人教版导与练总复习数学一轮课时作业：第七章第6节第一课时　证明平行和垂直.pdf

第6节 立体几何中的向量方法第一课时证明平行和垂直A级基础巩固练r课时作业 选题明细表灵活方4密致提卷知识点、方法基础巩固练综合运用练应用创新练平面的法向量、直线的方向向量及其应用1,2,3利用向量证明平行问题58利用向量证明垂直问题4,61 0平行与垂直关系中的探索性问题1 21 6综合问题79,1 1,1 3,1 41 51.直 线1的一个方向向量为n=(l,3,a),平面a的一个法向量为1=(1 3,2,3),若1 1,则2,1 3应满足的关系式为(A)A.3 a+b+6=0 B.a=3 bC.3 a-b+6=0 D.a=-3 b解析：因为 l a,所以 n J_k,即 n k=b+6+3 a=0,所以 3 a+b+6=0.故选A.2.若直线a与b的一个方向向量分别是a=(l,2,4),b=(-1,-2,m),若ab,则m的值为(B)A.4 B.-4C.-2 D.2解析：因为ab,所以ab,故m=-4.故选B.3.已知平面a的一个法向量为a=（x,1,-2）,直线1的一个方向向量为n=g y,-1）,若 1 J_ a,则（D ）A.x+2 y=4 B.x+y=3C.x+2 y=1 D.x+y=|解析：因为l_La,所以n a，即a=、n（入 R）,所以（x,1,-2）=人（p y,-1）,x=-k,=2,所以J l=Ay,解得产=发 因为PQ-DQ=Q,PQ DC=Q,所以 PQLD Q,PQD C,又 D Q A D C=D,D Qu 平面 D CQ,D Cu 平面 D CQ,所以PQ_L平面D CQ.又 PQu 平面PQC,所以平面PQCJ_平面D CQ.故选B.5 .已知平面a 内的三点A(0,0,l),B(0,l,0),C(l,0,0),平面B 的一个法 向 量 n=(-l,-l,-l),则不重合的两个平面a 与 B 的位置关系是.解析:设平面a 的法向量为m=(x,y,z),T由 m ,AB=0,得 x 0+y-z=0=y=z,由 m ,AC=0,得 x-z=0 n x=z,取 x=l,所以 m=(l,1,1),m=-n,所以 m/n,所以 a B.答案:平行6 .在正三棱柱ABC_A,B,C,中，侧棱长为2,底面边长为1,M 为 BC的中-y 点，g N=入NC,且AB,M N 则实数X 的值为.解析：如图所示，取 B C 的中点P,连 接 M P,以 M为坐标原点，后,M 4 M p的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴正方向建立空间直角坐标系.因为底面边长为1,侧棱长为2,所以 A(0,鼻 0),B,(-；,0,2),C(i 0,0),乙 乙 乙C,(1,0,2),M(0,0,0),设 0,t)(t G R),因 为 击=人 貌，所以 N (J,0,-1-),乙 ITA所以4 3广2),M N-(J,0,-1-).又因为AB M N,所以-MN=Q,所以一岛所以人=1 5.答案：1 57.如图所示,在四棱锥P-ABCD 中，PCJ_平 面 ABCD,PC=2,在四边形ABCD 中，Z B=Z C=9 0 ,AB=4,CD=1,点 M 在 PB 上，PB=4 PM,PB 与平面ABCD 成 3 0 的角.求证：p CM 平面PAD;(2)平面PABJ_平面PAD.证明：以C 为坐标原点,CB所在直线为x 轴,CD 所在直线为y 轴,CP所在直线为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz.因为PC_L平面ABCD,所以N PBC为 PB与平面ABCD 所成的角,所以 N PBC=3 0。.因为PC=2,所以凯=2 遮,PB=4,所以 D(0,1,0),B(2 V 3,0,0),A(2 也,4,0),P(0,0,2),M 修,0,1),所以而二(0,-1,2),DA=(2 V 3,3,0),CM-(y,0,|).(1)设 n=(x,y,z)为平面PAD 的法向量，T贝ID P-n =O,DA n=0,取 y=2,得 n=(,2,1).T 反 q T因为 n-CM=-再 则 野m=0,PB,m=0,出 2z。=0,取 Xo=l,得 m=(l,0,V3),又因为平面PAD的一个法向量n=(-2,1),所以 m n=l 义(-V3)+0 X 2+V3 X 1=0,所以mn,所以平面PAB,平面PAD.法二 如图，取AP的中点E,连接BE,则 E(6,2,1),BF=(-V3,2,1).因为PB=AB,所以 BE_LPA.又因为康 ZM=(-V3,2,1)(2V3,3,0)=0,所以BE_LD4所以 BE_LDA.又 PA G DA=A,PA,DAu平面 PAD,所以BE_L平面PAD.又因为BE u平面PAB,所以平面PAB_L平面PAD.B级综合运用练8.在正方体ABCD _ABCD中,棱长为a,M,N分别为A.B,A C的中点,则M N与平面B B C G的位置关系是（B）A.相交B.平行C.垂直D.不能确定解析：以C,为原点,CB,CD,C,C所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图,所以 N(Q,m a),M (a,-),所以M N=(q,0,2.而平面Bi BCC的一个法向量为n=(0,1,0),所 以 疝 n=0,即疝V _Ln.又M N C平面BBCG,所以M N 与平面BBC。平行.故选B.9.(多选题)如图，以等腰直角三角形斜边B C 上的高A D为折痕，把 A B D 与4 A C D 折成互相垂直的两个平面后，下列结论正确的是(BC)AT-A.BD ACQB.Z BAC=6 0 C.三棱锥D _ABC是正三棱锥D.平面AD C的法向量和平面ABC的法向量互相垂直解析:平面ABD,平面ACD,由二面角定义知,BD LAD,平面ABD G 平面ACD=AD,BD c平 面 ABD,所 以 BD，平 面 ACD,所 以 BD _L AC,所以,BD-4 c=0,故 A 不正确；AD=BD=CD,且N AD B=N AD C=N BD C,所以AABD,AACD,ABCD 是全等三角形，所以 AB=AC=BC,Z BAC=6 0 ,故 B 正确;可知 AB=AC=BC,D A=D B=D C,所以三棱锥D-ABC是正三棱锥,故C 正确；建立空间直角坐标系，如图所示，Xy设 D A=D B=D C=1,则 A(0,0,l),B(l,0,0),C(0,1,0),可求出平面AD C的一个法向量是m=(l,0,0),平面ABC的一个法向量是 n2=(l,1,1),所以 n i ,n2=l+0+0=l#0,故 D 不正确.故选 BC.1 0 .(2 0 2 1吉林四平高三检测)已知平面a 内有一个点A (2,-1,2),a的一个法向量为n=(3,1,2),则下列各点中，在平面a 内的是(填序号).B(l,-1,1)C(1,3,|)(1,-3,|);E(-1,3,-|).解析:几=(一 1,0,1),易=(1,4,T 7 T T4E=(-3,4,-1),因为AC n=0,所以4C J_n,故 C W a.答案:1 1 .如图,在四棱柱A B C D-A B C D 中,底面A B C D 是平行四边形,E,F,G分别是A D i,D D,D C 的中点.(1)试用向量43,40,441表示4 G;用向量方法证明：平面EF G 平面A B C解:设A B=a,AD-b,AAr=c,T)AG=AA1+A1D1+D1G=c+b+-Z X:2=a+b+c21 T T T=-AB+AD+AAv21 2故 4G)4B+4D+44i.-证明：4C=4B+3C=a+b,T T Ti l l -EG=EOi+%G 苫 b+m=)C,因为EG 与 A C 无公共点，所以EG A C,因为EG Q 平面A B C A C u 平面A B C,所以EG 平面A B C又因为4B i=4B+B B i=a+c,FG=FD1+D1G=1c+ia=i4F1,且 F G 与 A B,无公共点，所以 F G A B i,因为F G Q 平面A B C,A B c 平面A B C,所以F G 平面A B C又因为F G n EG=G,F G u 平面EF G,EG u 平面 EF G,所以平面EF G 平面A B C1 2.直三棱柱A B C-A B G 中，底面是以N A B C 为直角的等腰直角三角形,A C=2 a,B B 尸 3a,D 是 AC的中点，在线段A A】上是否存在点F,使 C F_L 平面B,D F,若存在,求出A F 的长,若不存在,请说明理由.A解:存在.以B为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系B x y z,则 C (0,V 2 a,0),B.(0,0,3a),D (亨a,y a,3a).假设存在点F,使 C F J_平面B Q F,不妨设 A F=b(0W bW 3a),贝 i j F (V 2 a,0,b),CF=(V ia,-V 2 a,b),BF=(V 2 a,0,b-3a),B；O=(y a,y a,0).-,因为CT F1D-a-a2+0=0,-,所以C F L B M 恒成立.由名尸 C F=2 a+b(b-3a)=2 a2+b-3ab=0,得 b=a 或 b=2 a.所以当A F=a或 A F=2 a时,C F _L 平面B Q F.1 3.如图，正方形A B C D 和正方形C D EF 所在平面的二面角是6 0 ,M为B C 中点.求证：EC 平面A M F;求 A F 与平面EM C 所成角的正弦值.(1)证明：由题意可知D C I D A,过点D 作 z 轴垂直底面A B C D,则 Z 轴垂直D C 和D A,以D A 所在直线为X 轴,D C 所在直线为y 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设边长D A=2 a.因为四边形A B C D 和 C D EF 都是正方形，所以D C _L D A,D C D E,所以NA D E为正方形A B C D 和 C D EF 所成的二面角，所以NA D E=6 0。.D (0,0,0),C (0,2 a,0),B (2 a,2 a,0),A (2 a,0,0),F (a,2 a,V 3a),E(a,0,V 3a),M(a,2 a,0),贝廨=(-a,2 a,-V ia),AM=(-a,2 a,0),MF=(0,0,V 3a),设平面A M F 的一个法向量为m(x,y,z),则 薪 m=0,(-a x+2ay=0,取 y=l,则 x=2,z=0,所以 m=(2,1,0),有EC,m=0,又 EC。平面A M F,所以EC 平面A M F.(2)解：由(1)知 局=(0,2 a,-V 3a),CM=(a,0,0),AF=(-a,2 a,V 3a),设平面EM C 的一个法向量为n(xb y i,z,),E M n=0,=0,C M -n=O*=O,取 Z i=V 3,则 y i=|,X i=0,所以 n=(0,I，V 3),cos|-华”|病一|二手，AF|n|苧.2y2a 7所以A F 与平面EM C 所成角的正弦值为手.1 4.如图,已知多面体A B C D EF 中，四边形A B C D 为矩形,A B=2,A D=4,EFA D,且 EF=2,A F=B F=D E=V 6,M,N 分别为 F B,B C 的中点.证明:A F _L 平面D M N;求直线D N与平面EF B C 所成角的正弦值.证明：以A 为原点,A B,A D 所在直线分别为x 轴,y 轴,过点A 作Z 轴垂直于平面A B C D,建立如图所示的空间直角坐标系,则 A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,4,0),D(0,4,0),N(2,2,0),取 A B 中点S,连接F S,由于A F=B F,所以 S F _L A B,因为 A B _L A D,EF A D,所以 A B _L EF,由于 EF n S F=F,EF,S F u 平面 EF S,A B Q 平面 EF S,所以A B _L 平面EF S,所以点F的横坐标为1,又因为四边形A D EF 为等腰梯形，故点F的纵坐标为1,因为 A F=B F=V 6,A B=2,所以S F=V 5,所以点F的竖坐标为2,即F(l,1,2),所以 M (|,g,1),TT 4 7T所以力尸=(1,l),D N=(2,2,0),设平面D M N的一个法向量为n=(x(),y o,z0),所以n,DM=0,n DN=0,即 g g+Z o =/0,Do=取 x =l,则 n=(l,l,2),因为 n=4F,所以n 4F,所以A F _L 平面D M N.(2)解：因为D N=(2,-2,0),BC=(0,4,0),B F=(-l,1,2),设平面B C EF 的一个法向量为m=(xb yb z ),所以m BC=0,Ji=0，元1=yi+2zjn,BF=0,取 Z i=l,则 m W,0,1).设直线D N与平面EF B C 所成角为0,则 s in 9=|c os =-.所以直线D N与平面EF B C 所成角的正弦值为唱.C级应用创新练1 5.在底面是矩形的四棱锥P-A B C D 中，P A J_底面A B C D,点E,F分别是P B,P D 的中点，P A=A B=1,B C=2,用向量方法证明：EF 平面A B C D;平面P A D _L 平面P D C.证明：以点A 为原点,A B 所在直线为x 轴,A D 所在直线为y 轴,A P所在直线为z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系，则 A(0,0,0),B(l,0,0),C(l,2,0),D(0,2,0),P(0,0,1).因为点 E,F 分别是 P B,P D 的中点,则 F (0,1,E(i 0,|),得r i吗一 1,0),易=(一1,2,0),所 以 还 忖 薪,即 EF/B D.又 B D u 平面 A B C D,EF C 平面 A B C D,所以EF 平面A B C D.(2)由(1)可知藁=(0,2,-1),(0,0,1),AD=(Q,2,0),D C=(l,0,0),因为4P O C=(0,0,1)(1,0,0)=0,AD Z X：=(0,2,0)(1,0,0)=0,T 所以4P J_D C,ADLDC,即 A P I D C,A D D C.又 AP G AD=A,APu平面 PAD,ADu平面 PAD,所以DC_L平面PAD.因为DCu平面PDC,所以平面PAD_L平面PDC.16.(2021 湖南长沙高三阶段检测)如图,在三棱柱ABC-A1B,C1中，四边形AACC是边长为4的正方形，平面A B C,平面AACC,AB=3,BC=5.(1)求证:AAi_L平面 ABC;(2)求平面A C B与平面B C B夹角的余弦值；证明：在线段BG上存在点D(不与B,G重合)，使得AD1A.B,并求出当 的 值.(1)证明：因为四边形AACC是正方形，所以AAAC.又因为平面ABC_L平面AAGC,平面ABCG平面AA1C1C=AC,AAiU平面 AACC,所以AA 平面ABC.(2)解：由 AC=4,BC=5,AB=3,得 AC2+AB2=BC2,所以 AB_LAC.由 得 A A 平面A B C,所以A A A B,A A A C,所以A C,A B,A A i两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，则 A1(0,0,4),B(0,3,0),B,(0,3,4),C,(4,0,4),所以8七=(4,-3,4),BAi=(0,-3,4),BB(0,0,4).设平面A B 的法向量为n i=(x i,yb z j,平面B iC iB 的法向量为n2=(x2,y2,z2).zi BCi=4%i 3yi+4zt=0,叫 BA=-3yt+4Z1=0,取 y i=4,则 x i=0,z i=3,所以 m=(0,4,3).n2 BC=4x2-3y2+4z2=0,n2,BB、=4Z2=0,取 X2=3,则 y2=4,所以 U 2=(3,4,0).所以平面,A B 与平面B B 夹角的余弦值为费(3)证明：设点D的竖坐标为t (0t 因为 4D_LAiB,T T所以ZO A/=0,即 0+2(4-1)-4t=0,4解得t噗所以吧=匹=2.BC1 CCt 25