2022-2023学年人教A版高二数学上学期同步讲义拓展五：空间向量与立体几何大题专项训练(32道)(解析版).pdf

拓展五：空间向量与立体几何大题专项训练（32道）等高频考点考点精析类型一异面直线所成的角（2道）1、（2022湖南岳阳高二期末）如图，在直三棱柱ABC-A8 6 中，侧面44。，侧面41向8,例、N 分别为 8C、AG 的中点，A8=4C=4,A A=3；（1）求证：直线M C/面谢；（2）求 异 面 直 线 与 BN所成角的余弦值.【解题思路】（1）证明平行四边形得线线平行，进而根据线面平行的判定定理即可证明.（2）根据空间直角坐标系根据向量的夹角求线线角.【解题过程】(1)证明：取 的 中 点 P,连 PM、PN因 为 分 别 为 B C、AG的中点，所以MPAC且 M P =g A C ,又在直三棱柱ABC Bg中，G N/A C 且 GN=gAC,所以M P/G N 且M P =GN.所以四边形M P N C|为平行四边形，所以MCJ/PN因为G z 平面A B N,PN B平面ABN,所以直线M C J/平面A8N；解:在直三棱柱A B C AAC中A 4,J 平面A B C,所以A8，AA，又侧面MGC，侧面AA48,平 面 的 ccn平面A A 由 8=明，所 以.，平面4CGA，分别以A C、A A r A 8 所在直线为x，y，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则由题意可知G(4,3,0),3(0,0,4),M 2,3,0),M(2,0,2),所 以 西=(2,3,-2),前=(2,3,T)；MC.BN 2 x 2 +3 x 3 +(-2)x(-4)2 1 7 4 9 3印以|A/C,|B|.2+3 2+(-2)2.2 +3 2 +(-4)2 4 9 3 -所以异面直线M C,与B N所成角的余弦值为生 .4 9 32、(2022江苏省如皋中学高二期末)如图，直三棱柱A B C-A d G 中，AB=A C =AAt=,A B 1 A C,。是棱 BC的中点,(2)求二面角线-A O-G 的余弦值.求异面直线A 4,0 a 所成角的余弦值;【解题思路】(1)建立空间直角坐标系，求出相关各点的坐标，求出福，西，利用向量的夹角公式求得答案;求 出 平 面 平 面 和 平 面A DQ的一个法向量，利用向量夹角公式求得答案.【解题过程】以 丽，衣，羽 为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系A-孙z,则 4(0,0,0),8(1,0,0),线(l,0,l),C(0,l,0),C,(0,1,1),.1 1=(1,0,1),DC.1),A p*c AB1D C y/3/T所以cos=扃研=T，所以直线A弊 QG所成角的余弦值为 日；(2)设m=(x,y,z)为平面BtA D的一个法向量,1 1 A O =(/,/,0),A A =(1,0,1),则 丽 =尤+y=0 尸+y=0m-ABX=x 4-z=0 x 4-z=0令x=1,则 y =-l,z =-L /.m=(1,-1,-1)，同理 A/5 =(g q,0),A C；=(0，l，l)，则n-ADfl.ACx=y +z =0 x+y =0y +z =0 可取平面AQG的一个法向量为=(1,7/)，-m n 1 1则 c o s =.I .=j=-r=川 阿H岛63，由图可知二面角用-AD-C为锐角，所以二面角4-AO-G的余弦值为1.类型二直线与平面的夹角(5 道)J T3、(2 0 2 2广东高二期末)四边形ABCD是平行四边形，N C 8 4 =f,四边形A5EF是梯形,4BE/AF,且ABYAF,AB=8E=；AF=1,BC=&，ABCD ABEF.D(1)求证：ACEF；(2)求直线EC与平面E尸。所成角的正弦值.【解题思路】(D利用余弦定理求出A C,即可得到A C,A fi,由面面垂直的性质得到A C,平面48环,即可得证；(2)建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得；【解题过程】(1)证明：因为43=1,BC=6,NC8A=(,由余弦定理 AC?=AB2+BC 2-2AB-BCCOSNCBA=1 +2-2X1XV XJ=1,2所以 4 c=1,贝!|AC?+4加=Be?,所以 NBAC=W，即 ACJ_AB,又平面 ABC_L平面 4BEF,Yffi ABCD Q Y ABEF=AB,ACu 平面 A8C所以AC_L平面ABEF,又 7七 平面所以AC_LEF；(2)解：如图建立空间直角坐标系，则 解1,1,0)、0,2,0)、C(0,0,l)、0(-1,0,1),所 以 反=(-1,-3)，EF=(-1,1,O),ED=(-2,-l,l),设平面EF。的法向量为 =(x,y,z),所以n-E F-x+y=0.八，令x=l,贝!=n-ED=-2 x-y+z=0 设直线EC与平面EFO所成角为8,则sin，=n 4=式 不=|EC|-|n|V3xVll屈33故直线E C与平面E FD所成角的正弦值为导；D4、（2022云南玉溪高二期末）如图，在四棱锥P-A BCD 中，底面ABC。是矩形，E,尸分别是尸C,AB的中点.证明：EF平面PAD；若 R4Q是边长为2 的等边三角形，AB=6,平 面 尸 平 面 A 8C D,求直线PD与平面。瓦 1所成角的正弦值.【解题思路】（1）由线面平行的判定定理求解即可;（2）建立坐标系，用向量法求解即可【解题过程】（1）取尸。的中点G,连接GE,AG,在A PDC中，G E/D C,B.G E =-D C,2X D C/A B,AF=：AB=；OC,所以GEAF,R G E=A F.所以四边形AFE G为平行四边形,所以跳7/G 4,因为E F Z 平面PAO,G 4 u 平面PA。，所以E F/平面PAZ）.（2）取 AO的中点为0,连接。P,则 OP_L.又平面RW_L平面A 3 C D,贝!OP_L平面A3C.建立如图空间直角坐标系。-型.由已知得P（0,0,6）,（-1,0,0）,月（1，0）,C（-l,/2,0）,今 与所 以 方=（一1,0,一6）,。F=（2,冬0）,E =l等 专），设=（x,y,z）是平面。所 的法向量，则,nD F=0n-DE=02x+-y =021 x/2x+12 2y+,z=0即令 X =l,贝丘=（1,-2垃,G）设直线产。与平面。石 尸 所成的角为PD-n贝！s i n e =j m j三阿H42 x 7 1 2 -3所以直线 物 与 平 面 螭 所成角的正弦值 为 冬5、（2022江苏镇江市实验高级中学高二期末）在四A 3棱锥中，底面A3。为矩形，皿底面-=2,直 线 与 底 面 8 成6。角点M,N 分别是/M,P 5 的中点.（1）求直线P A与平面P3C所成角的正弦值;（2）求二面角尸-N C-。的大小的余弦值.【解题思路】(i)以。为原点，向 量 方、觉、丽 的 方向为x、y、z轴的正方向，建立坐标系，设AO=I,设面PBC的法向量为正=(x“y,Z 1),直线P A与面P B C所成的角为，求出法向量 和 西，再代入公式计算;(2)由(1)知面PBC的法向量为五=(0,b,2),设面CW的法向量为日=(9,%,z?)，求出7=(-6,0/)再代入公式c o s(m，-m-n而计算;【解题过程】(1)以。为原点，向 量 而、反、丽 的 方向为x、3 z轴的正方向，建立坐标系,设4)=1,则 4 3 =2,V也，底面A B CD,：.N A 4 O为直线P A与平面A B C O所成的角,:.Z P A D =60,:.P D =6.0(0,0,0),A(l,0,0),B(l,2,0),C(0,2,0),P(0,0,石)，吟,0,亭，N(；,l当,西=(1,0,-圆 而=(1,2,-我,设面PBC的法向量为正=(.x，z),直线必 与 面P B C所成的角为。,则正方=%+2 y_ 6 z 1=0 且正阮=_司=0,取 4=2,则占=0,y=百，.,.而=(0,道,2),:.m。P Asin 0=n同序/21不 由(1)知面P8 C的法向量为正=(0,6,2),设面C，W的法向量为万=(孙 2)，,丽=(；/,#),D C =(0,2,0),D P =(0,0,73),/.n-D N =x2+y2+y-z,=0 K n-D C-2 y2=0,取Z 2=l,贝!%=-百，%=，M n=(-x/3,0,D，又丁 m-D P=3 0，D P=G 0 二二面角P-N C-。的大小的余弦值为 五.7(2022江苏宿迁高二期末)在直角梯形C E P D中，P D/E C,尸 =8,CE=6,A为 线 段 的 中 点，四边形A3。为正方形.将四边形以BE沿A 8折叠，使 得 外，4),得到如图(2)所示的几何体.(1)求直线产。与平面PCE所成角的正弦值；(2)当尸为线段A B的中点时，求二面角P-C E-F的余弦值.【解题分析】(D (2)建立空间直角坐标系，利用即可向量法计算可得；【解题过程】(1)解：依题意可 得 幺_LA8、P A A D,ABA.AD,如图建立空间直角坐标系，则 4(0,0,0)、8(4,0,0)、C(4,4,0)、(0,4,0)、*0,0,4)、(4,0,2),所 以 在=(O,Y,2),而=(4),而=(O,Y,4),设平面PCE的法向量为1=(x,y,z),所以 ,二八，令y=l,则z=2,x =l,所以方=(1,2),fi-C P-4x-4y+4z =Q n-D P 4 V3设直线P。与平面PCE所成角为凡则5而，=岛=一|H-|DP|4V2XV6 6z(2)解：依题意可得尸(2,0,0),则 行=(2,Y,0),A x.D y-V-/x/B C设、r 平e面-CEF的法向量为加一 =(/o,Z?,、c),所以(一fh CkF =-2a,-4Z?=八0，令Ab=l,m-CE=-4b-2c=0/-n m 3 V6则cos(,g =问 问=3#=6,显然二面角尸_ C E _ F 的锐二面角，Z八pr人所以二面角P-C E-尸的余弦值为 如；/：/C7、(2022湖北咸宁高二期末)如图，在梯形A5C。中，已知A 3=4,AD将 ADM沿 翻 折 至 2加，连接PC,PB.P(1)证明：DMLPC.则机=(-2,1,2),yA=DC=BC=2,M 为 AB 的中点.(2)若二面角P-Z M Z-C 的大小为60。，求 P8 与平面ABCZ)所成角的正弦值.【解题思路】(1)连接A C,交。M 于点O,连接P O,根据线段长度关系可得四边形AMCD为菱形，从而得到。M _L4C,再 根 据 等 腰 三 角 形 证 明 即 可 证 明 OM_L平面PC。，从而得到。尸 C.（2）以。点为坐标原点，建立空间直角坐标系，再 由（1）可得NPOC=60。，进而得到 而，再根据线面角的向量求法求解即可【解题过程】（1）证明：连接A C,交于点。连接尸”因为 AB=4,AD=DC=BC=2,M 为 4B 的中点，所以 AM=AO=C.又四边形4 8 c。为梯形，则 四 边 形 为 菱 形，所以OMJ_AC.又尸。=P M,。是。M 的中点，所以。M_LPO.因为ACu平面PCO,POu平面PCO,ACCPO=O,所以OMJL平面PCO又 PCu平面尸C O,所以ZJMJLPC.（2）以。点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系,因为二面角P-O M-C 的大小为60。，由（1）OM_L平面尸CO,所以NPOC=60。,易得N8AO=60。，则（Ji 3 1 （n n8（2,百,0）,P 0,-,-,PB=2,-,-乙）乙）平面4 8 c o 的一个法向量而=（0,0,1）,设 P 8与平面4 8 c o 所成的角为a,则sin a=|cos隔羽|=,=也，即 网 与 平 面ABCD所成角的正弦值为当 /V 7 14 14类型三平面与平面的夹角（二面角）（12道）8、（2022湖北武汉高二期末）如图，在四棱锥P-A8CZ）中，平面平面A8C。，点 E 为尸C 的中点,AB/CD,CDAD,CD=2AB=2,PA=AD=1,PAAD.(1)证明：BEJL平面PC。；(2)求二面角P-B D-E的余弦值.【解题思路】(1)取尸。的中点尸，连接AF,E F,根据题意证得BEL PC,结合线面垂直的判定定理证得结果；(2)如图建立空间直角坐标系，求得平面尸8 D的法向量为，=0,1,1),平面EBO的法向量为后=(1,1,-1),利用向量所成角的余弦值，进而得到二面角尸-5 O-E的余弦值【解题过程】(1)证明：取即的中点尸，连接A尸，EF,贝（J E F C。，EF=；CD.又 AB/CD ,AB=；C D ,所以 E F/M B,EF =A B,所以四边形ABE尸为平行四边形，所以4尸/B E.因 为 以=A D=1,P F =FD,所以所以BE1.P D因为平面以。_L平面4 BCD,P A 1 A D,所 以“_L平面ABC。，所以A4_LA8,所以 P B=BC=y/i.又点E为PC的中点，所以5E_LPC又PC c P D =D,所以8E_L平面尸CD.(2)以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系,则 A(0,0,0),P(0,0,1),B(1,0,0),D(0,1,0),C(2,1,0),E(1,I，：).于 是 方=(1,0,_1),8力=(-1,1,0),法=(0。|设平面P B D的法向量为I =(4 y ,z J,贝J亍,4 -BD=0 x -z,=0 一,、1八.取 为=1.得勺=1,U-+*=0f 后:n2-BD=011 八得 2%2 2 取 =1.得%二（1,1,一1）.x5+%=0所以8&=瑞=4，所以二面角P-8D-E 的余弦值为9、（2022广东梅州高二期末）如图是一个四棱柱被一个平面所截的几何体，底面ABC。是正方形，M 是 C D的中点，A D=A E=DE=CG=2,BF=,E M A.BD.证明：B D LGM；（2）求平面EMG与平面E F G所成二面角的余弦值.【解题思路】(1)由正方体对角线垂直5O_LAC结合AC/EG可得3 O L E G,结合题意根据线面垂直的判断定理证明；利空空间向量处理面面夹角，cos啊3伍8州.【解题过程】证明：连AC,因为AE/CG,A E =CG,所以四边形AEGC是平行四边形，所以AC/EG,又 8O_LAC,所以 8_LEG,而E G c E M=E,所 以 平 面EMG,因为GM u平面EA/G,所以8O1.GM.(2)解：取 的 中 点0,连E。、O M ,则OM AC E G,所以E、G、M、。四点共面，又8O_L平面EMG,EO u平面EM G,所 以 即_LEO,又EO_LA。，BD?A D D,所以EO_L面ABC。，以。为原点，过。垂直于AO的向外的射线为X轴，。为y轴，0E为Z建立如图空间直角坐标系，则 A（0,-l,0）,（0,1,0）,fi（2,-l,0）,（0,0,/3）,C（2,l,0）,由 而=g亚=星,用，所以小,当 7 /所 以 乔=|2,-一 日，又 函=/=(2,2,0)设 =(x,y,z)为平面EFG的法向量,n-EF =0 r,一，贝 叫n-EG=0由2 x 2y22Z=（），取x=5 可得=（一 点5）,2x+2y=0又 丽=(-2,2,0)是平面EMG的一个法向量,设平面E MG与平面E F G所成的角为0,所以 cos 0=|cos（,B。）=n-BD卜2 6-2闽麻 而 我3+3+25-3110、（2022江西上饶高二期末（理）如图，在四棱锥P-A 3 c o 中，底面ABC D,AB 1 AD,B C /AD,P A=AB BC =A D,E、F 分别为棱 P D、P C 的中点（2）求二面角C-A E-尸的余弦值.（1）作出平面ACE与平面B FE的交线，并说明理由.【解题思路】（D 根据证明平行四边形可得平行线，进而可得四点共面，进而根据交点可找交线.（2）根据空间坐标法，利用法向量的夹角求二面角大小.【解题过程】（1）如图，取 A 3 的中点G,连接3G 交 AC于“，连接E H,则平面ACEA平面8在:以下为证明过程：AB 1 AD,BC /AD,AB=BC =A D ,则四边形 A B C G 为正方形，四边形 8C0G 为平行四边形，.8G=CE=28，又 C D =2 E F,故 B H E F,BH=E FB H E F为平行四边形，：.BF/E H.则，8、尸.E、H 四点共面，平面班又H 平面A C E H为平面ACE与 平 面 1的公共点，又.E 为平面ACE与平面BE尸的公共点 平面 A C E n 平面 BFE =E H 因 为 以 _ 1 _ 底面ABC D,AB,A)u 平面A B C D,所以A4-LA）.由题意可知，AB,AD,AP两两垂直，建立如图所示的空间直角P lB坐标系 O-孙Z,不妨令 24=2,则 A（0,0,0）,C（2,2,0）,P（0,0,2）,E（0,2,1）所 以 衣=（2,2,0）,荏=（0,2,1）,设平面ACE的一个法向量为相=（x,y,z）.由解曲:XX；-得 力（12）.故平面ACE的 一 个 法 向 量 机,=（0,0,2）,荏=（0,2,1）,所 以 通=而 +；定=（1,1,1）设平面A E F的一个法向量为 =（%,%,z（）.由慎晨得d。令 得 X崛8 s/-g-m硼n=显1-而1-4=-2.因为二面角为锐角，所以一面角C-A -尸的余弦值为g11、（2022福建 福州三中高二期末）如图，在三棱锥S-A B C 中,SAB =B C =2,平面平面A B C,。为 AC的中点./侧面SA8为等边三角形，NABC=90C求证：AB1SD,(2)若 定=2可，求二面角5-钻-尸的大小.【解题思路】(1)取A 8中点,由面面垂直和线面垂直性质可证得SE L A B,结合A 8 J_ D E,由线面垂直判 定 可 证 得 平 面S D E,由线面垂直性质可得结论；(2)以E为坐标原点可建立空间直角坐标系，由向量数乘运算可求得尸点坐标，利用二面角的向量求法可求得结果.【解题过程】(1)取A 8中点,连接SE,OE,.SAB为等边三角形,E为 AB 中 点,：.S E1A B,.平面平面A 8 C,平面平面A3C=4 5,S E u平面ABC,;.SE_L平面A B C,又ABi 平面ABC,:.S E Y A B；.R E分别为 AC,A8 中点，.-.D E I/A B,又/A B C =90,二 Afi _L D E,.E,SEu 平面 SUE,DESE=E,.A3 _L 平面 SOE,又 SO u 平面 S/),AB _ L S.(2)以E为坐标原点，丽，丽，丽 为x,y，z轴可建立如图所示空间直角坐标系,则 A（-l,0,0）,5（1,（）,0）,S（0,0,G）,C（l,2,0）,.而=（2,0,0）,设 P（x,y,z）,则 定=（l x,2_y,_z）,SP =x,y,z-,1x=-由 无=2可 得：l-x=2 x32-y=2y,解得：，2片号 z=2（Z-G）23z=-3Bn p（1 2 2,即 电行亍J设平面P A B的法向量=（a,b,c）,则AB-n =2 a =0_ 4 2 2 G ，令 c=l,解得：a =0,b=-5/3,n -fo,-/3,l）；AP-n =-a +-b +-c =O、3 3 3又平面SAB的一个法向量尢=（0,1,0）,（而|=糜=乌“而2由图象知：二面角S-他-尸 为锐二面角，二面角S-A B-P 的大小为O12、（2022四川省成都市新都一中高二期末（理）如图，点。是正方形ABCD的中心，C D L D E,C D/E F,若直线OE与平面ABCZ）所成角的正弦值为由，求二面角E-A C-F 的余弦值.3【解题思路】（1）由正方形性质和线面垂直判定可知AC J平面O D E,由此可得AC_LE,结合CD上D E,由线面垂直的判定可得结论；（2）以。为坐标原点建立空间直角坐标系，根据线面角定义可求得E D=1,利用二面角的向量求法可求得结果.【解题过程】(1)；四边形ABC为正方形，:.ACLBD,又ACJ_OE,BDcOE=O,BDQEu平面ODE,AC_L平面ODE,.)Eu 平面 ODE,/.AC ID E；又CDL DE,ACnCO=C,A C,8 u平面 A3C),;.E0_L 平面 4BCD.(2)UUU ULllfl UUU1以。为坐标原点，。4。,。的正方向为兑，2轴，可建立如图所示空间直角坐标系,.ED_L 平面 A8CD,直线OE与平面ABCD所成角为NEOD,sin ZEODEDOEED _73+功 3解得：ED=1；.（0,0,1）,A（2,0,0）,C（0,2,0）,F（0,1,1）,.而=（-2,2,0）,AE=（-2,0,1）.CF=（O,-l,l）,设平面EAC的法向量=(x,y z),ACn=-2x+2y=QAEn=-2x+z=0令x=l解得：y=i,z=2,=1,2）；设平面F A C的法向量z=（4,/?,c）,r.A C -in=-2a+2/?=0则 CF fh=-b+c=O令 a=l解得：b=/.cos =m n _ 4 _ 22|m|-|n|V6X5/3 3二面角E-A C-F为锐二面角,二面角E-A C-尸的余弦值为 逑.313、（2022重庆市实验中学高二期末）已知底面A3CQ为菱形的直四棱柱，被平面AEFG所截几何体如图所示.(1)若 CE_LBG,求证:FG LBG；若 AB=2,Z D A B =6（f,三棱锥GACZ）的 体 积 为 矩，直线A尸与底面A5CD所成角的正切值为正,3 2求锐二面角A-E C-8 的余弦值.【解题思路】（D 根据题意可证4C，平 面 8 D G,可得A C L 8 G,得证8G_L平面4 C E,得 8 G J _ A ,再根据面面平行的性质可证FGAE；（2）根据题意可得G=2,FC=3,利用空间向量求二面角.【解题过程】（1）连接5。，交 AC于点O,底面ABCO为菱形，由直四棱柱得G_L底面4 8 C D,又 4C u平面ABC。，J.G D 1 A C,又 BD T G D =D,BD,G)u 平面 8OG,二AC_L平面B O G,因为8Gu平面BOG,A C 1 B G已知C E _L 3G,又 ACp|CE=C,AC,C E u平面ACE,3GJ_平面 AC,因为A u 平 面 BCG,平面A BE/平 面C F G D平面 A EFG H 平面 A B E=A E,平面 A EFG Q 平面 C F G D =G F ,A FG/A E,则尸G _ L B G(2)已知 A 3 =2,N D 4 8 =6 0,可求比=2,A C =26由A 8=g x；x2 x2 xs i nl 2 0 xG O =子，贝!|G O =2在直四棱柱中，F C J _底面A 5 C Z),所以/以C为直线AF与底面A B C。所成角，t a nN E 4 C =K =3,则只7 =3在平面4。尸内作。6,AC 2可知O z _ L底面A3CD,如图，以。为原点，建立空间直角坐标系。-型，则 A(G,O,O),刑0,1,0),C(-后0,0),G(0,-l,2),尸(-0,0,3),诙=3+荏=函 +声=(石,0,0)+(-石,1,1)=(0,1,1)贝 欣=(石,1,1),而=(3 1,0)设平面B C E的法向量为m =(x,y,z),贝！i!比 n On iex+y+z：。r+y =O取x =1,得 y =/5,z =0,得m =(1,6,。)，由(1)知BG，平面4 CE,所以平面ACE的一个法向量为3=册=(0,-2,2)则 cos(m,n)=m n2点)_ 瓜|/?|-|n|2-2&4所以锐二面角A-EC-3的余弦值 为 亚(2022安徽省临泉第一中学高二期末)如图，在四棱锥P-A 3 C。中，P AL平面A B C。，M,N分别为P 5,尸。的中点，底面4 8。为正方形，且A B =4.pR CW PA =A B,证明：PC_L平面AMM(2)若平面MN A与底面A B C D所成锐二面角的大小为4 5,求PC的长.【解题思路】(1)根据条件首先证明AM _LP C,再 证 明 由 线 面 垂 直 的 判 定 定 理 即 可 证 明P C,平面AMV.(2)如图，以 万，万,Q 为一组正交基底，建立空间直角坐标系，设AP=2 4 r 0),分别求出平面MNA与底面48C。的法向量，由二面角公式可求出/=也，即可求出PC的长.【解题过程】(1)证明：连接5。，因为底面ABC。为正方形，所以8OLAC.因为B4J平面ABC。，BOu平面ABC。，所以 F4_L8.又PAnAC=A,PAu平面PAC,ACu平面PAC,所以8。_L平面PAC因为PC u平面尸A C,所以BDLPC.同理，A M A.P C.在PSD中，M,N分别为PB,的中点，所以B D MN.因为5 O L P C,所以MNLPC.又 MN c A M=M,MN u 平面 A MN,AA/u 平面 A W,所以PCJL平面AMN.(2)解：如图，以 羽，花，分 为一组正交基底，建立空间直角坐标系，p设 AP=2f（f 0）,则 A（0,0,0）,M（2,0 j）,N（0,2,f）,C（4,4,0）,所 以 赤=（2,0,f）,A N =（0,2,t）.设平面AWN的 法 向 量 为=（x,y,z）,则n-A M=2x+rz=0,n-A N -2 y+fz=0,令 z=2,贝!Jx=y=，所以平面A MN的一个法向量为n=（1,-2）.因为J平面ABC。,LU所以平面A B C D的一个法向量为%=（0,0,1）,所以|篇|=7场等解砺=日所以北=（4,4,_2立），|PC|=V16+16+8=2/10.15、（2022云南昆明高二期末）如图，在三棱锥P ABC中，P C ABC,BC =6 A C,N BAC =?M 是帖的中点.（1）证明：PA 1 B C；（2）若P C =A C,求平面P B C与平面B CM所成角的大小.【解题思路】（1）先证明BC_L平面R 4 C,再证明8CJ_B4；(2)建立空间直角坐标系，用向量的方法求二面角.【解题过程】(1)如图，在AABC中，因为8 c =&A C,NBAC=%,由正弦定理得：_B_C_ _A_C_ _,I _ TT rr疝 C-sin NABC，故 sinZABC=i,又因为 A C GJ_平面ABC；(2)若A B=B C =C P =2,求平面4JQ与平面C B D的夹角大小.【解题思路】(1)从所要证明的结论分析：要证平面BOGJ平面A B C,即证DG_L平面A B C,即证PCJ_平面A B C,即 证 进 而 得 到 证 明 思 路；(2)方法一：以G为坐标原点，G B,G C,GQ所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，利用平面的法向量求二面角的大小；方法二：过A作AE_L8D,垂足为E,连接E C,找出二面角的平面角，利用余弦定理求其大小.【解题分析】(1)证明：因为回，平面PBC,PC u平面PBC,所以PCLAB.因为PC_LBC,A B c B C =B,所以PC，平面43c.因为AG=GC,P D=D A,所以D G HP C,故。平面A6c.因为Z)G u平 面 取；，所以平面B D G 1平面ABC.(2)方法一：因为AG=GC,AB=B C,所以8G_LAC.以G为坐标原点，G B,G C,G。所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，则 4(0,-0,0),B(&,0,0),0(0,0,1),C(0,也0)所 以 丽=(0,0,0),AD=(0,V2,l),CD=(0,-7 2,1),围=,0).设帆=(x,y,z)是平面ABD的法向量，t n t AB=0 V2x+5/2 y=0 一 1 II则(一 ，即 ,令 x=l,则 y=_l,z =y/2 9 所以 7 =小-1,0),词=2.n i-AD =0 V2y4-z=0 7 1 1设 =（a,6,c）是平面CB。的法向量,则n-CD=0 an,即n-CB=0+c=0后=0 令 a=l,贝!6=1,c=&，所以 =2所以cos（正,=m n同 问2 _ 122 2,所 以 平 面 与 平 面 CBD的夹角的大小为60.方法二：如图，过 A作 他，比）,垂足为E,连接EC.由（1）中的垂直关系及条件AB=BC=CP=2,可计算得AC=2y/2,PA=2 6所以 DB=DC=DA=；PA=y/.所以所以ZAEC为二面角A-3 D-C 的平面角.3+3 4 1cos NADB=-y=-r=-,2-/3,V3 3sin ZADB=l-co s2ZADB=327EA=DA sin ZADE=.3所以EC考在AE4C中，由余弦定理可得cose/2EAEC 2所以ZAEC=1 2 0,所以平面4孔 与平面CBD的夹角的大小为60.17、（2022广东广州高二期末）如图，。尸为圆锥的高，AB为底面圆。的直径，C为 圆。上一点，并且AC=BC，E 为劣弧8 c 上的一点，且 A8=6,OP=4.若 E 为劣弧BC的中点，求证：8 C L 平面尸OE；若 E 为劣弧BC的三等分点（靠近点C）,求平面PEO与平面P E 8的夹角的余弦值.【解题思路】（D 推导出POJ平面ABC,PO LBC,B C L O E,由此能证明B C L平面POE.（2）推导出ACLBC,O C 1 A B,以。为原点，OC为x 轴，OB为 丫 轴，OP为 z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角O-P E-B 的余弦值.【解题过程】（1）证明：OP为圆锥的高，.PO_L平面A B C,又 B C u平面ABC,s.P O LB C,E为劣弧BC的中点，.5C_LQE,.POQOE=O,PO,O Eu平面尸OE,.8C_L平面 POE.解：E 为劣弧BC的三等分点（靠近点。，Q 48为底面圆。的直径，C 为圆。上一点，并且AC=BC，OC_L45,以。为原点，OC为x 轴，。3 为）轴，OP为 z轴，建立空间直角坐标系，0,（）,8（0,3,0）-4）,而=（0,3,-4）设平面OPE的法向量万=,。），n-0E=一 x+y=02 2n-OP=4z=0则,3、行 3,取 x=1,得为=(1,-J3,设平面P&J的法向量比=(，b,。)，I m-PE=-a+b-4c=0.3则，2 2，取力=1,得所=(-9 1,)9niPB=3b-4c=0 3设二面角O-P E-B 的平面角为凡则 cos 夕=|cos/3）.祠=（一 2,2,0）,B C；=（-1,2,73）,设平面 A G 的法向量为碗=（x,y,z）,贝起二：,即一 21+2 =0-x +2y +/3 z =0解得平面A B C,的法向量为m =（3,-1）.A 5=(2,0,0),A q =(1,2,3),设平面 的法向量为=(x,y,z),如黑gp v+2y +=o,解得平面A8 G的法向量为i =（）,-6,2）.设平面A8 G与平面4 BG夹角为。，贝 1 m-n平面A B C,与平面ABG夹角的余弦值为T.中，A D /B C,Z A D C =Z P A B 9 0,BC=CO=g A。=1 ,E为边A。的中点，异面直线如与C所成的角为 90。.若直线C。到平面P 8E的 距 离 为 平，求平面P 8E与平面PHC夹角的余弦值.【解题思路】(1)由题意可得8CDE是正方形，%_1平面ABC,建立坐标系，用空间向量求解;(2由题意可得CO 平面P8E,于是C到 平 面 尸 的 距 离 等 于 点O到平面08 E的距离，由 E D.m m +9R=年 解 得f=2,进而得平面加E的法向量而=(r,0,1)=(2,0,1),再求得平面PBC的法向量7=(0,2,1),即可求解.【解题过程】解：AD/B C,Z A D C =Z P A B 9 0,8。=8=；4。=1,后为边相)的中点，所以四边形BC0E是正方形，因为NPAB=90。,异面直线R 4与 8所成的角为90。，所以 PA_L AB,PA_LC),又因为AB,CD在平面ABC。内相交，所以PA J平面ABC。,建立如图所示的坐标系：令机=(f,(),l),=4,则河(0,0,刃),因为丽正=0,EP.m=0,所以而是平面P8 E的法向量.要使C M/平面只需 C M m=It+At=0 解得：2=2；丽=(1,0,0),因为C O BE,又因为8 EU平面P B E,CON平面P B E,所以8 平面PBE,所以CO到平面P B E的距离等于点D到平面P B E的距离,ED.m_ t _ 2后于是一 T=7 T=T解得：1=2,所 以 而=(1,0,0),丽=(-1,-1,令 7=(0,2,1),因为8。石=(),8户7=0 ,所以 是平面PBC的法向量，由可知平面PBE的法向量而=(r,0,l)=(2,0,1),因为平面PBC与平面网组的夹角为锐角,所以平面尸BE与平面PBC夹角的余弦值为：学|n u n？|=7=:.|m H n|V5.V5 5类型四点到面的距离(3 道)20、(2022江苏宿迁高二期末)如图，三棱柱ABC -4 4 G 中，所有棱长都为2,且“4C=60。，平面为ACCJ平面A B C,点尸，。分别在AB，A G 上，且 4P=AQ.求证：P。平面B,8CG；(2)当点P是边A 8的中点时，求点4 到 直 线 的 距 离.【解题思路】(1)作 叨/A C,根据条件证明四边形6QP。为平行四边形，然后得到PQG。即可(2)取 AC中点。，然后证明A。，平面A 8 C,进而建立空间直角坐标系，利用坐标法即得.【解题过程】作 PD/AC,交 B C 于点D,由AQ=,贝！|BP=Q C,V P D/AC,P D BP,即 P=8P=Q C，A C AB:.POQG 且 P D=Q C,连接 DC,所以四边形GQP。为平行四边形，/.P Q UC.D,尸。Z 平面BC C B、,且 G。u平面BC C 4,P Q 平面 B C G 4.(2)取 AC中点。，连接A。、BO,V A O =A C =i,A A=2,41A o =60。，根据余弦定理得：AiO2=AA；+A O2-2 AAt AO-co s60o=4+-2 x2 xl x=3,4。=百，则 AO,AC,又平面AACG，平面ABC,平面AACg c平面ABC=AC,/.A。J 平面 ABC,:AABC是等边三角形,:.B O L A C,如图建立空间直角坐标系,则 A（0,-l,0）,B（后 0,0），4（0,0,百）1 与-;,0,Q（O,1，闰（1,：.Q P=，函=(G,0,0),c o s (函 函 )=3QPQB _ 2 _ V 2|回H国 J 石一 4二点用到直线P Q的距离为|西;|.J -c o s?伊固=73 x21、（2022安徽合肥一中高二期末）如图，在四棱锥P-AB8 中，底面A B C D 为菱形，且 A 8=2,J TZ A B C =2 Z B A D,/PDC=Q 点M 为棱OP的中点.(1)在棱8C 上是否存在一点N,使得CM 平面R A N,并说明理由;b&-CA B(2)若PB 1 A C,二面角8-C M-短的余弦值为四时，求点A到平面BCM的距离.6【解题思路】(1)取 PA的中点。，连结NQ、MQ,可以证明得四边形CNQM为平行四边形，利用线面平行的判定定理可得点N；(2)先证明DE,D C,OP两两互相垂直，以。为坐标原点，建立空间直角坐标系，由二面角B-C M-。的余弦值 为 理，求 出 的 长 度，进而利用点面距的坐标公式求解即可.6【解题过程】(1)在棱8 c 上存在点N,使得a w 平面P A N,点 N 为棱8C 的中点.证明：取 以 的中点Q,连结N。、M Q,由题意，且 C N A D C N =AD,2 2故 C N MQ 且 C N =M Q.，四边形CNQW为平行四边形.C M /N Q