北京市十年高考数学真题(2013-2022)与优质模拟题(一二模等)精华汇编专题09立体几何与空间向量(含详解).pdf

大数据之十年高考真题（2013-2022）与优质模拟题（北京卷）专题09立体几何与空间向量真 题 汇 总6,S是A A B C及其内部的点构成的集合.1.【20 22年北京卷0 9】已知正三棱锥P-A B C的六条棱长均为设集合7 =Q C S PQ 5,则T表示的区域的面积为（)A.37r4B.7 1C.27 rD.3 7 r2.（20 21年北京4】某四面体的三视图如图所示，该四面体的表面积为（）C.3 +V3 D.23.20 21年北京8】定义：24小时内降水在平地上积水厚度（m m）来判断降雨程度.其中小雨（相交.G4119.【2017 年北京理科16 如图，在四棱锥P-A 8 C D 中，底面A B C Q 为正方形，平面以。，平面A BC ,点 M 在线段 PB 上，P O 平面 MA C,P A=P D=V 6,A B=4.(1)求证：M 为 P B 的中点；(2)求二面角B-P D-A的大小；(3)求直线M C与平面B Q P 所成角的正弦值.20.【2016 年北京理科17】如图，在四棱锥P-A 8 C。中，平面P A D m ABCD,PALPD,PA=PD,AB1.AD,A B=1,4 =2,AC=CD=V 5.(I )求证：PZ)_L 平面以B；(I I )求直线P B与平面P C D所成角的正弦值:(I I I)在棱附上是否存在点M,使得B例平面PC。？若存在，求二的值，若不存在，说明理由.C21.【2015年北京理科17】如图，在四棱锥4 -E/C B 中，4 E F为等边三角形，平面 A E F_L 平面 E FC B,EF/BC,8 c=4,EF=2a,NEBC=NFCB=60 ,。为 E F 的中点.(I )求证：AOA.BE.(I I )求二面角F-A E-B的余弦值:(I I I)若 BE _L 平面40 C,求 的值.22.【2014 年北京理科17 如图，正方形AM O E的边长为2,B,C分别为AM,M D的中点，在五棱锥P-A B C D E 中，尸为棱P E的中点，平面A B F 与棱PC,P C分别交于点G,H.(1)求证：AB/FG-,(2)若 出 _L 底面A B C 0 E,且 以=4E,求直线B C与平面A B尸所成角的大小，并求线段尸的长.A f 23.【2013 年北京理科17】如图，在三棱柱A 8 C-4 8 I。中,A 4 1C 1C 是边长为4的正方形.平面A BC _L 平面AAICIC,AB=3,BC=5.(I )求证：A 4 i _L 平面 A B C；(I I )求证二面角A i -BCi-Bi的余弦值；(HI)证明：在线段8。上存在点D,使得A O L A i B,并求=的值.模 拟 好 题1.一个底面积为1 的正四棱柱的顶点都在同一球面上，若此球的表面积为20n，则该四棱柱的高为（）A.V3 B.2 C.3V2 D.回2.已知/,力是两条不同的直线，a 4 是两个不同的平面，下面正确的结论是（）A.若/a,7na,则 1?n B.若m夕,a J 夕，则m 1 aC.若/_ L a，1 m,则ma D.若 1 _ L 0,?n 1/7,m 1 a,贝 J.a3.如图，在正方体4B C D-4i8iG D i中，E为棱BC上的动点，F 为 棱 的 中 点，则下列选项正确的是（）A.直 线 与 直 线 E尸相交B.当E为棱BC上的中点时，则点E在平面ADiF的射影是点FC.存在点E,使得直线4%与直线EF所成角为30D.三棱锥E 一力DF的体积为定值4.如图所示，一套组合玩具需在一半径为3 的球外罩上一个倒置圆锥，则圆锥体积的最小值为（）B.40兀 C.84乃 D.72乃 5.己知正方体4BCD-&BiCiDi，0 为对角线AC】上一 点（不与点4 c l 重合），过点。作垂直于直线4 G 的平面a,平面a 与正方体表面相交形成的多边形记为M,下列结论不正确的是（）C.当且仅当。为对角线4 G 中点时，M的周长最大D.当且仅当。为对角线力G 中点时，M 的面积最大6 .如图，已知四棱锥P A 8 C D 的底面是边长为2的菱形，且4M B =少P D=A D,PO_L 平面4 BC 0,F,0 分别是P 4 B D 的中点，E 是线段P B 上的动点，给出下列四个结论:A C 1 0 E；尸C =P 0；直线P 0 与底面4 BC D 所成角的正弦值为；O EC面积的取值范围是停,6 .其中所有正确结论的序号是7 .已知四棱锥P A B C D 的高为1,A P A B 和 PC D 均是边长为企的等边三角形，给出下列四个结论:四棱锥P-4 B C D 可能为正四棱锥;空间中一定存在到P，4B,C,。距离都相等的点；可能有平面P A O，平面4 B C D；四棱锥P-4 B C 0 的体积的取值范围是e,|其 中 所 有 正 确 结 论 的 序 号 是.8 .在四棱锥P-A BC。中，物，平面4 B C D,底面四边形A BC。为矩形.请在下面给出的5 个条件中选出2个作为-组，使得它们能成为“在 B C 边上存在点。，使得P。为钝角三角形”的充分条件.（写出符合题意的一组即可）PA =2；BC =3；8 C =遍；A B =V 2;4 B=1.9 .设棱长为2 的正方体4 B C D-a B i C i 5，E 是4。中点，点M、N 分别是棱A B、加5 上的动点，给出以下四个结论：存在E N|M G；存在M N，平面ECG；存在无数个等腰三角形EM N；三棱锥C -M N E 的体积的取值范围是则 所 有 结 论 正 确 的 序 号 是.10.如图，在棱长为2 的正方体4 BC D 4 B 1 G D 1 中，M,N 分别是棱为 名，冬义的中点，点P 在线段CM 上运动，给出下列四个结论：；平面C M N 截正方体A B C O&B1C 1D 1所得的截面图形是五边形；1 ;A 1 _/s t/B C直线劣劣到平面C M N 的距离是当；存在点P,使得4 8/5=9 0。；PD C i 面积的最小值是辿.6其中所有正确结论的序号是_.11.如图，在直三棱柱4 BC -&B 1 Q中，DB,E 分别是A B,BBi 的中点，已知力B=2,AA1=AC=CB 证 明:BG平面&CD；求C D 与平面&CE 所成角的正弦值;(3)求。到平面4 C E的距离.1 2.如图，在四棱锥PA B C D 中，底面A 8 C。是边长为2的正方形，为正三角形，且侧面以8 _ 1 _ 底f f i ABCD,M 为尸。的中点.求证：P8平面4 CM；(2)求 直 线 与 平 面 以。所成角的正弦值;(3)求二面角C 一 P4 -。的余弦值.13.如图，在长方体4 BCD-中，AD=,AB=4 4 1=2,H,尸分别是棱C。，的中点.(1)判断直线“尸与平面为BCD1的位置关系，并证明你的结论;(2)求直线“/与平面ABC。所成角的正弦值；(3)在线段所上是否存在一点Q,使得点。到平面4B C 5的距离是鱼，若存在，求出黑的值；若不存在，说明理由.HF14.如图，在四棱锥P-4 B C D中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧面PAD是正三角形，平面24。1平面 ABCD.证明：A B 1平面PAD；(2)求直线P4与平面PBC所成角的正弦值；求点。到平面PBC的距离.15.如图，在直三棱柱4 8。-48停1中，D,E分别是棱A B,a 6的中点，AC=BC=2,441=3.c(1)求证:O E 平面 ACQa；(2)再从条件、条件、条件这三个条件中选择一个作为己知，使得各条件相融.并求直线D E 与平面4 BG所成的角的正弦值.条件：BC14G；条件：DE 1 Bi的；条件：D E 到平面 G41的距离为1.1 6 .如图，在三棱锥P-4BQ中，P B 1 平面 4 B Q,BA=BP=BQ =2,D,C,E,尸分别是 A。，BQ,AP,B P 的中点，A B I B Q,P D 与 E Q交于点G,P C 与 尸。交于点H,连接G H.求证：ABGH；(2)求平面布B与平面P C D 所成角的余弦值；(3)求点A到平面P C D的距离.1 7 .如图，在三棱柱ABC-力$i G中，4 4 i G C 是边长为4的正方形，平面A B C 1 平面4 4 iG C,4 B =3,BC=5.(1)求二面角4 一 B G -当的余弦值;(2)证明：在线段BG上存在点D,使得AD14B.并求翳的值D L i,1 8 .如图，在正三棱柱ABC-A/i G中，AAr=AC=2,D,E 分别为C C 4/的中点.Q(1)证明：ED 平面A B C；(2)求直线C C i与平面&BD所成角的大小；(3)线段B C 上是否存在点G,使得&G1BD?若存在，求出点G 到平面&BD的距离：若不存在，说明理由.1 9.如图，三棱柱A B C-A iB iC i中，侧面_ L 底面4 B C,4 c l 4 B,AC=AB=AAr =6 0,E,9 分 别 为 棱 的 中 点.求证：AC1AE；(2)求三棱柱A B C -4Bi Q的体积；(3)在 直 线 上 是 否 存 在 一 点 P,使得C P|平面4 E尸.若存在，求出A P 的长；若不存在，说明理由.2 0.如图，在三棱柱4 B C-&B 1 C 1 中，4 B C 为等边三角形，四边形B C C 1 当是边长为2的正方形，。为中点，且4。=V5.求证:CD 1 平面 4 B B 1 4；(2)若点P 在线段&C上，且直线4 P 与平面4CD所成角的正弦值为W，求点P 到平面&CC的距离.大数据之十年高考真题（2013-2022）与优质模拟题（北京卷）专题09立体几何与空间向量 纷 真 题 汇 总 1.【2 02 2年北京卷09】已知正三棱锥P-4 B C的六条棱长均为6,S是A A B C及其内部的点构成的集合.设集合T =Q e S|P Q W 5 ,则T表示的区域的面积为（）A.B.n C.2 7 r D.3 7 r4【答案】B【解析】设顶点P在底面上的投影为。，连接B O,则。为三角形4 B C的中心，且8。=-x 6 x =2 V3，故P。=V3 6-1 2 =2 V6-3 2因为P Q =5,故。Q =1,故S的轨迹为以。为圆心，1为半径的圆,而三角形4 B C内切圆的圆心为。，半径为2X）X 3 6=,3X6故S的轨迹圆在三角形4 8 c内部，故其面积为乃故选：B2.（2 02 1年北京4】某四面体的三视图如图所示，该四面体的表面积为（）11A 3+6 2B.4c.3+V3D.2【答案】A根据三视图可得如图所示的几何体-正三棱锥。-ABC,其侧面为等腰直角三角形，底面等边三角形,由三视图可得该正三棱锥的侧棱长为1,故其表面积为3 x i x l x l+X（夜）2=等24故选：A.3.【2021年北京8】定义：24小时内降水在平地上积水厚度（min）来判断降雨程度.其中小雨中雨25 mnP，大 雨（2 5 m m-5 0mm），暴雨（5 0mm-l0 m m），小明用一个圆锥形容器接了 24小时的雨水，如图，则这天降雨属于哪个等级（）A.小雨B.中雨C.大雨D.暴雨【答案】B由题意，一个半径为等=1 00（mm）的圆面内的降雨充满一个底面半径为等 乂 黑=5 0（mm），高为1 5 0（mm）的圆锥,所以积水厚度d|TTX502X15071X1002=12.5（m m 属于中雨故选：B.4.【2020年北京卷04】某三棱柱的底面为正三角形，其三视图如图所示，该三棱柱的表面积为（）.俯视图侧（左）视图A.6+V3 B.6+2V3 C.12+V3 D.12+2百【答 案】D【解 析】由题意可得，三棱柱的上下底面为边长为2的等边三角形，侧面为三个边长为2的正方形，则其表面积为:S=3 x(2 x 2)+2 x|x 2 x 2 x sin60)=12+2技故选：D.5.12018年北京理科05】某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为（)正（主）视图侧（左）视图俯 视 图A.1 B.2 C.3 D.4【答案】解：四棱锥的三视图对应的直观图为：用，底面A8CQ,AC=V5,CD=V5,PC=3,PD=2短,可得三角形PC。不是直角三角形.所以侧面中有,3个直角三角形，分别为：咫8,P8C,B4D.6.2017年北京理科07某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的侧(左)视图最长棱的长度为()俯视图A.3V2 B.2V3 C.2V2 D.2【答案】解：由三视图可得直观图，再四棱锥P-ABC中，最长的棱为PA,即 PA=7PB2 +PC?=22+(2V2)2=2V3,故选：B.7.【2 0 1 6 年北京理科0 6】某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（)俯视图111A.-B.C.-D.6 3 2【答案】解：由己知中的三视图可得:该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥,棱 锥 的 底 面 面 积 X I X 1=|,高 为 1.故 棱 锥 的 体 积=43 O故选：A.8 .【2 0 1 5 年北京理科0 4】设 a,B是两个不同的平面，机是直线且mu a,“机0 ”是 a 邛 的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】解：，”u a,山0得不到a B，因为a,0可 能 相 交,只 要 和 a,0的交线平行即可得到,仇a B，m ua,二冽和0没有公共点，即 a 0 能得到m B：“加B”是“a 勺 的必要不充分条件.故选：B.9 .【2 0 1 5 年北京理科0 5】某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（）11 EF_ L 平面 A1 B1 GD.平面 D1EF.过点M作MP/EF交D E于点P,则MP/CC.取 C i N=M P,连接P N,则四边形MPNCj是矩形.可得NP1,平面DEF,在 RtZ QiCiF 中，CMDFDCCF,得QM=争.5275.点P到直线C。的距离的最小值为三【2022年北京卷17 如图，在三棱柱A B C-a/iG中，侧面BCC$i为正方形，平面ECQBi 1平面4 BBM1，AB=BC=2,M,N分别为久品，AC的中(1)求证：MN”平面BCGBi；(2)再从条件、条件这两个条件中选择一个作为已知，求直线AB与 平 面 所 成 角 的 正 弦 值.条件：AB L M N；条件：B M =M N.注：如果选择条件和条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】(1)见解析(2)见解析【解析】(l)取aB 的中点为K,连接MK,NK,由三棱柱ABC-4 8 1 G 可 得 四 边 形 为 平 行 四 边 形，而BM=K A,则而MK U平面CBBiQ,SB】u平面C B B iQ,故MK平面CBBiQ,而CN =N A,BK=K A,则NKB C,同理可得NK平面CBBiG，而N K n MK=K,N K,MK u 平面MKN,故平面MKN平面CBBiG，而M N u平面M K N,故MN平面C B/G,(2)因为侧面CBBiG为正方形，故CB_L8Bi，而CB u 平面CBBiG，平面CBBiG _L 平面ABBiA，平面CBBiG n 平面488送1=BBi，故CB _L 平面ABBiAi，因为N K“B C,故NK 1平面4BB14,因为4B u 平面488送1，故NKJ.4B,若选，则A B 1 M N,而N K 14B,N K C M N=N,故48 1平面M N K,而M K u 平面M N K,故4B 1 MK,所以A B lB B i，而C B 工BBi，CB C A B =B,故B%_L 平面4 B C,故可建立如所示的空间直角坐标系，贝跖(0,0,0),力(0,2,0),N(1,1,O),M(0,1,2),故m=(0,2,0),丽=(1,1,0),=(0,1,2).设平面BNM的法向量为元=(x,y,z),则g .更=0,从而:取z=-l,则五=(-2,2,-1),n-B M =0 +2z=0设直线4 8与平面BNM所成的角为仇则sin。=|cos(n,B)|=*=|.若选，因为N K B C,故NK _L平面4 B B 1 4,而KM u 平面MKN,故N K J.K M,而BiM=BK=1,N K=1,故B1M=NK,而BB=M K =2,M B =M N,故&B B、M W 4 M K N,所以=4MKN=90。，故4 1 8 1 1 8&,而CBJ.BB1，C B n A B =B,故J 平 面ABC,故可建立如所示的空间直角坐标系,则8(0,0,0),4(0,2,0),N(l,1,0),M(0,1,2),故 而=(0,2,0),丽=(1,1,0),BM=(0,1,2)，设平面BNM的法向量为元=(x,y,z),贝义元,更=0,从而=取z=-l,则元=(一2,2,1),设直线4B与平面BNM所成的角为。，则_ 4 2sin。=|cos(n)/18)|=1 5.【2021年北京17】已知正方体ABC。一 4131cl5，点EC为45中点，直线B1 G交平面CDE于点F.C lDi(1)证明：点尸为B1 G的中点；(2)若点M为棱4B】上一点，且二面角M-C F-E 的余弦值为匹，求 笠 的值.3 niDi【答案】(1)证明见解析；(2)整=(1)如图所示，取4 C1 的中点F,连结DE,E%FC,由于4 BCD BiCDi为正方体,E,F为中点，故EF|CD,从而E,F,&。四点共面，即平面C D E即平面CDEF,据此可得：直线&Q 交平面CCE于点F,当直线与平面相交时只有唯一的交点，故点尸与点尸 重合，即点尸为&G 中点.(2)以点。为坐标原点，D4 DC,。区方向分别为x轴，y轴，z轴正方B不妨设正方体的棱长为2,设 黑=4(0 W 4 4 1),A M则：M(2,2 A,2),C(0,2,0),尸(1,2,2),E(l,0,2),从而：M C =(-2,2 -2 X,-2),CF=(1,0,2),而=(0,2,0),设平面M C F 的法向量为：in=(X i，yi，z i),则：m-M C =-2%i +(2 2 2)%2 z1=01 m.C F=刈+2 z 1 =0令Z i =-1 可 得:m=设平面C FE 的法向量为:n=(x2,y2*z2)则:n ,FE=-2 y2=03 C F=%2 +2Z2=0令Z =-1 可 得:n=(2,0,-1),从而:i n-n=5,|m|=5 +(-)2,|n|=V 5)则:c o sm,n)=m-n _ 5沅冈殖 83义百匹T，整理可得：(A -I)2=i,故4 =(4 =|舍去).1 6 .(2 020年 北 京 卷 1 6 如 图，在 正 方 体 A B C D-A i B i G D i 中，E 为 BB】的 中(I )求证：B Q平面4QE；(I I)求直线44与平面A D i E 所成角的正弦值.【答案】(I )证明见解析；(I I)|.【解析】(I )如下图所示:AB/Z A R A B =A1B1,A i B/C R 且A1B1=C1D1,AB。1%且4B=G 5，所以，四边形ABQDi为平行四边形，则 BCi C平面力ZE,ADA u 平面ADiE,BG平面4D iE；(11)以点4为坐标原点,4。、4 8、411所在直线分别为小丫、2轴建立如下图所示的空间直角坐标系4 孙2,设正方体4BCD-4 8心必的棱长为2,则4(0,0,0)、&(0,0,2)、。式2,0,2)、(0,2,1)也=(2,0,2),AE=(0,2,1),设 平 面 的 法 向 量 为i?=(x,y,z),由:.慧 二;，得二:，令z=-2,则x=2,y=l,则元=(2,1,2).c o s =-公=因此，直线A 2与平面ADiE所成角的正弦值为|.1 7.【2019年北京理科16如图，在四棱锥P-A 8C。中，附_1平面ABC。，A D L C D,AD/BC,P A=A DPF 1=CD=2,BC=3.E为尸。的中点，点F在尸C上，且二=二.PC 3(I )求证：C Q _ L 平面 PAD-,(I I )求二面角F-A E-P的余弦值;PG 2(H I)设点G在 PB 上且 而=3 判断直线AG是否在平面A E F 内说明理由.【答案】证明：(I )平面AB C D,，抬，C D,：A D 1 C D,PAQ ADA,C _ L 平面力O.解：(I I )以A为原点，在平面A 8 C。内过4作 CO 的平行线为x 轴,AC为)，轴，A 尸为z 轴，建立空间直角坐标系，2 2A (0,0,0),E (1,0,1),F(一，一3 3=TT4 EoJZTFT4-232-34-34-),P(0,0,2),3平面A E P 的法向量几=(1,0,0),设平面A E 尸的法向量云=(x,y,z),(-/则(-2 2 4 ，取 x=l，得m=(1，1，-1)，(巾.”=尹+科+/=0设二面角尸-A E -P的平面角为0,则 即典+学|m|-|n|V 3 3二面角F-A E-P的余弦值为号.(I I I)直线AG不在平面A E F 内，理由如下：4,PG 2 4 2.点 G 在 P 8 上，且=一.:G(一，0,一),PB 3 3 3-4 2 AG=(一，0,一)，3 3 ,平 面 产的法向量其=(1,1,-1),-乙 4 2 2 八m AG=o n=3 工，故直线AG不在平面力EF 内.X 18.2018年北京理科1 6 如图，在三棱柱ABC-ABC中,CCi_L平面 ABC,D,E,F,G 分别为 A4i,AC,AC,881 的中点，ABBC=V5,AC=AA=2.(I)求证：A C,平面BEF；(II)求二面角B-C D-C i的余弦值；(H I)证明：直线FG与平面BCD相交.【答案】(/)证明：I 分别是AC,AC1的中点，.EFaCCi,CCi _L 平面 A8C,E尸 L平面 ABC,又 ACu平面 ABC,.EFLAC,：AB=BC,E 是 AC的中点，J.BEVAC,又 BECEF=E,8Eu-平 面 BEF,EFu-平 面 BEF,J平面 BEF.()解：以E 为原点，以EB,EC,EF为坐标轴建立空间直角坐标系如图所示:则 B(2,0,0),C(0,1,0),D(0,-1,1),：.BC=(-2,1,0),CD=(0,-2,1),设平面BCD的法向量为蔡=(x,y,z),则n-BC=0t 即n-CD=0 2.x+y=0 2y+z=0令 y=2 可得=(1,2,4),又 E8_L平面 ACC14,：.EB=(2,0,0)为平面C O-。的一个法向量,由图形可知二面角B-C D-C 为钝二面角，二面角8-CD-C i的余弦值为一岩.(III)证明：F(0,0,2),G(2,0,1),C.FG=(2,0,-1),J.FG-n=2+0-4=-2W0,FG与n不垂直,二F G与平面B C D不平行，又尸GC平 面BCD,.FG与平面8CQ相交.x 19.【2017年北京理科16】如图，在四棱锥P-ABC。中，底面4BC力为正方形，平面平面ABCZ),点/在 线 段 PB上，平面MAC,P A=P D=瓜,AB=4.(1)求证：M 为 PB的中点；(2)求二面角B-P D-A的大小；(3)求直线例C 与平面BDP所成角的正弦值.【答案】(1)证明：如图，设 ACnBC=O,.A8CO为正方形，为 8。的中点，连 接 OM,PD/平面 MAC,POu 平面 P B D,平面尸8DA 平面 A M C=O M,：.P D/O M,则=，即 仞 为 P 8的中点;BD BP(2)解：取 A D 中点G,：PA=PD,：.PGA.AD,:平面 平面 48C O,且平面出。C 平面 48C0=AZ),，PG_L 平面 A8C7),贝 iJPG_LAO,连 接。G,贝 ij PG_LOG,由 G 是 A的中点，。是 4 c 的中点，可得OGD C,则 OGLAD.以 G 为坐标原点，分别以GQ、GO.GP所在直线为心y、z轴距离空间宜角坐标系，由 PA=PD=V6,A B=4,得 D(2,0,0),A(-2,0,0),P(0,0,鱼)，C(2,4,0),B(-2,4,0),M(-1,2,),2DP=(-2,0,V2),DB=(-4,4,0).设 平 面 的 一 个 法 向 量 为 蓝=(x,y,z),则由m DP=0 得m-DB=0，取 z3得j，1，企)取平面以。的一个法向量为7=(0,1,0)./.cos =m-n _ 1 _ 1|m|n|2x1 2 二面角的大小为60；(3)解：C M=(-3,-2,孝)，平面8CP的一个法向量为就=(1,1,V2).T T t CM-m二直线M C与平面80P 所成角的正弦值为IcosVCM,m|=|_ 一|=卜CMm-2 ,2 而20.【2016年北京理科17 如图，在四棱锥P-A8CQ 中,平面以DJ_平面 ABC。，PAA.PD,PA=PD,ABLAD,AB=1,40=2,A C=C D=V5.(I)求证：PZ)_L 平面 PAB；(I D 求直线P8与平面PC。所成角的正弦值；(H I)在棱以上是否存在点M,使得平面若存在，求 黑 的值，若不存在，说明理由.=AD,平面以。，平面ABCDf且 平 面%0 n 平面A3COQ.AB1AD,ABu平面 A8C。,.,.AB_L平面 PAD,:POu平面 PAD,：.ABLPD,又 POJ_勿，且 以 CA8=A,，PO_L 平面 PAB-,(II)解：取 A D 中点为0,连接CO,P0,：CD=AC=V5,J.CO1AD,又.：PA=PD,：.POLAD.以。为坐标原点，建立空间直角坐标系如图：则 P(0,0,1),B(1,I,0),D(0,-I,0),C(2,0,0),则 而=(1,1,-1),PD=(0,-1,-1),PC=(2,0,-1),CD=(-2,-1,0),设%=(%0,y。，1)为平面PCD的法向量，则哂火：，得m，则 心&,1).T 一 ,DD 11 1设必与平面 PC。的夹角为 3 贝 ijsine=IcosVn,PB=_；-=|./|=nPB J|+l+lxV 3AM(III)解：假设存在M 点使得6M平面P C D,设 一=九 M(0,y,z i),由(I I)知，A(0,1,0),AP P(0,0,1),AP=(0,-1,1),B(1,1,0),4M=(0,y1-1,z)则有京=%*,可得M（0,1-入，A）,：.BM=(-1,-A,A),.5M平面尸CD,n=-1,1)为平面尸CD的法向量,角形，平面 AEF_L平面 EEC8,EF/BC,8 c=4,EF=2a,N E B C=NFCB=6Q,。为 的中点.（I）求证：A O I BE.（II）求二面角F-A E-B的余弦值；（III）若 B E,平面A O C,求 a 的值.【答案】证明：（I）4E F 为等边三角形，。为 E F 的中点,：.AOEF,.平面 4EFJL平面 EFCB,AOu平面.O _L 平面 EFCB：.AOBE.(II)取 8 c 的中点G,连接OG,是等腰梯形，OG.LEF,由(I)知 AO_L平面EFCB,/OGu平面 EFCB,：.OALOG,建立如图的空间坐标系，贝 ij OE=a,BG=2,GH=a,(aW 2),BH=2-a,EH=BHtan600=V 3(2-a),则 E(a,0,0),ACO,0,岳)，B(2,75(2-a),0),EA=(-a,0,V3a),BE=(a-2,75(2 a),0),设平面AEB的法向量为1=(x,y,z),则Q=0,即一3 +V3az=0飞靛=0,l(a-2)x+遮(a-2)y=0,令 z=1,贝!x=V3,y=-1,即 n=(V3,-1,1),平面4E F 的法向量为蓝=(0,1,0),m i l/t、m-n/5贝 I cos =-=F-|m|n|5即二面角尸-4 E-B 的余弦值为一络；(III)若 B E,平面 AOC,则 BELOC,即 届 OC=0,：BE=(q-2,-V3(2-a),0),OC=(-2,V3(2-a),0),.,.BE-OC=-2 (-2)-3(a-2)2=0,CA、Fo【2 0 1 4 年北京理科1 7 如图，正 方 形 的 边 长 为 2,B,C分别为A M,MO的中点，在五棱锥P-4 B C D E 中，尸为棱P E 的中点，平面A B F 与棱P D,P C 分别交于点G,H.(1)求证：AB/FGi(2)若底面A B C D E,且 雨=AE,求直线8 c 与平面A 8 F 所成角的大小，并求线段PH 的长.【答案】(1)证明：在正方形AMOE中，.B 是 AM的中点,：.AB/DE,又平面尸力E,：.A B/n PDE,A B F,且平面 A 8F C 平面 P )E=f G,：.AB/FG(2)解：,办 _ L 底面 A B C Q E,J.PALAB,PA LAE,如图建立空间直角坐标系A r yz,则A (0,0,0),B(1,0,0),C(2,1,0),P(0,0,2),E(0,2,0),F(0,1,1),BC=(1,1,0),设平面A B F的法向量为1=(x,y,z),则f n-A B =0 即俨=0t-%+z=。，令 z=l,则 y=-l,A n =(0,-1,1),设直线8 c与平面A 3尸所成的角为a,则T Tt-n-BC isi n a=|co s h,F O|=|1=亍|n|BC|T C直线B C与平面ABF所成的角为工，设 H(“，v,w),:，在棱 P C 上，.可设赢=%先(0/、九 1 几 2 16 16一两鬲=/花=为二面角Ai-BC-B i的余弦值为学.25(/)设点。的竖坐标为/,(0 V/V 4),在平面BCC向 中 作。以 8 C 于 可得。(3 式 4 一 t),t),：.ATD =(t,氯3 4-t),t),T=(0,3,-4),：AD：.AD B =0,Q Q A0+4(4 t)4t=0,解得 f=25.BD DE 9 B g 一 C J 25*1.一个底面积为1 的正四棱柱的顶点都在同一球面上，若此球的表面积为2 0#则该四棱柱的高为（）A.V3B.2C.3V2D.V19【答案】C【解析】设球的半径为R,则4“/?2_20,解得R2_5设四棱柱的高为九，则F +1+1=4R2,解得九=3 位 故选：C2.已知/,机是两条不同的直线，a,夕 是两个不同的平面，下面正确的结论是（）A.若Z a,m a,则B.若m,a_L S，则m _ L aC.若Z_La_L?n,则?na D.若2 _ L _L_ L a,则E _ L a【答案】D【解析】A：l/a,m/a,则乙m可能平行、相交或异面，错误；B：m/p,a 1 p,则m,a可能相交、平行或m u a,错误；C：I L a,l L m,则n,Q平行或mu a,错误；D：L A.0,m 1 0,则/m,又m _ L a,故E1.a,正确.故选：D3.如图，在正方体力 BCD AiBiGDi中，E为棱8C上的动点，尸 为棱当8 的中点，则下列选项正确的是（）A.直线4 5 与直线EF相交B.当E为棱BC上的中点时，则点E在平面ADiF的射影是点尸C.存在点E,使得直线AD1与直线EF所成角为30D.三棱锥E-4 0 F 的体积为定值【答案】D【解析】A：由题意知,ADBC,81G u 平面BiQCB,平面为GCB所以公。1平面BiQCB,又EF u 平面B 1G C 8,所 以 与 EF不相交，故 A 错误；当点E为BC的中点时，EF/CBX,又A/l C B i，所以E F J.4 5，若点E在平面4。/的射影为F,贝 IjEF 1 平面4 D 1 F,垂足为F,所以E F 1 A F,设正方体的棱长为2,则4E=4尸=近，EF=V2.在ZkAEF中，AF2+EF2 AE2,所以44FE H 90,即E F L 4 F 不成立，故 B 错误；C；建立如图空间直角坐标系。一 x y z,连接B Q,则A D J/B G，所以异面直线EF与4 5 所成角为直线EF与BG 所成角，设正方体的棱长为2,若存在点E(a,2,0)(0 a AB B尸为定值，所 以 为 正 值，所以三棱锥E-4 D F 的体积为定值，故 D 正确.故选：D.4.如图所示，一套组合玩具需在一半径为3 的球外罩上一个倒置圆锥，则圆锥体积的最小值为（）【解析】647rB.40兀C.847r D.72%解：设母线与底面的夹角2 a,底面半径R,内切球半径r=3,圆锥的高九,h=R-tan2a=二一 tan2a=二一,tana tana l-ta nza2圆锥的体积V=-7lR2 3h=-7T X(二一)x J3 3 xtana/l-ta n2a-1 8 7 rx (ta M a/l-ta M a)而00 2a 90,0 a 4 5 ,所以0 V tana 0 又因为：tan2a 4-(1 tan2a)=1 定值所以(tan2a)(1 tan2a)/5x 夜 x 9 =8 所以 CF=2/，不正确；由线面角定义知，0 D 就是直线P。与底面4BCD所成的角，s in O D=W，不正确；由4C J平面PBC得，AC 1 OE,S A C E=l A C OE=V 3 x O E|OE|max=*，PBLOE 时|。国最小，|O E|m in=正确故答案为：7.己知四棱锥P-4 B C。的高为1,APAB和 PCD均是边长为四的等边三角形，给出下列四个结论：四棱锥P-4BCD可能为正四棱锥；空间中一定存在到P，4，B,C,。距离都相等的点；可能有平面R4D _L 平面ABCD；四棱锥P-4B C D 的体积的取值范围是G，1.其 中 所 有 正 确 结 论 的 序 号 是.【答案】【解析】根据题意，设P。1 A B C D,则P。=1,又因为A PABl PCD均是边长为鱼的等边三角形，易得。4=0 B对，当48=8。=。=4。=近 时，底面为正方形，且。为底面中心，此时四棱锥P-A B C。可能为正四棱锥，故正确；对，OA=OB=OC=OD=OP=1,故一定存在到P,4,B,C,。距离都相等的点0,故正确；对，当平面PAD J 平 面 4BCC时，因为P。1 A B C D,故PO u 平面P 4 D,此时=n,又因为Z40B=COD=p此时B,C重合，不满足题意，错误；对，设Z _ BOC=9,则5-4 8CD=3 SABCD，P。=0 A -OB+0C-OD+0B-OCsind+1 04 .ODsin(n-8)=(1 +sin。),因为0 (0,兀)，故sin G(0,1,所以5 _ 4 BC)=：(l+s in e)e G，|,故正确故答案为：8.在四棱锥P-ABC。中，以 _ 1 平面A8C,底面四边形A8CQ为矩形.请在下面给出的5个条件中选出2个作为一组，使得它们能成为“在 BC边上存在点Q,使得PQQ为钝角三角形”的充分条件.(写出符合题意的一组即可)P4 =2；BC=3；8。=遍；AB=V 2;4 B=1.【答案】或或【解析】设P4 =a,4 8=b,4 O=c,BQ=x(0%c),则CQ=c x,因为P 4 L平面ABC。，底面四边形4 8C。为矩形，所以P4 J.4Q,则PQ2=P A2+AQ2=PA2+AB2+BQ2=a2+b2+x2,DQ2=CD2+CQ2=b2+(c x)2,PD2=PA2+AD2=a2+c2,若在BC边上存在点Q,使得APQ。为钝角三角形，则PQ2+DQ2 PD2,即a?+b2+x2+b2+(c-x)2 a2+c2,整理得/ex+b2 0(0 x 0,即只需B C 24 8即可，因为P4 =2；BC=3；8。=隗；AB=6 4 8=1,所以或或.故答案为：或或.9.设棱长为2 的正方体4 BC0-&B iG D i，E是4。中点，点M、N分别是棱4 8、C/i上的动点，给出