北京市十年高考数学真题(2013-2022)与优质模拟题(一二模等)精华汇编专题10平面解析几何(含详解).pdf

大数据之十年高考真题（2013-2022）与优质模拟题（北京卷）专题10平面解析几何真 题 汇 总 1.【2022年北京卷03】若直线2x+y-1=0是圆（x-a）2 +y2=1的一条对称轴，则a=（）A.-B.C.1 D.12 22.【2021年北京5】双曲线C:一，=1过点（或,8），且离心率为2,则该双曲线的标准方程为（）A.%2 =1 B.-y2=1 C.A v3y=D.y2=13 3 J 3 3 z3.【2021年北京9】已知圆C:/+y2=4,直线Ly=k%+血，当k变化时，1 截得圆C弦长的最小值为2,则 m =（）A.2 B.+V2 C.+V3 D.+V54.【2020年北京卷05】已知半径为1的圆经过点（3,4）,则其圆心到原点的距离的最小值为（）.A.4 B.5 C.6 D.75.【2020年北京卷07】设抛物线的顶点为0,焦点为F,准 线 为 P是抛物线上异于。的一点，过P作P Q，/于Q,则线段FQ的垂直平分线（）.A.经过点0 B.经过点PC.平行于直线O P D.垂直于直线OPx2 y2 16.【2019年北京理科04】已知椭圆-7+三=1 的离心率为一，则（）a2 b2 2A.a1=2b2 B.3/=4庐 C.a=2b D.3a=4b%2 y27.【2013年北京理科06】若双曲线0-三=1的离心率为K，则其渐近线方程为（）a1 blA.y=2x B.y=V2x C.y=x D.y=孝久8.【2013年北京理科07】直线/过抛物线C 7=43，的焦点且与y 轴垂直，则/与 C 所围成的图形的面积等 于（）9.【2022年北京卷12】已知双曲线y 2+?=i 的渐近线方程为y=苧x，则租=10.【2021年北京12】已知抛物线C:y2=4x,焦点为尸，点M 为抛物线C上的点，且|FM|=6,则M 的横坐标是;作MN_Lx轴于N,贝IJSM M N=.I I .2021年北京1 3 若点P(cosa sin。)与点。3 5(。+?$叭。+/关于丫轴对称，写出一个符合题意的6 .%2 y2%2 y 212.【2018年北京理科14】已知椭圆M：+=1(a Z?0),双曲线N：-=1.若双曲线N的a*2 *4*6b2 nz%2工 作 时 间(小 时)1 5.【2016年北京理科13】双曲线=一 J =1(a0,0)的渐近线为正方形0A B e的边OA,0 C所在的直线，点8为该双曲线的焦点.若正方形0A B e的边长为2,则1 6.【2015年北京理科10】已知双曲线 一)2=1(0)的一条渐近线为岳+y=0,则a=.y21 7.【2014年北京理科11】设双曲线C经 过 点(2,2),且 与 乙 一/=1具有相同渐近线，则C的方程为4;渐 近 线 方 程 为.1 8.【2020年北京卷14】已知双曲线1,则C的右焦点的坐标为_ _ _ _ _ _ _ _ _；C的焦点到其渐近6 3线的距离是.1 9.【2022年北京卷19】已知椭圆：E:5 +，=l(a b 0)的一个顶点为4(0,1),焦距为2 K.(D求椭圆两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M的离心率为；双曲线N的离心率为.13.【2017年北京理科09】若双曲线7*=1的离心率为百，则实数相=.14.【2017年北京理科14】三名工人加工同一种零件，他们在一天中的工作情况如图所示，其中A i的横、纵坐标分别为第i名工人上午的工作时间和加工的零件数，点b的横、纵坐标分别为第，名工人下午的工作时间和加工的零件数，i=l,2,3.(1)记Qi为第，名工人在这一天中加工的零件总数，则Q i,。2,。3中最大的是.(2)记p i为第i名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则pi,P 2,p3中最大的是.零 件 数(件)A1Bi,B 3Al BiA3E的方程；过点P(-2,l)作斜率为k 的直线与椭圆E交于不同的两点8,C,直线A B,AC分别与x 轴交于点M,N,当|M N|=2时，求的值.20 .(20 21 年北京20】已知椭圆E$+=l(a b 0)过点4(0,-2),以四个顶点围成的四边形面积为4 后(1)求椭圆E的标准方程；(2)过点尸(0,-3)的直线/斜率为&,交椭圆E于不同的两点B,C,直线A 8,4c交y=-3 于点M、N,直线 AC交尸-3 于点M若|P M+|P N W 5,求 k的取值范围.21 .【20 20 年北京卷20】已知椭圆C5+，=1 过点4(2,-1),且a =2b.(I)求椭圆C的方程：(I I )过点B(4,0)的直线/交椭圆C于点M,N,直线M4M4分别交直线x =4 于点P,Q.求幽的值.BQ22.【20 1 9 年北京理科1 8】已知抛物线C：/=-2 0，经 过 点(2,-1).(I )求抛物线C的方程及其准线方程；(I I)设。为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线/交抛物线C于两点M,M直线y=-l分别交直线O M,ON于点A和点B.求证：以AB为直径的圆经过y 轴上的两个定点.23 .【20 1 8 年北京理科1 9】已知抛物线C：丁=2内经过点P (1,2),过点。(0,1)的直线/与抛物线C有两个不同的交点A，B,且 直 线 公 交、轴于M,直线尸8交 y 轴于N.(I )求直线/的斜率的取值范围；T T (I I )设。为原点，Q M G Q O,QN =必0,求证：,+一为定值.124 .【20 1 7 年北京理科1 8】已知抛物线C：过点尸(1,1).过 点(0,-)作直线/与抛物线C交于不同的两点M,N,过点M作 x轴的垂线分别与直线O P、ON交于点A,B,其中。为原点.(1)求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；(2)求证：A为 线 段 的 中 点.X2 y 2 A/325 .【20 1 6 年北京理科1 9】已知椭圆C +=1 的离心率为一，A (，0),B(0,b),Oa2 匕 2 2(0,0),/X O A B 的面积为 1.(I )求椭圆C的方程；(I I)设 P是椭圆C上一点，直 线 方 与 y 轴交于点例，直 线 P B 与 x轴交于点N.求证：为定值.2X2 V2 y/26.【20 1 5 年北京理科1 9】已知椭圆C：+7 7 =1 (a b 0)的离心率为一，点 P (0,1)和点A (m,a2 b2 2）（法0）都在椭圆C上，直 线 也 交x轴于点M.（I ）求椭圆C的方程，并求点的坐标（用?，表示）：（I I）设0为原点，点B与点A关于x轴对称，直线P B交x轴于点M问：y轴上是否存在点。，使得/O Q M=Z O N Q 若存在，求点。的坐标，若不存在，说明理由.27.【201 4年北京理科1 9】已知椭圆C：7+2y 2=4,（1）求椭圆C的离心率（2）设。为原点，若点A在椭圆C上，点B在直线y=2上，且。A L O B,求直线A B与圆/+）?=2的位置关系，并证明你的结论.X2 728.【201 3年北京理科1 9】已知A,B,C是椭圆W：+y 2=i上的三个点，。是坐标原点.4（I ）当点8是W的右顶点，且四边形0ABe为菱形时，求此菱形的面积；（I I）当点8不是卬的顶点时，判断四边形04 8 c是否可能为菱形，并说明理由.3 模 拟 好 题 1.已知双曲线。72 =1（1 0）的一条渐近线方程为丫=力则C的离心率为（）A.V 2 B./3 C.2 D.V 52.已知直线1:a x-y +1 =0与圆C:（x +y 2=4相交于两点4B,当a变化时，ABC的面积的最大值为（）A.1 B.V 2 C.2 D.2V I3.已知直线、=k（x -遮）与圆。：/+y 2=4交于4,8两点，且。4 1 0 B,则k =（）A.V 2 B.+V 2 C.1 D.14 .已知双曲线，一?=l（a 0）的一条渐近线与圆（x 3）2+y 2=8相交于M,N两点，且|M N|=4,则此双曲线的离心率为（）A.5 B.2 C.V 5 D.这355 .已知点P在抛物线C:*=4%上，若以点P为圆心的圆与C的准线相切，且与x轴相交的弦长为6,则点P到y轴的距离为（）A.4 B.4 V 2 C.5 D.5或6 .己知双曲线?一，=1（7 7 1 0）的一条渐近线方程是5%-2丫 =0,则m=.7.己知抛物线C：x2=-2p y经 过 点 则 抛 物 线 的 准 线 方 程 是.8.若抛物线y2=2P x上任意一点到点(1,0)的距离与到直线=-1 的距离相等，贝如=.9.己知抛物线C:y2=2px(p0),P 为 C上一点，P Q JLx轴，垂足为。，尸为C 的焦点，。为原点.若NP OQ=4 5,贝UCOSNP FQ=.10.己知双曲线C:M 一、=i(b 0)的离心率为V L 则双曲线C 的渐近线方程为.11.已知椭圆 C +，=l(a b 0)经过点 4(-2,0),B(0,-l).(1)求椭圆C的方程及其离心率；(2)若P 为椭圆C上第一象限的点，直线P 4交y轴于点M,直线P B交x轴于点N,且有MN4B,求点P 的坐标.12.已知椭圆C:提+=l(a b 0)的左右焦点分别为Fi(2,0),6(2,0).过点居的直线I与椭圆C交于Z,B两点，过点心作AB的垂线交椭圆C于M,N两点，AMNF2的周长为4连.(1)求椭圆C的方程；(2)求黑的取值范围.13.已知椭圆E:+=l(a b 0)的离心率为多 左、右顶点分别是A,B,且|4B|=4.(1)求椭圆E 的标准方程；(2)已知何，N 是椭圆E上异于A,B 的不同两点，若直线AM与直线4V 的斜率之积等于-1,判断直线MN是否过定点？若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由.14.已知椭圆C：+=l(a b 0),点/，B2分别是椭圆C短轴的端点，椭圆C 的焦点F 也是抛物线y2=8x的焦点，且FB1J.FB2.(1)求椭圆C 的方程：(2)设过点尸且斜率不为0 的直线交椭圆C于 4 8 两点，问x 轴上是否存在定点P,使点尸到直线8尸的距离与点尸到直线4P 的距离相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由.15.已知椭圆 +，=l(a b 0)的焦距为2,一个顶点为A(0,2).(1)求椭圆E 的标准方程及离心率；(2)过点P(0,3)的直线/斜率为k,交椭圆E 于不同的两点B、C,直线AB、AC分别交直线y=3于点M、N.求|P M|P N|的值.16.已知椭圆。摄+=l(a b 0)的离心率为争 上下顶点分别为4 B,且 网 =4.过点(0,1)的直线与椭圆C相交于不同的两点M,N(不与点4 B 重合).(1)求椭圆C的方程:(2)若直线4M与直线y=4相交于点P,求证：B,P,N三点共线.17.已知椭圆E:+5 =l(a b 0)的右顶点为4(2,0),离 心 率 为 过 点 P(6,0)与 x 轴不重合的直线/交椭圆E 于不同的两点8,C,直线AB,AC分别交直线x=6于点M,N.求椭圆E 的方程；(2)设。为原 点.求证：Z.PAN+Z.POM=90.18.已知椭圆C：1+号=l(a b 0)经过点P(2,l),尸到椭圆C 的两个焦点的距离和为4&.求椭圆C 的方程；(2)设Q(4,0),R 为 P 0 的中点，作 PQ 的平行线/与椭圆C 交于不同的两点A,B,直线AQ与椭圆C 交于另一点M,直线BQ与椭圆C 交于另一点N,求证：M,N,R三点共线.19.已知椭圆M:+，=l(a b 0)过点4(2,0),离心率为号.(1)求椭圆M 的方程；(2)已知直线 旷=4(工+3)在苫轴上方交椭圆用于8,C(异于点A)两个不同的点，直线AB,AC分别与y轴交于点P、。，。为坐标原点，求k(|OP|+|OQ|)的值.20.已知椭圆C：提+=l(a b 0)的左顶点为4(-2,0),圆。：产+y2=1经过椭圆c 的上、下顶点.(1)求椭圆C的方程和焦距；(2)已知P,Q分别是椭圆C和圆。上的动点(P,Q不在坐标轴上)，且直线PQ与x轴平行，线段4P的垂直平分线与y轴交于点M，圆。在点Q处的切线与y轴交于点M求线段MN长度的最小值.大数据之十年高考真题(2013-2022)与优质模拟题(北京卷)专题10平面解析几何真题汇总 L【2022年北京卷03】若直线2x+y l=0是圆(-。)2+y2=1的一条对称轴，则a=()A.-B.C.1 D.12 2【答案】A【解析】由题可知圆心为(Q,0),因为直线是圆的对称轴，所以圆心在直线上，即2。+0-1 =0,解得a=a故选：A.2.【2021年北京5】双曲线C:接一，=1 过点(或,次)，且离心率为2,则该双曲线的标准方程为()A.X2 =1 B.-y2=1 C.x2 -=1 D.-y2=13 3 J 3 3 J【答案】Ae=：=2,贝 IJC=2Q,b=Vc2 a2=3a 则双曲线的方程为今一七=1，a az 3az将点(鱼，百)的坐标代入双曲线的方程可得,一*=2=1,解得a=1,故6=V3,因此，双曲线的方程为/一日=1.3故选：A.3.【2021年北京9 1 已知圆C:/+V =%直线/：y=kx+m,当k变化时，1截得圆C弦长的最小值为2,则 m=()A.+2 B.+V2 C.+V3 D.+V5【答案】C由题可得圆心为(0,0),半径为2,则圆心到直线的距离d=鼎，v/cz+l则弦长为21 鲁,则当k=0时，弦长取得最小值为2 =2,解得m=VX故选：C.4.2020年北京卷05】已知半径为1的圆经过点(3,4),则其圆心到原点的距离的最小值为().A.4 B.5 C.6 D.7【答案】A【解析】设圆心C(x,y),则7(x-3)2+(y-4)2=1,化简得(x-3/+(y-4/=1,所以圆心C的轨迹是以M(3,4)为圆心，1为半径的圆,当且仅当C在线段0M上时取得等号,=V32+42=5,所以|0C|5-1 =4,故选：A.5.【2020年北京卷07】设抛物线的顶点为。，焦点为F,准线为1.P是抛物线上异于。的一点，过P作PQ1Z于Q，则线段FQ的垂直平分线().A.经过点。B.经过点PC.平行于直线O P D.垂直于直线OP【答案】B【解析】因为线段FQ的垂直平分线上的点到F,Q的距离相等，乂点P在抛物线上，根据定义可知，|PQ|=|PF|，所以线段FQ的垂直平分线经过点P.故选：B.x 乙 y/16 .【2 0 1 9 年北京理科0 4已知椭圆=+三=1 （。人0）的离心率为一，贝 I（）a2 b2 2A.B.3/=4 房 C.a=2b D.3a=4bc 1,c2 1 a2 b2 1【答案】解：由题意，一=一，得一=一，则:=一，a 2 a2 4 a2 4.4a2-4b2=a2,即 3a2=4b2.故选：B.%2 y27 .【2 0 1 3 年北京理科0 6】若双曲线 丁-匕=1 的离心率为我，则其渐近线方程为（）a2 b21 J2A.y=2x B.y=V 2 x C.y =X D.y =三【答案】解：由 双 曲 线 的 离 心 率 可 知又 a2+b2=cz9 所以。=V 2 n,所以双曲线的渐近线方程为：y=x=+V 2 x.故选：B.8 .【2 0 1 3 年北京理科0 7】直线/过抛物线C：/=4 y的焦点且与y轴垂直，则/与 C所围成的图形的面积等 于（）【答案】解：抛物线/=4），的焦点坐标为（0,1）,.直线/过抛物线C：/=4 y的焦点且与y轴垂直,.直线/的方程为y=l,由 可得交点的横坐标分别为-2,2.=4y直线/与抛物线围成的封闭图形面积为2TX)2d X-X3112A8-3=9 .【2 0 2 2 年北京卷1 2】已知双曲线y 2+3=1 的渐近线方程为y =%，则7 n=【答案】-3【解析】22解：对于双曲线丁2+2=1,所以m 0）,双曲线N：-1 r =1.若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则 椭 圆M的离心率为；双曲线N的离心率为.工 2 y 2 2 y2【答案】解：椭圆M：4-=1 （/;0）,双曲线N：-若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点,QC2 3c2 1 3可得椭圆的焦点坐标（c，0），正 六 边 形 的 一 个 顶 点 三），可 得:而+市=1，可得e 2 +有石=1,可得 J-8，+4=0,eE(0,1),解得 e=V3 1.同时，双曲线的渐近线的斜率为代，畔 3/n2 口 m2+n2可得：正=3,即 一 -=4,可得双曲线的高心率为e=2.故答案为：V 3 1；2.1 3.【2 01 7 年北京理科09】若双曲线-普=1的离心率为疗 则实数加=【答案】解：双曲线/一（=1 （/0）的离心率为次,一/口 yjl+m r-可得：=V 3,解得m=2.故答案为：2.1 4.【2 01 7 年北京理科1 4】三名工人加工同一种零件，他们在一天中的工作情况如图所示，其中4 的横、纵坐标分别为第i 名工人上午的工作时间和加工的零件数，点 田的横、纵坐标分别为第，名工人下午的工作时间和加工的零件数，i=l,2,3.（1）记。,为第i 名工人在这一天中加工的零件总数，则 Q i，Q 2,。3 中最大的是.（2）记 p,为第i 名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则pi,02,P 3 中最大的是.，,零件 数（件）AlB:明A1 BiA3工 作 时 间（小时）【答案】解：（1）若 Q 为第，名工人在这一天中加工的零件总数,Q i =4 的 纵 坐 标 的 纵 坐 标;Q2 A2的纵坐标+比的纵坐标，0 3=4 3 的纵坐标+8 3 的纵坐标，由已知中图象可得：。1,。2,。3 中最大的是01,(2)若必为第i 名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则pi为4 历中点与原点连线的斜率，故pi,pi，P 3 中最大的是P 2故答案为：Q l,p2x2 y21 5.【2 01 6 年北京理科1 3】双曲线=-77=1 (a 0,6 0)的渐近线为正方形。4 B C 的边O A,OC所在a2 b2的直线，点 B为该双曲线的焦点.若正方形0 A B e 的边长为2,则=.【答案】解：双曲线的渐近线为正方形O 4 B C 的边04,0 C所在的直线，,渐近线互相垂直，则双曲线为等轴双曲线，即渐近线方程为y=x,即 a b,正方形0 A B C的边长为2,:Q B=2 位,B|J c=2 V 2,则 a2+b2c28,即 2。2=8,则 a24,a 2,1 6.【2 01 5 年北京理科1 0】已知双曲线-7-y 2=i(a ()的一条渐近线为板x+y=0,则 a=y 2y【答案】解：双曲线丁 一 y 2=|的渐近线方程为=土一，a由题意可得工=V 3.a解得a=孚故答案为：y217.【2014年北京理科11】设双曲线C经过点(2,2),且 与 乙-=1具有相同渐近线，则C的方程为_；4渐 近 线 方 程 为.2 2【答案】解：与匕一/=1具有相同渐近线的双曲线方程可设为匕一/=，(小片0),4 4;双 曲 线。经 过 点(2,2),22/./=2 22=1 4=-3,y2 c y2即双曲线方程为乙一/=-3,即一 一 二=1,4 3 12对应的渐近线方程为y=2x,x2 y2故答案为：-=y=2x.3 121 8.【2020年北京卷14】已知双曲线C:1一=l,则C的右焦点的坐标为_；C的焦点到其渐近6 3线的距离是.【答案】(3,0)V3【解析】在双曲线C中，a =*,b=则c=VH不 庐=3,则双曲线C的右焦点坐标为(3,0),双曲线C的渐近线方程为y=乎x,即x V y =O,所以，双曲线C的焦点到其渐近线的距离为高=国.故答案为：(3,0)；V3.1 9.【2022年北京卷19】已知椭圆：E:+=l(a b 0)的一个顶点为4(0,1),焦距为2 b.求椭圆E的方程；(2)过点P(-2,1)作斜率为左的直线与椭圆E交于不同的两点8,C,直线AB,AC分别与x轴交于点M,N,当|MN|=2时，求的值.【答案】(D 9+y2=1(2)fc=-4【解析】(I)解：依题意可得b=1,2c=2/3 又，=0 2一所以Q=2,所以椭圆方程为9 +y2=i；(2)解：依题意过点P(-2,1)的直线为y-l =k(x+2),设8(与,为)、C(x2,y2),不妨令-2 W/V小 4 2,y -1 =fc(x+2)由 二 2 ,，消去y 整理得(1 +41)%2 +(1 6 1 +8 k)%+1 6/+1 6 k =0,T+y =1所以A =(1 6/c2+8 k)2 -4(1 +4k 2)(1 6/+16 k)0,解得k b 0)过点工(0,2),以四个顶点围成的四边形面积为(1)求椭圆E的标准方程；(2)过点P(0,-3)的直线/斜率为公交椭圆E于不同的两点8,C,直线A B,AC交)=-3 于点M、N,直线 4 c交产-3 于点N,若1 P M+I P M W 1 5,求 k的取值范围.【答案】(1)9+?=1；(2)-3,-1)U (1,3 .(1)因为椭圆过4(0,-2),故b=2,因为四个顶点围成的四边形的面积为4花，故 x 2a x 2b =4痛，即a =后,故椭圆的标准方程为：-+=1.5 4(2)故直线AB:y =勺2 2,令y =-3,则=同理%可=一言.v kx 3直线BC:y =kx-3,由Q/_|_ 5 y 2 _ 20 可得(4+5 f c2)x2 3 0/c x +25 =0,故4=9 0 0 k 2-1Oo(4+5 k 2)0,解得 1.又X 1 +%2=盗7 6 2 =潦7，故%1%2 0，所以XMXN 0 乂|P M|+|P N|=|XM+孙,|=|建 +5 0 k 3 0-=1 帚+1 =4鬻髭篙J=M禺I =5 冈故5 1 k l 1 5 即|k|3,4+5-2 4+Sk2综上，-3 f c f e 0),由题意可得：4 1 r/+/=1,解得：忙2=.故椭圆方程为：1+：=1.8 2(2)设M(x 1,y i),/V(x2,y2),直线MN的方程为：y=/c(x +4),与椭圆方程1+1=1联立可得：x2+4k 2a +4)2=8,8 2即：(4k2+l)x2+32k2x+(6 4k2-8)=0,m.i.-32k2 64 k2-8直线MA的方程为：丁 +1=黑(+2),令 =-4可得：y p =-2 x i-l =-2 x “e+i 一g=-(2+4),同理可得：%=M2，普+4)很明显y p y Q I j(II)设。为原点，QM=XQ。,Q NQ O,求证：；+一为定 值.【答案】解：(A 经过点P(1,2),，4=2 p,解得p=2,设 过 点(0,1)的直线方程为y=f c r+l,设 A(x i,y i),B(J C2,J2)联立方程组可得y=产 ,(y =/ex 4-1消 y 可得 F/+(2&-4)R+1=0,(2k-4)2-4/O,且 k W O 解得 k+k2x1X28-2(1+1)4-2 x i T+T=2,4-2 k2-r8一化2%1%2+比(1+%2)+1l-/C(X14-X2)+fc2X1%224.【20 1 7 年北京理科1 8已知抛物线C：2=2内 过 点 p (1,11).过 点(0,-)作直线/与抛物线c交于不同的两点M，N,过点用作x轴的垂线分别与直线O P、O N交于点A,B,其中。为原点.(1)求抛物线C 的方程，并求其焦点坐标和准线方程;(2)求证：A 为 线 段 的 中 点.【答案】解：(1)；y2=2p x 过点P (1,1),1 =2p,解得p=*y=X f焦点坐标为(J,0),准 线 为 后-)，4 4(2)证明：设 过 点(0,1)的直线方程为M(x i,y i),N(X 2,心)，直线O P为 尸 x,直线O N为：尸 争由题意知 A (x i,x i),B(X I,1 1 及，),%2由卜+a 可得F/+a-1)x+J=o,2 4 y=x1一 x+x2=-2,XIX2=京1 +2+(-2+)=2玄+=2fcxH-J-=2kx+C 1 -&)2xi必 4 k2 x2 2 冷 2X2 2X-4 4 k0=2X1,为线段8M 的中点.X V V32 5.【20 16年北京理科已知椭圆C：-+-=l (.0)的离心率为三,A(a,0),B(0,b),O(0,0),/XCMB 的面积为 1.(I)求椭圆C 的方程;(I I)设尸是椭圆C 上一点，直 线 朋 与 y 轴交于点M,直线尸8 与 x 轴交于点N.求证：为定值.【答案】解：(1 )由题意可得0=5=当，1又 045 的面积为1,可得才力=1,且a2-序=2,解得 a=2,b=l,c=V3,x2可得椭圆c 的方程为一+y2=l；4(n)证法一：设椭圆上点P(x o,和)，可得划2+4 和2=4,若 P(0,-1),可得a与 y 轴交于点M(0,-1),直线P8与 x 轴交于点N(0,0),可得|A/VH8M=4;直 线 外 尸 检 2 2),令 k。，可 得 尸 一 第,则|BM|=|1+直线PB：y=&-x+,令 y=0,可得 x=-%,-y()T则|力川=|2+婿#可得|AM|BM=|2+券|叩+=|,-(x-0-+2uy0-2)21=,|-,&-2-+4-y-o2-+-4-+4-%-o-yo-4-&-8-%1(x0-2)(y0-l)2+xoyo-xo-2yo=-8-+-4-X-o-y-o-4-X-o-8-y-O11=4,.2+x0y0-x0-2 y0即有1 4V l 为定值4.证法二：设 P(2cos0,sin0),(0 W92IT),直线PA：y=五%(X-2),令 尸 0,可 得 尸 一 品,LCOSUZ COSu-1sin0+cos6-l则 即 曰-7-直线P 尸 舞 会 ,令 产,可得x=稿,2sin0+2cos6-2则 叫=1 5 h2sin0+2cosO-2 sind+cosO-l即有=l-sin 91-cosGsin2O-cos2O+l-2sin0cosO-2sin0-2cos3=2|-l+sinOcosO-sin0-cos02+2sin9cos0-2sin6-2cos6=2 1 l+sindcosO-sind-cose 1=4-则|AN|8M|为定值4.x2 y2 V22 6.【20 15年北京理科 已 知椭圆C/+记”心 心。）的离心率为3,点 P（。，1）和点AGn,）（mWO）都在椭圆C 上，直线公交工轴于点M.（I）求椭圆C 的方程，并求点M 的 坐 标（用?，表不）;（H）设。为原点，点 3 与点A 关于x 轴对称，直线尸5 交 x 轴于点N,问：y 轴上是否存在点。使得NOQM=4 0 N Q?若存在，求点。的坐标，若不存在，说明理由.（b=1【答案】解：（I）由题意得出,=虚a a2=炉+c22解得：a=V2,b=3 c=lx2 2一+J,:P(0,1)和点 A(m,n),-17?1+nm2 9+/=i2 存在点。，使得N O Q M=N O N Q,Q（0,现）,凶 _%NXM2yQ%If 2,即 YQ2=XMXN.，yQ=V 2,故y轴上存在点Q,使得N O Q M=N O N Q,Q（0,我）或Q（。，一企）2 7.【2 0 1 4年北京理科】9】已知椭圆C：?+2/=4,（1）求椭圆C的离心率（2）设。为原点，若点A在椭圆C上，点8在直线y=2上，且O A L O B,求直线A B与 圆/+丁=2的位置关系，并证明你的结论.2 2【答案】解：（1）由/+2/=4,得椭圆C的标准方程为1+三=1.*.a24,tr2,从而 c 2=/-/=2.因此 a=2,c=V 2.故椭圆C的离心率e=?=；（2）直线A8与圆/+y=2相切.证明如下：设点A,B的坐标分别为（w,为），（r,2）,其中x o W O.：OAA.OB,：.OA OB=0,即 r r o+2 yo=O,解得t =一达.xot2当加=f时，丫0 =-今，代入椭圆。的方程，得t =e.故直线A B的方程为x=V 2,圆心O到直线A B的距离d=V 2.此时直线A B与圆?+/=2相切.当x o rf时，直线A 8的方程为y-2 =即(jo-2)x-(xo-t)H-2XO-/i=0.圆心O 到直线A B的距离d=J 史。广弘J(y0-2)+(o-t)又 久 o2+2y()2=4,仁 _ 等.x0=V2.此时直线A 8与圆/+尸=2 相切.422 8.【2013年北京理科19】已知A,B,C 是椭圆W：+y?=1上的三个点，O 是坐标原点.4(I)当点8 是 W 的右顶点，且四边形OABC为菱形时，求此菱形的面积；(I I)当点B 不是W 的顶点时，判断四边形OABC是否可能为菱形，并说明理由.【答案】解：(/).四边形0A8C为菱形，8 是椭圆的右顶点(2,0).直线 AC是 3 0 的垂直平分线，可得AC方程为x=l设 A(1,t),得=+/=1,解之得 仁 卓(舍负).M 的坐标为(1,争，同理可得C 的坐标 为(1,一 第因此，AC=V 3,可得菱形0A8C的面积为S=3AC|8O|=V5；():四边形 0A B e为菱形，.|OA|=|Oa，设 10Al=|OC|=r(r l),得 A、C 两点是圆 2+)2=,2与椭圆W；卷+y2=i 的公共点，解之得工一=J-i设 A、C 两点横坐标分 别 为.、底，可得A、C 两点的横坐标满足M=短=竽 尸 I,或 k=竽 尸 二 I且 X 2=V r2-1.当 处=也=竽小二不时，可得若四边形0A Be为菱形，则 8 点必定是右顶点(2,0)；若 JC1=1 且 X2=V r2 1,贝|J Xl+X2=0,可得AC的中点必定是原点0,因此A、0、C 共线，可得不存在满足条件的菱形0A8C综上所述，可得当点8 不是W 的顶点时，四边形0A8C不可能为菱形.A.V 2B.V 31.已知双曲线C:周一 y2 =1C.2 D.V 5【答 案】A【解 析】由题设双曲线渐近线为 =5尤，而其中一条为y=x,所以a =1,则c =Va2+b2=V 2 故C的离心率为四.故选：A2.已知直线，:a x y +1 =0与圆C:（x -1产+y 2 =4相交于两点4,B,当a变化时，AABC的面积的最大值为（）A.1 B.V2 C.2 D.2-42【答 案】C【解 析】因为直线直线I：a x y+1 =0恒过点（0,1）在圆内，所以直线与圆相交，圆。0 1）2 +丫2 =4的圆心（；（1,0）*=2,所以A B C的面积的最大值为:S=CA CB sinAACB=|r2s i nz./l C B 所以，d =e =粤，即1=2,即卜=+无.故选：B4 .已知双曲线摄-9=l(a0)的一条渐近线与圆0 一3)2+、2 =8 相交于用，N 两点，且|MN|=4,则此双曲线的离心率为()A.5 B.也 C.V5 D.辿3 5【答案】D【解析】解：由题意可知双曲线的一渐近线方程为2-。丫 =0,阳 州=4,圆的半径为2 在，二圆心到渐近线的距离为2,即 二 一=2,Q=V5,：c=Va2 4-b2=3vaz+4双曲线的离心率为e=壁.a 5故选：D5.已知点P在抛物线C:y2=4x上，若以点P 为圆心的圆与C 的准线相切，且与x 轴相交的弦长为6,则点P 到 y 轴的距离为()A.4 B.4&C.5 D.5夜【答案】A【解析】设P(m,n),设圆的半径为r,因为点P在抛物线C:y2=4%上，所以层=4m,以点P 为圆心的圆与C 的准线相切，所以m+l=r,圆P与 x 轴相交的弦长为6,所以32+/=,所以nt?-2m 8=0,又m 2 0,所以m=4,故n=4,r=5,所以点p 到 y 轴的距离为4,故选：A.6.已知双曲线9 一 条=1(10)的一条渐近线方程是5%-2丫 =0,则m=.【答案】5【解析】双曲线1(巾 0)的渐近线方程为y=y x,直线5K 2y=0的方程可化为y=g x,所以，m =5.故答案为：5.7.已知抛物线C:M=-2py经过点(2,-1),则 抛 物 线 的 准 线 方 程 是.【答案】y=1【解析】解：由题意得：,抛物线C：x2=-2py经过点(2,-1)4 =-2p x(-1)=2 p,解得p=2二准线方程为y=(=1故答案为：y=l8.若抛物线y2=2Px上任意一点到点(L0)的距离与到直线x=-1的距离相等，则p=.【答案】2【解析】由 抛 物 线 的 定 义 可 得 1，解得p=2.故答案为：2.9.已知抛物线。:必=2px(p 0),P为 C上一点，PQ轴，垂足为。，尸为 C 的焦点，。为原点.若乙POQ=45,则COSNPFQ=.【答案】|【解析】不妨设P在x轴上方，由NPOQ=4 5。，可设直线。P:y=x,y=Xy2=2px 可得x=y=2p，.P(2p,2p),Q(2p,0),又尸&0)，.cos/尸 Q=措=J(2p-f)2+(2p)235,故答案为：|-10 .己知双曲线C:%2 一=i(b 0)的离心率为或，则双曲线C 的渐近线方程为.【答案】y=x【解析】解：己知双曲线C：/一3 =I(b 0)的离心率为VL所以 =JT m=/，解得b =i,a所以双曲线C的渐近线方程为y =x,故答案为：y=+x1 1.已知幡圆C:，+，=l(a b 0)经过点4(2,0),B(0,-l).(1)求椭圆C 的方程及其离心率；(2)若P 为椭圆C 上第一象限的点，直线P4 交y 轴于点M,直线P B 交x 轴于点N,且有M N 4 B,求点P 的坐标.【答案】(D 9 +y 2 =i,离心率为圣(多【解析】(I)依题知：a =2,b=1,所以c =Ua 2 -炉=遮.所以椭圆方程为9+y 2 =i,离心率e=(=*(2)如图:由MN/4 B 得：需=犒,设 P(m,r i),第一象限有?n,n 0,二+九 2 =1;4又M W _ 曳!=m乂向一 两一5|PN|=|yp|=n=n|WB|yB 1因此羡=n,，m y/2联 立 解 得 立，故P(或1).1 2.已知椭圆C:5 +=l(a b 0)的左右焦点分别为外(一2、-2,0),尸 2(2,0).过点居的直线，与椭圆C 交于4B两点，过点片作 的 垂 线 交 椭 圆 C 于M,N 两点，A A/NF 2 的周长为(1)求椭圆C 的方程；(2)求黑的取值范围【答案】(1)9 +?=1 已 3)【解析】(1)由题，c =2由椭圆定义，”可 尸 2 的周长为4&=4 历=1=布，所以b =Va 2-c 2 =企所以桶圆C 的方程为+日=1.6 2(2)当Z1%轴时，M N 与x 轴重合，不符合题意，当宜线(与x 轴重合时，|M N|=W,|4 8|=2 a =2n，所 以 黑=：；当直线/斜率存在且不为 0 时，设=ty-2,A(x1,y1)lB(.x2ly2),MN-.x=-1 y-2n (t2+3)y 2 _ 4 卬 _ 2 =0,=(4 t)2+8(t2+3)0由韦达定理y i、2 =-品,y i +丫2 =品所以|4 B|=71+1 2 1 y l -y2=Vl +t2y/(y!+y2)2-4yty2=2 6黑同理|MN|=2乃黑所以措=糯=总+舟)e(泗综上所述，黑 的 取 值 范 围 是 3).1 3.已知椭圆E:提+=l(a b 0)的离心率为圣 左、右顶点分别是A,B,且网=4.求椭圆E的标准方程；(2)已知M,N是椭圆上异于A,B的不同两点，若直线AM与直线AN的斜率之积等于-1,判断直线MN是否过定点？若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由.【答案】(l)9+y2 =1(2)过定点(一也0)；【解析】(1)解：由离心率e=/1 _/可得。2 =4 炉,a 2 a2又由左、右顶点=4 可得2 a =4,所以Q=2,b =1,2所以椭圆的方程为：:+y2 =1；(2)解：由(1)可得4(一 2,0),当宜线MN的斜率存在时，设直线MN的方程为y=k 久+3 设”(/,%),/V(x2,y2),联立+，整