2022年中考数学真题汇编：最值问题2(含解析).pdf

2022年中考数学真题综合练习：最值问题1.（2 0 2 2黔东南）在解决数学实际问题时，常常用到数形结合思想，比如：,+1 的几何意义是数轴上表示数x的点与表示数-1的点的距离，|x-2|的几何意义是数轴上表示数x的点与表示数2的点的距离.当,+1|+上一2|取得最小值时，x的取值范围是（）A.x-l B.x W-1 或x 2 C.-1 x 22.（2 0 2 2鄂州）如图，定直线M N P Q,点、B、C分别为MM P Q上的动点，且B C=1 2,B C在两直线间运动过程中始终有N B C Q=60。.点A是MN上方一定点，点。是P Q下方一定点，S.A E/B C/D F,A E=4,。尸 =8,4。=2 4内，当线段B C在平移过程中，A B+C O的最小值为（）A.2 4 V 1 3 B.2 4 7 1 5 C.1 2 /1 3 D.1 2 7 1 53.（2 0 2 2齐齐哈尔）如图，二次函数丁 =。+法+c（a#0）的图象与y轴的交点在（0,1）与（0,2）之间，对称轴为x =-1,函数最大值为4,结合图象给出下列结论:匕=2 a ；3 a -2 ；4 a c 4；当x /时，求 x 的取值范围；(3)若 C为线段Q4上的一个动点，当尸C+K C最小时，求AP K C 的面积.1 3.(2 0 2 2 牡丹江、鸡西)如图，已知抛物线y=!(尤一2)(x+a)(0)与 x 轴交于点B、C,与 y 轴交于点E,且点B 在点C的左侧.（1）若抛物线过点M（-2,-2）,求实数。的值；（2）在（1）的条件下，解答下列问题；求出A B C E 的面积；在抛物线的对称轴上找一点H,使C H+E H的值最小，直接写出点，的坐标.1 4.（2 0 2 2 遵义）新定义：我们把抛物线y=a x 2+A；+c （其 中 而。（）与抛物线y 称为“关联抛物线”.例 如：抛物线 =2/+3%+1 的“关联抛物线”为：y=3 x2+2 x+.已知抛物线G:y-4 a r2+0 +4。-3（。0）的“关联抛物线”为。2 .（1）写出C 2 的解析式（用含。的式子表示）及顶点坐标；（2）若。0,过x 轴上一点P,作*轴的垂线分别交抛物线G，。2 于 点 ，N.当MN=6 a 时，求点尸的坐标；当a-4Wx Wa 2 时，G 的最大值与最小值的差为2 a,求“的值.1 5.（2 0 2 2 大庆）己知反比例函数y=f和一次函数y=x-l,其中一次函数图象过（3 a,。），（3。+1 力+g两点.(1)求反比例函数的关系式；1k(2)如图，函数y=-x,y=3 x的图象分别与函数y=*(x 0)图象交于A,B两点，在y轴上是否存在点3xP,使得八4 5尸周长最小？若存在，求出周长的最小值；若不存在，请说明理由.1 6.(2 0 2 2毕节)如图，在平面直角坐标系中，抛物线、=一/+法+。与 轴交于人，B两点，与y轴交于点C,顶点为。(2,1),抛物线的对称轴交直线8 c于点E.(1)求抛物线yn-V+f e x+c的表达式；(2)把上述抛物线沿它的对称轴向下平移，平移的距离为人(/0),在平移过程中，该抛物线与直线B C始终有交点，求 的最大值；(3)M是(1)中抛物线上一点，N是直线B C上一点.是否存在以点。，E,M,N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由.1 7.(2 0 2 2 贵 阳)小红根据学习轴对称的经验，对线段之间、角之间的关系进行了拓展探究.A D如图，在 OA B CD中，A N为 边 上 的 高，一=m,点”在 边 上，且=，点 E是线段A MA N上任意一点，连接5E,将 八 钻 石 沿 破 翻折得AEBE.(1)问题解决:如图，当/明 =60。，将 A A B E沿 防 翻 折 后，使点口与点M 重合，则4=A N(2)问题探究：如图，当N B4 T =4 5,将/MB E沿 把 翻 折 后，使 E F B M，求 入 腕 的度数，并求出此时加的最小值；(3)拓展延伸：当/4。=3 0。，将 A B E 沿 B E翻折后，若 E F 工A D，且 A E=A/，根据题意在备用图中画出图形,并求出加的值.1 8.(2 0 2 2 齐齐哈尔)综合与探究如图，某一次函数与二次函数旷=/+a+的图象交点为A (-1,0),B(4,5).（1）求抛物线的解析式；（2）点 C为抛物线对称轴上一动点，当AC与 BC的和最小时，点 C的坐标为；（3）点。为抛物线位于线段A8下方图象上一动点，过点。作。轴，交线段A B 于点E,求线段O E长 度 最 大 值；（4）在（2）条件下，点 M为 y 轴上一点，点尸为直线A8上一点，点 N为平面直角坐标系内一点，若以点 C,M,F,N为顶点的四边形是正方形，请直接写出点N的坐标.19.（20 22鄂州）如 图 1,在平面直角坐标系中，HAOAB的直角边0 4在 y 轴的正半轴上，且 0 4=6,斜边。8=10,点 P为线段4 8 上一动点.（1）请直接写出点B的坐标;（2）若动点P满足N P O B=4 5。，求此时点P的坐标；（3）如图2,若点E 为线段。8的中点，连接尸E,以P E 为折痕，在平面内将A A P E 折叠，点A的对应点为 A ,当 心,J_ 03时，求此时点尸的坐标；（4）如图3,若尸为线段40上一点，且 A F=2,连接FP,将线段F P 绕点、F顺时针方向旋转6 0。得线段FG,连接。G,当 OG取最小值时，请直接写出。G的最小值和此时线段尸P扫过的面积.20.（20 22江汉油田、潜江、天门、仙桃）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y =f 2 x-3的顶点为 A,与 y 轴交于点C,线段C B x 轴，交该抛物线于另一点反（备用图）（1）求点B的坐标及直线AC的解析式：（2）当二次函数y =/-2 九一3的自变量x 满足加+2 时，此函数的最大值为p,最小值为q,且p-q =2.求根的值：（3）平移抛物线丁 =/一 2-3,使其顶点始终在直线4c上移动，当平移后的抛物线与射线B A 只有一个公共点时，设此时抛物线的顶点的横坐标为“，请直接写出”的取值范围.21.（20 22恩施州）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y =-X?+c 与 y 轴交于点P（0,4）.(1)直接写出抛物线的解析式.(2)如图，将抛物线y=-f+c 向左平移1个单位长度，记平移后的抛物线顶点为Q,平移后的抛物线与X轴交于A、B两点(点4 在点3 的右侧)，与 轴交于点C判断以3、C、Q三点为顶点的三角形是否为直角三角形，并说明理由.(3)直线8C与抛物线 =一%2+。交于用、N 两点(点N 在点M 的右侧)，请探究在x 轴上是否存在点T,使得以B、N、7 三点为顶点的三角形与AABC相似，若存在，请求出点T 的坐标；若不存在，请说明理由.(4)若将抛物线丁 =-炉+。进行适当的平移，当平移后的抛物线与直线BC最多只有一个公共点时，请直接写出抛物线丫 =-炉+。平移的最短距离并求出此时抛物线的顶点坐标.20 22年中考数学真题综合练习：最值问题参考答案1.（20 22黔东南）在解决数学实际问题时，常常用到数形结合思想，比如：卜+1 的几何意义是数轴上表示数x 的点与表示数T的点的距离，|%-2|的几何意义是数轴上表示数x 的点与表示数2的点的距离.当k+1|+卜一2|取得最小值时，x 的取值范围是（）A.-1 B.X 一1 或C.-1 x 2【答案】解：如图，由卜+1|+上一2|=卜一（一1）|+卜一2|可得：点A、8、P分别表示数一 1、2、x,AB=3.A P BJ_ I_ I_I_ 1 1.1 I_ I I.-5-4-3-2-1 Ox 1 2 3 4 54 x+1 1+1 x 21 的几何意义是线段P A 与 P B的长度之和，当点尸在线段A3上时，P A+P B =3,当点P在点A的左侧或点B 的右侧时，P A+P B 3.I x+1 1+1%21 取得最小值时，x 的取值范围是 1 尤 W 2 ；故选B.2.（2 0 2 2 鄂州）如图，定直线M N P Q,点 B、C 分别为M M PQ 上的动点，且 8 c=1 2,8 c 在两直线间运动过程中始终有/8 CQ=6 0。.点 4是 M N上方一定点，点。是 PQ 下方一定点，S.A E/B C/DF,A E=4,DF=8,A O=2 4 白，当线段B C 在平移过程中，A B+C D 的最小值为（）A.2 4 V 1 3 B.2 4 7 1 5 C.1 2 7 1 3 D.12而【答案】解：如图所示，过点尸作F、CE 交 8 c于 H,连接E H,V B C/D F,F H /CD,四边形C Q F 是平行四边形，：.CH=DF=S,CD=FH,，BH=4,：.BH=AE=4,又：AE/BC,，四 边 形 是 平 行 四 边 形，：.AB=HE,/EH+FHEF,.,.当E、F、H三点共线时，EH+HF有最小值EF即AB+CD有最小值EF,延长AE交P。于G,过点E作于T,过点A作ACPQ于L,过点。作。K_LPQ于K,/MN/PQ,BC/AE,：.四边形BEGC是平行四边形，NEGT=NBCQ=60。,：.EG=BC=2,；GT=GE-cos ZEGT=6,ET=GE-sin ZE G T=6，同理可求得GL=8,AL=8#KF=4,OK=4百，TL=2，：ALLPQ,DK1PQ,；A L/D K，：.ALO/DKO,AL AO-=2,DK DO：.AO=-AD=16s/3,DO=-AD =8y/3,3 3OL=y/AO2-AI3=24,OK=DO2-D K2=l 2,.TF=TL+OL+OK+KF=42,；EF=lET2+TF=12713,故选C.3.（2022齐齐哈尔）如图，二次函数y=G?+Zzx+c（a 声0）的图象与y 轴的交点在（0,1）与（0,2）之间，对称轴为 =-1,函数最大值为4,结合图象给出下列结论：匕=为；3 。一2；4、一 0；若关于x 的一元二次方程公2+灰+0=旭 4（。/0）有两个不相等的实数根，则 2 4；当x0时，y随 x 的增大而减小.其中正确的结论有（）B.3个C.4个D.5个【答案】解：二次函数y=o?+加+c（0）的对称轴为尤=一1,bX=-=-L2ah=2a,故正确;函数图象开口向下，对称轴为X=-l,函数最大值为4,函数的顶点坐标为（-1,4）当 x=-l 时，a-b+c 4a-2a+c-4 c=4+a.二次函数 =6 2+区+八。H0）的图象与旷轴的交点在（0,1）与（0,2）之间,A l c 2/.1 4+a 2 3 a 故正确；.抛物线与x轴有两个交点，b2 4 ac 04 ac b2 0，故正确；抛物线的顶点坐标为(-1,4)且方程办2+法+。=加一4有两个不相等的实数根，0 /n-4 4.4 相 上，过点M作MF CD于F,交CE于点G,/MN+NP=MN+NPBD,当3,N,三点共线时，BN+AM取得最小值,此时如图2所示，在等腰直角三角形ABC中，NB4C=90,AB=6：.BC=6 A B=2，ANDZCMA,.ZADNZCAM，A)=AC=AB,：.ZADNZABN,-.AD/BC,:.ZADN=/M B N，:.ZABN=/M B N,设 NM4 C=a,ZBAM=Z B A C-a 9 0-a,ZABM=ZABN+ZNBM=2a=45,r.a=22.5,ZAMB=180-ZBAM-ZABM=180-90+a -45=67.5,ZBAM=90-22.5=67.5,AB=BM=血，:.CM=BC-BM=2-6，即 3 N+A M取得最小值为2-夜，故答案为：2-yfi.图 1图 28.（2022河北）如图，点尸（a,3）在抛物线C：y =4-（6 x）2上，且在C的对称轴右侧.(1)写出c的对称轴和y的最大值，并求。的值；(2)坐标平面上放置一透明胶片，并在胶片上描画出点P及C的一段，分别记为尸，C.平移该胶片,使C所在抛物线对应的函数恰为y =-炉+6x-9.求点P移动的最短路程.【答案】(1)y =4-(6-x)2=-(X-6)2+4,.对称轴为直线龙=6,-10,抛物线开口向下，有最大值，即 的最大值为4,把P(a,3)代入y =4 (6 4中得：4 (6 a)2=3,解得：。=5或。=7,.点P(a,3)在C的对称轴右侧，；a =7；(2)V y =-x2+6x-9=-U-3)2.y =-(一3是由y =(x 6)2+4向左平移3个单位，再向下平移4个单位得到，平移距离为J32+42=5,尸 移动的最短路程为5.9.(2022河北)如图，某水渠的横断面是以A 8为直径的半圆O,其 中 水 面 截 线/W.嘉琪在A处测得垂直站立于B处的爸爸头顶C的仰角为14。，点M的俯角为7。.已知爸爸的身高为1.7,小（2）请在图中画出线段D”，用其长度表示最大水深（不说理由），并求最大水深约为多少米（结果保留小数点后一位）.（参考数据：tan76取4,J万 取4.1）【答案】（1）解：；水面截线BC A B，:.ZABC=90，.-.ZC=90-ZC4B=76,在 RtaABC 中，ZABC=90，BC=1.7,AB ABtan 76=BC 1.7解得 AB 6.8(m).（2）过点。作 MN,交MN于。点，交半圆于，点，连接0例，过点M作MGL08于G,如图所示:水面截线OH上AB,:.DH LM N,GM=OD,二。”为最大水深，：4BAM=丁,：.NBOM=2NBAM=14。,ZABC=ZOGM=90，且 NBAC=14。,.ABC&OGM，OG MG 口“OG MGAB-CB 6.8-1.7即 OG=4GM,在 向OGM 中，ZOGM=90,OM=a 3.4,2:.OG2+GM2=OM2,即(4GM)2+GM2=(3.4)2,解得 GM B o.8,DH=OH-OD=6.8-0.8 a 6，最大水深约为6.0米.10.(2022河南)为弘扬民族传统体育文化，某校将传统游戏“滚铁环 列入了校运动会的比赛项目.滚铁环器材由铁环和推杆组成.小明对滚铁环的启动阶段进行了研究，如图，滚铁环时，铁环。与水平地面相切于点C,推杆A B 与铅垂线A。的夹角为点。，A,B,C,。在同一平面内.当推杆A B与铁环。相切于点B时，手上的力量通过切点5传递到铁环上，会有较好的启动效果.(1)求证：Z B O C+Z B A=90 .(2)实践中发现，切点8 只有在铁环上一定区域内时，才能保证铁环平稳启动.图中点B是该区域内最低3位置，此时点A 距地面的距离4。最小，测得c o s/B A D =.已知铁环。的半经为25 cm,推杆A B的长为7 5 cm,求此时A Q的长.【答案】（1）证明：。与水平地面相切于点C,:.OCCD,;AD LCD,：.AD/O C,48与。相切于点8,：.ABOB,ZOBA=90,过点B作 3 E A）,；.ZBAD=ZEBA，：.BE/O C,：.ZCOB=ZOBE,/CO B+/BAD=Z.OBE+ZABE=4OBA=90,即/BO C+/R 4O=90.（2）如图，过点8 作 C O 的平行线，交 A O 于点G,交OC于点F,FG AD,F G rO C,则四边形CFGD是矩形,Z B O C+/B AD=9 0，Z AB O =90，.Z O B F=9 0-Z FO B =ZA,3在 R tZ V L B G 中，v cos Z B AD=-,A B =7 5 cm,-3/.A G =A B x c o s Z B A )=7 5 x=45 (cm),3在 R tZ S O B/7 中，co s Z-OBF=co s A =f OB=2 5 cm,B F=08 x g =25 x =1 5 (cm),：.O F =yl OB2-B F2=A/252-1 52=20(c m),.F C =OC-OF=25 -20 =5(cm),/.DG=FC-5cm,.AD =A G+G O=45+5 =5()(cm).1 1.(20 22贵阳)已知二次函数尸加+4必:+6.外5 -4-3-2-1 -I I I I I I-6 -5-4-3-2-1 O-1 -2-3-4-5-1 1 1 1 1、2 3 4 5 6 .X(1)求二次函数图象的顶点坐标(用含“，6的代数式表示);(2)在平面直角坐标系中，若二次函数的图象与x 轴交于A,8 两点，A B=f ,且图象过(1,0,(3,d),(-1,e),(-3,力四点，判断c,d,e,/的大小，并说明理由；(3)点 (?，是二次函数图象上的一个动点，当-230时，的取值范围是T9 W1,求二次函数的表达式.【答案】(1)解：*.*y=ax2+4 ax+h=a(x2-+4 x+4-4)+b=a(x+2)2+h-4 a,二次函数图象的顶点坐标为(-2,b-4 a)；(2)解：由(1)知二次函数的图象的对称轴为直线产-2,又.二次函数的图象与x 轴交于4 8 两点，A B=6,：.A,B两点的坐标分别为(-5,0),(1,0),当时，画出草图如图：c d；当。0 时，画出草图如图：1 个 y:.e=f c d-,(3)解：.点)是二次函数图象上的一个动点,当a0时,根据题意：当，=-2时，函数有最小值为-1,当,=1 时，函数值为1,b-4a=-1即2a-9匕=-92 Q 1.二 次 函 数 的 表 达 式 为 尸+.9 9 92 1 2 8 1综上，二次函数的表达式为广一9+2 六一或 尸 一一9 9 9 9 9 91 2.（20 22绥化）在平面直角坐标系中，已知一次函数X=依+6与坐标轴分别交于A（5,0）,B（0,11 两点，且与反比例函数必=2 的图象在第一象限内交于P,K两点，连接O P,Q A P 的面积为2.x 4（1）求一次函数与反比例函数的解析式;（2）当 时,求 x的取值范围;(3)若C为线段。4上的一个动点，当PC+KC最小时，求APKC的面积.【答案】、(1)解:一 次 函 数%=%俨+人与坐标轴分别交于4(5,0),0,1两点,7.把 A(5,0),8(0,；)代入乂=匕彳+0得,5kl+b=05，解得，,b=r仁2,5b 2.一次函数解析式为=-；%+，过点P作尸轴于点H,OA=5,又 SPAO=A-x5xP/f=-2 4PH=-2x =4,P(4,JV P(4,；)在双曲线上,“1 -k-,=4 x =2,-22(2)解：联立方程组得,1y =x +-22y=一X52解得，玉=1y =2-1,2),根据函数图象可得,%=4反比例函数图象直线上方时，有0 x 4,当%X 时，求 x的取值范围为0 x4,(3)解：作点K关于x 轴的对称点K ，连接K K 交x 轴于点“，贝 UK (1,-2),OM=,连接P K 交 x 轴于点C,连接KC,则 P C+K C 的值最小，设直线P K 的解析式为y=m x+n,m+n-21 ,把 P(4,；),K(L 2)代入得，12 4 m+n=I2解得,5m=61 7n=-65 1 7直线P K 的解析式为y =x 二，6 65 1 7 1 7当y =0时，一元一一=0,解得，x =，6 6 51 7 C(y,0)OC=517 12M C O C-O M =-,5 517 eA C O A-O C =5-=-5 5AM=CM-O M=5-1 =4,，,S/PKC=4KM _ SRKMC _ SPdC=x 4x 2 x x 2 x x 2 2 5 2 5 26-51 3.(2 0 2 2牡丹江、鸡西)如图，已知抛物线y =(x 2)(x +a)(a 0)与x轴交于点B、C,与y轴交于点E,且点8在 点C的左侧.(1)若抛物线过点M(-2,-2),求实数。的值；(2)在(1)的条件下，解答下列问题；求出ABCE的面积；在抛物线的对称轴上找一点H,使C H+E H的值最小，直接写出点H的坐标.【答案】解：将 M(-2,-2)代入抛物线解析式得：5(-2-2)(2+a)=-2,解 得:a=4.(2)由(1)抛物线解析式y=；(尤2)(x+4),当 y=0 时，得：2)(x+4)=0,解得：玉=2,=-4.点8 在点C 的左侧，：.B(-4,0),C(2,0).当x=0时，得：尸-2,：.E(0,-2).SBCE=y x6x2=6.：y=*2)(x+4)=%2+g x-2 =*+l),抛物线对称轴为直线户-1.连 接 B E,与对称轴交于点”，即为所求.将 8（-4,0）与 E（0,-2）代入得：-4 k+b =Q k.=0,过x 轴上一点P,作*轴的垂线分别交抛物线G，。2 于点/，N.当MN=6 a 时，求点P的坐标；当a-4 Wxa 2 时，G 的最大值与最小值的差为2 a,求。的值.【答案】（1）解：.抛物线G：y=4a+ax+4a-3（aw0）的“关联抛物线”为G，根据题意可得，G的解析式y=以2+4奴+4-3（。0）,/y=ax2+4or+4a-3=a（x+2）-3顶点为（一2,-3）（2）解：设P（p,O）,则M（p,4a/?2+即 +4。-3）,Np,ap1+4ap+4-3）/.MN=1 4a/?2+apMN=6a|3/72-3何=6aj a H（）p2-p=+2当 P?-P=2时，解得 Pi=-1,P2=2当p2-p =2时，方程无解.p（-1,0）或（2,0）：。2 的解析式 =62+4侬+4。-3（。0）,y ax2+4ax+4a 3=a（x+2/-3顶点为（-2,-3）,对称轴为x=-2：aQ,ci 2 2当(一2)(a 4)a 2(2)时，即a l时,函数的最大值为a(a 4+2)2 3,最小值为一3。2的最大值与最小值的差为2a=2aa 0a-2=+V2解得 4=2=2+(a 舍去)a=2-2当(一2)(a-4)a-2-(-2)时，且 a-4 2 即 la2 时，函数的最大值为。(a 2+2)2-3,最小值为一3.C2的最大值与最小值的差为2aa5 laa 0 0a=+V2解得q=V5(la-2时，即a 2时，抛物线开向上，对称轴右侧y随x的增大而增大，函数的最大值为 a(a-2+2)2 -3=3,最小值为 a(a 4+2)2-3=(-2)2-3 C2的最大值与最小值的差为2 ct 3 a(a 2)+3=2。即 3-a(a-2)2-2a=0;a H()即 a2-(a-2)2-2 =03解得。=一(。2舍去)2综上所述，0 =2 或4=.1 5.(2 0 2 2大庆)已知反比例函数y =和一次函数y =x-l,其中一次函数图象过(3a,。)，(3a +l,b +g两点.(1)求反比例函数的关系式；(2)如图，函数y =-x,y =3x的图象分别与函数y =2(x 0)图象交于A,B两 点,在y轴上是否存在点3 xP，使得八4成 周长最小？若存在，求出周长的最小值；若不存在，请说明理由.【答案】k(1)解：把(3。，加,(3。+1 1 +)代入y =x 1,得b=3 a工+七=3。+1-1 I 3解得，k=3,3所以反比例函数解析式是y=-；X(2)存在点P使A A BP周长最小，理由：1-X3y解 3y =一xy =3x和3y =I x得，x=3 x=l 0,x =3 I x =l 和i ，y=l t j=3A（3,1）,B（1,3）.作点8关于y轴的对称点B，连接A B，交V轴于点尸，当点A、P、）在一条直线上时，线段A 6 的长度最短，所以存在点P使AABP周长最小，ABP 的周长=A B+B P+A P =A P+A B +B A =A B+B A，=7（3+1）2+（3-1）2+7（3-1）2+（3-1）2，=V 2 0 +V 8，=2不+2近.1 6.（2 0 2 2毕节）如图，在平面直角坐标系中，抛物线丁 =一 元2+法+。与x轴交于4,B两 点,与y轴交于点C，顶点为。（2,1）,抛物线的对称轴交直线5c于点(1)求 抛 物 线、=一/+法+。的表达式;(2)把上述抛物线沿它的对称轴向下平移，平移的距离为(0),在平移过程中，该抛物线与直线始终有交点，求力的最大值;(3)M是(1)中抛物线上一点，N是 直 线 上 一 点.是 否 存 在 以 点O,E,M,N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求 出 点N的坐标；若不存在，请说明理由.【答 案】(1)解：由。(2,1)可知,=22 x(-1)4 x(-l)c-/724x(T解 得：0.9:，h的最大值为二;（3）存在，理由如下：将 x =2代入 y =x -3 中得 E（2,1）,四边形O E M N是平行四边形，/.DE/MN,DE=MN设+4 z-3）,/-3）,当-+4 z-3-（/-3）=2时，解得：4=1,咫=2 （舍去）,7 V（L-2）当初一3-（一加+4加3）=2时，解得：m,=3 +V T 7 3+717 V17-3综上，点N的坐标为：（1,-2）或3 +V1 7 V1 7-3Vn+3-21 7.（2 0 2 2贵阳）小红根据学习轴对称的经验，对线段之间、角之间的关系进行了拓展探究.如图，在O A B C Z）中，A N为8c边上的高，=m，点M在 边 上，且=,点E是线段A M上任意一点，连接8E,将 八 钻 石 沿B E翻折得(1)问题解决:如图，当44=60。，将 八48后沿BE翻折后，使点尸与点M重合，则坐=；AN(2)问题探究：如图，当N84O=4 5,将ABE沿 破 翻 折 后，使EF BM，求/4B E的度数，并求出此时机的最小值；(3)拓展延伸:当NftM=30。，将 八 钻 石 沿BE翻折后，若E_LA,且AE=MD，根据题意在备用图中画出图形,并求出加的值.【答案】(1),:BA=BM，NBA)=60.ABM是等边三角形，：.AB=AM=BM.,四边形ABC。平行四边形，：.AD/BC,：.ZABN=ZBAM=60,AN为 边 上 的 高，AM AB 1 1 2A/3 _ _ _ _ _ _ _ _ _ AN AN cosNBAN 一 拒 一3 T(2)ZR4D=45,BA=BM，；是等腰直角三角形，ZMBC=ZAMB=45，EF/B M，ZFEM=ZAMB=45,ZAEB=/FEB=；（180。+45。）=112.5。-,-AD/NC,:.NBAE=NABN=45,ZABE=180-ZAEB-NBAE=22.5,Ani.=机，AM3是等腰直角三角形，AN为底边上的高，则AN=AMAN2,点/在边上，：当4）=4 0时，加取得最小值，最小值为3=2；AN（3）如图，连接bM，ABAD=30,则 ZABN=30,没 AN=a,则 AB=2a,NB=&N =岛，折叠,FB=AB=2a,E F LA D，ZAEB=ZFEB=；（180。+90。）=135,-.ZEAB=ZBAD=30,.ZABE=180 30 135=15,.-.ZABF=30,AB=BM,ZBAD=30,：.ZABM=20,.ZMBC=ZAMB=30,ZFBM=1200-ZABF=90,在 RtAiEBM 中，FB=AB=BM)/.FM=41FB=2 6 a，延长FE交NC于点、G，如图，:.EG 工 GB,NEBG=ZABE+ZABN=15。+30。=45,GB=EG=a，NB=M a，：.AE=EE=M=(6-l)a,在 中，EM=dFM2-EF。=,8/-/=(6 +1,，AD=AE+EM+MD=2AE+EM=2y/3-a+(y!3+1)a=(3 j3-l)a,ADm-AN-3 V 1.18.(2022齐齐哈尔)综合与探究如图，某一次函数与二次函数 =/+,以+的图象交点为4(-1,0),B(4,5).(1)求抛物线的解析式；(2)点C为抛物线对称轴上一动点，当A C与B C的和最小时，点C的坐标为；(3)点。为抛物线位于线段A 8下方图象上一动点，过点。作。轴，交线段A B于点E,求线段O E长 度 最 大 值；(4)在(2)条件下，点M为y轴上一点，点尸为直线A 8上一点，点N为平面直角坐标系内一点，若以点C,M,F,N为顶点的四边形是正方形，请直接写出点N的坐标.【答案】,m+n-0(1)解：将A(-1,0),B(4,5)代入)=x2+3+得，,1 6 +4/+“=5m=2解这个方程组得 .，=一3抛物线的解析式为：y =f 2 x 3；(2)解：如图，设 直 线 的 解 析 式 为：y=kx+b,把点 A(-1,0),B(4,5)代入y =H +b,k+b-Q得 ，版 +。=5k=1解 得 7 i ，b=直线A 3的解析式为：y=x+,由(1)知抛物线,=/一 2%-3 的对称轴为=一 二-=1,2 x 1 点 C 为抛物线对称轴上一动点，AC+B CAB,当点C 在 A B 上时，A C +3C 最小，把 =1 代入 y =x +l,得 y=2,，点 C 的坐标为(1,2)；(3)解：如图，由(2)知 直 线 4B 的解析式为y=x+l设。(t/,小 一2 d 3),则 成,d+1),则 OE =(d+l)-(/-2 4-3)=-储+3 +4(l d4),当d=3 时，D E 有最大值为2三5，2 4直线与y轴的交点为。（0,1）,O D =11/A（-l,0）,。4 =1/.OA =OD,Z D A O =Z A D O =4 5,若以点C,M,F,N为顶点的四边形是正方形，分情况讨论：过点C作CM 1轴 于 点,则A D M。为等腰直角三角形，过点C作CN|_ L O N ,则四边形CM Q M为正方形，依题意，知。与尸重合，点N1的坐标为（1,1）；以M为中心分别作点尸，点C点的对称点 ,M,连接CM z M&M F,则四边 形 MF C是正方形，则点N z 的坐标为(-1,2)；延长以 此 到*使N3M=%c,作 乂 耳，4 8 于点大,则四边 形 性 但后。是正方形，则 此 的坐标 为(1,4)；取M2c 的中点M，F C的中点B，则M 1 K C N 4 为正方形，则M 的坐标为r lj,综上所述，点N的坐标为：乂(1,1),乂(一1,2),怔(1,4),但_ 1 _ 525219.(2022鄂 州)如 图1,在平面直角坐标系中，R dO A B的直角边0 4在)，轴的正半轴上，且0 A=6,斜边0 8=1 0,点P为线段4 B上一动点.(2)若动点P满足/尸。8=45。，求此时点P的坐标;(3)如图2,若点E为 线 段 的 中 点，连接P E,以P E为折痕，在平面内将AAPE折叠，点A的对应点为A,当 心 0 8时，求此时点尸的坐标;(4)如图3,若广为线段A。上一点，且A F=2,连接尸P,将线段尸尸绕点尸顺时针方向旋转60。得线段尸G,连接O G,当OG取最小值时，请直接写出O G的最小值和此时线段F P扫过的面积.【答案】(1)解：在放AOAB 中，A B =yOB2-OA2=V102-62=8,点8 的坐标为(8,6)；(2)解：连接0 P,过点尸作尸。，0 8于点Q,如图,N 尸。8=45。，J NOPQ=45。,NPOB=NOPQ,：.PQ=OQ,设 PQ=OQ=xf 则 8Q=1 0-x,在 RIAOAB 中，t a n B=-=一=二，A B 8 4在,RtBPQ、中，&t a n BD =PQ=-X-=一 3,BQ 1 0 -x 43 0解得x=，73 0 OQ=PQ=,在 RfAPOQ 中,OP=+PQ2=粤 2在 R A A O P 中，AP=4 o p2-OA2=76 点P 的坐标为（一，6）；7(3)解：令回交08于点/),如图,点E为线段08的中点，：.AE=-O B =5,BE=-OB=5,2 2 tan B-=-，BD AB S 4设 PD=3a，则 BD=4。，BP=lBD2+PD-=5a，DE=BE-BD=5-4a：.AP=AB-BP=S-5a,由折叠的性质，可得AE=AE=5,AP=AP=8-5a,：.AD=AP-PD=S-Sa,在 Rm A：DE 中，A!D2+DE2=AE2，即(8-8a)2+(5-4a)2=52，1 Q解得 a.=一 ,a,2 2 5/BDBE,即4“5,24 P =8-5 x，=U,2 2点P 的坐标为(口，6)；2（4）解：以点尸为圆心，。尸的长为半径画圆，与A8的交点即为点P,再将线段尸P绕点尸顺时针方向旋转60。得线段FG,连接。G,此时OG最小，如图,由题可知，FP=FG =FO=OA AF=6-2=4,Ap 2 1在R/AAPE中，cos ZAFP=一 =一，FP 4 2，ZAFP=60,：NPFG=60。,/.NOFG=60。，OEG是等边三角形，：.OG=FO=4,.OG的最小值为4,线段FP扫过的面积=6 0.*42=包.360 320.（2022江汉油田、潜江、天门、仙桃）如图，在平面直角坐标系中，己知抛物线 =/一2尤-3的顶点为A,与y轴交于点C,线段CBx轴，交该抛物线于另一点B.(备用图)(1)求点B的坐标及直线AC的解析式：(2)当二次函数y =V-2x-3的自变量x满 足 碱 上m+2时，此函数的最大值为p,最小值为g,且p-q =2.求根的值：(3)平移抛物线y =Y 2 x-3,使其顶点始终在直线AC上移动，当平移后的抛物线与射线8 4只有一个公共点时，设此时抛物线的顶点的横坐标为小请直接写出”的取值范围.【答案】解：丁 =%2一2%-3 =(%-1)2-4,顶点坐标A (1,-4),对称轴x=l,当 x=0 时产-3,即 C(0,-3),点B、C关于对称轴尸1对称，则8(2,-3),设直线 A C：y=kx+h,由 A (1,-4),C(0,-3),可得k=lb=-3二直线A C为：尸*3；(2)解：当m+2 l时，即m 1且mVI,1-m计2-1时，即-IV/nVO时,户加时取最大值，m l时取最小值，/.nT-2/7Z-3-(-4)=2,解得：加=1-夜，或 片1+夜(舍去)，当，+21 且/nl,1-机，+2-1 时，即 0机 时,X=7%+2时取最大值，A=7时取最小值，(m+2)2-2(m+2)-3-租2 2/3=2,解得：,=_ L,不符合题意；2 0时，二次函数在0夕02上最大值3,最小值-4,-3(-4)=1不符合题意；综上所述：m=1-a或m=1+V 2;(3)解：由题意作图如下，过点A作直线AE_LBC于E,作直线AF_Ly轴于F,由 A(1,4)、B(2,-3)可得直线AB解析式为：)=x-5,VC（0,-3）,：.F（0,-4）,E（1,-3）,V A F=1,A E=if C F=lf C E=1,Z A EC=90,四边形A EC 厂是正方形，：.ZC A E=ZC A F=4 5f根据对顶角相等，可得当点A 沿直线4c平移机长度时，横坐标平移机c o s 4 5。，纵坐标平移用c o s 4 5。,即点A 沿直线A C 平移时，横纵坐标平移距离相等，设抛物线向左平移机单位后，与直线A B 只有1 个交点，则（工+加一1）-4 +根=%一 5x2+（2m3）X4-（/I 1）2 4-m +l =0令=（）,解得：/H=-,81 7.n=l-=一，8 8由图象可得当抛物线由点A 向右平移至左半部分过点3时，与射线区4只有一个交点，设抛物线向右平移机单位后，左半部分过点8 则B（2,-3）在抛物线y =（x 加一1）2-4-m匕 3 =（2 m1）2-4-m,解得：7 7 7=0（舍去）或加=3,.l n 4,7 、综上所述后一或1 V处4；82 1.（2 02 2 恩施州）在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，抛物线丁 =-/+。与丁轴交于点尸（0,4）.(1)直接写出抛物线的解析式.(2)如图，将抛物线y =-f+c向左平移1个单位长度，记平移后的抛物线顶点为Q,平移后的抛物线与x轴交于A、B两点(点4在点3的右侧)，与 轴交于点C判断以3、C、Q三点为顶点的三角形是否为直角三角形，并说明理由.(3)直线8 C与抛物线 =一%2+。交于加、N两点(点N在点M的右侧)，请探