线的距离建立关于k的不等式，即可得到实数k的取值范围，进而也可求得当k =；时，弦M N的长，进而选出符合要求的选项.【解答】解:设圆的标准方程为(%-a)2+(y -by=r2,因为圆C被直线m：3%-2 y =0平分，所以圆心C(a,b)在直线m上，可得3 a -2 b =0,由题目条件已知圆。过点4(1,3),3(2,2),.(1-a)2 4-(3-ft)2=r2、1(2 a)2+(2 -b)2=r2综上可解得a =2,b =3,r =1,所以圆心的坐标为C(2,3),选项A正确；圆C的方程为(2)2 +(y 3)2=r2=1,选项B正确；根据题目条件已知过点。(0,1)且斜率为k的直线I方程为y =/c x +l,即 y 4-1 =0,又直线/与圆C有两个不同的交点M,N,所以点C(2,3)到直线I的距离小于半径r,则利用点到直线的距离公式可得：|2上-3+1|解得k的取值范围为：此 卜 竺 ,所 以 选 项C错误；3 3当k =1时，可求得点C(2,3)到直线/的距离为：|21-3+1|1 2V5r i=-V P+T 匹 s，2所以弦长|M N|=2 V r2-d2=2 x J 1 (等)2=w，所以选项。正确.故选ABD.3 4.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当尤 0时，/(%)=-ex(x-1)B.函数f(x)有3个零点C./(%)0的解集为(-8,-1)u (0,1)D.V%1，%2 6/?,都有|/(%)一/(%2)1 0 时，X 0时，/(x)=-/(-%)=-e-x(-x+1)=e-x(x-1),exx+l),x 0对于B,当x 0时,由/(x)=ex(x-1)=0得x=1,函数/(%)有3个零点一1,0,1,故 B 对；对于C,当x 0时:由/(x)=+1)0得x。时，由/(x)=ex(x-1)0得0 x 1,/(x)0的解集为(一 8,-1)U (0J)，故 C 对；对于D,当x 0 时，由/(%)=e*(x+1)得尸(无)=e*(x+2),由尸(乃=ex(x+2)0得x 0得一2 x0,函数/(%)在(一 8,2)上单调递减，在-2,0)上单调递增，函数/(%)在(一 8,0)上有最小值/(-2)=-e-2,且f(x)=ex(x+1)e-(0+1)=1,又.当x 0 时，/(x)=ex+1)=0时x=1,函数/(x)在(一 8,0)上只有一个零点，二 当x 0时,函数/(外的值域为-e-2,1),由奇函数的图象关于原点对称得函数/(x)在R的值域为u-e-2,1)=(-1,1),.对 Vxi网 W K，都有|/(与)一/(犯)|P Q,再由抛物线的性质得到d=*|P P i|+I Q Q i l)-那(|P F|+I Q F|)_ r 2,即可得到答案.【解答】解：设抛物线/=2 y的焦点为F,点P在抛物线的准线y=-：上的投影为匕，点Q在抛物线的准线y=-：上的投影为Q i，线段P Q的中点为E,设E到x轴的距离为d,则|P P i l +I Q Q J =|P F|+I Q F|?|P Q I =5所以 d=3|P P i|+|Q Q i|)一：2,当且仅当|P F|+|Q F|=|P Q|,即P、F、Q三点共线时等号成立.故答案为2.3 7.已知函数f(x)=：3，2m，若对任意。/如恒有飞 一 1成立,则实数小的取值范围是【答案】(一 8,2 ”4,+8)【解析】解：根据题意，若对任意0/%2,恒有过R 3 X i -X2 即 x j (犯)一X X2fx1)-X2，变形可得：3二 3 2,工 2 X1又由0 v/0)当m S O,g(x)=I=2 -易得g(x)在(0,+8)上为增函数，符合题意,当m 0时，g(x)=,xz,x mX若g(%)在(0,+8)上为增函数，必有t n?_ 2 _ 2m 即巾2 4,综合可得：m 42 或巾N 4,即6的取值范围为(一8,2 U 4,+8)；故答案为：(-00,2 U 4,4-o o).根据题意，将 包 2立 口 曲 2 二，分析可得y=0 1 在(0,+8)上X1-X2 X2 Xi X为增函数，设9(切=号 二(0),结合函数的解析式，对m分情况讨论，结合函数单调性的性质以及判断方法可得m的取值范围，即可得答案.本题考查分段函数的性质以及应用，涉及函数单调性的性质，属于中档题.3 8.用g(n)表示自然数n 的所有正因数中最大的那个奇数，例如：9 的正因数有l、3、9,g(9)=9,1 0 的正因数有 1、2、5、1 0,g(1 0)=5 记S(n)=g(l)+g(2)+g(3)+g(2 ),则(1)S(4)=.(2)S(n)=.【答案】8 64n+23【解析】【分析】本题考查数列的创新题，属于较难题.(1)由题意得：g(n)=n,ill为奇数为 砥 赋 值 可 求 S-(2)利用等差数列和等比数列的求和公式可求S(n).【解答】解：(1)由题意得：g(n)=n,n 为汾数8%E 为偶数S(4)=g +g(2)+g(3)+g(1 6)=。+。+.9(1 5)+g(2)+g(4)+g(1 6)=1 +3 +5 +-+1 5 +g +g(2)+g(8)=6 4 +5(1)+g(3)+g +5(7)+g(2)+g(4)+-+g(8)=6 4 +1 +3 +5 +7 +g(l)+g(2)+g(3)+g(4)=6 4 +1 6 +1 +3 +g +g(2)=8 4 +1 +g(2)=8 5 +5(1)=8 6(2)S(n)=g(l)+g(2)+g(3)+g(4)+g(2n-1)+g(2 )=9(1)+5(1)+9(3)+9(2)+g(2 -1)+g(2-i)=9(1)+5(3)4-+g(2n-1)+g +g(2)+g(2f=1 +3 +2rt 1 +S(zi -1)=4nt +S(n -1)=47 1T+4 n-2 +s(n -2)=4 -i +4 n-2 +4 n-3 +s(n _ 3)=.=4n-1+4 n-2 +4 n-3 +.+4 +S(l)4 九 _ 4 4 九 _ 4 4 4=+。+g(2)=+25(I)=-+2_ 4 九+2=-.四、解答题：本题共6小题，共 7 0 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。3 9.在AA B C 中，内角4,B,C所对的边分别是a,b,c,已知a bc osC=3 c si n B，角C 的3内角平分线与边4 B 交于点D.(1)求角B 的大小；(2)记4 BCD,4 C D 的面积分别为Si，S2,在c =2,b=遮，Sh A B C=当,b=力 C这两个条件中任选一个作为已知，求金的值.【答案】解：(1)因为Q-bcosC=c s in B,由正弦定理可得sinA sinBcosC=-sinCsinB由siziA=sin(F+C)=sinBcosC+sinCcosB nJcosBsinC=y sinCsinB,因为C 6(0,7 T),可得s讥。0,所以cosB=R sin B,即taziB=V3,因为B E(O,T T),所以B=g；(2)选：因为c=2,b=V 3,由余弦定理可得/=a2+c2-2accosB,代入可得/一 2a+1=0,解得Q=1,因为CD平方NA C B,令乙ACD=LBCD=6,则Si=BC-CDsine=CDsind,S2=-AC-CDsinS=CDsin0,2 242 2理得哼选 ：因为SBC=gacs讥8=g x J a c =解得ac=3,由b=夕，再由余弦定理可得力2=a2+c2 2accosB,即7=a2 4-c2 3,可得/+/=10,联立黑 w，解得a=3,c=l,+c=10由CD平方4 4 C B,令乙ACD=LBCD=8,贝|J则Si=BC-CDsind=CDsin9,S2=AC-CDsinB=-CDsinO,则区=也.S2 y/7 7【解析】(1)由a-bcosC=jc s in B，化筒可得ta n B,即可求解；(2)选 ：由余弦定理求得a,令乙ACD=4BCD=0,结合三角形的面积公式求得S S2,即可求得f 的值.选 ：由SAABC=，求得ac=3,利用余弦定理求得a?+c2=1 0,联立方程组即可求得a,c,结合面积公式求得多,5 2,即可求得兴的值.本题考查解三角形，涉及正余弦定理的应用，三角形面积公式的应用，属于中档题.4 0.已 知 数 列 的 前 71项的和为Sn,且满足Sn=2an-l(n 6 N*).(1)求数列 七 的通项公式即及Sn；(2)若数列%满 足%=Sn-3 1|,求数列 bn 的前n项的和【答案】解：(1)由%=2an-1得:Si=2ax 1,即%=1,由S”=2册-1得：Sn+i=2%1+1 1,两式相减得：cin+i=2an+i 2an,即册+i=2an,即数列%是以1为首项,2为公比的等比数列，则 斯=2吁1,则%=三=27 1 1；1 2(2)由知：bn=2n-3 2 ,则b 黑，LZ -DZ,Tl b则当1 W n 4 5时，Tn=(3 2 -21)+(3 2 -22)+(3 2 -2n)=3 2 n -+22+2n)=3 2 n -=3 2 n -2n+1+2,当n 5时，Tn=(3 2-21)+(3 2 -22)+(3 2 -25)+(26-3 2)+(27-3 2)+(2n-3 2)=2T5+(21+22+2n)-3 2 n=2 X 9 8 +2(-2 )-3 2 n =2n+1-3 2 n +1 9 4,1-2则=(3 2 n-2n+1+2,l n 5 【解析】本题考查数列的递推关系、等比数列的通项公式、等比数列的求和、等比数列的判定与证明以及分组求和法，属于中档题；由 =2即一 1得0n+1 =2册,即数列 an是以1为 首 项,2为公比的等比数列，则 即=2rlT,则%=W=2。-1；(2)由(1)知：bn=2n-3 2,贝=呼 一；?现1 5)，分当lWnW5时和当5时，两种情况讨论即可求解；4 1.筝形是指有一条对角线所在直线为对称轴的四边形.如图，四边形4 BCD是一个筝形，A B=A D=V 3,CD =CB=1,AC=2,沿对角线4 c将 4 0 C折起到E点，形成四棱EE-ABCD.(I )点M为线段A E中点，求证：B M平面E C D;(I I)当E B =|时，求直线B C与平面 4。所成角的正弦值.【答案】解：(I)证明：延长AB,DC交于点尸，延长48,DC交于点尸,AD=AB=V3 CD=CB=1,AC=2,则乙4BC=乙 ADC=乙 FBC=,.ACD=乙4cB=Z.FCB=壬所以AABC SiAF BG，所以点B是线段4F中点，又因为点M为线段AE中点，所以MBEF,因为MB U平面ECD，EF u平面ECD,所以BM 平面ECD.(11)作后。1 4。于。，连80,因为出ZE N A 4czs，所以B。工4C,因为E0ClB0=。，EO,。二平面后。,所以，GJ_平面E 0 8,如图建立空间直角坐标系，OE2+OB2-EB2cos/-EOB2OEOBP 0 B =12。,E(一?,0,，BC=(-y,-1,0)，而=（一苧，一|,0），屁=（今 0设平面NED的法向量是元=（x,y,z）,则 有 便 尹,即卜+g=。（DE n=0 lx+V3z=0取y=l,得 可=（一百,1,1）,|%|=遥，|前|=1cos =2誓;=1 同1叫 5直线BC与平面E4D所成角的正弦值为它.5【解析】本题重点考查线面平行的判定和线面角，属于一般题.（I）通过求证MBE F,由线面平行的判定定理即可求证；（口）建立空间直角坐标系，求出平面4ED的法向量，利用向量法即可求解.4 2.某市为了解2022年春节期间市民旅游出行的方式及满意程度，对去往该市区内甲、乙、丙三个景点旅游的市民进行了调查.现从中随机抽取100人作为样本，得到如表（单位：人）（1）从样本中任取1人，求这人没去丙景点的概率;满意度得分甲乙丙报团游自驾游报团游自驾游报团游自驾游10分12112107145分4144490分107217合计17223161230（2）根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率.针对甲、乙、丙三个景点，从全市春节期间旅游出行选自驾游的所有人中，随机选取2人，记X为去乙景点的人数，求X的分布列和数学期望；（3）如果王某要去甲、乙、丙三个景点旅游，那么以满意度得分的均值为依据，你建议王某是报团游还是自驾游说明理由.【答案】解：(1)设事件“从样本中任取1 人，这人没去丙景点”为事件4,由表格中所给数据可得，去甲，乙，丙旅游的人数分别为1 9,3 9,4 2,(2)由题意可得，X 的所有可能取值为0,1,2,从全市十一双节期间旅游出行选自驾游的所有人中，随机取1 人，此人取乙景点的概率为?=4813,P(X=0)=x (1-i)2=p(x =1)=6 x g x (1 -g=iP(X=2)=废 x (i)2=i,故X的分布列为:X012P494919E(X)=Ox-+lx F 2 x =.V J 9 9 9 3(3)由题干所给表格中数据可知，报团游，自驾游的总人数分别为5 2,4 8,得分为1 0 分报团游，自驾游的总人数分别为3 1,2 5,得分为5 分报团游，自驾游的总人数分别为1 2,1 4,得分为0 分报团游，自驾游的总人数分别为9,9,所以从满意度来看，报团游满意度的均值为31X10+12X5+9X05218526自驾游满意度的均值为25X10+14X5+9X048203185 20-一26 3 建议王某选择报团游.【解析】本题主要考查了离散型随机变量及其分布列，需要熟练掌握期望公式,属于中档题.(1)由表格中的数据，结合古典概型的概率计算公式，即可求解.(2)由题意可得，X 的所有可能取值为0,1,2,分别求出对应的概率，即可得X 的分布列，并结合期望公式，即可求解.(3)结合表格中的数据，分别求出抱团游满意度和自驾游满意度的均值，结合均值的比较,即可求解.4 3.在平面直角坐标系x O y 中，设尸为椭圆C:5 +，=l(a 0,b 0)的左焦点，直线x =2-土与x 轴交于点P,M为椭圆C 的左顶点，已知椭圆长轴长为8,且 两=2丽.C(1)求椭圆C 的标准方程;(2)若过点P 的直线与椭圆交于两点4、B,设直线A F、B F 的斜率分别为的、k2.求证：的+公 为定值；求 4 B F 面积的最大值.【答案】解：(1)因为2 a =8,所以a =4,又 丽=2和，所以9 一 a =2(a -c),得c=4(舍)或c=2,所以炉=1 2,所以椭圆C 的标准方程为r+g=1；1 6 1 2(2)由(1)知点P 为(-8,0),焦点尸(一2,0),当4 B 的斜率为0 时，显然自=2 =0,自+优=0.当4 B 的斜率不为0 时，设4 B:x =m y-8,x=m y 8,/+二 _ 得(3 m?+4)y2-4 8my+1 4 4 =0,1 6 十 1 2 一 ，则4 0 即得小？4,即m 2,设4(%1，%)，B(x2,y2),故有y i+、2=黑；，丫 1、2=辞 七，力 _%(加 力 -6)+力(m%-6)m y!-6 my2-6(X1+2)(X2+2)因为y i(m y 2 -6)+y2(my1-6)=-6(yx+y2)=2m -6 =0,所以自+&=0.综上所述，恒 有 七+心=0 为定值.SfB F =SP BF SAPAF=，|P F|,|y i 丫 2|=72标H 72后 0 72,n 、氏即H U XbAFBF =一 加 2,+,4.=-k3Fg_ 4八)+,1“6 -=-3-后-。-I-1T6J-一-、酒T 5=3v3Vm2-4当且仅当3 而 再 力=,即 巾=士等时取等号(此时适合4 0),所以 4 B F 面积的最大值为3 百.【解析】本题考查直线与椭圆的综合运用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想，涉及利用基本不等式求最值.属于较难题.(1)由椭圆长轴长为8 知a =4,由 丽=一 2 百而，得m-a=2(a-c),由此能求出椭圆的标准方程；(2)当4 B 的斜率为0 时，易 得 自+0=0，当4 B 的斜率不为0 时，设4B：x =m y -8，(X=m y-8,由12 y 2 设4(X 1 ,%)，B(%2,%)，运用根与系数的关系及斜率公式化简抬+七即(1-6+71 27=1可.ABF=SPBF 一 Sgjp=旧1 .1%一I当m,运用基本不等式即可得解.3m 2+44 4.已知函数/(%)=3%3 4%2 x.(1)若 W 0,2,求f(x)的值域;(2)若%/(%)+2eT+a2x2lnx axlnx 0.求实数a 的取值范围.【答案】解：(1)函数/(%)=3%3-4,-%,求导得：/(%)=9%2-8%-1=(%-1)(9%+1),xW0,2时，当0%1 时，/(%)0,当IV%0,/(%)在0,1上递减，在口,2上递增，f(X)min=f (1)=12,v/(0)=f(2)6,f(x)m a x=f(2)=6,/(%)的值域为-2,6.(2)v xf(x)+2ex-1+a2x2lnx-axlnx 0,2ex-1+3x4 4x3 +a2x2lnx-axlnx 0,设9(X)=2eT+3x4 4%3 /+a2x2lnx-axlnx,x 0,则 g(x)=2e*-i+I2x3-12x2-2%4-2a2xlnx+a2x-a-alnx,在(0,+8)内g(N O,且g(l)=O,，g(%)mm=9(l)=0，则 1 为g(%)的极值点,g(i)=即彦a=0,解得Q=。或Q=1,当a=0时，g(x)=2ex1+3x4 4x3%2=x(F 3x3 4x2%),x 0,设九(x)=F 3x3-4x2-x,x 0,则八(x)=2 e二 尸)+9x2-8x-1=如 二71)+(9x+D(x-1)=(x-1)(矍+9x+1)，在(0,1)内，/i(x)0,屈)为增函数,h(x)m in=ft(l)=0,则h(%)0,.g(x)0,当Q=1 时，g(x)=2ex-1+3x4 4%3-%2 4-x2lnx xlnx=2exr+3x4 4x3 x2 4-x(x l)/nx,令(p O =(x-l)/nx,%0,4(%)=Inx+1 一3在(。，+8)上单调递增,而(p(i)=o,即o o时，o,w(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+8)上单调递增，3(x)min=9(1)=0，即当 0 时，0,x(x-l)Znx 0 当且仅当 =1时，取“=，,，由a=0的情况知2e*T+3铲-4/-/2 0,当且仅