2023年广州中考数学模拟试卷09（学生版+解析版）.pdf

2023年广州中考数学模拟试卷09（满 分 120分，时 间 120分钟）一、单 选 题（本大题共1 0 小题，每小题3 分，共 3 0 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.在实数|-3|,-2,0,n 中，最小的数是（）A.|-3|B.-2 C.0 D.n2.下列图形中，不能通过其中一个四边形平移得到的是（）A B.#D.空3.为全力抗战疫情，响应政府停课不停学号召，某校按照教学计划，开展在线课程教学和答疑，据互联网后台数据显示，九年级七科老师4 月 2 0 日在线答疑问题总个数如下表：学科语文数学英语物理化学道法历史数量/个26303028222521则 4 月 2 0 日该中学九年级七科老师在线答疑问题总个数的平均数和中位数分别是（）A.26；28B.28,28 C.26；26 D.28；264.如图，在已知的4ABC中，按以下步骤作图：分别以B,C 为圆心，以大于3 BC的长为半径作弧，两弧相交于两点M,N；作直线MN交 A B于点D,连接CD.若 AD=AC,0A=8O,则 团 ACB的度数为（）A.65B.70C.75D.805.我国古代的数学名著 九章算术 中有下列问题：今有女子善织，日自倍，五日织五尺.问日织几何？”其意思为：今有一女子很会织布，每日加倍增长，5日共织布5尺.问每日各织多少布？根据此问题中的已知条件，可求得该女子第一天织布（）尺.5165366.下列函数中，当x 0时，了随x的增大而减小的是（B.y=x-1D.y=-x27.已知圆锥的底面半径为5cm,侧面积为6511cm2,设圆锥的母线与高的夹角为 如图所示，则sin。的值为（）8.在下列函数图象上任取不同两点片（百,%）、P2（x2,y2）,一定能使（与一）5-必）。成立的是（）A.y 3x+lB.y=-x2-2 x-3(x l)C.y=-x2+4 x+l(x 0)9.如图，四边形A8CD是边长为5的正方形，E是0 c上一点，D E =,将A4OE绕着点/顺时针旋转到与AAB尸重合，则E F=（）F BA.741B.742C.572D.2V131 0 .如图1,矩形Z 8 C D 中，点 E为 8c的中点，点 P沿 B C 从点8运动到点C,设 3,P两点间的距离为x,PA -P E=y,图 2是点尸运动时y随x 变化的关系图象，则 8c的 长 为（）A.4 B.5 C.6 D.7二、填 空 题（本大题共6 小题，每小题3 分，共 1 8 分）1 1 .（-2 0 2 +卜 闽+（-g）=.1 2 .因式分解:3 分-9 即=.1 3 .一次函数 =（1-幻+公-1 的图象经过原点，则y随x的增大而.（填 增大 或 减小）1 4 .如图，&4 8 c 是等边三角形，A E=C D,8 绝 1。于 0,B E 交 AD 于前P,下列说法：a 4 P E=C,Z。=BQ,（3）A D=B E,A E+B D=A B,其 中 正 确 的 说 法 有.（填序号）1 5 .如图，在边长为4的正方形A BCD 中，以点B 为圆心，以A B 为半径画弧，交对角线B D 于点E,则图中阴 影 部 分 的 面 积 是 （结果保留n）1 6 .如图，在正方形N 8 C D 中，点 用、N分别为边C、8c上的点，且。M=C N,与 DN交于点P,连接 4 N,点。为 4N的中点，连接尸0,8。，若 4 8=8,。加=2,给出以下结论：Z A/HZ W；O M A N=B A N；APQNSABQN；P Q=5.其中正确的结论有 （填上所有正确结论的序号）三、解答题（本大题共9小题，第 1 7-1 8 题每小题4分，第 1 9-2 0 题每小题6分，第 2 1 题 8分，第 2 2-2 3题每小题1 0 分，第 2 4-2 5 题每小题1 2 分，共 7 2 分）1 7.解方程组:2 x+y =5x+y=21 8 .如图，在正方形Z 8 C A 中，点 E、p分别在线段8 C、CD L,连接N E、A F,且 B E=D F.求证：A E=A F._ A r .X 2 2K+1 X1 9 .己知：4=z-x2-l x+化简4（2）若x为不等式a+1 2 3 的最小整数解，求 Z的值.2 0 .今年3月份，我县某中学开展争做 小雷锋”征文比赛活动，赛后随机抽取了部分参赛学生的成绩，按得分划分为A ,B,C,。四个等级，并绘制了如下不完整的频数分布表和扇形统计图：根据以上信息，解答以下问题：等级成 绩（S）频 数（人数）A9 0 V x 1 0 06B8 0 5 9 0XC7 0 5 8 02 4D5 E,DC,BC的中点.(1)观察猜想：图 1 中，线 段 与 PN的 数 量 关 系 是，位 置 关 系 是.(2)探究证明：把绕点A逆时针方向旋转到图2 的位置，连接MN,BD,CE,判断APMN的形状，并说明理由；(3)拓展延伸：把绕点A在平面内自由旋转，若 A=4,A3=l(),请直接写出APMN面积的最大值.2 5.如 图 1,抛物线C”y=ox2+6x-2 与直线/：y=-gx-交于x 轴上的一点/,和另一点8(3,n)求抛物线G 的解析式;(2)点 P 是抛物线C/上的一个动点(点尸在4 8 两点之间，但不包括4 5 两 点)尸于点M,PN/y轴 交 于 点 M求 的 最 大 值；如图2,将抛物线G 绕顶点旋转180。后，再作适当平移得到抛物线Q,已知抛物线Cz的顶点E 在第一象限的抛物线。上，且抛物线C2与抛物线G 交于点O,过点。作。Fx 轴交抛物线Cz于点F,过点E 作EGx 轴交抛物线。于点G,是否存在这样的抛物线C 2,使得四边形。依 G 为菱形？若存在，请求E 点的横坐标；若不存在，请说明理由.2023年广州中考数学模拟试卷09（满 分 1 2 0 分，时 间 1 2 0 分 钟）一、单 选 题（本 大 题 共 1 0 小 题，每 小 题 3 分，共 3 0 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.在 实 数|-3|,-2,0,兀中，最 小 的 数 是（）A.|-3|B.-2 C.0 D.n【答 案】B【解 析】【分 析】直接利用利用绝对值的性质化简，进而比较大小得出答案.在 实 数1-31,-2,0,兀中，|-31=3,则-2 0|-3|n,故最小的数是：-2.故 选B.【点 睛】此题主要考查了实数大小比较以及绝对值，正确掌握实数比较大小的方法是解题关键.2.下列图形中，不能通过其中一个四边形平移得到的是（）A 战 c 令。【答 案】D【解 析】解：A、能通过其中一个四边形平移得到，不符合题意；B、能通过其中一个四边形平移得到，不符合题意；C,能通过其中一个四边形平移得到，不符合题意；D、不能通过其中一个四边形平移得到，需要一个四边形旋转得到，符合题意.故选D.3.为全力抗战疫情，响应政府 停课不停学”号召，某校按照教学计划，开展在线课程教学和答疑，据互联网后台数据显示，九年级七科老师4 月 2 0 日在线答疑问题总个数如下表：学科语文数学英语物理化学道法历史数量/个26303028222521则 4 月 2 0 日该中学九年级七科老师在线答疑问题总个数的平均数和中位数分别是（）A.26；28B.28,28 C.26；26 D.28；26【答案】C【解析】【分析】要求平均数只要求出数据之和再除以总个数即可，求中位数先把数据从小到大排列或从大到小排列，最中间的数据（或最中间两数的平均数）即是中位数.解：（26+30+30+28+22+25+21）+7=182+7=26.将数据从小到大排列：21,22,25,26,28,30,3 0,最中间的数是26,故选：c.【点睛】本题考查的是平均数和中位数，是基础题型，理解中位数的概念，熟记平均数公式是解题的关键.4.如图，在已知的AABC中，按以下步骤作图：分别以B,C为圆心，以大于 B C的长为半径作弧，两弧相交于两点M,N；作直线M N交A B于点D,连接CD.若AD=AC,/A=8 0。,则NACB的度数为（）A.65 B.70 C.75 D.80【答案】C【解析】【分析】根据作图过程可得D M是BC的垂直平分线，所以DC=DB,所以N B=N D C B,再根据AD=AC,Z A=8 0,可得Z A D C=50,进而求出/A C B的度数.解：根据作图过程可知：D M是BC的垂直平分线，:.DC=DB,A ZB=ZDCB,，/ADC=NB+NDCB=2/DCB,：AD=AC,ZA=80,；.NADC=NACD=；（180。-Z A）=50。,A ZDCB=-ZADC=25,NACB=/DCB+/ACD=250+50=75.ZA C B的度数为75.故选：C.【点睛】本题考查了作图-基本作图，解决本题的关键是掌握线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质.5.我国古代的数学名著 九章算术中有下列问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺.问日织几何？”其意思为：今有一女子很会织布，每日加倍增长，5日共织布5尺.问每日各织多少布？根据此问题中的已知条件，可求得该女子第一天织布（）尺.5 5-5 5A.B.C.D.16 21 31 36【答案】C【解析】【分析】设第一天织布X尺，则第二天织布2 x尺，第三天织布4 x尺，第四天织布8x尺，第五天织布16x尺，再根据 5日共织布5尺 建立方程，解方程即可得.解：设第一天织布x尺，则第二天织布2 x尺，第三天织布4 x尺，第四天织布8 x尺，第五天织布16x尺，由 意：x+2 x+4 x+8x+16x=5,解得尤=最即该女子第一天织布5 尺，故选：C.【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，正确建立方程是解题关键.6.下列函数中，当x 0时，y随x的增大而减小的是（）17A.y=x2 B.y=x -1 C.y=D.y=-x2x【答案】D【解析】【分析】A、根据二次函数的图像的性质解答；B、由一次函数的图像的性质解答；C、由反比例函数的图像的性质解答；D、由二次函数的图像的性质解答.解：A、二次函数y=/的图像，开口向上，对称轴为y轴，当x 0时，丁随x的增大而增大，故此选项不符合题意；B、一次函数y=x -1的图像，y随x的增大而增大，故此选项不符合题意；C、反 比 例 函 数 中，-K0,图像在二、四象限，X当x 0时，y随x的增大而增大，故此选项不符合题意；D、二次函数y=-V的图像，开口向下，对称轴为y轴，当x 0时，y随x的增大而减小，故此选项符合题意；故选：D.【点 睛】本题主要考查一次函数、二次函数、反比例函数图像的性质，能够根据解析式判断其增减性是解题的关键.7.已知圆锥的底面半径为5cm,侧 面 积 为65ncm2,设圆锥的母线与高的夹角为。，如图所示，则sin。的值为（）5A.125B.1310C.1312D.13【答 案】B【解 析】设 圆 锥 的 母 线 长 为R，由 题 意 得65H=HX5XR,解 得R=13.二圆 锥 的 高 为12,.,.sin0=.13故 选B8.在下列函数图象上任取不同两点爪 百 方）、鸟（孙 必），一定能使（与一）（乂一必）。成立的是（）A.y=-3 x+lB.y=-X2-2X-3(X1)C.y=-x2+4x+l(x0)6D.y=x【答 案】C【解 析】【分析】根据各函数的增减性依次判断即可.A.：k=-3 x2时，必有yty2,当x(为,/.(x,-x2)(y i-y2)0，故此项不满足题意；B.Va=-1,二次函数图象开口向下，.图象对称轴为x=-l,当-K x x2时，必有乂%，.(占-)(%-%)0,故此项不满足题意；C.：a=-l,二次函数图象开口向下，.图象对称轴为x=2,.,.当x 时，必 有,必，二(王 一 )(乂-2)。，故此项满足题意；6 6D.；X=-,必=一，为 .Z 、/、6(x,-x2)2.(占-x2)(y-%)=!J ，玉*2.显然当阳和异号时，（再-%）（乂-%）=曳 土 二 豆 是边长为5 的正方形，E 是。C 上一点，D E =1,将 A4QE绕着点/顺时针旋转到与A4BF重合，则 ：尸=（）A DA.向 B.742 C.5/2 D.2/13【答案】D【解析】【分析】根据旋转变换的性质求出叱、C E,根据勾股定理计算即可.解：由旋转变换的性质可知，A D E A B F ,：.正方形A B C D的面积=四边形A E C F的面积=25,A BC=5,B F =D E=1 ,：.FC=6,CE=4,二 EF=7FC2+CE2=/52=2/13 故选D.【点睛】本题考查的是旋转变换的性质、勾股定理的应用，掌握性质的概念、旋转变换的性质是解题的关键.1 0.如图1,矩形4 8 8中，点E为3 c的中点，点P沿8 c从点8运动到点C,设8,P两点间的距离为x,PA -P E=y,图2是点尸运动时y随x变化的关系图象，则8 c的 长 为（）图1图2A.4B.5C.6D.7【答案】C【解析】【分当x=0,即尸在5点时，B A -B E=1；利用三角形两边之差小于第三边，得到B i -P E 4 E,得y的最大值为/E=5；在中，由勾股定理求出8 E的长，再根据8C=28E求出8 c的长.由函数图象知：当x=0,即P在8点时，B A -B E=1.利用三角形两边之差小于第三边，得到PA -PE0,40,.,.t-3 =0,.t=3.:.BC=2BE=2t=2x3=6.故选：C.【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，根据勾股定理求出的长是解题的关键.二、填空题(本大题共6 小题，每小题3 分，共 1 8 分)1 1.(-2 0 2 1)。+闽+(-；)=.【答案】V 2+9【解析】【分析】根据零指数基、绝对值、负整数指数塞的性质计算，即可得到答案.(-2 0 2 1)0 +卜-闽+=1 +7 2-1 +二H)=7 2 +9故答案为：0+9.【点睛】本题考查了零指数累、绝对值、负整数指数箱的知识，解题的关键是熟练掌握零指数基、负整数指数耗的性质，从而完成求解.1 2 .因式分解:3 t/x -9即=.【答案】3 a(x-3 y)【解析】【分析】提公因式为 即可.解：原式=3 a(x-3 y)故答案为：3(x-3 y).【点睛】本题考查了因式分解，掌握提公因式法因式分解是解题的关键.1 3 .一次函数y =(l-幻x +%2-1的图象经过原点，则y随x的增大而.(填增大或减小)【答案】增大【解析】【分析】由题意可得：F-1 =O且1 人工0,求得=1,即可求解.解：由题意可得：/_ 1 =0 且解得=7则一次函数为：y=2x因为20所以y 随x 的增大而增大，故答案为：增大【点睛】此题考查了一次函数的定义，图像与性质，解题的关键是根据题意正确求得&的值.1 4.如图，48C 是等边三角形，A E=C D,B Q A D -Q,B E 交 4 D 于点P,下列说法：N A P E=N C,“。=8 0,AD=BE,A E+B D=A B,其 中 正 确 的 说 法 有.（填序号）【答案】【解析】【分析】根据等边三角形的性质可得“庆NC,NB 4E=NC=6 0。,再利用“边角边证明力 和 C W 全等.然后得到N 1=N 2,结合角的关系，得到N/P E=N C；由 月 8 和4。4。全等对应边相等得到/。=成；再结合边的关系，得到4C=4B；即可得到答案.证明：如图所示:/是等边三角形，:AB二AC,ZBJE=ZC=60,在 48E和中，AB=AC NBAE=ZC=60,AE=CD ABEgAC4D(S4S),AZ1=Z2,/.ZBPQ=Z2+Z3=Z1+Z3=ZBAC=6O,：.ZAPE=ZC=6O,故正确；无法判断BQ=AQf故错误，45C是等边三角形，：.AB=AC9 ZBAE=ZC=609又,：A E =C D：./A B E/C A D(SA S),:.A D=B E故正确；A C=B C.A E=DC,：.B D=C E,：.A E+B D=A E+EC=A C=A B,故正确，.正确的有故答案为：.【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，牢固掌握并灵活运用以上知识点是做出本题的关键.1 5.如图，在边长为4的正方形ABCD中，以点B为圆心，以A B为半径画弧，交对角线BD于点E,则图中阴 影 部 分 的 面 积 是 (结果保留n)【答案】8-2 n【解析】【分析】根据S|?|=SAABD-S R N BAE计算即可.45 x%x 4解:S 0!=SAABD-S 扇 彩 B A E=？x4x4-2 360=8-2n,故 答 案 为8-2上【点 睛】本题考查扇形的面积的计算，正方形的性质等知识，解题的关键是学会用分割法求阴影部分面积.1 6.如 图，在正方形中，点/、N分 别 为 边C。、8 C上的点，且。l/=CN,AM与D N交于点、P,连接4 N,点。为ZN的中点，连接尸0,BQ,若/8=8,D M=2,给出以下结论：4 M _ L D N；N M AN=/BAN；APQNmABQN；P 0=5.其 中 正 确 的 结 论 有 (填上所有正确结论的序号)【答 案】【解 析】【分 析】正 确，证明AZOW也DCN(S A S),可得结论.错 误，利用反证法证明即可.正 确，利用勾股定理求出/N,再利用直角三角形斜边中线的性质求出尸。，可得结论.解：.四边形”8 8是正方形，：.A D=D C,N A D M=N D C N=9 0 ,在 NDW 和 AOCN,AD =D C ZAD M =ZD CN ,D M =CNA/ADM/DCN(S),/DAM=/CDN,：NCDN+/ADP=9。,：.ZADP+ZDAM=9Qf：.ZAPD=909：.AM LD N,故正确，不妨假设NM4N=/BAN,在Z/W和43N中，ZAPN=NABN=90。=N4N8,同法 可 证 力 尸N之Z8V,AP=AB,.,这个与4尸 力。，AB=AD,矛盾，假设不成立，故错误，*：DM=CN=2,AB=BC=8,:B N=6,*/N A B N=9。,4 N=yj 72+B N?=+6?=1,V ZJPJV=90,A Q=Q N,：.P Q=A N=S.故 正确，故答案为：.【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会用反证法解决问题，属于中考填空题中的压轴题.三、解答题（本大题共9 小题，第 17-18题每小题4 分，第 19-20题每小题6 分，第 21题 8 分，第 22-23题每小题10分，第 24-25题每小题12分，共 72分）f2x+y=51 7.解方程组：x+y=2 x=3【答案】,【解析】【分析】根据加减消元法解二元一次方程组即可.-求 出 X=3,把 x=3 代入得出3+尸 2,再求出y 即可.解:2x+y=5*x+y=2，-（2）,得 x=3,把 x=3 代入，得 3+y=2,解得：y-1,所以方程组的解是【点睛】本题考查了加减消元法解二元一次方程组，掌握加减消元法是解题的关键.1 8.如图，在正方形/8CZ)中，点 、F 分别在线段8C、CD上，连接NE、4 F,且BE=DF.求证:AF.AE=【答案】见解析.【解析】【分析】利用正方形的性质可证明/8 丝2/。凡可得J4E=4F.证明：.四边形4 8 8 是正方形，；.AB=AD,/B=ZZ)=90,:BE=DF,在RtA4BE与4 0/中，AB=AD 2,Vx为不等式+1 3 的最小整数解，.,.x=2,由（1）知，4化简后的式子是-工，x +1当x=2时，原式=-5=-；，即A的 值 是-1,【点睛】本题考查了分式的化简求值，求一元一次不等式的整数解，正确的计算是解题的关键.2 0.今年3月份，我县某中学开展争做“小雷锋”征文比赛活动，赛后随机抽取了部分参赛学生的成绩，按得分划分为A ,B,C,。四个等级，并绘制了如下不完整的频数分布表和扇形统计图：根据以上信息，解答以下问题：等级成 绩（S）频 数（人数）A90 xl(X)6B80590XC70 5 802 4D52600,35解得：W y,.机是正整数，答：最少买8 型号的钢笔12支.【点 睛】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，根据题意列出方程组和不等式组是解题的关键.22.如 图，点 E是/8 C 的内心，/的延长线和/B C 的外接圆相交于点D（1）求 证：BD=D E；连 接 0。交 8c于 点 G,若D G=2,BC=1 0,求圆的半径.【答 案】（1）证明见详解,29W【解 析】【分析】（1）根据三角形内心性质及同弧所对的圆周角相等，利 用 等 量 代 换 即 可 证 得=根据等角对等边即可求证.（2）在同圆中，利用等角所对弧相等性质得到B D =CD，在根据垂径定理即可求得BG,再利用勾股定理即可求得.(1)(1)证明:连接8 E,点E是Z U 8 C的内心，A ZABE=ZCBE,NBAD=NDAC,由圆周角定理得：ZCAD=ZCBD,：.NBAD=NDBC,：.NDBE=NDBC+ZEBC=NABE+NBAD=NDEB,:.BD=BE.解：连接O。，OC,由可知，ZBAD=ZDAC,BD=CD，-,-ODLBC,垂直平分BC,：.BG=-BC=-xl()=5,2 2设 O D=O 8=x，贝 ij OG=x-DG=x-2,在放A O S G 中，由勾股定理可得，OG2+BG2=OB,(X-2)2+52=,解得x=2 9,4所以圆的半径为?2 9.4【点睛】本题考查了圆内同弧所对的圆周角相等、等角所对的弧相等及垂径定理和三角形内心及利用勾股定理求直角三角形的斜边，解题的关键在于熟练掌握圆周角及垂径定理.2 3.如图，在平面直角坐标系x O x 中，一次函数丫=丘+方伏W 0)的图象与反比例函数y =(H 0)的图象交X3于第二、四象限内的A、B 两点，与x 轴交于点C,点8坐标为(见-1),轴，且 A Z)=3,t a n/A O Q=5.(1)求该反比例函数和一次函数的解析式.(2)点 E是x 轴上一点，且AAOE是等腰三角形，求 E点的坐标.!hD O【答案】（1）反比例函数：y=;一次函数：y=-：x+2；（2）,（713,0）,鸟（屈,0）,3（,0）,X2史【解析】【分析】（1）利用待定系数法，即可得到反比例函数和一次函数的解析式.（2）分类讨论，当A。为等腰三角形的腰与底时，求出点E的坐标即可.(1)在 RSOAD 中，ZADO=903 AD.tanNAOO=,AD =32 0D：.OD=2A(-2,3)把4（2,3）代入y=中3=-解得 =-6，反比例函数的解析式为y=X把8（5 1）代入y=X-1=吩m解得加=6把A（-2,3）和5（6,-1）分别代入广质+人中,得-2k+b=3 6 k+b=-1解得 2b=2一次函数的解析式为y=-；x+2.（2）如图，当0=。4=后=旧时，有耳（后,0）,与（-加,0）,当 OA=AE=VH 时，有 O E=2 O D =4,可得用（Y,0）当AE=OE时，设E点的坐标为（x,0）得32+(-2-X)2=(-X)213解得r故点 E 的坐标为：,(713,0),2(-713,0),E,(T,0),E4l-y,0【点 睛】本题考查了反比例函数和一次函数的几何问题，掌握锐角三角函数的定义、待定系数法、反比例函数和一次函数的性质、等腰三角形的性质是解题的关键.2 4.如图 1,在 中，Z A =9 0 ,4 3 =AC,点。，E 分别在边 A 8,A C 上，A D =A E,连接 O C,点M,P,N分别为D E,D C,BC的中点.(1)观察猜想：图1中，线段与P N的 数 量 关 系 是，位置关系是.(2)探究证明：把AADE绕 点A逆 时 针 方 向 旋转到图2的位置，连接用N,BD,C E,判 断APMN的形状，并说明理由；(3)拓展延伸：把绕点A在平面内自由旋转，若4。=4,4 5 =1(),请 直 接 写 出APMN面积的最大值.4 9【答 案】(1)P M=P N、P M L P N；(2)等腰直角三角形，证明见解析；(3)【解 析】【分析】(1)利用三角形的中位线得出尸%C,PNB D,进 而 判 断 出 即 可 得 出 结 论，再利用三角形的 中 位 线 得 出 以 得 出 NOPM=N。，最后用互余即可得出结论；(2)先判断出 48。也得出BD=C E,同(1)的方法得出PM=；BD,PNB D,即可得出PM二PN,同(1)的方法即可得出结论；(3)先判断出8。最大时，PM7V的面积最大，而 8。最大是43+40=14,即可得出结论.解：(1)点 P,N是BC,的中点，:PNBD,PN=gBD,点 尸，是 CO,Q E的中点，：.PM/CE,P M qC E,：AB=AC,AD=AE,:,BD=CE,：.PM=PN,:PNBD,ZDPN=ZADC9 :PM/CE,：.ZDPM=/DCA,/BAC=9b,：.ZADC+ZACD=909：./M P N=NDPM+NDPN=/DCA+NADC=90,：.PMLPN,故答案为：PM二PN,PM 1PN；(2)是等腰直角三角 形.理由如下：由旋转知，/B A D=NCAE,UAB=AC,AD=AEt:.4A B D好4ACE(SAS),:NABD:NACE,BD=CE,利用三角形的中位线得，PNBD,PM=gcE,:PM=PN,是等腰三角形，同(1)的方法得，PM/CE,:/D PM二/D C E,同(1)的方法得，PN/BD,4PNC=4DBC,.*/DPN=/DCB+/PNC=/DCB+/D B C,：.ZMPN=ZDPM+/DPN=ZDCE+ZDCB+/D B C =ZBCE+ZDBC=ZA CB+/CE+ZDBC=/力 CB+NABD+ZDBC=ZA CB+/ABC,*/NBAC=9b,：.ZACB+ZABC=9Q9：./MPN=9C,AWN是等腰直角三角形；(3)由(2)知，PMN是等腰直角三角形，PM二P N qB D,P/W最大时，面积最大，点。在比/的延长线上，BD-A B+4 D=14,:.PM=7,1 1 49:SAPMN 最大=-PM2=-X9=.2 2 2【点睛】本题主要考查了三角形的中位线定理，平行线的性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质的综合运用，解决本题的关键是要熟练掌握三角形的中位线定理，平行线的性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质.25.如图1,抛物线。：y=ax2+bx-2与直线/：y=-x-J交于x轴上的一点N,和另一点8(3,”)求抛物线C/的解析式:点P是抛物线&上的一个动点(点尸在4 8两点之间，但不包括4 5两 点)尸于点M,PN/y轴交I B 于点N,求 MN的最大值；如图2,将抛物线C/绕顶点旋转1 80。后，再作适当平移得到抛物线C 2,已知抛物线C z 的顶点E在第一象限的抛物线。上，且抛物线G 与抛物线。交于点。，过点。作。尸x 轴交抛物线C 2 于点尸，过点作E G x 轴交抛物线G 于点G,是否存在这样的抛物线C 2,使得四边形。F E G 为菱形？若存在，请求E点的横坐标；若不存在，请说明理由.【答案】(l)y=gx 2-g x _ 2 苧存在，E点的横坐标为26+|【解析】【分析】(1)求直线/与x 轴交点4坐标、8 坐标，用待定系数法求抛物线。的解析式.(2)延长PN交 x 轴于点H,设点P横坐标为“，由可得点M 横坐标也为加，即能用，”表示P N、N H、A H 的长.由 N 4 H N=N P M N=9 0。及对顶角 N 4 N H=N P N M 可得N M 4 H=N N P M.发现在 RM M N中，A/N 与 PN比值即为s 加故先在用中求的值，再代入M N=PN s i n/N P M,即得到MN与加的函数关系式，配方即求得MN最大值.(3)设点E(e,g e 2-|e-2),所以可设抛物线C 2 顶点式为y=-g (x -e)2+e2-1e-2.令两抛物线解析式y=0列得关于x的方程，解得两抛物线的另一交点。即为抛物线C/的顶点，故D G=D E=E F,且求得。尸平行且等于G E,即四边形。尸 EG首先一定是平行四边形.由。尸 EG为菱形可得。尸=OG,故此时。所 为等边三角形.利用特殊三角函数值作为等量关系列方程，即求得e 的值.(1)解：直线/：y=-g x-3交 x 轴于点/，-y x -y =0,解得：x=-1：.A(-1,0):点B(3,n)在直线/上.w=一 万x 3 -y =-28 (3,-2);抛 物 线。：y=a/+b x-2 经过点4、BJ 。-6-2=0 9。+3 8-2 =-21a =解得：2,b=-2.抛物线a 的解析式为=gx 2-|x-2；(2)解：如图1,延长PN交 x 轴于点二 NAHN=90。设尸(加，m2-m-2)(-l /w 4)2 2；抛物线Cz顶点式为丁=-y (x-e)2+-e2-1-e-2当 _ g(x-e)2+y e2-g e -2=yx2-2,3国 军 得：x i=e,工 2=5；3 25.两抛物线另一交点。(p -y)为抛物线G 顶点,.Gx 轴，D F/x 3 3 25 3 9EGDF2DQ=2(e-)2e-3,EQ ye*-e-2+-e2-e+-2 2 2 8 228/.四边形DFEG是平行四边形若nDFEG为 菱 形,贝 ijDG=OE由抛物线对称性可得：DG=DE=EF：.DE=EF=DF.OE尸是等边三角形tanZ.EDQ.1,39 厂，3.e2 e+V3(e)2 2 8 2解得：e/(舍去)，e2=26+=2 2点的横坐标为(2A +1)时，四边形。尸E G为菱形.【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，三角函数的应用，求二次函数最值，二元一次方程组和一元二次方程的解法，菱形的判定和性质.第(3)题问是否存在满足条件的点E,使四边形。川E G为菱形，需要先证明它一定是平行四边形，才有可能存在.