人教版导与练总复习数学一轮教师用书：第七章第6节第一课时　证明平行和垂直.pdf

第 6 节 立体几何中的向量方法课程标准要求1.理解直线的方向向量及平面的法向量.2.能用向量语言表述线线、线面、面面的平行和垂直关系.3.能用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理（包括三垂线定理）.4.能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用.必备知识课前回顾 馆 激 材夯实四基脸知识梳理1.方向向量与空间位置关系直线的方向向量直线的方向向量是指和这条直线平行（或在这条直线上）的有向线段所表示的向量,一条直线的方向向量有无数个.平面的法向量直 线 1，平面a,取直线1 的方向向量,则这个向量叫做平面a 的法向量.显然一个平面的法向量有无数个,它们是共线向量.空间位置关系的向量表示位置关系向量表示直 线 L,b 的方向向量分别为nb n2L/Lrhri2=ni=入窕（入 R）2.两条异面直线所成角的求法l.1l2rii_Ln20nl,n2=0直线1的方向向量为n,平面a的法向量为m1 an_Lm=n m=01 an m=n=入 m （入 GR）平面a,B的法1可里分力U为n,ma/Bn m=n=入m（入 R）a Bn_Lm=n m=0设a,b分别是两异面直线L,卜的方向向量,则L与1 2所成的角。a与b的夹角B范围(0,工（0,兀）求法c o s 9 册a bO a bC O S P.a b3.直线与平面所成角的求法设直线1的方向向量为a,平面a的法向量为n,直线1与平面a所成的角为。，a与n的夹角为B,则sin O=|cos B|=巴.an4.求二面角的大小如图,AB,CD分别是二面角a-1-B的两个半平面内与棱1垂直T T的直线,则二面角的大小9=.如图,nb 分别是二面角a-1-B的两个半平面a,B的法向量，则二面角的大小。满足|cos 9|=|cosm,n2|,二面角的平面角大小是向量m与n2的夹角(或其补角).5.空间中的距离 利用|4B|2=4B 4B可以求空间中有向线段AB的长度.(2)空间点面之间的距离已知AB为平面a的一条斜线段,n为平面a的法向量,则点B到平面Ta的距离为|应|=必土.帚点自财1.已知向量m,n分别是直线1和平面a的方向向量和法向量，若cosm,n=,则1与a所成的角为(A )A.30 B.60 C.120 D.150解析：由于 cos=-1,所以=120,所以直线1与a所成的角为30.故选A.2.已知两平面的法向量分别为m=(0,l,0),n=(0,1,1),则两平面所成的二面角为(C)。工或三五9.2或2h解析：因为 m=(0,1,0),n=(0,1,1),所以 m n=l,|m|=l,|n|=V 2,所以 c o s-m n=,m n 2所以=：,所以两平面所成的二面角为:或：贰.故选C.3 .在正三棱柱A B C-A B G 中,A B=A Ab则A C,与平面B B,C,C 所成角的正弦值为(C )A V2 D 瓜 n V6A.D.C.D.2 5 4 3解析：建立如图所示的空间直角坐标系，设A B=2,则 G (疯 1,0),A (0,0,2),ACt=(V 3,1,-2),平面 B B C C 的一个法向量为 n=(1,0,0).所以A C i 与平面B B i C i C 所成角的正弦值为A C n I V3 V6ACi I I n|痈 4.故选C.4 .已知直三棱柱 A B C-A B C 中，Z A B C=1 2 0 ,A B=2,B C=C G=1,则异面直线A B 1 与B G 所成角的余弦值为(C )A.V3 DD.-V-1-5-C.V-i-o-nD.V一32 5 5 3解析:在平面A B C 内过点B 作 A B 的垂线，以B 为原点，以该垂线,B A,B B i 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系B xyz,则 A(0,2,0),B K 0,0,l),C(y,0),C 痔,弓 1),通=(0,-2,1),BC=(-y,-p 1),c o s T T T3.已知4 3=(1,5,-2),BC=(3,1,z),ABLBC,BP=(x-1,y,-3),且B P,平面A B C,则实数x,y,z 分别为(B )A 33 15 4 n 40 15 dA 亍 丁，4 B 亍 丁,4C.y,-2,4 D.4,y,-1 5解析:因为n _ L 品，所以4BBC=O,即 3+5-2 z=0,得 z=4,又B P _ L 平面A B C,所以 B P L A B,B P B C,又因为谎=(3,1,4),乐|、/(久一 1)+5y +6 =0,所以卜(k 1)+y-12=0,(40冗=-故选B-,=丁*题后悟通1 .直线的方向向量的确定:若1 是空间的一条直线,A,B 是 1 上任意两点，则G 及与几平行的非零向量均为直线1 的方向向量.2 .平面的法向量的确定:设a,b 是平面a 内两个不共线向量,n 为平面a 的一个法向量,则可用方程组:二 求 出 平 面 a 的一个法向量n.康 考点二利用向量证明平行问题（2 02 1 河北石家庄高三一检）如图，四棱锥P-A B C D 中,P A J _ 底面A B C D,底面 A B C D 为梯形,A D/7 B C,C D B C,A D=2,A B=B C=3,P A=4,M 为 A D 的中点,N为 P C 上的点，且 P C=3P N.求证:M N 平面P A B.证明：法一（向量法）在平面A B C D 内作A E C D 交B C 于点E,则A E A D.分别以A E,A D,A P 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，X则P (0,0,4),M(0,1,0),C (2 V 2,2,0),N (季 篝),B (2 版-1,0),A (0,0,0),而吟，-逐AP=(G,0,4),AB=(2 鱼,-1,0).T T设MN=m4B+n4P(m,n R),所以1)=m&遮，T，)+n(0,0,4),所以 m，n=1,所以M N,4B,4P共面.T所以MN 平面P A B.又M N Q 平面P A B,所以M N 平面P A B.法二(法向量)建系写点坐标如法一.设m=(x,y,z)为平面P A B 的法向量，则由mAP,m 4B,得幻岳二y10所以 1 y=1 v ix 取 x=L 贝1J m=(l,2&,0).得/Nm 弩*1-3*2 扬 阪 0=0,T所以mMN,所以MN平面P A B.又M N Q 平面P A B,所以M N平面P A B.T 1 T法三(基 底 法)设由题知兄=3还，MN=AN-AM=AP+PN BFT 1 T 1 TAPPC-BC3 3T 1T T=AP-；(CPCB)T 1 TAP-BP3=AP-(APAB)2 T 1 T=-AP+-AB,3 3)所以MN,AP,4B三向量共面，所以MN平面P A B.又M N C平 面P A B,所以M N平面P A B.:邂 题 策 喳用向量方法证明空间中的平行关系线线平行:证明两直线的方向向量平行.(2)线面平行:一是证明直线的方向向量与平面的法向量垂直;二是在平面内找一向量与直线的方向向量共线;三是证明直线的方向向量可以利用平面中的两不共线向量线性表示.面面平行:一是证明两个平面的法向量平行；二是转化为线面平行、线线平行问题.针对训练1 .在正方体A B C D-A B C D 中,A Q的中点为E,B D 的中点为F,证明:C D iE F.证明:如图所示,建立空间直角坐标系D x y z,设 A B=1,则 C(0,1,O),D(O,0,1),所以。芯 1=(0,-1,1),又因为 4(1,0,l),D(0,0,0),所以 E$0,1),又 F$p 0),所以d=(0,V 所以 CO1=-2EF,所以占1 6，又因为a E F,故 C D E F.2 .在长方体 A B C D-A B C D 中,D A=2,D C=3,D D,=4,M,N,E,F 分别是棱A D,A B,D C,B C 的中点.求证:平面A M N 平面E F B D.证明：法一建立如图所示的空间直角坐标系,分别取M N,D B及E F的中点R,T,S,连接A R,S T,则A(2,0,0),M(l,0,4),N(2,|,4),D(0,0,0),B(2,3,0),E(0,|,4),F(l,3,4),R(*p 4),2 4S(i I 4)，T(1，*)，所以MN=(1,*0),F=(l,1,0),/=(9,*4),6=J ,*4).T T所以MN=EF,AR=TS,又M N与E F,A R与T S不共线,所以 M N E F,A R T S,又 M N。平面 E F B D,E F u平面 E F B D,A R C平面 E F B D,T S u平面 E F B D,所以M N平面E F B D,A R 平面E F B D,又M N u平面A M N,A R u平面A M N,M N P A R=R,所以平面A M N平面E F B D.法 二 建系同法一，由法一可知,A(2,0,0),M(l,0,4),N(2,1,4),D(0,0,0),则4M=(T,0,4),4N=(0,I，4),DE=(0,4),设平面A M N,平面E F B D 的法向量分别为n i=(x i,yb Z i),n2=(x2,y2,z2),TT则 叫 I=0,(nj AN=0,(一%i 4-4zi=0,即1|y i +4zi=o,取 X 1=1,得 Z i=i,y i=-1,4 3所以 D i=(l,；).3 4-r 3则2 DE=0,即-y2+4z2=0,(n2 DF=0,tx2 4-3y2 +4z2=0,取 y 2=T,得 Z 2。x2=1,o Z所以 n2=(|,_1,所以 n i=n2,即 r h n 2,所以平面A M N 平面E F B D.旗考点三利用向量证明垂直问题E(0,1,4),F(1,3,4),林 二(1,3,4).C1D如图，在四棱锥P-A B C D 中，底面A B C D 是边长为a 的正方形，侧面P A D，底面A B C D,且 P A=P D=y A D,设E,F 分别为P C,B D 的中点.求证：E F 平面P A D;平面P A B,平面P D C.证明：(1)如图，取 A D 的中点0,连接O P,0F.因为P A=P D,所以 P O _ L A D.因为侧面P A D _ L 底面A B C D,侧面P A D n底面A B C D=A D,P O u 侧面 P A D,所以P O _ L 平面A B C D.又 0,F 分别为A D,B D 的中点,所以O F A B.又四边形A B C D 是正方形，所以O F L A D.因为 P A=P D=y A D,所以 P A P D,O P=O A 音.以0 为原点,O A,O F,O P 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则 A G，0,0),F(0,M 0),D(g 0,0),P(0,0,B 与 a,0),C(9,a,0).因为E为 P C 的中点,所以E(,三个4 2 4 易知平面P A D 的一个法向量为0 尸=(0,p 0),则d=(：,0,-：)，且0 尸 E尸=(0,2,0)(之0,-2)=0,所以。尸 JLEF,2 4 4又因为E F Q 平面P A D,所以E F 平面P A D.由 得 易=(p 0,-e，CD=(0,-a,0),-所以PA-CD弋,0,泉(0,-a,0)=0,T 所以 PA_LCD,所以P A L C D.又 P A P D,P D n C D=D,P D,C D u 平面 P D C,所以P A L 平面P D C.又 P A u 平面P A B,所以平面P A B _ L 平面P D C.二解题策喳利用空间向量证明空间中垂直关系的一般步骤(1)建立空间直角坐标系，建系时要尽可能地利用条件中的垂直关系.建立空间图形与空间向量之间的关系，用空间向量表示出问题中所涉及的点、直线、平面的要素.通过空间向量的运算求出直线的方向向量或平面的法向量,再研究垂直关系.(4)根据运算结果解释相关问题.针对训练1.如图所示,在四棱锥P-A B C D中，底面A B C D是正方形，侧棱PDJ _ 底面A B C D,PD=DC,E 是 PC 的中点，过点E 作 EF 1 PB 于点F.求证：PA 平面EDB;PB J _ 平面EF D.证明：以D 为坐标原点,DA,DC,DP所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系Dxy z.设 DC=a.连接A C 交 B D于点G,连接EG.依题意得 A (a,0,0),P(0,0,a),C (0,a,0),E(0,|,学.因为底面A B C D是正方形，所以G 为A C 的中点，故点G的 坐 标 为 0),所以P4=(a,0,-a),EG=(p 0,勺，则 P4=2EG,故 PA EG.而 EG u 平面EDB,PA Q 平面EDB,所以PA 平面EDB.(2)依题意得B (a,a,0),所以PB=(a,a,-a).又法=(0,器)，t 2 2故PB -DE=0+y-y=0,所以所以PB LDE.由题可知EF LPB,且 EF n DE=E,EF u 平面 EF D,DEu 平面 EF D,所以PB _ L平面EF D.2.如图所示，已知四棱锥P-A B C D的底面是直角梯形，ZA B C=ZB C D=9 0,A B=B C=PB=PC=2 C D,平面 PB C,底面 A B C D.用向量方法证明:(1)PA B D;平面PA D,平面PA B.证明:(1)取 B C 的中点0,连接P0,因为4PB C 为等边三角形，所以PC UB C.因为平面PB C _ L底面A B C D,平面 PB C 0 底面 A B C D=B C,POu 平面 PB C,所以POL底面A B C D.以BC的中点0为坐标原点，以BC所在直线为x轴,过点。与AB平行的直线为y轴,0P所在直线为z轴,建立空间直角坐标系，如图所示.不妨设 CD=1,则 AB=BC=2,P0=V3,所以 A(1,-2,0),B(1,0,0),D(-l,-l,0),P(0,0,V3),所以 80=(-2,-l,0),P 4=(l,-2,-V 3).因为3。-P4=(-2)X l+(-l)X(-2)+0 X(-V3)=0,所以所以 PA_LBD.取PA的中点M,连接DM,则 呜-1,岁.因为向二(|,0,y),P B=(l,0,-V 3),所 以 易 P B=|xi+0 X 0+yX (-73)=0,所以卤If J_扇，即 DM1PB.因为D M P4=Xl+0X(-2)+yX(-V3)=0,所以。漏_LPX即 DM1PA.又因为PAGPB=P,PAu平面PAB,PBu平面 PAB,所以DM_L平面PAB.因为DMu平面PAD,所以平面PAD_L平面PAB.梃 考点四平行与垂直关系中的探索性问题如图,棱柱ABCD-ABCD的所有棱长都等于2,ZABC和NAAC均为6 0，平面 AACJ_平面 ABCD.求证:BD_LAAi；在直线CG上是否存在一点P,使BP平面DA?若存在,求出点P的位置;若不存在,请说明理由.(1)证明：设BD与AC交于点0,则BD1 AC,连接A,0,在aAAQ 中,AAi=2,A0=l,NAA0=60,所以 AQ2=A4：+A()2-2AAi AOcos 60=3,所以 A02+AO=A#,所以 AQJ_A0.由于平面AAC_L平面ABCD,且平面AACCG平面ABCD=AC,AQu平面AACC,所以A Q，平面A B C D.以OB,OC,OA i所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(O,-1,O),B(V3,0,0),C(0,l,0),D(-V3,0,0),A,(0,0,6)，C,(0,2,V3).由于3。=(-2 6,0,0),44i=(0,1,VI),AAi BD=0X(-2 7 3)+1 X0+7 3 X0=0,T 所以即 BDAAL(2)解:假设在直线C G 上存在一点P,使 B P平面DA ,设&=人 占 1(入 R),P(x,y,z),则(x,y-1,z)=人(0,1,V3),从而有 P(0,1+入，6入),B P=(S,1+入，6入).设平面D A C 的法向量为n=(x,y,z),则 n 1 AjCi，n 1 DA1，又A/i 二 (0,2,0),DAi=(V3,0,V3),取 n=(l,0,-1),因为B P平面DA C,则nBP,即 n V3 入=0,得人=T,即点P 在 C.C 的延长线上,且C C=C P.解题策略立体几何开放性问题的求解方法(1)根据题目的已知条件进行综合分析和观察猜想,找出点或线的位置,然后加以证明，得出结论.(2)假设所求的点或线存在,并设定参数表达已知条件,根据题目要求进行求解,若能求出参数的值且符合已知限定的范围，则存在这样的点或线,否则不存在.针对训练已知在四棱锥P-A B C D中,底面A B C D是直角梯形，ZB A D=9 0,2 A B=2 A D=C D,侧面PA D是正三角形且垂直于底面A B C D,E 是PC 的中点.求证:B E_ L平面PC D;在 PB 上是否存在一点F,使A F 平面B DE?若存在,求出点F的位置;若不存在,请说明理由.证明：取A D的中点0,连接0P,因为4PA D是正三角形,所以P01 A D,又平面PA D_ L平面A B C D,平面PA Dn 平面A B C D=A D,POu 平面PA D,所以PO_ L平面A B C D.以0 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系.XByc设A B=A D=2,则有B(l,2,0),C(-l,4,O),D(-1,O,0),P(0,0,6)，E ,2,务所以靛=(-|,0,争，命=(一 1,4,-V3),CD=(0,-4,0).所 以 康 启=(-|,0,乎)(-1,4,-7 3)=0,-CD=(-1,0,(0,-4,0)=0.即 B EPC,B EC D.又 PC C C D=C,PC u 平面 PC D,C Du 平面 PC D,所以B E_ L平面PC D.解:在PB 上存在一点F为PB 的中点，使 A F 平面B DE.理由如下:设平面B DE的法向量为n=(x,y,z),所以n，3 kn J _ 法，所以 n BE=0,n DE=0,(-x +z=0,所 以 1 2、(Jx+2y+*=0,取 y=-l,则 x=l,z=V3,所以平面B DE的一个法向量为n=(l,-l,V3).取 PB 的中点F,则有F(”争.又 A(l,0,0),所以4F=(-1,1，争.因为6n=(一 去 1,苧)(i,-i,V 3)=-1-1+r0)所以A F _ L n.又 n 是平面B DE 的一个法向量,且A F Q平面B DE,所以A F 平面B DE.故存在P B的中点F,使A F平面B DE.2.（2 0 2 1 湖北襄阳模拟）如图，多面体A B CDE F中，DE JL平面A B CD,四边形A B CD是菱形,A B=2,Z B A D=6 0 ,四边形B DE F是正方形.求证:CF平面A E D;在线段E C上是否存在点P,使得A P L平面CE F?若存在,求出蓝的值;若不存在,请说明理由.证明：因为四边形A B CD是菱形，所以B CA D.又B CC平面A DE,A Du平面A DE,所以B C平面A DE,又四边形B DE F是正方形，所以B F DE.因为B F Q平面A DE,DE u平面A DE,所以B F平面A DE,因为B Cu平面B CF,B F u平面B CF,B C A B F=B,所以平面B CF平面A E D,因为CF u平面B CF,所以CF 平面A E D.解:不存在满足题意的点P,理由如下：因为四边形A B CD为菱形，且N B A D=6 0 ,所以a B CD为等边三角形,取B D的中点0,连接C0,所以CO _ L B D,取 E F 的中点G,连接 0 G,则 0 G/7DE,因为DE _ L 平面A B CD,所以0 G,平面A B CD,故可建立如图所示的空间直角坐标系。xy z,则0(0,0,0),A(0,-V 3,0),B(l,0,0),C(0,y3,0),E(-1,0,2),F(l,0,2),所以(1,V 3,2),FE=(-2,0,0),FC=(-1,V 3,-2).设平面CE F 的法向量为n=(x,y,z),则有 n FE=.n ,F C=0,0,得一 2%=0，(-%+V 3 y-2 z =0,取 y=l,则 n=(0,1,y).又访=(1,V 3,-2),族=(T,V 3,2),假设存在点P 满足题意,设E P=、E C(O W 入 W 1),由 A P=入 E C,得2 4 P=(入 -1,V 3 入 +V 3,2-2 人),又平面CE F 的一个法向量为n=(0,1,9，若 A P _ L 平面CE F,则%3!，令/P=u n(u R),f A-l=0,得 8 入+K =出方程组无解，1 2-2 A =/出故在线段E C上不存在点P,使得A P J_ 平面CE F.息 备选例题am如图，在三棱锥P-A B C中，P A J_ 底面A B C,N B A C=9 0 .点D,E,N 分别为棱 P A,P C,B C的中点，M 是线段A D的中点，P A=A C=4,A B=2.求证:M N 平面B DE;(2)已知点H 在棱P A 上,且直线N H 与直线B E 所成角的余弦值为今,求线段A H 的长.解:pB N C y由题意知,A B,AC,AP两两互相垂直,故以A为原点，分别以/B,AC,AP方向为x 轴、y 轴、z 轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系.依题意可得A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,4,0),P(0,0,4),D(0,0,2),E(0,2,2),M(0,0,1),N(1,2,0).(1)证明：DE=(0,2,0),DB=(2,0,-2).设 n=(x,y,z)为平面BDE的法向量，Tm il n DE=0,gnC 2y=0,(ri DB=0,%z z不妨取Z=l,可得n=(l,0,1).又MN=(1,2,-1),可得MN-n=0,所以MN_Ln.因为M N Q 平面BDE,所以M N 平面BDE.解:依题意,设 AH=h(0WhW4),则 H (0,0,h),-进而可得N”=(-1,-2,h),BE=(-2,2,2).T 由已知，得I cos =二NH BEI 2/1-2 I _y7y/h2+5x2y/3 21，整理得 10h2-21h+8=0,解得 h=|或 h=|,所以线段A H 的长为:或今如图,在三棱锥P-A B C中,A B=A C,D 为B C的中点,P O J_ 平面A B C,垂足0落在线段 A D 上.已知 B C=8,P 0=4,A 0=3,0 D=2.证明：A P J_ B C;若点M是线段A P 上一点,且A M=3.试证明：平面A M C_ L 平面B M C.证明：(1)由 A B=A C,D 是 B C 的中点,得 A D1B C,以0 为坐标原点,O D,0 P 所在直线分别为y 轴、z 轴,过点0 作平行于B D的直线为x 轴,建立空间直角坐标系O xy z,如图所示，则 0(0,0,0),A(0,-3,0),B(4,2,0),C(-4,2,0),P(0,0,4).于是4=(0,3,4),品=(-8,0,0),所 以 筋 病=(0,3,4)(-8,0,0)=0,所以4 P J_ B C,即 A P 1B C.由题意知A P=5,又 A M=3,且点M 在线段A P 上，所以4 P=(0,I，葭)，又赢=(-4,-5,0),所 VXBM=BA+AM=(-4,-y,y),T T 1 A 1?则4 P B M=(0,3,4)(-4,-p y)=0,所以肃，即A P B M,又根据 的结论知A P B C,且B M P B C=B,B M u平面B M C,B Cu平面B M C,所以A P _ L 平面B M C,于是A M _ L 平面B M C.又A M u平面A M C,故平面A M C_ L 平面B M C.课时作业一选题明细表灵活方医右致提褪知识点、方法基础巩固练综合运用练应用创新练平面的法向量、直线的方向向量及其应用1,2,3利用向量证明平行问题58利用向量证明垂直问题4,610平行与垂直关系中的探索性问题1216综合问题79,11,13,1415A 级基础巩固练1.直 线 1 的一个方向向量为n=(l,3,a),平面a的一个法向量为k=(b,2,3),若 la,则 a,b 应满足的关系式为(A )A.3 a+b+6=0 B.a=3 bC.3 a-b+6=0 D.a=-3 b解析：因为 1 a ,所以 n k,即 n *k=b+6+3 a=0,所以 3 a+b+6=0.故选A.2.若直线a与b的一个方向向量分别是a=(l,2,4),b=(-1,-2,m),若a b,则m的值为(B )A.4 B.-4C.-2 D.2解析：因为a b,所以a b,故m=-4.故选B.3.已知平面a的一个法向量为a=(x,1,-2),直线1的一个方向向量为口=,丫,-1),若1，&,则(D )A.x+2 y=-4 B.x+y=31 3c.x+2 y q D.x+y=-解析：因为1，a,所以n a，即a=入n（入 R）,所以（x,1,-2）=入y,-1）,（x=-k,（2=2,所 以l=；y,解得12=1y-5，所以 x+y=|,x+2 y=2.故选 D.4.如图，四边形A B C D为正方形,P D _ L平面A B C D,P D/7 Q A,Q A=A B=1 P D,则平面P Q C与平面D C Q的位置关系为(B )A.平行B.垂直C.相交但不垂直D.位置关系不确定解析:如图，以D 为坐标原点,线段D A 的长为单位长度,射线D A 为x 轴的正半轴建立空间直角坐标系D x y z,则 D(0,0,0),Q(1,1,0),C(0,0,1),P(0,2,0),贝|J D Q=(1,1,0),D C=(0,0,1),P Q=(1,T,0).T T T T因为PQOQ=0,PQ DC=0,所以 P Q J _ D Q,P Q D C,又 D Q n D C=D,D Q u 平面 D C Q,D C u 平面 D C Q,所以P Q _ L 平面D C Q.又 P Q u 平面P Q C,所以平面P Q C _ L 平面D C Q.故选B.5.已知平面a 内的三点A(0,0,l),B(0,l,0),C(l,0,0),平面B的一个法 向 量 n=(-l,-l,-l),则不重合的两个平面a 与 B的位置关系是.解析:设平面a 的法向量为m=(x,y,z),由 m AB=O,得 x O+y-z=O=y=z,)由 m ,AC=O,得 x-z=O=x=z,取 x=l,所以 m=(l,1,1),m=-n,所以 m/n,所以 a B .答案:平行6.在正三棱柱A B C-A.B,C,中，侧棱长为2,底面边长为1,M为B C 的中点,C；N=入&，且 A B M N,则 实 数 人 的 值 为.解析：如图所示，取 BQ的中点P,连 接 M P,以 M为坐标原点，MC,M A M P 的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴正方向建立空间直角坐标系.因为底面边长为1,侧棱长为2,所以 A (0,0),B,(-i 0,2),C g 0,0),0,2),M(0,0,0),设 N&0,t)(t e R),T因为 g N=NNC,所 以 呜 0,总，所以AB1二(一 J，一 R 2),M N-(J,0,-y-)Z Z /1 TA又因为A B M N,所以-MN=Q,所以Ti M3所以入=1 5.答案：1 57.如图所示,在四棱锥P-A B C D 中,P C，平 面 A B C D,P C=2,在四边形A B C D 中，Z B=Z C=90 ,A B=4,C D=1,点 M 在 P B 上,P B=4 P M,P B 与平面A B C D 成 3 0 的角.求证：(1)C M 平面 P A D;平面P A B _ L 平面P A D.证明：以C 为坐标原点,C B 所在直线为x 轴,C D 所在直线为y 轴,C P 所在直线为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系C x y z.因为P C,平面A B C D,所以N P B C 为P B 与平面A B C D 所成的角，所以N P B C=3 0 .因为P C=2,所以 B C=2 g,P B=4,所以 D (0,1,0),B (2 V 3,0,0),A (2 6,4,0),P (0,0,2),M 吟,0,|),所以DP=(0,-1,2),DA=(2V3,3,0),国=(苧,0,1).(1)设n=(x,y,z)为平面PAD的法向量,DP n=0,DA,n=0,取 y=2,得 n=(-2,1).因为 n CM=-V3Xy+2X0+l x|=0,所以 nCM.又CM Q平面PAD,所以CM平面PAD.(2)法一 由知,BA=(0,4,0),PB=(2V3,0,-2),设平面PAB的法向量m=(x(),y0,z0),/mA BA m=0,PB,m=0,即 产 厂”12V3XQ-2ZQ=0,取 x0=l,得 m=(l,0,V3),又因为平面PAD的一个法向量n=(-V3,2,1),所以 m n=l X(-V3)+0 X 2+V3 X 1=0,所以m，n,所以平面PAB_L平面PAD.法 二 如图，取AP的中点E,连接BE,则 E(VI,2,1),BF=(-V3,2,1).因为PB=AB,所以 BEJ_PA.又因为BE-D 4=(-V 3,2,1)(2 V 3,3,0)=0,所以B E LD 4所以B E L D A.又 P A G D A=A,P A,D A u 平面 P A D,所以B E _ L 平面P A D.又因为B E u 平面P A B,所以平面P A B _ L 平面P A D.B 级综合运用练8.在正方体A B C D-A B C D 中,棱长为a,M,N分别为A.B,A C 的中点，则M N 与平面B B C G 的位置关系是(B )A.相交B.平行C.垂直D.不能确定解析：以G为原点,C B,C D,C,C 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，如图，所以 N a),M (a,所以MN=(q,0,而平面B.BCC,的一个法向量为n=(0,1,0),所以M Nn=0,即M NLn.又M N评 面BiBCC,所以MN与平面BBC。平行.故选B.9.(多选题)如图，以等腰直角三角形斜边B C上的高A D为折痕，把 ABD与4 A C D折成互相垂直的两个平面后，下列结论正确的是(BC)A A.BD 4 Cr0B.ZBAC=60C.三棱锥D-ABC是正三棱锥D.平面ADC的法向量和平面ABC的法向量互相垂直解析:平面ABD,平面ACD,由二面角定义知,BDLAD,平面ABDA平面ACD=AD,BDc平面ABD,所 以BD，平 面ACD,所 以BD _L AC,所以T B D4c=0,故A不正确；AD=BD=CD,且NADB=NADC=NBDC,所以AABD,AACD,ABCD是全等三角形，所以 AB=AC=BC,NBAC=60,故 B 正确；可知 AB=AC=BC,DA=DB=DC,所以三棱锥D-A B C 是正三棱锥，故C 正确;建立空间直角坐标系，如图所示，设 D A=D B=D C=1,则 A(0,0,l),B(l,0,0),C(0,1,0),可求出平面A D C 的一个法向量是n,=(l,0,0),平面A B C 的一个法向量是 n2=(l,1,1),所以 B i n2=1+0+0=1 7 0,故 D 不正确.故选 B C.1 0 .(2 0 2 1吉林四平高三检测)已知平面a 内有一个点A(2,-1,2),a的一个法向量为n=(3,1,2),则下列各点中,在平面a 内的是(填序号).B (1,-1,1);C (1,3,|);D (1,-3,|);E (-1,3,-1).解析(-1,0,-1),AC=(-1,4,一，AD=T 7 T T4 E=(-3,4,-；),因为4 c n=0,所以力C _ L n,故C a.答案:1 1 .如图,在四棱柱A B C D _ A B C D 中,底面A B C D 是平行四边形,E,F,G分别是A D i,D D,D 的中点.试用向量Z B,AD,4 4 1 表示4 G;(2)用向量方法证明：平面E F G 平面A B C(1)解:设A H=a,4D=b,441=c,T 则 4G=44i+43i+DiG=c+b+-DC2=-a+b+c2W 6+G+R,1 T T 故 4G=B+40+44r证明:ACAB+BC=a+j,T T 7 111TEG=ED1+D1G=)+-a=-AC,因为E G与A C无公共点，所以E G A C,因为E G Q平面A B C A C u平面A B C,所以E G 平面A B C又因为4 B i=3+3 3 i=a+c,FG=FOi+DiGc+产#31，且 F G 与 A B,无公共点，所以F G A B”因为F G Q平面A B C A B C平面A B,C,所以F G平面A B C又因为F G G E G=G,F G u平面E F G,E G u平面 E F G,所以平面E F G平面A B C1 2.直三棱柱A B C _ A B G中，底面是以NABC为直角的等腰直角三角形,A C=2 a,B B,=3 a,D是A,C,的中点,在线段A A i上是否存在点F,使C F_ L平面B.D F,若存在,求出A F的长,若不存在,请说明理由.解:存在.以B为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系B x y z,则 C (0,V 2 a,0),B i(0,0,3 a),D 吟a,3 a).假设存在点F,使C F _ L平面B.D F,不妨设 A F=b(OW bW 3 a),贝IF (V 2 a,0,b),CF=(V 2 a,-V 2 a,b),BF=(V 2 a,0,b-3 a),(y a,y a,0).因为 CT-Ba-a+0,所以。尸，Bi。恒成立.由名尸 C F=2 a2+b(b-3 a)=2 a2+b-3 ab=0,得 b=a 或 b=2 a.所以当A F=a或A F=2 a时,C F _ L平面B,D F.1 3.如图，正方形A B C D和正方形C D E F所在平面的二面角是6 0 ,M为B C中点.E求证:E C 平面A M F;(2)求 A F 与平面E M C 所成角的正弦值.(1)证明：由题意可知D C _ L D A,过点D 作 z 轴垂直底面A B C D,则 z 轴垂直D C 和D A,以D A 所在直线为x 轴,D C 所在直线为y 轴,建立如图所示的空间直角坐标系，设边长D A=2 a.因为四边形A B C D 和 C D E F 都是正方形,所以DC IDA,DC IDE,所以N A DE为正方形A B C D和 C DEF所成的二面角，所以 N A DE=60。.D(0,0,0),C (0,2a,0),B (2a,2a,0),A (2a,0,0),F(a,2a,V 3a),E(a,0,V 3a),M(a,2a,0),贝！JEC=(-a,2a,-V 3a),AM=(-a,2a,0),MF=(0,0,V 3a),设平面A MF的一个法向量为m(x,y,z),则 4M nt=0,=，-m =O=0,取 y=l,则 x=2,z=0,所以m=1,0),有EC,m=0,又EC Q 平面A MF,所以EC 平面A MF.(2)解：由(1)知EM=(0,2a,-V 3a),CM=(a,0,0)