人教版导与练总复习数学一轮教师用书：第七章第4节　空间直线、平面的垂直.pdf

第4节 空间直线、平面的垂直课程标准要求1.从定义和基本事实出发,借助长方体,通过直观感知，了解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面垂直的关系，归纳出有关垂直的性质定理和判定定理,并加以证明.2.能用已获得的结论证明空间基本图形位置关系的简单命题.必备知识课前回顾 超 激 材夯实国基D街知识梳理1.直线与平面垂直(D定义一般地,如果直线1与平面a内的任意二条直线都垂直,则直线1与平面a互相垂直,记作1_L a,直 线1叫做平面a的垂线,平面a叫做直线1的垂面.(2)判定定理与性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直,那么该直线与此平面垂直17a,b u a、aDb=011 a11b J=1 J_ a性质定垂直于同一个平面的两条直线平行ab7a 1 ct)b 1/b理2.直线和平面所成的角(1)定义平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角,叫做这条直线和这个平面所成的角.若一条直线垂直于平面,它们所成的角是直角,若一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角是。二的角.范 围：0,如3.平面与平面垂直(1)二面角的有关概念二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角;二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直王棱的两条射线，这两条射线所构成的角叫做二面角的平面角.(2)平面和平面垂直的定义一般地,两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直.(3)平面与平面垂直的判定定理与性质定理文字语言图形语言符号语言判定如果一个平面过另一个平面的垂11 a),Q定线,那么这两个平面垂直理,重要结论直线与平面垂直的常用结论(1)若一条直线垂直于一个平面,则这条直线垂直于这个平面内的任意直线.(2)若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面.(3)一条直线垂直于两平行平面中的一个,则这条直线与另一个平面也垂直；(4)两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面.，对点自布1.(必修第二册P 1 6 2 习题T 2 改编)下列命题中错误的是(D )A.如果平面a J _ 平面B,那么平面a内一定存在直线平行于平面BB.如果平面a不垂直于平面B ,那么平面a内一定不存在直线垂直于平面BC.如果平面a J _ 平面丫，平面B J _ 平面Y,a G B=l,那 么 平 面 丫D.如果平面a J _ 平面B ,那么平面a内所有直线都垂直于平面B解析:对于D,若平面Q _ L 平面B ,则平面0内的直线可能不垂直于平面 B ,即与平面B的关系还可以是斜交、平行或在平面B内，其他选项均是正确的.故选D.2.设Q,B为两个不同的平面，直线l u a,则是“a _ L B”成立的（A ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析:依题意，由1 _ L B ,l u a ,可以推出a _ L B ；反过来，由a J _ B ,l ua不能推出1 _ L 6 ,因此“1，B ”是“a _ L B ”成立的充分不必要条件.故选A.3.如图，已知A B _ L 平面B C D,B C C D,则图中互相垂直的平面有对.解析：因为A B _ L 平面B C D,A B u 平面 A B D,A B u 平面 A B C,所以平面A B D _ L 平面B C D,平面A B C,平面B C D.又 A B C D,B C C D,A B A B C=B,A B u 平面 A B C,B C u 平面 A B C,所以C D J _ 平面A B C.又 C D u 平面A C D,所以平面A C D _ L 平面A B C.答案：34.在三棱锥P-A B C 中，点P 在平面A B C 上的射影为点0.(1)若 P A=P B=P C,则点 0 是 A A B C 的 心；若 P A L P B,P B P C,P C P A,贝点 0 是 A A B C 的 心.解析：图如图,连接0 A,O B,0 C,0 P,在 R t Z P O A,R t Z P O B 和 R t A P O C 中，P A=P B=P C,所以 O A=O B=O C,即0为4 A B C 的外心.(2)如图,延长A O,B O,C 0 分别交B C,A C,A B 于点H,D,G.因为 P C P A,P B P C,P A A P B=P,P A,P B u 平面 P A B,所以P C _ L 平面P A B,又A B u 平面P A B,所以P C A B.因为 A B P O,P O A P C=P,P O,P C u 平面 P G C,所以A B,平面P G C,又 C G u 平面P G C,所以A B L C G,即C G 为 A B C 边 A B 上的高.同理可证B D,A H 分别为A A B C 边 A C,B C 上的高，即0 为A A B C 的垂心.答案：（1）外（2）垂关键能力课堂突破类小考点既实四翼戚考点一直线与平面垂直的判定与性质口 角度一直线与平面垂直判定的应用C S H）（1）已知1,m是平面a外两条不同的直线.给出下列三个论断:l_ Lm;m a 奄 1 _ 1 _ a .以其中的两个论断作为条件,余下的一个论断作为结论,写出一个正确的命题:（用序号表示）.（2）如图所示，已知AB为圆0的直径，点 D 为线段AB上一点,且AD=|DB,点 C 为圆 0 上一点，且 BC=V 3 AC,P D_ L平面 ABC,P D=DB.求证:P A_ LCD.(1)解析：已知l,m是平面a外两条不同的直线,由l_ Lm与m a ,不能推出1 _ L a ,因为1 可以与a 平行，也可以相交不垂直；由l_ Lm与1 _ L a能推出m a ；由m a与1，a能推出l_ Lm.故正确的命题是今或二.答案:=或二证明：因为AB为圆0的直径，所以ACLCB,在 R tAACB 中，由 BC=V 3 AC,W Z ABC=3 0 .设 AD=1,由 AD=|DB,得 DB=3,BC=2 V 3,由余弦定理，得CD2=DB2+BC2-2 DB BCc o s 3 0 =3,所以 CD2+DB2=BC2,即 CDAB.因为P D_ L平面ABC,CDu平面ABC,所以P DLCD,由 P DAAB=D,P D,ABu平面 P AB,得 CD,平面 P AB,又 P Au平面P AB,所以 P A_ LCD.;解题策略I证明线面垂直的常用方法及关键(1)证明直线和平面垂直的常用方法：判 定 定 理；垂直于平面的传递性(a b,a _ L a =b _ L a )；面面平行的性质(a _ L a ,a B=a _ L B);面面垂直的性质.(2)证明线面垂直的关键是证明线线垂直.口 角度二直线与平面垂直性质的应用 O 如图所示,正方体ABCD-ABCD中,EF与 异 面 直 线AC,A.D都垂直相交.求证:EFBDi.证 明：如图所示,连接 AB BD,B.C,BD.因 为DD 平 面ABCD,ACu平 面ABCD,所 以DD-AC.又 ACBD,DD,A BD=D,DDc平面 BDDB,BDu平面 BDDB,所以 AC_ L平面BDDB.又 BDc平面 BDDi Bi,所以 ACBD,.同 理 可 证BDB C又Bi CG AC=C,BCu平 面ABC ACu平 面ABC所以BD 平面ABC因为 EFLAC,EFA1D,又 Ai DBC 所以 EF_ LBC又 ACnB,C=C,ACu平面 ABC,BCu平面 AB,C,所以 EF_ L平面 AB.C,所以EFBD.;解 题策略I1 .判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想,证明线线垂直则需借助线面垂直的性质.2 .在解题中要重视平面几何的知识,特别是正余弦定理及勾股定理的应用.针对训练1.如图所示,在直三棱柱ABC-ABG 中，AB=AC=AA尸 3,BC=2,D 是 BC的中点,F 是 C G 上一点.当CF=2 时，证明:BF_ L平面ADF.证明：因为AB=AC,D 是 BC的中点，所以ADLBC.在直三棱柱ABC-AEG 中，因为BB 底面ABC,ADu底面ABC,所以 AD_ LBB.因为 BC G BiB=B,BC,BJBu平面 B,BCCb所以AD_L平面BiBCG.因为B F u平面BiBCG,所以ADLBF.法一 在矩形BiBCG中，因为 CF=CD=1,B=CF=2,所以 RtADCFRtAFC.Bu所以 NCFD=NCBF,所以 NBFD=90,所以 BF_LFD.因为 AD n FD=D,AD,FDu平面 ADF,所以BF_L平面ADF.法二 在 RtABiBD 中,BD=CD=1,BB1=3,所以 B,D=JB D2+BBl=V16.在 R tZiB CF 中，BC=2,CF=1,所以 B F=J/出+C F 2 M.在 RtaDCF 中，CF=2,CD=1,所以 DF=VCD2+CF2=V5.显然 DF，BF=BF,所以 NBFD=90,所以 BF_LFD.因为 AD n FD=D,AD,FDu平面 ADF,所以BF_ L平面ADF.2.如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD是矩形,AB_ L平面P AD,AD=AP,E是 P D的中点,M,N分别在AB,P C上,且M N AB,M N J _ P C.证明：AEM N.证明：因为AB J _ 平面P AD,AEu平面P AD,所以 AE_ LAB,又 AB CD,所以 AE_ LCD.因为AD=AP,E是 P D的中点,所以 AE_ LP D.又 CD n P D=D,CD,P Du平面 P CD,所以AE_ L平面P CD.因为 M N _ L AB,AB CD,所以 M N _ LCD.又因为 M N _ LP C,P C A CD=C,P C,CDu平面 P CD,所以M N _ L平面P CD,所以AEM N.感 考点二平面与平面垂直的判定与性质口 角 度-平面与平面垂直的判定及应用(2 0 2 1 四川雅安模拟)如图，菱形ABCD与正三角形BCE的边长均为2,它们所在的平面互相垂直,FD_ L平面ABCD.求证:平面ACF,平面BDF;(2)若N CBA=60 ,求三棱锥E-BCF的体积.证明：在菱形ABCD中,AC_ LBD,因为FD_ L平面ABCD,ACu平面ABCD,所以FDLAC.又因为 BDAFD=D,BD,FDu平面 BDF,所以AC _ L平面BDF.而 ACu平面ACF,所以平面ACF_ L平面BDF.解:取BC的中点0,连接E0,0 D,因为4 BCE为正三角形，所以 E0 _ LBC,因为平面BCE_ L平面ABCD,且交线为BC,所以E0 _ L平面ABCD.因为FDJ _ 平面ABCD,所以EO FD,又EO u平面BCE,FDC平面BCE,所以FD平面BCE,所 以 VE-BCF=VF-BCE=VD-BCE=VEBCD因为 S 的 W 2 X 2 X s i n 1 2 0 =V X E Og所以VE-BCF=g S zi BCD,EO=X V 3 X V 3=l.卜解 题 策 略 I面面垂直判定的两种方法与一个转化两种方法:面面垂直的定义.面面垂直的判定定理(a B,a u a n a J _ B).(2)一个转化:在已知两个平面垂直时，一般要用性质定理进行转化.在一个平面内作交线的垂线,转化为线面垂直,然后进一步转化为线线垂直.口角度二平面与平面垂直的性质及应用do在矩形ABCD中,AB=2 AD=4,E 是AB的中点,沿DE将4 ADE折起,得到如图所示的四棱锥P-BCDE.(1)若平面P DEJ _ 平面BCDE,求四棱锥P-BCDE的体积；(2)若 P B=P C,求证：平面P DEL平面BCDE.解:E B如图所示,取DE的中点M,连接P M,由题意知，P D=P E,所以P M LDE.又平面P DE_ L平面BCDE,平面P DEG平 面BCDE=DE,P M u平面P DE,所以P M _ L平面BCDE,即P M为四棱锥P-BCDE的高.在等腰直角三角形P DE中，P E=P D=AD=2,所以 P M=|DE=V 2,而直角梯形BCDE的面积为1 1S=i(BE+CD)BC=i x(2+4)X 2=6,所以四棱锥P-BCDE的体积为V=|P M S=i xV 2 X 6=2 V 2.证明：取B C的中点N,连接 P N,M N,则 BCM N,因为P B=P C,所以BCLP N,因为 M N CP N=N,M N,P N u平面 P M N,所以BC_ L平面P M N,因为P M u平面P M N,所以BCLP M,由知,P M _ LDE,又BC,DEu平面BCDE,且B C与DE是相交的，所以P M _ L平面BCDE,因为P M u平面P DE,所以平面P DE_ L平面BCDE.:邂 题 策 喳1 .两平面垂直的性质定理是把面面垂直转化为线面垂直的依据,运用时要注意“平面内的直线”.2.两个相交平面同时垂直于第三个平面,它们的交线也垂直于第三个平面.针对训练如图,在三棱锥V-A B C中，平面VA B _L 平面A B C,4 VA B 为等边三角形,A CB C,且 A C=B C=V2,0,M 分别为 A B,VA 的中点.求证:平面M 0CJ _平面VA B;(2)求三棱锥B-VA C的高.(1)证明：因为A C=B C,0 为 A B 的中点，所以 0C_L A B.因为平面VA B _L 平面A B C,平面VA B G平面A B C=A B,OCu 平面A B C,所以0(2_1平面VA B.因为OCu 平面M OC,所以平面M OC_L 平面VA B.(2)解:在等腰直角三角形A CB A C=B C=V2,所以 A B=2,OC=1,所以等边三角形VA B 的面积为S A VA B=1x 22Xs in 6 0 =V3,又因为0C,平面VA B,OM u 平面VA B,所以OCL OM,A M C 中,A M=1,A C=V2,M C=V2,所 以 SAAMC=X I X 二，2 2 4所以 S 2XVA C=2S/UWC=，设三棱锥B-VA C的高为h,由三棱锥B-VA C的体积与三棱锥C-VA B 的体积相等,h-S A VA B 0C,所以11=窄2212即三棱锥B _VA C的高为蜉.2.如图,在四棱锥S-A B CD中，四边形A B CD是边长为2 的菱形，ZA B C=6 0,A S A D为正三角形.侧面S A D,底面A B CD,E,F 分别为棱A D,S B 的中点.(1)求证:A F平面S EC;求证:平面A S B,平面CS B;在棱S B 上是否存在一点M,使得B D_L 平面M A C?若存在,求翳的值若不存在,请说明理由.(1)证明：取 S C的中点G,连接FG,EG,因为F,G分别是S B,S C的中点，所以 FGB C,FG=|B C,因为四边形A B CD是菱形,E 是A D的中点，所以 A E/7 B C,A E=|B C,所以 FGA E,FG=A E,所以四边形A FGE是平行四边形，所以A FEG,又A FQ平面S EC,EGu 平面S EC,所以A F平面S EC.证明：因为4 S A D是正三角形,E 是A D的中点,所以 S E_L A D,因为四边形A B CD是菱形，N A B C=6 0,所以4 A CD是正三角形.又 E 是A D的中点，所以 A D_L CE.又 S E n CE=E,S E,CEu 平面 S EC,所以A D，平面S EC.又 EGu 平面S EC,所以A DL EG.又四边形A FGE是平行四边形,所以四边形A FGE是矩形，所以A FL FG.又 S A=A B,F是 S B 的中点,所以A FL S B.又 FG n S B=F,FG,S B u 平面 CS B,所以A FL 平面CS B.又A Fu 平面A S B,所以平面A S B _L 平面CS B.解:假设在棱S B 上存在点M,使得B D_L 平面M A C.连接 M O,B E,则 B DOM,因为四边形A B CD是边长为2 的菱形，ZA B C=6 0,A S A D为正三角形,所以 B E=V7,S E=V3,B D=20B=2V3,S D=2,S EA D,因为侧面S A D_L 底面A B CD,侧面 S A D n 底面 A B CD=A D,S Eu 平面 S A D,所以S E_L 平面A B CD,B Eu 平面A B CD,所以 S E_L B E,所以 S B=VS E2+B E2=V10,所以 c o s ZS B D=SB2+BD2-SD2 3V302SB-BD 20又在 RtABMO,cosZSBD=,BM 20所以B M=，所以詈|.3DS 3即在棱SB上存在一点M,使得BD_L平面MAC,此时解=；.DS 3圜 考点三求空间角的大小口 角度一直线与平面所成的角如图，已知三棱柱ABC-ABG,平面AiACC 平面ABC,ZABC=90,ZBAC=30,A1A=A1C=AC,E,F 分别是 AC,AB 的中点.证明:EF_LBC;求直线EF与平面A,BC所成角的余弦值.证明：连接AE,因为AA=AC,E是AC的中点,所以 AE_LAC.又平面AACG_L平面ABC,AiEu平面 AACG,平面A A C G n 平面A B C=A C,所以A E_L 平面A B C,又 B Cu 平面A B C,则 A E_L B C.又因为 A FA B,N A B C=9 0,所以 B C_L A F.又 A,E A A F=A i,A E,A Fu 平面 A EF,所以B C,平面A,EF,又 EFu 平面A.EF,因 止 匕 EFL B C.解:取B C的中点G,连接EG,GF,则四边形EGFA i是平行四边形.由于 A E_L 平面 A B C,EGu 平面 A B C,故 AtEEG,所以平行四边形EGFA i为矩形.由（1）得 B C_L 平面EGFAb B Cu 平面A.B C,则平面A C_L 平面EGFAb所以EF在平面A,B C上的射影在直线A,G上.连接A,G交 EF于点0,则ZE0G是直线EF与平面A,B C所成的角（或其补角）.不妨设 A C=4,贝！J 在 R t A A G 中，A,E=2V3,EG=V3.由于0 为AG 的中点,故E0=0G岑所匚 匚 以l、l c o s/ZE0G=E-O-2-+-O-G-2-E-G-2-3,2EO-OG 5因此,直线EF与平面A,B C所成角的余弦值是|.，解题策略I求直线与平面所成角的一般步骤（1）寻找过斜线上一点与平面垂直的直线.连接垂足和斜足得到斜线在平面上的射影,斜线与其射影所成的锐角或直角即为所求的角.(3)把该角归结在某个三角形中,通过解三角形,求出该角.口角度二二面角如图，几何体是圆柱的一部分,它是由矩形A B CD(及其内部)以边A B 所在直线为旋转轴旋转120。得到的,G 是5?的中点.(1)设 P 是徐上一点，且 A P_L B E,求N CB P的大小；(2)当A B=3,A D=2时，求二面角E-A G-C的大小.解：因为 A PJ _B E,A B 1B E,A B,A Pu 平面 A B P,A B A A P=A,所以B E J _平面A B P,又 B Pu 平面A B P,所以B EL B P,又N EB C=120,因此N CB P=3 0.如图，取金的中点H,连接EH,GH,CH.因为NEBC=120,所以四边形BEHC为菱形，所以 AE=GE=AC=GC=V32+22=V13.取 AG的中点M,连接EM,CM,EC,贝!J EM_LAG,CMAG,所以NEMC为所求二面角的平面角.又 AM=1,所以 EM=CM=V13Z1=2V3.在4BEC中，由于NEB中120,由余弦定理得EC2=22+2-2 X 2 X 2 X COS 120=12,所以 EC=2V3,因此AEMC为等边三角形，故所求的二面角为60.:邂题策喳1.清楚二面角的平面角的大小与顶点在棱上的位置无关,通常可根据需要选择特殊点作平面角的顶点.2.求二面角的大小的方法：一作：即先作出二面角的平面角；二证：即说明所作角是二面角的平面角；三求：即利用二面角的平面角所在的三角形算出角的三角函数值，其中关 键 是“作”.针对训练1.三棱锥S-A BC的所有棱长都相等,且为a,求 S A 与底面A BC所成角的余弦值.解:如图，过 S 作 S OJ _ 平面A BC于点0,连接A O,BO,C0.则 S OA O,S OBO,S OCO.因为 S A=S B=S C=a,所以 a S OA 0 Zi S OB 之$()(；,所以 A O=BO=CO,所以0 为A A BC的外心.因为A A BC为正三角形，所以。为A BC的中心.因为S O _ L 平面A BC,所以N S A 0即为S A 与底面A BC所成的角.在 R t A S A O 中，S A=a,A 0=|Xy a=y a,所以 cos ZS A 0=S 4=3,所以S A 与底面A BC所成角的余弦值为当2.如图，在五面体 A BCD E F 中，FA J _ 平面 A BCD,A D BCFE,A BA D,M 为E C 的中点,AF=A B=BC=FE=1A D.证明：平面A M D J _ 平面CD E;(2)求二面角A-CD-E 的余弦值.证明：如图，取 A D 的中点P,连接E P,PC,则 FE=A P,因为FE&A P,所以四边形FA PE 是平行四边形，所以 FA a E P,同理,A BJLP C.又因为FA,平面A BCD,所以E PL 平面A BCD,而 PC,A D 都在平面A BCD 内，所以 E P_ L PC,E PA D.由 A BA D,可得 PCA D,设 FA=a,则 E P=PC=PD=a,CD=D E=E C=VI a.所以4E CD 为正三角形.因为M为 CE 的中点，所以D M L CE.连接 M P,则 M PCE,M P A M D=M,而 M P,M D 在平面A M D 内，所以CE _ L 平面A M D,而 CE u 平面CD E,所以平面A M D _ L 平面CD E.解:取Q 为 CD 的中点,连接PQ,E Q,因为CE=D E,所以E QL CD.因为PC=PD,所以PQL CD.所以N E QP为二面角A-CD-E 的平面角.由（1）可得,E PPQ,E Q#a,PQ=y a,于是在R t A E PQ中,cos N E QP嚼 当所以二面角A-CD-E 的余弦值为J 备选例题C1D在三棱柱A BC-A BG中,A B L A C,B J _ 平面A BC,E,F分别是A C,B C 的中点.求证:E F平面A BC;(2)求证:平面A B _ L 平面A BB,.证明:(1)因为E,F 分别是A C,Bi C的中点，所以 E FA Bi.又E FQ平面A B,A BC平面A B,所以E F平面A BC.(2)因为BC_ L 平面A BC,A Bu 平面A BC,所以 BC_ L A B.又 A B_ L A C,BCu 平面 A BC,A Cu 平面 A BCBCGA C=C,所以A B,平面A BC又因为A Bu 平面A BBi,所以平面A BC，平面A BB1.C D如图是一个水平放置的正三棱柱A BC-A BG,D 是棱BC的中点,正三棱柱的正视图如图.(1)求正三棱柱A BC-AB C 的体积；证明：A B 平面A D G;(3)题图中垂直于平面BCCE 的平面有哪几个？(直接写出符合要求的平面即可，不必说明或证明)解:依题意,在正三棱柱中,A D=V3,AAL3,所以A B=2,又A A 平面A BC,所以正三棱柱的体积为V=S h=1 x 2 XV3 X3=3 V3.证明：连接AC设A,C A A C,=E,连接D E.因为AICICA是正三棱柱的侧面,所以四边形A C C A为矩形，所以E是AC的中点，所以D E是A CA i B的中位线，所以D E A】B.又A BC平面A D G,D E u平面A D Cb所以A 3平面A D G.(3)解:题图中垂直于平面B C C E的平面有三个,分别为平面A BC,平面A B C,平面A GD.C B D在四棱锥P-A BCD中，侧面PA D是正三角形,且与底面A BCD垂直,底面A BCD是边长为2的菱形，N BA D=60,N是P B的中点，过A,D,N三点的平面交PC于M,E为A D的中点.求证:E N平面PD C;(2)BC_ L平面 PE B;(3)平面 PBCJ _ 平面 A D M N.证明:(1)因为A D BC,BCu 平面PBC,A D 4平面PBC,所以A D 平面PBC.又因为平面A D M N G平面PBC=M N,所以 A D/7 M N.又因为BCA D,所以M N BC.又因为N是 PB的中点，所以M 为 PC的中点.所以 M N BC 且 M N=BC.又因为E 为 A D 的中点，所以 M N D E,且 M N=D E,所以四边形D E N M 为平行四边形，所以E N D M,且 D M u 平面PD C,E N Q平面PD C,所以E N 平面PD C.因为四边形A BCD 是边长为2的菱形，且 N BA D=60,所以 BE _ L A D.又因为侧面PA D 是正三角形,且E 为A D 的中点，所以 PE _ L A D,又因为 PE A BE=E,PE u 平面 PE B,BE u 平面 PE B,所以A D _ L 平面PE B.又因为A D BC,所以B C,平面PE B.由 知A D _ L平面PE B,又PBu平面PE B,所以A D L PB.又因为PA=A B,N为P B的中点，所以A N L PB.且 A N C A D=A,A N u平面 A D M N,A D u平面 A D M N,所以P B,平面A D M N.又因为PBu平面PBC,所以平面PBC_ L平面A D M N.（例4）如图,A B是0 0的直径,PA垂直于0 0所在的平面,C是圆周上一点,且PA=A C,求二面角P-BC-A的大小.解：由已知PA _ L平面A BC,BCu平面A BC,所以PA L BC.因为A B是0 0的直径,且点C在圆周上，所以A CL BC.又因为 PA A A C=A,PA,A Cu平面 PA C,所以BC_ L平面PA C.又P C u平面PA C,所以 PC_ L BC.又因为B C是二面角P-BC-A的棱，所以N P C A是二面角P-BC-A的平面角.由PA=A C知AP AC是等腰直角三角形，所以 N PCA=45,即二面角P-BC-A的大小是45.课时作业阚 选 题 明细表灵活方医密致提褪知识点、方法基础巩固练综合运用练应用创新练直线与平面垂直的判定与性质1,4,91 2平面与平面垂直的判定与性质5求空间角的大小3,7,8综合问题2,61 0,1 1,1 3,1 4,15,1 61 7,1 8A级基础巩固练1.（2 02 1 河北沧州联考）如图所示，已知六棱锥P-A BCD E F的底面是正六边形,P A,平面A BC.则下列结论不正确的是（D ）A.CD 平面 PA FB.D F，平面 PA FC.CF 平面 PA BD.CF，平面 PA D解析:A 中，因为CD A F,A Fu 平面PA F,CD。平面PA F,所以CD 平面PA F成立；B 中，因为六边形A BCD E F为正六边形,所以D FA F.又因为PA _ L 平面A BCD E F,D Fu 平面 A BCD E F,所以 PA _ L D F,又 PA A A F=A,PA u 平面 PA F,A Fu 平面PA F,所以D F,平面PA F成立；C 中，CFA B,A Bu 平面 PA B,CFQ平面 PA B,所以CF平面PA B;而 D中，CF与A D 不垂直.故选D.2.（2 02 1 江西南昌模拟）如图，在四面体A BCD 中，已知A BA C,BD A C,那么点D 在平面A B C 内的射影H 必在（A ）A.直线A B 上 B.直线B C 上C.直线A C 上 D.A A B C 内部解析：由 A B _LA C,B D A C,又 A B G B D=B,A B u 平面 A B D,B D u 平面 A B D,则A C _L平面A B D,而 A C u 平面A B C,则平面A B C _L平面A B D,因此点D 在平面A B C 内的射影H 必在平面A B C 与平面A B D 的交线A B上.故选A.3 .已知三棱柱A B C _A B G的侧棱与底面垂直，体积为，底面是边长为遍的正三角形,若P 为底面ABG 的中心,则PA 与平面A B C 所成角的大小为（B ）A.史 B：12 3C.-D.-4 6解析:如图,取正三角形A B C 的中心0,连接0 P,则N PA 0 是 PA 与平面A B C 所成的角.因为底面边长为6，所以 A D=V3 XA 0=1 A D=1 x=l.三棱柱的体积为3 3 2 4 X（V3）2 A4A，4 解得 A A,=V3,即 0 P=A A,=V3,所以 t an ZPA 0=V3,AO因为直线与平面所成角的取值范围是 0,热，所以N PA 0=全故选B.4.（2 0 2 1 山东烟台月考）如图，在正方形A B C D 中,E,F 分别是B C,C D的中点,G 是E F 的中点，现在沿A E,A F 及E F 把这个正方形折成一个空间图形，使 B,C,D三点重合,重合后的点记为H,则在这个空间图形中必有（B ）A.A G，平面E F H B.A H，平面 E F HC.HF，平面 A E F D.HG，平面 A E F解析:根据折叠前、后 A HHE,A HHF 不变，且HE n HF=H,HE,HF u 平面E F H,得 A H,平面E F H,所以B正确；因为过点A只有一条直线与平面E F H垂直,所以A 不正确；由题知 A GE F,又 E F A H,A GA A H=A,A G,A Hu 平面 HA G,所以E F _L平面HA G,又 E F u 平面A E F,所以平面HA G_L平面A E F,若过点H 作直线垂直于平面A E F,则直线一定在平面HA G内，所以C 不正确；因为HG不垂直于A G,所以HG_L平面A E F 不正确，所以D 不正确.故选B.5.（多选题）（2 0 2 1 山东济宁模拟）已知5 m表示两条不同的直线,a,B表示两个不同的平面，1 _L a,m u B ,则下面四个命题中正确的是（A C ）人.若&B,则 l，m B.若 a则 l mC.若 l m,贝 I a _L B D.若 l m,贝！J a B解析：因为1，a,a B ,根据面面平行的性质知1 _L B ,又m u B,则l _Lm,故A正确；若 a，B ,1 _L a,则 1 可能在B内或与B 平行，则 1 可能与m 相交、平行或异面，故B 错误；由 l m,1 _L a 可推出m _L a，又m u B ,根据面面垂直的判定定理可知a故 C 正确；若 Q ,B的交线为m,则 l _Lm,推不出a B，故D 错误.故选A C.6.（多选题）如图,PA 垂直于以A B 为直径的圆所在的平面，点C 是圆周上异于A,B 的任一点，则下列结论中正确的是（A D ）A.PC B CB.A C,平面 PB CC.平面PA B _L平面PB CD.平面PA C _L平面PB C解析：由题意,B C A C,若 A C _L平面PB C,可得A C PC,与 A C PA 矛盾,故B 错误；B C A C,又 PA _L底面 A B C,所以 PA B C,A C A PA=A,A C,PA u 平面 PA C,则B C,平面PA C,又 PC u 平面PA C,则 B C PC,又B C u 平面PB C,所以平面PA C _L平面PB C,故 AD正确;因为B C _L平面PA C,所以N PC A 为平面PA B 与平面PB C 所成角的平面角，又N PC A 为锐角，所以平面PA B 与平面PB C 不垂直,故C 错误.故选A D.7.若P是AABC所在平面外一点，而APBC和AABC都是边长为2的正三角形,PA=V,那么二面角P-BC-A的大小为.解析:取BC的中点0,连接0A,0P（图略），则NP0A为二面角P-BC-A的平面角,0P=0A=V3,PA=V6,所以aPOA为直角三角形，ZP0A=90.答案:908.如图，在长方体ABCD_AiBD中，AB=AD=26,CC尸也则二面角C.-BD-C的大小为.解析:如图，取BD的中点0,连接0C,03,因为 AB=AD=2V3,所以 COLBD,C0=V6.因为CD=BC,所以CD=GB,所以 CQ_LBD,所以NCQC为二面角C,-BD_C的平面角.tan/G0C=鬻 喘 岑所以NCQC=30,即二面角C.B D _C 的大小为3 0 .答案:3 0。9.如图所示，在四棱锥P-A B C D 中,PA _L底 面 A B C D,A B A D,A C C D,N A B C=6 0 ,PA=A B=B C,E 是 PC 的中点，求证:(1)C D A E;(2)PD _L 平面 A B E.证明:(1)因为PA J L底面A B C D,C D u 底面A B C D,所以C D 1 PA.又 C D A C,PA G A C=A,PA u 平面 PA C,A C u 平面 PA C,故 C D _L平面PA C,又A E u 平面PA C,故 C D A E.(2)因为 PA=A B=B C,N A B C=6 0 ,所以PA=A C.因为E 是 PC 的中点，所以A E LPC.由(1)知 C D _LA E,由于 PC A C D=C,PC u 平面 PC D,C D u 平面 PC D,从而A E L平面PC D,又 PD u 平面PC D,故 A E _LPD.易知 B A PD,A E A B A=A,A E u 平面 A B E,B A u 平面 A B E,故 PD _L平面A B E.B 级综合运用练1 0.如图所示,在四边形A B C D 中,A B=A D=C D=1,B D=V2,B D 1 C D.将四边形 A B C D 沿对角线B D 折成四面体A -B C D,使平面A B D,平面B C D,则下列结论中正确的个数是（B ）A C _LB D;N B A，C=9 0 ;C A，与平面A B D 所成的角为3 0 四面体A B C D 的体积为去A.0 B.1 C.2 D.3解析：因为 A B=A D=C D=1,B D=V2,所以 A B _L A D,因为平面A B D J _平面B C D,B D _LC D,平面A B D A 平面B C D=B D,所以C D _L平面A B D,取 B D 的中点0,连接0 A ,0 C（图略）,因为 A B=A D,所以A OB D.又平面A B D _L平面B C D,平面A B D G平面B C D=B D,A Ou 平面 A B D,所以A 0 J _平面B C D.又因为B D C D,所以OC 不垂直于B D.假设A C _LB D,因为OC 为A C 在平面B C D 内的射影，所以OC LB D,矛盾，故错误；因为C D LB D,平面A B D,平面B C D,且平面A B D G平面B C D=B D,所以C D _L平面A，B D,又A B u 平面A B D,所以 C D