2023年人教版高考数学总复习第一部分考点指导第十一章计数原理、概率、随机变量及其分布第四节事件的独立性、频率与概率.pdf
第四节 事件的独立性、频率与概率【考试要求】1.能够结合有限样本空间，了解两个随机事件独立性的含义2.能够结合古典概型，利用独立性计算概率3.结合实例，会用频率估计概率【高考考情】考点考法：两个事件独立性的判断，独立事件公式的应用及如何用频率来估计随机事件的概率是高考命题的热点.试题一般以选择题、填空题、解答题等形式呈现.核心素养：数据分析、数学运算、逻辑推理。知铝梳 理,思傕激活-o归纳知识必备1.相互独立事件的定义和性质定义：对任意两个事件力与8,如果尸(力，=尸(意/(个成立,则称事件/与事件5 相互独立，简称为独立.(2)性质：如果4 与 6 相互独立，那么力与下，%与B,7与下也都相互独立.注 解 1 相互独立事件与互斥事件是两个不同的概念，前者是指一个事件是否发生对另一个事件发生的概率没有影响,后者是指在一次试验中不能同时发生的两个事件./与8 独立=尸(/0=尸04)尸(而 ,而尸C4+=0(冷+P 却不能得到力与3 互斥.2.频率与概率频率的稳定性一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率上(4)会逐渐稳定于事件A发生的概率尸(/).我们称频率的这个性质为频率的稳定性.可以用频率。(4)估计概率尸(力).(2)频率与概率的区别与联系频率是概率的近似，随着试验次数的增加，频率会越来越接近概率，频率本身是随机的，试验前是不能确定的.概率揭示随机事件发生的可能性的大小，是一个确定的常数，与试验的次数无关，概率可以通过频率来测量，某事件在次试验中发生了外次，当试验次数很大时，就将马作为事n件/发生的概率的近似值，即P（A）=J.n求一个随机事件的概率的方法是根据定义通过大量的重复试验用事件发生的频率近似地作为它的概率；任何事件力的概率/（总介于。和 1之间，即OWW/OWl,其中必然事件的概率是1,不可能事件的概率是0.3.随机模拟（1）随机模拟产生的原因用频率估计概率，需要做大量的重复试验，费时、费力，甚至难以实现.（2）随机模拟的方法利用计算器或计算机软件产生随机数（根据不同的随机试验构建相应的随机数模拟试验）.智学变式探源1.必修二P248例 12.必修二P248例 21.（改变情境）袋内有3 个白球和2 个黑球，从中有放回地摸球，用力表示“第一次摸到白球”,如果“第二次摸到白球”记为8,否则记为C,那么事件力与8,力与。的关系是（）A.A与B,4 与。均相互独立B.力与8 相互独立，力与。互斥C.A与B,4与C均互斥D.4与8互斥,4 与。相互独立【解析】选 A.由于摸球过程是有放回的，所以第一次摸球的结果对第二次摸球的结果没有影响，故事件 与 反/与。均相互独立，且力与8,4 与 C均有可能同时发生，说明力与8,A与 C均不互斥.2.（改变数值）打靶时，甲每打10次可中靶8 次，乙每打10次可中靶7 次，若两人同时射击，则他们同时中靶的概率是（）【解析】选 A.由题意可知甲乙同时中靶的概率为2.-慧考 四基自测3.基础知识4.基本方法5.基本能力6.基本应用3.（独立事件的概念和性质）甲、乙两名射手同时向同一目标射击，设事件4 “甲击中目标”,事件6：“乙击中目标”，则事件力与事件6（）A.相互独立但不互斥 B.互斥但不相互独立C.相互独立且互斥 D.既不相互独立也不互斥【解析】选 A.对同一目标射击，甲、乙两射手是否击中目标是互不影响的，所以事件/与6相互独立；对同一目标射击，甲、乙两射手可能同时击中目标，也就是说事件力与8 可能同时发生，所以事件/与6 不是互斥事件.4 .（独立事件概率的求法）在某道路的4 B,。三处设有交通灯，这三盏灯在1 分钟内开放绿灯的时间分别为2 5 秒，3 5 秒，4 5 秒，某辆车在这段道路上匀速行驶，则在这三处都不停车的概率为（）A 二 B 至 C 也 D 也6 4 1 9 2 1 9 2 5 7 6【解析】选 C.由题意可知汽车在这三处都不停车的概率为髭X X2=高.5 .（含 有“至少”问题的求法）某天上午，李明要参加“青年文明号”活 动.为了准时起床，他用甲、乙两个闹钟叫醒自己.假设甲闹钟准时响的概率是0.8 0,乙闹钟准时响的概率是0.9 0,则 两 个 闹 钟 至 少 有 一 个 准 时 响 的 概 率 是.【解析】至少有一个准时响的概率为1-（1-0.9 0）X （1-0.8 0）=1-0.1 0 X 0.2 0=0.9 8.答案：0.9 86 .（实际应用）在一段线路中并联着3 个自动控制的常开开关，只要其中有1 个开关能够闭合,线路就能正常工作.假定在某段时间内每个开关能够闭合的概率都是0.7,则在这段时间内线 路 正 常 工 作 的 概 率 是.I_I _【解析】由题意，分 别 记 这 段 时 间 内 开 关又人能够闭合为事件4B,6这段时间内3个开关是否能够闭合相互之间没有影响.根据相互独立事件的概率乘法公式，这段时间内3个开关都不能闭合的概率是PCA B C）=P（7）P（7PCC）=1 一尸(l p(而 1 一 产(。=(l-o.7)(l-o.7)(l-o.7)=0.0 2 7.所以这段时间内至少有1 个开关能够闭合，即使线路能正常工作的概率是1 尸（4 B C）=1-0.0 2 7=0.9 7 3.答案：0.9 7 3。、一 点、棵宽 悟法培优,Q 考 点 一 事件的相互独立性多维探究高考考情：事件的相互独立性的判断、相互独立事件概率的计算及相互独立事件的概率是高考命题热点，试题中档.角 度 1 独立性的判断 典例1 （2 02 1 新高考I卷）有 6个相同的球，分别标有数字1,2,3,4,5,6,从中有放回的随机取两次，每次取1 个球.甲表示事件第一次取出的球的数字是1，乙表示事件第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7，则（）A.甲与丙相互独立 B.甲与丁相互独立C.乙与丙相互独立 D.丙与丁相互独立【解析】选 B.设甲、乙、丙、丁事件的发生概率分别为尸（4）,P,尸（0,P./fl /s 5 5 6 1则P（A）=尸=g ，p g=西=会,=西=6对于A 选项，尸（40=0;对于B 选项,、1 1产（物=蔗=而；对于C 选项，P（B O=义=白；对于D 选项，P P(A J,所以甲应选择L.同理，P(B.)=0.1+0.2+0.3+0.2=0.8,P(B2)=0.1+0.4+0.4=0.9.因为P(B)V P(B z),所以乙应选择L2.中【加练备选】(2022 潍坊模拟)某学校共有教职工120人，对他们进行年龄结构和受教育程度的调查，其结果如下表：本科研究生合计3 5岁以下40307035 5 0岁2713405 0岁以上8210现从该校教职工中任取1人，则下列结论正确的是()A.该校教职工具有本科学历的概率低于60%B.该校教职工具有研究生学历的概率超过50%C该校教职工的年龄在5 0岁以上的概率超过10%D.该校教职工的年龄在3 5岁及以上且具有研究生学历的概率超过10%75 5【解析】选对于选项人 该 校 教 职 工 具 有 本 科 学 历 的 概 率=6 =62.5%60%,故力IZU o45 3错误；对于选项6,该校教职工具有研究生学历的概率P=7 =-=37.5%50%,故6错误;INU o对于选项该校教职工的年龄在5 0岁 以 上 的 概 率=*8.3%10%,故正确.
