上海2023届高三上学期开学考试数学试题-.pdf

上海财经大附属北郊高级中2023届高三上期开考试数试题校 姓名:班级：考号：一、填空题1 .已知集合/=x|x 2 ,5=x|x 0,歹0,且一+=1,则4 x +y的最小值为%y8.已 知 函 数%)=-/+2 奴+3 在区间(-8,4)上是增函数，则实数。的取值范围是9.已知数列 的前项和为S，且满足a=l+(-1)d,5a 2=。8,则 S=_.1 0 .袋中有一个白球和个黑球，一次次地从袋中摸球，如果取出白球，则除把白球放回,再加进个白球，直至取出黑球为止，则取了 N次 都 没 有 取 到 黑 球 的 概 率 是.1 1 .已知定义在 R 上的函数/(x)满足/(2 +x)=/(x),当=0,2 时,/(x)=-x(x-2),则方程/(X)=|lg x|有 个根.1 2 .在平面直角坐标系x Qy 中，己 知 喈,0),48 是 C:x 2+(y-；)2=3 6 上的两个不同的动点，满足P4=PB ,且 苏.而 恒成立，则实数。最小值是二、单选题1 3 .已知。、b e R,贝!是 八。”的()aA.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件T T 7 T T T1 4 .下列函数中，以m为 周 期 且 在 区 间 上 单 调 递 增 的 是()A./(x)=|c os 2 x|B./(x)=|s i n 2 x|C./(x)=s i n 4 x D./(x)=c os 2 x1 5.如图，在棱长为1 的正方体C D-4型 2中,P、0、R 分别是棱4 B,8C、明 的 中点，以VP Q7?为底面作一个直三棱柱，使其另一个底面的三个顶点也都在正方体/B C D-44GA的表面上，则这个直三棱柱的体积为()m,m n n,m n1 6.设团，?,定义运算“”和“V”如下：mJ n=,nNn=.若正 n,m n m,m n数m,，P,夕 满足机”.4,p +g 4,则（）A.m n.2 ,0%,2 B.w Vn.2 ,pq.2C.tn n.2 ,pq.2 D.w Vn.2 ,P A2三、解答题1 7 .如图，已知圆锥的底面半径,=2,经过旋转轴S O的截面是等边三角形S N 8,点。为 半 圆 弧 的 中 点，点尸为母线S/的中点.(1)求此圆锥的表面积：(2)求异面直线P Q与SO所成角的大小.1 8 .甲、乙两人玩猜数字游戏，规则如下：连续竞猜3 次，每次相互独立；每次竞猜时，先由甲写出一个数字，记为。，再由乙猜测甲写的数字，记为6,已知a,b e 0,1,2,3,4,5 ,若41,则本次竞猜成功；在 3 次竞猜中，至少有2 次竞猜成功，则两人获奖.(1)求甲乙两人玩此游戏获奖的概率：(2)现从6 人组成的代表队中选4 人参加此游戏，这6 人中有且仅有2 对双胞胎，记选出的4 人中含有双胞胎的对数为X,求 X 的分布列和期望.1 9.已知函数 x)=3*.设 尸 尸(x)是 尸/(x)的反函数，若 广(中 2)=1,求 广(x：)+广何)的值;m/(x)+l(2)是否存在常数使得函数g(x)=l+为奇函数，若存在，求用的值,并证明此时g(x)在(-8,+00)上单调递增，若不存在，请说明理由.2 0.己知尸(0,1)为椭圆C：工+亡=1内一定点，。为直线/：尸 3上一动点，直线尸。4 3与椭圆C 交于4 8 两 点(点 8 位于P、。两点之间)，O 为坐标原点.(1)当直线尸。的倾斜角为?时，求直线。的斜率;3(2)当V/0 8 的面积为5 时，求点。的横坐标：(3)设 箫=彳 而，AB =p BQ,试 问 是 否 为 定 值？若是，请求出该定值；若不是,请说明理由.2 1.已知函数x)=2-|x|,无穷数列函“满足%n w N.(1)若q=2,写出数列%的通项公式(不必证明)；(2)若q 0,且,外，生成等比数列，求4 的值；问 J 是否为等比数列，并说明理由；(3)证明：4,牝，匚，?，L 成等差数列的充要条件是q=l.参考答案：1.X2 X3#（2,3）【分析】利用集合的交集运算求解.【详解】因 为 集 合 2,B=x|x3,所以4 c 8 =x2 x 3,故答案为：尤12 V x 0,解得xl,所以函数夕=1 式-1）的定义域是（1,2）,故答案为：。,内）3.2【分析】首先将复数化简为复数的代数形式，再计算模长即可.【详解】2=且匚=吗*=-1-6八ii2k|=J（-i）2+（-V3）2=2.故答案为：2【点睛】本题主要考查复数的化简和模长的计算，属于简单题.4.160【分析】直接根据生成法求解V的系数.【详解】展开式中含V的项为C：x 2 =20 x8?=160/,所以V项的系数为160,故答案为：160.【详解】c o s a=1c o s2 a =2(cosa Y-1=2x-1=V 7 9 96.(3,6)【分析】设（x 0）P（x,2x。）利用点到直线的距离公式列出方程k+4 xo|=2 7,计算即可.Y21【详解】设P（x0,2xo）（Xo O）,双 曲 线 匕-/=1的两条渐近线为y =;x,即x2y =0.4 2则 点 尸 到 双 曲 线 的 两 条 渐 近 线 的 距 离 之 积 为 国 网 忆%=2 7,解得：x0=3.所以点尸的坐标为（3,6）.故答案为：（3,6）7.25【分析】根据x 0,V 0,K-+-=l ,由4 x+y =(4 x+y)C +=17 +”%利用x N y)x y基本不等式求解.4 1【详解】因为x 0,y0,且一+=1,x y所以4 x+y =（4 x+y）（3 +L）=17 +3&17 +2F&=25,当且仅当包=色，即x=y =5时，等号成立，x y所以4 x+y的最小值为25,故答案为：258.4,+0 0）【分析】根据二次函数对称轴与单调区间位置关系列不等式，解得结果.详解f（x）=-x2+2 a x+3对称轴方程为x=a,/（X）在区间（-8,4）上是增函数，所以a 24.故答案为 4,+8）.【点睛】本题考查根据二次函数单调性求参数取值范围，考查数形结合思想方法，属基础题.9.n2【分析】由题意得5(1+d)=T+7 d,从而确定d=2,再求数列的前项和即可.【详解】解：=1+(-1)d,5a2=a89 5(1+d)=l+7d,解得，d=2,%=1+2(-1)=2n-1,故数列 为等差数列，.1 +2 1 .故 Sn=-x=2,2故答案为：*.【分析】根据相互独立事件的概率公式计算可得；【详解】解：依题意取了 N次都没有取到黑球的概率P=上；故答案为：N+111.10【分析】作出周期函数/(X)的图象，再作出y=|ig x|的图象，根据数形结合求解即可.【详解】由2+x)=/(x)可知，函数周期为7=2,作出函数J=/(x)与j=|lg x|,故答案为：1012.49【分析】因为尸N=可知PC是 的 垂 直 平 分 线，PC=1,设CE=x,P 4、PB、AB的长即可用X表示，再利用余弦定理表示C O S 4 P 8,利用数量积的定义将强.万用X表示,a（而 方），利用函数求出（可 方）6,即得a最小值./max /max【详解】如图圆心PC =,因为P4=PB,所以P C是 的 垂 直 平 分 线，设尸C与Z 8相交于点E,则点E是 的 中 点,设C E=x,则 3=3 6-,/8 2=4（36-巧,AP1=B P2=A E2+EP-=Z E?+（x+i p =+37苏 丽 a恒成立，所以。（西 丽）/max莎 丽=|莎1 1而|c o s NAPB ,入 A e n d,百入士工 1,曰 ,/c n A p 2+2 Ap2 -AB?在A A P B中，由余弦定理得：c o s Z.APB =-=-2 APxB P 2 APxB P所 以 瓦.丽=网 廊 际4叫网冏x2；C=2 4；次,2（2x+37）-4（36-x?）,=-=2/+2龙-3 5，2因为0 x 6,所以x=6时，2x2+2x-35 2x36 +12-35=4 9.即（西:方）4 9 /max所以a2 6,故实数4最小值是4 9,故答案为：4 9【点睛】本题主要考查了平面向量数量积的定义，余弦定理，勾股定理，恒成立问题，求二次函数的最值，属于综合性题目，属于中档题.1 3.D【分析】利用特殊值法结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论.【详解】充分性：取b=-2,a =-,则2 1 成立，但人“不成立，充分性不成立；a必要性：取6 =1,。=-2,贝 必 成立，但一1 不成立，必要性不成立.a因此，1“是 的 既 不 充 分 也 不 必 要 条 件.a故选：D.1 4.Ajr yr【分析】分别计算出ABCD 的周期，再 判 断 是 否 在 区 间 上 单 调 递 增 即 可.【详解】A /(x)=|c o s2 x|,周期为、，在 区 间 py上单调递增，故 A正确；B x)=bi n 2 x|凋期为在 区 间 上 单 调 递 减，排除；c “X)=si n 4 x,周 期 为 焉 在 区 间 上 不 具 有 单 调 性，排除；D/(x)=c o s2 x,周期为万,排除.故选：A.1 5.C【分析】分别取月内AC8a 的中点耳,乌,凡，连接理,0 2,RR-利用棱柱的定义证明几何体PQR-E Q圈是三棱柱，再证明3 D,，平面P Q R,得到三棱柱PQR-4 0 吠是直三棱柱求解.【详解】如图所示：连接4 V o e,8 Q,分 别 取 其 中 点 与，连接收，四,期，则 P R B n，QQ、B D、,RRUB D、,且必0 g =B Dt,RRt=-B D,所以几何体PQR-4。内 是三棱柱，y,PQL B D,PQXB Bt,且所以PQ_L平面88QQ,所以P Q L 8 R,同理又P Q c P R =P,所以8。_L平面PQR,所以三棱柱PQR-K Q 圈是直三棱柱，因为正方体4 8 c A 的棱长为1，所以 PQ=PR=RQ=当,PP=QQ=RR=与,所以直三棱柱尸8-片。内的体积为故选：C16.D【分析】根据所给运算，取特殊值检验即可排除A C B,得到答案.【详解】令=4,满足条件机.4,则?V=1,N=4,可排除 A,C；令p=l,g=l,满足p+q 4 4。则 p A q =l,pVq=l,排除 B;故选：D17.(l)12zr力,后(2)arctan 【分析】(1)根据已知利用公式求得底面积和侧面积即可得出结果.(2)取。/的中点M 连接尸W,又点P 为母线”的中点，所以PM/O S,故/“尸。为 P0与 S。所成的角，计算即可得出结果.(1)圆锥的底面半径/-2,截面三角形S/8 是等边三角形，OS =2 7 3,S A=4,，底面积S1=万=4,侧 面 积 S2=zrr-SJ=-x2x4=8,二圆锥的表面积5=岳+$2=41+8乃=12万.(2)取 0 4 的中点M,连接P M,又点P为母线S 4 的中点，所以P M H 0 S ,故N MP Q为P Q与S O所成的角.由8=2,OM=1,点。为半圆弧力8 的中点，知O 0 _ L/8,在R N MO Q 中,MQ =5 加,在放V S 0/中，P M=-S O =y/3 ,2在 R t P M Q 中，tan Z M P Q=卷=嗡=半，NA/P0 e(0段)，所以 Z.M PQ=arctan 2 5.所以求异面直线P Q与SO所成角的大小为arctan半.电 粉(2)分布列为:X012P415231154E(X)=-【分析】(1)利用古典概型计算出一个竞猜成功的概率，根据二项分布的概率公式得到答案(2)本题考查离散型随机变量分布列及其均值，根据题意，明确变量的可能取值，利用古典概型的计算公式分别计算出所有取值的概率，根据分布列的定义和均值的公式得到答案.【详解】(1)记事件A 为甲乙两人一次竞猜成功，则P(/)=4则甲乙两人获奖的概率为C；(-)2496+5x2(2)由题意可知6 人中选取4 人，双胞胎的对数X 取值为0,1,2则 p(X =0)=A p(X=l)=c f=|,P(X=2)=|噂二分布列为:X012p415231T?4 2 1 E(X)=Ox +lx +2x =15 3 154519.(1)3(2)详细见解析【分析】(1)根据反函数定义可知，/T(X)=10g3X,利用对数性质计算即可求得结果.(2)利用奇偶性的定义即可求得加的值，利用单调性的定义证明即可得出结果.(1)函数/(x)=3*,y=L(x)是y=/(x)的反函数，则y=广(。)=吟,r()=1,即log.,(x,x2)=i,/(X；)+/()=logs X；+log,W=log,(小;)=3 log,(2)=3.(2)g X)=l+$，定义域为A,关于原点对称,3+1又p ：g(/-x)、=，l +m=1t+tn-3v)3+1 3+1若函数g(x)=l+J-为 奇 函 数，则 g(-x)=-g(x),即1+窑=-11+券1,解得3+1 3+1 V 3+17加=-2,故存在常数机=-2,使得函数g(x)为奇函数，任取再,电凡，且不*2.g g _ g(x)=-Z_ _ f l_2=2(3-l)2(3 5)2 3+l I 3&+3 34+1 3+l(3*+1)(3+1)(3为+1)(3&+1)因为王 x2，所以3*,32.所以3*1-3*0,3&+10,所以g(X1)-g(Xz)0,即g(xJ刈 +2(1-必)(1-必)=-3-1)(3-必).2 为奇数2L(1 M =1 O,为偶数：(2)4=1,为等比数列；q=2 +及，不为等比数列，理由见解析;(3)证明见解析.【分析】(1)根据递推关系写出前几项，直接得到通项公式；(2)0 2 时同理可求出q =2 +行，由等比数列定义判断即可；(3)结 合(2)先证明充分性，再分别讨论4 0,0 a,2 证明必要性即可.(1)因为。,+|=/(%)，所以。2=，。3=2,%=，所以见=，2,为奇数o,为偶数;（2）一 I I .a AQa,2）.当 0 c q 4 2 时,由 a；=4 x%=Q-q y =a：=,=1,所以。1 =4 =1，所以夕=1,即%=1为等比数列；当6 2 时，由 a；=q x 3 =（2 _ q）2 =q（4 _ q）=Q =2+&（q =2-夜 舍）,所以出=-夜,%=2-V 2,aA=/2,因为%=g=竺雪,%2 2%v 2所以数列 4 不是等比数列;综上，当0 2时，q不是等比数歹1|；(3)充分性当4=1时，由(2)知4=1,此时性”为等差数列;必要性当4 4 0时，4 2=2+q,所以4=。2-。1=2,所以，数列也,为递增数列，易知，存在此时4/=%+|-%=2-2%2,与=2矛盾，舍去；当0 2 时，由 2a2 =q+。3 n 2(2-q)=q+(4-4)=q =0 与 4 =1 不符，舍去；综上，%,a2,L,4，L成等差数列的充要条件是=1 .【点睛】方法点睛注意在涉及数列的证明求解过程中，分类讨论方法的应用，本题求解过程一定要分别考虑。的范围对解题的影响，分为0 2,q 4 0去考虑问题即可.