安徽省蒙城五校2022届高三下学期第二次联考理科数学试题（含答案与解析）.pdf

蒙城一中涡阳一中 淮南一中 怀远一中 颍上一中2022届高三第二次五校联考试题数 学（理科）（时间：120分钟 分值：150分）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共12小题，每小题5 分，共 60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合4 =卜|22卜 5 =x|x 2或则A C|5=（）A.x x2 B.x x 2 D.x|-l x 2）2.已知复数z=二，则|z-i|=（）l +2 i 1 1A百 B 1 c晒 D而5 3 3 53 .下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数 是（）A.y=-B.y=-x-nx C.y=-x3-x D.y=-x3+x4 .设S为等差数列 “的前项的和，若S s=5 5,S8=1 3 6,则=（）A.-2 7 B.-9 C.9 D.2 75.设。=l o g 5（）.5,b=2 s i n l,C=0.5S5.则（）A.a b cB.a c bC.c a bD.b c 0时/（x）=e 2 x T+J 则曲线y =/（x）在点信处的切线方 程 为（）A.2 x+y +4=0B.2 x-y +4=0C.2 x-y +2 =0D.2 x+y +2 =01 0.已知函数/（x）=c os（s-?）&0）在区间 0,用上有且仅有3条对称轴，则”的取值范围是（）1 3 1 7 9 1 3A.(,B,(一,4 4 4 49 1 3、1 3 1 7、C.一,)D.,)4 4 4 41 1.已知空间四边形 ABC。，C D L B D,C D =6,A B =B D =A D =3,二面角 A-BD-C 是 1 2 0 ,若4民C、。四点在同一球面上，则该球的表面积是（）2 2A.15%B.1 8 乃C.2 1 乃 D.2 41 2.已知点P为双曲线0-捺=1 30力0）上任意一点，匕、B为其左、右焦点，。为坐标原点.过点产q-b向双曲线两渐近线作垂线，设垂足分别为M、N,则下列所述错误的是（）A.|加|“9|为定值B.O、P、M、N四点一定共圆C.所 朋 的 最 小 值 为-D.存在点尸满足P、M片三点共线时，P、N、鸟三点也共线二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.1 3.已知向量、坂满足卜+q=卜一耳,则s i n ,B=.x+y-2 Q1 4.若实数x、y 满足约束条件，x 上且C P =C Q,求平面C 8 F 与平面A P F 夹角的余弦值.1 9 .第 2 4 届冬季奥林匹克运动会(X X I V OiympicW I N TERGame s),即 2 0 2 2 年北京冬季奥运会，是由中国举办的国际性奥林匹克赛事，于 2 0 2 2 年 2月 4日开幕，2 月 2 0 日闭幕.北京冬季奥运会共设7 个大项，1 5 个分项，1 0 9 个小项.北京某中学研究小组为了研究该校学生参加冰雪运动与性别的关系，随机对学校5 0 0 名学生进行了跟踪调查，其中喜欢冰雪运动的学生有2 0 0 人，在余下的学生中，女 生 占 到 根 据 数 据 制 成了下图所示的列联表男生女生合计喜欢1 5 02 0 0不喜欢合计5 0 0（1）根据题意，完成上述2 x 2 列联表，并判断是否有9 9.9%把握认为喜欢冰雪运动和性别有关？（2）将频率视为概率，用样本估计总体，若从全市所有的中学生中，采用随机抽样的方法抽取4名学生，记被抽取的4 名 学 生 为 男 生 的 人 数 为 求 J的分布列和数学期望E（g）.n(ad b e?(a +O)(c+d)(a +c)(O+d)P(K2.k)0.1 50.1 00.0 50.0 2 50.0 1 00.0 0 50.0 0 1k2.0 7 22.7 0 63.8 4 15.0 2 46.6 3 57.8 7 91 0.8 2 82 0 .已 知 椭 圆,+*=l（a b 0）的 离 心 率 为 苧，以椭圆上一点和短轴两个端点为顶点的三角形面积的最大值为2（1）求椭圆方程；（2）直线/与椭圆相交于不同两点C、。，点 尸（4,0）,若 定 所 为 定值，证明：直线/过定点.2 1 .已知函数/（x）=-2 1 r u +3 x-（1）若f a）在定义域上单调递增，求实数，的取值范围；（2）当机 1 时，对于函数尸（x）=/（x）2x,满足方程户（力=成：/?）有两个不同 实 数 根 求证：F（XI）+F（X2）-2 Z:.x =2 c o s a2 2 .在直角坐标系x Oy 中，曲线C的参数方程为 （a为参数），以坐标原点。为极点，x 轴的y=s i n a正半轴为极轴建立极坐标系，直线/的极坐标方程为2 pc o s（e +?）=5 j 7.（I）求曲线C与直线/的直角坐标方程；（2）求曲线C上的点到直线/的距离的最大值.2 3 .已知函数/（兀）=|*-同+1+0 2-a +4（1）当a =l 时，求 不 等 式 的 解 集；（2）若/（X）2 5 恒成立，求 a 取值范围.参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5 分，共 60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 .已知集合4 =卜|2*4 2卜 3 =x|x2或 一1 ,则()A.x|x2 B.x|x2 D.x|-l x2或x-l ,故 A c8=x x=2是奇函数，但整个定义域内不是减函数，故A错误;X丁 =一九一此工在定义域(0,+0 0)上是减函数，但不是奇函数，故B错误;了 =-1-%在/?上既是奇函数又是减函数，故C正确；丫 =-/+在/?上是奇函数但不是单调函数，故D错误.故选：C.4.设S“为等差数列 4 的前项的和，若5=5 5,$8=1 3 6,则%=（）A.-2 7 B.-9 C.9 D.2 7【答案】D【解析】【分析】由S 8 -56=%+%+。6=3。7,代入即可求出答案.详解S&6 =4 +%+&=3%=1 3 6 5 5 n%=2 7.故选：D.5 .设。=l o g s 0.5,Z?=2 s i n l ,c =0.5 s 5.则（）A.a b c B.a c b C.c a b D.b c 2 s i n =1,6由指数函数的性质，可得0 0.5婚5 0.5 =1，所以a c /2 x 53V2I F故选：c7 .为进一步做好新冠疫情防控工作，某地组建一只新冠疫苗宣传志愿者服务队，现从2名男志愿者，3名女志愿者中随机抽取2人作为队长，则在“抽取的2人中至少有一名女志愿者 的前提下”抽取的2人全是女志愿者”的概率是（）【答案】D【解析】【分析】利用条件概率求解即可.【详解】设抽取的2人全是女志愿者为事件A,抽取的2人中至少有一名女志愿者为事件B,则P网）=言4,尸 爷=,所以 尸 8）=镭，C5 1 0 C5 1 U 3故选：D8 .若 以+1（3%一2的展开式中各项系数的和为2,则展开式中的常数项为（）I x 八 X）A.-7 2 0 B.-3 6 0 C.3 6 0 D.1 0 8 0【答案】C【解析】【分析】由题意求得。=1,求 得 二 项 式 展 开 式 的 通 项 公 式 为7；M=（-2y进而求得展开式中的常数项.【详解】令x=l，则有（。+1）（3-2）5=2,解得a=l,所 以 展 开 式 的 通 项 公 式 为 却=黑（3 广 _2）=（-2）r.35-r-q?-2s（其中 r=0,1,2,3,4,5）,所以展开式中的常数项为Xy2）3 32.以b+L （2）2 .33 C；x=360,X即展开式的常数项为360.故选：C.9.已知“X）为奇函数，且当x 0时 x）=e 2 i+J 则曲线 =/（尤）在点卜处 切线方 程 为（）A.2x+y+4=0 B.2x-y+4=0C.2x-y+2-0 D.2x+y+2=0【答案】A【解析】【分析】首先求出x0时函数解析式，再求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，从而求出切线方程；【详解】解：当0）在区间 0,町上有且仅有3条对称轴，则。的取值范围是（）A13 17,/9 13,9 13、r/3 17、4 4 4 4 4 4 4 4【答案】C【解析】（分析】求出函数的对称轴方程为x=0+）,k e Z,原题等价于0 0+的 4万有3个整数k4co 4 G符合，解不等式1+4X24G1+4X3即得解.【详解】解：x）=cos（0）,令cox-F=k兀，k e Z ,则x =0+4%）乃，k eZ、44a）函 数/（元）在区间 0,乃 上有且仅有3条对称轴，即”万有3个整数Z符合，4（v04（l+4上）乃4万,得04 41=0 4 1 +4 k 4 4啰，则氏=0,1,2,4 4 6 99 1 3即 1+4 x 2 W4。1 +4 x 3,一 =A D =3 ,二面角 A-BD-C 是 1 2 0 ,若A、B、C、O四点在同一球面上，则该球的表面积是（）A.1 5 1 B.1 8 万 C.2 1 7 t D.2 4万【答案】C【解析】【分析】设直角三角形B C D外接圆圆心为。|,则。为斜边8 C的中点.设等边三角形4 8。外接圆圆心为。2,则R为等边三角形A B O的中心.连接A O?延长交8。于E点，分别过Q,。2点作平面B C O与平面A B。的垂线，交于。点，则。点即为该外接球的球心.利用勾股定理求出外接圆的半径，即可求出球的表面积.【详解】设直角三角形8。外接圆圆心为Q,则0 1为斜边B C的中点.设等边三角形A BZ）外接圆圆心为。八 则。2为等边三角形A B。的中心.连接AQ延长交8。于E点，分别过。一。2点作平面BC。与平面A B O的垂线，交于。点，则。点即为该外接球的球心.连接O F,OE.在等边三角形A 8 D中，A 3 =8。=4)=3 .因为Q为等边三角形A B。的中心，所以E为8。的中点,曰 .八 _3 百 而”4 c _ 2 “_ 2 36_ 巧 _ 1 1 3 7 3 _ 7 3目.A E =A D =-/T 以 A O7=-A E x-=，3，O)E A E =-x-=2 2 2 3 3 2 2 3 3 2 2在直角三角形B C D中，C DL BD,C D =6 ,。乃 为中位线，所以0 ；=；8 =*.因为AE，8。,aE，8。,所以N A E。为二面角A 1a p C的平面角，所以=1 2 0。.如图示:o因为。Q _LQE,OO2，Q E,q E =Q E,O E =Q E,所以O Q E三。仪瓦因为乙4E。=1 2 0,所以N O E a=6 0 ,所以O Q=G Q E =6 x =（所以该外接球R =y/0 0 l+02A2=J（|）+3=誓.所以该球的表面积是S=4%7?2=21%.故选：Cr2 v212.已知点。为双曲线0-4=l（a0,b0）上任意一点，耳、居为其左、右焦点，。为坐标原点.过点Pa b向双曲线两渐近线作垂线，设垂足分别为M、N,则下列所述错误的是（）A.为定值B.O、P、M、N四点一定共圆C.P R电的最小值为一D.存在点P满足P、M 6三点共线时，P、N、尸2三点也共线【答案】D【解析】【分析】对于A,设（毛，九），表示出|P M|,|P N|,即可判断A；对于B,由题目可得，M,N两点在以0 P为直径的圆上，故可判断B；对于C,由双曲线的对称性可知西 配=|P 0|2-0 2,由 P O a2,故可判断C；对于D,利用双曲线的对称性，不妨设直线耳N垂直一条渐近线，垂足为N；直线工 用 垂直另一条渐近线且交双曲线于点P,易知直线6 N与直线工 用 的交点始终落在y轴上，可判断D.【详解】设尸（不，儿），点P（4,匕,）到渐近线y=：x的距离为同理|P N|b24-a2yla2+b2：NOMP=NONP=90，。加和 O N P 均为直角三角形，M,N两点在以。尸为直径的圆上，故B 正确；由双曲线的对称性可知所.丽=（而+西）（所 一 西）=|而一|西=|M|2-c2,其中c2=a2+,；|PO|2 a2.*丽 2 /_c2 =一匕2 成立，故 c 正确；如图利用双曲线的对称性，不妨设直线耳N垂直一条渐近线，垂足为N；直线6M 垂直另一条渐近线且交双曲线于点P,易知直线KN与直线6加 的交点始终落在y 轴上，故 D不正确.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.1 3.已知向量、坂满 足 卜+囚=,一 0 ,则sin ,B=【答案】1【解析】【分析】对|+=|-q两边同时平方可得4=0,可 知&,B=W，即可得出sinZ B 的值，【详解】卜+万|=归一,两边同时平方得 2+7+2 /=2+不 _2/，可得3=0,所以。石=,故 sina,B=l.故答案为：Lx+y-2 01 4.若实数x、y满足约束条件，x 0【答案】2【解析】1 z【分析】画出不等式组表示的区域，然后由Z =x-3 y可得y=-X-，然后结合图形可得答案.-3 3【详解】不等式组表示的区域如图：F(1,0),所以，由z=x-3 y可得y=，所以当直线y=；x-1过点（2,0）时z最小，最小值为2,故答案为：21 5.已知抛物线V=4x,过焦点尸且斜率为k的直线交此抛物线于A、B两点，点A、B分别为过两点人B向直线x=-l作的垂线的垂足，则直线AR与直线B户斜率之积为.【答案】-1【解析】【分析】设直线/：彳=阳+1,8（孙 必），则?（1,必），联立直线与抛物线方程可得y2-4 m y-4 =0,所 以 乂 必=-4,表示出心下，程石，代入即可得出答案.【详解】设直线/：x=?y+l,A&,y J,B（x2,y2）,则 5*（-1,y2）,x=my+.2 ，整理得y-4 ttzy-4 =0 X%=-4，y=4x又.:Z/V F,七尸=X =-=-1,A kA F-kffF 1.Z -2 4故答案为：-1.1 .11 6.已知数列 凡 的 前 和s“=7。；+|-万。“+,且。2 =%，则卬的最大值为.【答案】2 0【解析】【分析】根据题意求得一1一；，当2 2时，（4+|+%）（%+1 42）=0,得到+i +an=0或4+|-。”=2 ,分 外，%是公差为2的等差数列，且%=-%和%=一出且生，卬是公差为2的等差数列时，两种情况求得为的值，即可求解.【详解】当 =1时,1 2 1 f 1 2 1当 2 2时,an=Sn-Sn_y=-a+i-all+i _ I 一 整理得(4+i+%)(%+-4-2)=0,解得an+i+4=0或an+l-an=2,当a”最小时，即4,q（）是公差为2的等差数列，且4 1=q（）时，此时 4 o =。2+（1 0-2）*2 =-4 1 =-4，可得。2=-8,%最小，%最大，此时 4 =2 0；当知最大时，即。=一。且。，4是公差为2的等差数列时,此时 a”=%+（1 1 -3）x 2 =a2+1 6=%,可得 的=8 ,。2最大，片最大，此时4 =1 2,综上可得：q的最大值为2 0.故答案为：2 0.三、解答题：共 70分、解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第 1721题为必考题，每个试题考生都必须作答，第 22、23题为选考题，考生根据要求作答.1 7 .在 AABC中，角 A,B,C所对的边分别为 a,h,c,已知bco s A +血si n A-a-2 =0，c=2.（1）求角B的大小；（2）若力=J 7,求AABC的面积.IT【答案】（1）-3至2【解析】【分析】(1)边换角,然后利用出。=311(4+5)展开化简可得；(2)由正弦定理可得sin C,由和差公式可得sin A,然后由面积公式可得.【小 问1详解】因为bcos A+Gbsin A-。-2=0，且c=2由正弦定理得sin Bcos A+/3 sin Bsin A-sin A-sin C=0，在 ABC 中，sinC=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin BV3 sin B sin A-sin A-sin A cos B=0因为 ABC中，AG(0,),sinA0,所以 VJsinfi-cos 8=1，即 sinU又 Bc G(0,、),5c 兀(57r 1G6 6 6;JL JL)i所以 B2=X,B=.6 6 3【小问2详解】,也由正弦定理得.csinB 2X 2 回sin C=-=芳-=b 小 1：cb,C 为锐角二2币.cos C=-73/91sin A=sin(8+C)=sin BcosC+cosBsin C=-C 1 ,.4 3 百 5=pcsin A=-2 218.如图所示，多面体 ABCOE/中，AD VCD,AFAD,CD 1 DE,AD=CD=1,AB=6，BC=2.E（1）证明：A B，平面A FC；2（2）若A F =1，点P在棱C D上且C P =CD,求平面C 3 F与平面A P F夹角的余弦值.3【答案】（1）证明见解析；（2）述.10【解析】【分析】（1）证明A E _ L A 5，A B 1 A C,原题即得证；（2）以4点为原点，分别以A B、A C、4厂所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，利用向量法求平面C 8 F与平面A P F夹角的余弦值.【小 问1详解】证明：,:C D L A D,C D L D E,A D c D E =D,.C D _L 平面 ADEF,C D AF,又 由 心，A D,A D O C D D,4。,。.A E J平面 AB C D-.A F A B,又在直角三角形4C 中a c =，4）2+a）2 =叵,：.AB2+AC2BC2,：.ABAC又由 AEDACMA,A 尸,A Cu 平面 AF C.，A8 J _ 平面 AF C.【小问2详解】以A点为原点，分别以48、AC、A F所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系.则 A（0,0,0）,B（0,0,0）,C （0,丘,0）,F（0,0,1）,又易得。（交，虫,o）,由d=2&）,得P（一 也，述，0）,2 2 3 3 3&=(0,0,0),&=(0,-V2,1),AF=(0,0,1),AP=冬孚,0设平面CBF得法向量为力=(玉，y,z j,n,-CB=0n C F=0得!瓜 尤 =0-My、+Z|=0取 3=1,得到平面C8尸的一个法向量为7 =(11,&)同理求得平面4P尸的一个法向量为=(2,1,0)由 cosV/,马2+1+0 _ 3 V|2 x 7 5 10平 面 CB尸与平面4P尸 夹 角 的 余 弦 值 为 述.19.第 24届冬季奥林匹克运动会(X X I V OlympicW I N TERGame s),即 2022年北京冬季奥运会，是由中国举办的国际性奥林匹克赛事，于 2022年 2 月 4 日开幕，2 月 2 0 日闭幕.北京冬季奥运会共设7 个大项，15个分项，109个小项.北京某中学研究小组为了研究该校学生参加冰雪运动与性别的关系，随机对学校500名学生进行了跟踪调查，其中喜欢冰雪运动的学生有200人，在余下的学生中，女 生 占 到 根 据 数 据 制 成了下图所示的列联表男生女生合计喜欢150200不喜欢合计50 0(1)根据题意，完成上述2 x 2 列联表，并判断是否有9 9.9%的把握认为喜欢冰雪运动和性别有关？(2)将频率视为概率，用样本估计总体，若从全市所有的中学生中，采用随机抽样的方法抽取4 名学生，记被抽取的4 名学生为男生的人数为求自的分布列和数学期望E C).K-，其中 =a +a+h)c+d)a+c)b+d)P(K2.k)0.1 5O J O0.0 50.0 2 50.0 1 00.0 0 50.0 0 1k2.0 7 22.7 0 63.8 415.0 2 46.6 357.8 7 91 0.8 2 8【答案】(1)列联表答案见解析，有 9 9.9%的把握认为喜欢冰雪运动和性别有关1 2(2)分布列答案见解析，数学期望：y【解析】【分析】(1)由题意，分别求得男生中不喜欢的人数和女生中部喜欢的人数，得出2 x 2 的列联表，利用公式求得2 的值，结合附表，即可求解；(2)根据题意求得抽取的学生为男生的概率为尸=3养0 0 =g3,得出随机变量4 的取值，求得相应的概率，列出分布列，利用期望的公式，即可求解.【小 问 1 详解】解：由题意，随机对学校50 0 名学生进行了跟踪调查，其中喜欢冰雪运动的学生有2 0 0 人，在余下的学生中，女 生 占 到 可 得 剩 余 的 30 0 人中，有 1 50 名女生不喜欢，1 50 名男生不喜欢，可如下的2*2 的列联表：男生女生合计喜 欢1 50502 0 0不喜欢1 501 5030 0合计30 02 0 050 0n(ad-bcY 5O O(1 5O x l 5O-5O x l 5O)2-=-=3 1.2 5 1 0.8 2 8,(a +Z?)(c +d)(a +c)(b+d)-3 0 0 x 2 0 0 x 3 0 0 x 2 0 0所以有9 9.9%的把握认为喜欢冰雪运动和性别有关.【小问2详解】3（Y）3解：根据题意，被抽取的学生为男生的概率为。=芸=?,所以随机变量g的取值可以为0，1,2,3,43、5；3 丫5 2 丫5,2 1 66 2 525；急,p g=c：故随机变量J的分布列为:401234P1 66 2 59 66 2 52 1 66 2 52 1 66 2 58 16 2 5所以E =0 x型+l x空+2 x生+3 x”+4 x色.6 2 5 6 2 5 6 2 5 6 2 5 6 2 5 52 0.已知椭圆，+/=1 3 方0）的 离 心 率 为 巧,以椭圆上一点和短轴两个端点为顶点的三角形面积的最大值为2（1）求椭圆方程；（2）直线/与椭圆相交于不同两点C、。，点P （4,0）,若 无 赤 为 定 值，证明：直线/过定点.r2【答案】（1）一+2=14 -（2）证明见解析【解析】【分析】（1）用待定系数法即可求解；（2）设直线/：=冲+，（斜率不为0）,。（玉，%）,。（2，%），用“设而不求法”表 示 出 而 而=12-2,+60,由12+4）+-3 2/+1 2 1 2 +二吆丝 为 定 值,或m+4 m2+4 m2+4 5即可判断直线/过定点（6,0）或（：，0）.【小 问1详解】J 3a l由题意可知，;x 2 6a =2,解得=4力2=1,a2=b2+c2故椭圆的方程为三+V =i.4 -【小问2详解】设直线/：x =m y+f （斜率不为0）,。&，%），。（%2，%），则x-my+1x2,整理得：(m2+4)y2+2mty+r-4 =0.+y =1 I 4 -所以2mt%+%=-5 j-,由()知，m2+4 t2r-4因为 P d =(七 一4,y ),P D=(9-4,y2),所以=_ 4 (/一4)+弘%=%七 一4(%+x2)+1 6+y1j2,又=(+r)(g 2 +)=机b%+力(X +必)+/，%+W =z(x +%)+为，代入上式得：尸小加5 =(疗+1)另见+(加-4根)(y +%)+/8 t +1 6=(m2+1)/丁 4+(加/-4根)一+/2-8/+1 6 /加 2+4 m2+41 2 m 2+5/一3 2/+6 0m2+4为定值.n r i y,1 2（犷+4）+5厂 3 2/+1 2 5/2-3 2/+6 0 4占,士即为 _ _ _ _ _ _ _L _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _=1 2 +_ y 十口为定值，m2+4 m2+42 _ _ _ _ _ _ _只需5/一3 2 f +I2 =0，解得，=6或/=1,均可满足A0,且AGP万=1 2 （定值）.2所以直线/：x =m）+6或x =2当直线/过定点（6,0）或（1，0）斜率为。时亦成立，2即直线/过定点（6,0）或（1，0）.2 1.已知函数/(x)=-2 1 n x +3 x-(1)若/(x)在定义域上单调递增，求实数，的取值范围；(2)当初 1时，对于函数尸(x)=/(x)2 x,满足方程9(x)=左伏e R)有两个不同的实数根求证：F(XI)+F(X2)-2 Z:.【答案】(1)；3(2)证明见解析.【解析】2 m【分析】(1)等价于/(%)=-1+3 +720在(0,+c o)上恒成立，即机2-3/+2 x在(0,+8)上恒成立，求出二次函数的最大值即得解；1 1 1 1(2)等 价 于?一+1-&=0的两实数根为4天，即 一，一 是 方 程 尔2 _ 2X+I一左=0的两实X X X 尤22根，得到韦达定理，求出口(玉)+E(X 2),设g=尸(西)+/(工2)+2 4=一2 111，+/1 根2,m t证明g(r)0即得证.【小 问1详解】2 m解：f(x =一 一+3 +,(x 0)X x2 m因 为 在 定 义 域 上 单 调 递 增，所 以(力=-一+3 +F 2。在(0,+8)上恒成立.X X(1 1 1 1所以加之一3父+2%在(0,+8)上恒成立，即加2 3 x 已+-,所以加之一.I 3 J 3 3【小问2详解】2 H1解：因 为 网 力=/(x)-2 x=-2 1nx+x-,所以 F(x)=+1+,因为F(x)=3所以加 7 2 工+1-左=0的两实数根为X,，X X1 1所 以 一，一 是方程/nr?2 x+l左=0的两实根，x x21 1 2%+%2 i-2 7所以一+,即-=_,由 2 j X i%2 +工2 =一菁2 得加_ ，X j x2 m x,x2 m v m1 1 l-k =-x x2 m(1 1 )m l-1%X2)F(x1)+F(x2)=-2 1n(xlx2)+(X j +)-,2 1 1 -F 7 1 m令 f =X j X2 ,由一=-得 Z =1-,t m t2 (H z 2 2”,设 g(E)=F(X)+=-2 1n/d Z-2 +2 1-=-2 I nr H t-,t 府.m t)m tJ m Y 3 2c/*2 2 2 t H tn“、2 2 2m 2(/-mt+m )1 2)2 八g(/)=+-+=-3-=-J-0t m t m V mi所以，函数g 在tw(加2,+力)上递增，从而g(f)g(/)=2(机一令 h(tn)=m-2 l n m,m 1m则”(m)=i+4-2=t t om m m所以，函数(加)在，(1,水)上递增，得 力(根)(1)=0 ,所以，函数g(r)2(m)0,因此8(。=尸(百)+/7(%2)+2 0,即 F(X )+F(x2)-2 Z:.【点睛】关键点睛：解答本题有两个关键，其一是能想到换元得到尸(%)+/()+2攵的解析式；其二是求出g(f)g。叫=2(m后想到构造函数(m),求函数的最小值.X =2 COS 6 Z2 2.在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 (。为参数)，以坐标原点。为极点，x轴的y=s m a正半轴为极轴建立极坐标系，直线/的极坐标方程为2p cos+?)=5疗.(1)求曲线C与直线/的直角坐标方程；(2)求曲线C上的点到直线/的距离的最大值.【答案】(1)一+y2=i,x-V 3 y-5 V 7=043s【解析】【分析】(1)由曲线C的参数方程，消去参数，求得曲线C直角坐标方程；根据极坐标与直角坐标的互化公式，即可求解直线/的直角坐标方程；(2)设曲线C上 任意一点坐标尸(2 c o s a,s in。)，利用点到直线的距离公式，结合三角函数的性质，即可求解.【小 问1详解】x=2 c o s a解：由曲线C的参数方程 (a为参数)，y=s ina2消去参数，可得曲线C直角坐标方程为三+y2 =i：4 -由直线/的极坐标方程2夕8 5(。+。)=5,整理得夕c o s。一 岛 s in。=5 J7,x=pcos0 厂 厂代入 .八，得直线/的直角坐标方程为x-Gy-5 j 7=().y=ps in 0【小问2详解】解：由题意，设曲线C上的任意一点坐标P(2 c o s a,s ina),则P到直线I的距离为d-氐_即c o s 5二2 2当c o s(a +)=-l时，d取得最大值为3近.2 3.已知函数/(0=|%4+1+a 2 -a+2 1(1)当a =l时，求不等式“x 5的解集；(2)若“X)2 5恒成立，求a的取值范围.【答案】(1)x x,-3或%.2 ；(2)(-a ,-V 3 uf V 3,+).【解析】【分析】(D先化简函数，再分三种情况讨论解不等式组得解；(2)先利用绝对值不等式求出了(X).k2+2 ,再解不等式卜2+斗.5即得解.【小 问1详解】2x 1,X,2,解：当a =l时，.f(x)=|x-l|+|x+2|=3,-2 x l,2x+l,x.l.“、f X,-2 f-2 x x.li -2X-1.5 3.5 2x+1.5x-3或?2.,解集为 R X,-3或尤.2.小问2详解】解：由题得/(幻=|九 一Q I +卜+Q-Q+.1|(x a)_(%+_ Q+2)卜 cr+2|则,2+2.5,解 得%一 6 或。之J i综上：的取值范围是(一0 ，一百 D 6,+8)