安徽省江淮十校2023届高三上学期9月第一次联考数学试题（含答案与解析）.pdf

江淮十校2023届高三第一次联考试题数 学注意事项：1.本试卷满分150分，考试时间120分钟.2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.3.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题（本大题12小题，每小题5 分，共 60分在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的）1,已知集合4=小 附 於 1 ,=-2,-1,。,1,2 ,则 知=A.1,2 B.-2,-1 C.0,1,2)2 .已知,石均为单位向量，且(22-B)_L5,则|1 +6|=()A.1 B.73 C.22 z-l3.己知-=i,则复数乞的虚部是()1 +zA.-1 B.-i C.1D.-2,-1,0)D.3D.i4.一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金.一位顾客到店里购买1 0克黄金，售货员先将5克的祛码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将5克的祛码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客.顾客实际购买的黄金（）A.大 于1 0克 B.小 于1 0克C.等 于1 0克 D.不能判断大小5.已知正项等比数列。”的前项和为S“，前项积为刀,，满足Q =1,2%=5336,则7；的最小值8是（）6.在正方体中，则下列判断错误的是（）A.平面 A C4B.平面AC。平面4c 4C.直线8。过的垂心D.平面A C g与平面A B C。夹角为457.己知片，鸟 分别为椭圆三+工=1的左右焦点，点P为椭圆上一点，以尸2为圆心的圆与直线尸耳恰好4 2相切于点P,则/尸 耳 工 是()A 45 B.30 C.60 D.758.已知函数/(x)是R上的奇函数，且/(x +3)=/(x),且当x e(0,|时，/(x)=2 x 1,则/(2 0 2 1)+7(2()2 2)+/(2 0 2 4)的 值 是()A.2 B.-1 C.O D.-39.已知在菱形A B C O中，A B =2,N A =60,把 A B O沿8 0折起到AAB。位置，若二面角A 3。C大小为1 2 0,则四面体A B CD的外接球体积是()入 7 0 2 8 2 8 6 7 7 2 1A.-T C B.-71 C.-TC D.-713 3 2 7 2 71 0 .下列四个不等式中，成立的个数是()I n 331 n 2；In、/；4代 V k 2 ；2 V eA 1 B.2 C.3 D.41 1 .已知函数f(x)=c o s|x|-2|s i n x ,以下结论正确的是()2兀A.兀是/(X)的一个周期 B.函 数 在0,y 单调递减C.函数/(X)的值域为-6,1 D.函数f(x)在 2兀,2兀 内有6个零点1 2 .甲口袋中有3个红球，2个白球和5个黑球，乙口袋中有3个红球，3个白球和4个黑球，先从甲口袋中随机取出一球放入乙口袋，分别以4,4和A 3表示由甲口袋取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙口袋中随机取出一球，以B表示由乙口袋取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是()入 A B.事件A与事件B相互独立I3C.P(4 =5 D.P(B)=记二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)1 3.在的展开式中只有第5项二项式系数最大，则常数项为.1 4.安徽省地形具有平原、台地(岗地)、丘陵、山地等类型，其中丘陵地区占了很大比重，因此山地较多，著名的山也有很多.某校开设了研学旅行课程，该校有6个班级分别选择黄山、九华山、天柱山中的一座山作为研学旅行的地点，每座山至少有一个班级选择，则恰好有2个班级选择黄山的方案有_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 种.1 5.已知抛物线y 2=8 x 的焦点为凡 过点尸的直线交抛物线于A,B两点，延 长 交 准 线 于 点 C,分别过点4,B作准线的垂线，垂足分别记为M,N,若|8 C|=2|8 N|,则 A F M 的面积为.1 6.若不等式e N(a +l)x +。对一切xeR恒成立，则(。+1)。最大值为.三、解答题(共7 0分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)1 7 .T知数列%满足:=1,0 2 =3,2(an+1+1)=an+an+2,n e N*.(1)证明数列 凡“-4 为等差数列，并求数列 为 的通项公式.(5、1 1 1 ,(2)若 c =2|%证明：F +1.I 4 J。“c”1 8.在AABC中，角 A,B,C所对的边分别为a,b,c,其外接圆的半径为逐，且满足4 3 s i n B c o s C =2 a-c -(1)求角B.(2)若 AC边上的中线长为之，求AABC的面积和周长.21 9.在三棱锥ABCD中，AABC的 面 积 为 正，点。为 8 C的中点，Z A C B =-,且(1)求证：平面B C D J _ 平面A Q D.T T(2)E为线段AC上的点，若 EO与面8 c。所成的角为冷，求 CE的长度.2 0.华容道是古老的中国民间益智游戏，以其变化多端、百玩不厌的特点与魔方、独立钻石一起被国外智力专家并称为“智 力 游 戏 界 的 三 个 不 可 思 议 据 资治通鉴注释中说“从此道可至华容也通过移动各个棋子，帮助曹操从初始位置移到棋盘最下方中部，从出口逃走.不允许跨越棋子，还要设法用最少的步数把曹操移到出口.2 0 2 1 年 1 2 月 2 3 日，在厦门莲坂外图书城四楼佳希魔方，厦门市新翔小学六年级学生胡宇帆现场挑战“最快时间解4 x 4 数字华容道”世界纪录，并以4.8 7 7 秒打破了“最快时间解4 x 4 数字华容道 世界纪录，成为了该项目新的世界纪录保持者.(1)小明一周训练成绩如表所示，现用y =2 x +戊=9 9 4/=!/=12 1 .已知双曲线。：5-=1(4 0 8 0)过点(2,2),且离心率为(1)求双曲线C的方程.(2)设直线/是圆O：f+y2=4 上的动点尸(毛,%)(毛为。)处的切线，/与双曲线C交于不同的两点A,8,证明：以为直径的圆过坐标原点.2nx2 2 .已知函数/(x)=x-l +二一(47 G R).ev(1)当a=l 时，求/(x)在 点 处 的 切 线 方 程.(2)若g(x)=e T/(x l)+x(l In x)在 x e l,+8)时有两个零点，求实数。的取值范围.参考答案一、选择题(本大题12小题，每小题5 分，共 60分在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的)1.已知集合A=x e N|l n x l ,U =2T0,L 2,则皿=()A.1,2 B.-2,-1 C.0,1,2 D.-2,1,0【答案】D【解析】【分析】由对数的性质化简集合A,再由补集的定义求解即可【详解】由l n x l 得0(无e,所以 A =x e N|l n x 克，则根据物理知识可得5 m =xn,my =5 n,根据基本不等式可得x+y 1 0克.【详解】设天平的左右臂长分别为人（加工），第一次加黄金X克，第二次加黄金y克,则根据物理知识可得5m =x“，且根+物加=（x+5）,即 阳=5，所以+丁=阳+2=5（竺+巴）2 5、2 竺、二=1 0,当且仅当机=时等号成立，n m n m y n m因为m所以等号不成立，所以x+y l。克.故选：A【点睛】易错点点睛：本题在利用基本不等式时，容易忽视等号成立的条件导致错选C.5.己知正项等比数列 为 的前项和为S“，前项积为刀,，满足/=：,2生=8 3 3%,则刀,的最小值O是（）1111A.B.C.D.-16 32 64 12 8【答案】C【解析】【分析】由等比数列的通项公式与求和公式求出公比4,进而即可求解【详解】设公比为q （显然q#l）,由 2 a 2 =S 3-3a l 得 2%q=%-3 6，i-q即 一4一2 =0,得4=2或一1 （舍去），所以 4 递增且4=：,电=8吗1-2%=1-4所以7；最小值为xx x 18 4 2164故选：C6.在正方体A 8 C D-A 8 C R中，则下列判断错误的是（）A.B Q，平面ACgC.直线B Q过AAG。的垂心【答案】D【解析】B.平面A C。平面AC8 1D.平面ACM与平面AB C D荻角为45【分析】由题意可得4 C，6。，AC BD,进 而 得 平 面A C g,从而判断A正确;由A G AC,AiD/B。,进 而 得 平 面 平 面AC瓦，从而判断B；由三棱锥。一 4 GD为正三棱锥，可得直线8。过ARG。的垂心，从而判断C；连接B D交A C于。点，连接B 0,则可得/片。3为平面AC4与平面A3。的夹角，在R t AB。中计算tan N B Q B的值，从而判断D.【详解】解：由B q B C，D 1 B,C,得8 0 1.平面BD,C,，所以BC B D,同理可得所以B R,平面A C B-故A正确；由 AC,/AC,D /BtC ,得平面 AtCtD 平面 ACBt,故 B 正确；因为三棱锥。-4 G。为正三棱锥（或由。A，A O，A G两两垂直）得直线8。过AAG。的垂心，故c正确；连接3。交A C于。点，连接用。，由4。，AC,8。，AC,得N B Q B为平面ACB,与平面A3。的夹角，故选：D.2 27.已知，凡分别为椭圆工+匕=1的左右焦点，点P为椭圆上一点，以工 为圆心的圆与直线P 6恰好4 2相切于点P,则NP耳 耳 是（）A.45 B.30 C.60 D.75【答案】A【解析】【分析】根据椭圆的定义，设得|尸制=4T,结合圆的几何性质列方程，从而求得上 然后求得【详解】依题意a=2/=c=J I,PF2 =t,由椭圆定义得归耳|=4 T,由于以F,为圆心的圆与直线月耳恰好相切于点P,所以|P+PF2f=|耳周2,即（47）2 +/=（2 0）2 =8,整理得产一4f+4=0,得t=2,得|尸制=|尸 闾,所 以NP耳玛=45。.故选：A8 .己知函数/*)是R上的奇函数，且/(x +3)=/(x),且当工3 0弓 时，/(x)=2 x-l,则/(一2 0 2 1)+/(2 0 2 2)+/(2 0 2 4)的 值 是()A.2 B.-1 C.O D.-3【答案】A【解析】【分析】先由/(x +3)=-/(x)可 得 的 周 期 为6,再结合f(x)为奇函数，可 得 的 对 称 轴，然后对/(-2 0 2 1)+/(2 0 2 2)+7(2 0 2 4)化简计算即可.【详解】解：因为函数/(X)是R上的奇函数，所以/(0)=0,由/(x +3)=-/(x)得，/(x +6)=-/(x +3),所以/(x)=/(x +6)所以函数/(x)为周期函数，周期为6,所以/(-2 0 2 1)=/(-5)=/(1)=1,/(2 0 2 2)=/()=0 (2 0 2 4)=/，由函数/W为奇函数,得/(x +3)=-/(x)=f(-x),3得函数/图象关于x =对称，即/(2)=/(I)=1,所以/(-2 0 2 1)+/(2 0 2 2)+/(2 0 2 4)=2/(1)=2.故选：A9 .己知在菱形ABC。中，AB=2,N A=60,把A3。沿B O折起到AAB。位置，若二面角A -B D-C大小为12 0,则四面体A B C。的外接球体积是()八 7 D 2 8 2 8 7 2 1 7 7 2 1A.-T C B.-71 C.-Jt D.-J i3 3 2 7 2 7【答案】C【解析】【分析】先找截面圆的圆心，过圆心作截面的垂线，球心在垂线上，找到球心再利用勾股定理即可得到答案.【详解】设45。的外接圆圆心为。一 3 8的外接圆圆心为。2，过这两点分别作平面AA B。、平面 BCD的垂线，交于点。，则。就是外接球的球心；取 B D 中点 E,连接 O,E,O2E,OE,OC,因为 Q E B D,O2E BD,所以 N Q E Q =120。,因为AABO和 B C D是正三角形,所以。2后=。或=立,T,由 A A 皮 注 B C D 得 N O E Q =60,所以。2 =1 由 D C?=。0；+。；=1 +即球半径为Jz3 3所 以 球 体 积 为&内=空 3 27故选：C.10.下列四个不等式中，成立的个数是()l n 3 -1l n 2；片兀 J巴;4 G Vk 2；n V eA.1 B.2 C.3【答案】B【解析】D.4【分析】构造函数/(x)=,然后根据函数/(x)的单调性逐一判断即可.X【详解】设/(%)=二，/(%)=匕 学，得f(x)在(0,e)上单调递增，在(e,+o。)上单调递减;X X,I n 3 I n 4 I n 2 Z C 3,。3,-一 r由一 一 二=一二得I n 3 l n 2,故错误；3 4 2 2由 史 在 见 更，得ln7r、E，故错误；l7r ve V e由=浮 得 竽g l n 2，从而I n l 2j i l n 2，即122疝=4出，故正确;因为e*Nx +l,在x =0处取等号，所以e 1.1“工，故正确.故选：B.11.已知函数/(x)=co s|x|-2|s i n x ,以下结论正确的是()A.兀是/(x)的一个周期B.函 数 在Q,单调递减C.函数/的值域为 石,1【答案】CD.函数/(X)在-2兀,2兀 内有6个零点【解析】(兀、(兀、2兀1/、%+兀*/匕 即可判断；对于B,当x e 0,将/(x)化简，然后检验即可；对于C,求出函数“X)在一个周期 0,2兀的值域，先求当x w 0,旭，再求当XWE,2TI的值域即可判断；对于D,根据函数/(x)为偶函数，可通过区间 0,2兀上零点个数从而确定其零点个数.【详解】因为/：+兀所以A错误；2兀.当X E 0,/(x)=co s x-2s i n x =co s A：-=s i n x j =7 5 co s(x +(p),其中 .2 兀 兀 2兀co s(p=,s i n(p=-j=,不妨令。为锐角，所以所以夕x+e兀，所以B错误;3因为2兀是函数/*)的一个周期，可取一个周期 0,2兀 上研究值域，当x e 0,H,/(x)=co s x-2s i n xc o s x/s i n x=V5 C OS(X+(p),(px+(pn+(p,所以V 5C OSTT/(X)(a+l)x+b对一切x e R恒成立转化为 e -(+l)x+人 面 0 ,再利用导数法求函数的最值问题即可求解.【详解】令/(x)=e -(+l)x-Z?得fx)=ev-(+l),当a+1W 0时，/(X)0得f M在R上单调递增，当Xf-8时，/(不)-一8与/(工)2 0矛盾.当 a+1 0 时，fx)0 =x l n(a+l),/r(x)0 n x 0,(a+l)b 0),令 F(x)=x2-x2 nx(x 0),则 F (x)=x(l-21n x),Fx)0 =0 尢 V e,Fx)五,所以函数在仅，五)上单调递增，在,+/)上单调递减，当 X =6时，%x(X)=，当a=血 时，(a+1)匕的最大值为.故答案为：.2三、解答题(共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.已知数列 a,J 满足：(=1,0,=3,2(,1+|+1)=a+all+2,n e N*.(1)证明数列。向-%为等差数列，并求数列%的通项公式.(5、1 1 1,(2)若C“=2|%+一：|,证明：-h H-h 1 .I 4 j q c2 c【答案】(l)证明见解析，e N*,a.=2 +1(2)证明见解析【解析】【分析】(1)利用等差数列的定义证得数列。向是以2为首项，公差为2的等差数列，进而结合累加法即可求出数列 4 的通项公式；1 1 1(2)裂项相消法求出一+,即可证出结论.q c2%【小 问1详解】由 小 4 =2,(a”+2 一 2+i)一(4+1 一 4)=2 ,故数列。用-4 是以2为首项，公差为2的等差数列,/.an+an=(2 _ Q)+(1)X2=2 ,*=(4 _ an-)+(an-an-2)-(%+=2(1)+2(-2)H-b 2+l =2 +,当 =1 时，ax=1 满足。=一 +1,故对 G N*,a=+1.【小问2详解】1 _ _ _ _ _ _ _ _ _ 2 _ _ J _ _ _ _ _ _1_故 二=2()(+B=L D(2+1)=不I 而I，111 1 1 +=-+%1 31 1故-H-1,q c21 1+-+7 9H-=1-13 52 -1 2 +1 2/1+118.在A B C中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,其外接圆的半径为G，且满足45/3si n 8cosC =2a-c-(1)求角艮(2)若AC边上的中线长为2,求AABC的面积和周长.2J T【答案】B=-(2)Si A B C=2 V 3,周长为3+而【解析】【分析】(1)利用外接圆的半径为G，将4G si n B cosC=2a c化为力cosC=2a c,再根据正弦定理及两角和的正弦公式化为cosB =,，然后根据角B为三角形的内角可求出结果；2(2)设。为AC边上的中点，利用余弦定理和cosNA DB+cosZ B )C=0可求出q 2+c 2=7,利用余弦定理=c2+a22accos8,求出ac=8,利用三角形的面积公式可求出三角形A B C的面积.由9=ac=8,由三角形面积公式得：S B C=a c sin B =2y/3,由9=。2+。2-a。，得(a+c)2-3ac=9,得a+c=，5，所以周长为3+J .19.在三棱锥ABC D中，“I B C的 面 积 为 且，点。为8 c的中点，Z A C B =,8 O J _ C D且23BD=CD=I,AD=6A(1)求证：平面3CDJ_平面T T(2)E为线段AC上的点，若EO与面BCD所成的角为自，求CE的长度.6【答案】(1)证明见解析(2)1【解析】【分析】(1)首先求出8 C,再由面积公式求出AC，即可得到AABC为正三角形，从而得到AOBC,OD八B C,即 可 证 明 平 面A8,从而得证；(2)作AHA D O,交。的延长线于点H，即可得到A H,平面B C D,即可求出A”，再过点E作E F 1 C H,垂足为F，则NEQR就是互 与平面8c。所成的角，设CE=x()K xK 0),根据三角形相似及锐角三角函数计算可得.【小 问1详解】r71证明：且3。=。=1,，6C=血，又NAC3=,由 SvA8c=，4C.BC-sinNACB，可得!=!AC 夜.且，2 2 2 2解得AC=挺，则AC=8C，所以AABC为正三角形，所以 AO_LBC；因为 B=CD,BO=OC,所以 8八 BC,因为AOcO)=O,AO,Ou平面A。，所以BC_L平面AO),因为B C u平面B C D,所以平面BCZ)_L平面A 8.【小问2详解】解：作D O,交。的延长线于点H,因为平面BCD J平面A8,平面8 c o 0平面AOD=H,AH u平面AO),所以A_L平面8cO,BC u平面BCD,所以 A_L C,在直角三角形BCD中，ODB C*,在等边三角形ABC中，AO=AC =，2 2在 A O D 中,c o s Z AD O=AD*2+OP2-AO22 AD OD、H也 32 x，3 x-22 1 33+2-2在直角三角形 AND 中，AH =A Dsin Z AD O=73 x =b3H D =y/A D2-AH2=A/3T=夜,过点E作 _ L C”，垂足为R,则EF A H,所以EFL平面B C D,所以NEOE就是EO与平面BCD 所成的角，设 C E =x(0 4 x 4 血)，由 空=空，得 EFJ H V E=：=昱 x,AH AC C V 2 2由 A C 2 =A C 2+C 2,得 ACCD,在直角三角形。E中，D E =yCE2+C D2=47+16-X因为EO与平面8 CO所成角为3 0。，所 以 竺=即x =l,即C E =1.E D-V7 7 T 2即在线段AC上是存在一点E，使 E 与面BCD 成3 0。角，且 C E =1.2 0.华容道是古老的中国民间益智游戏，以其变化多端、百玩不厌的特点与魔方、独立钻石一起被国外智力专家并称为“智力游戏界的三个不可思议”.据 资治通鉴注释中说“从此道可至华容也通过移动各个棋子，帮助曹操从初始位置移到棋盘最下方中部，从出口逃走.不允许跨越棋子，还要设法用最少的步数把曹操移到出口.2 0 2 1 年 1 2 月 2 3 日，在厦门莲坂外图书城四楼佳希魔方，厦门市新翔小学六年级学生胡宇帆现场挑战“最快时间解4 x 4 数字华容道”世界纪录，并以4.877秒打破了“最快时间解4 x 4 数字华容道世界纪录，成为了该项目新的世界纪录保持者.(1)小明一周训练成绩如表所示，现用y =3 x +&作为经验回归方程类型，求出该回归方程.第 X (天)1234567用时y (秒)1 0 5 84 4 93 93 5 2 31 5(2)小明和小华比赛破解华容道，首局比赛小明获得胜利的概率是0.6,在后面的比赛中，若小明前一局胜利，则他赢下后一局的概率是0.7,若小明前一局失利，则他匾下后一局比赛的概率为0.5,比赛实行“五局三胜”，求小明最终赢下比赛的概率是多少.参考公式：对于一组数据(4,9),(4,%)，(4，匕)，其回归直线$=6+瓦 的斜率和截距的最小二 乘 估 计 公 式 分 别：方=-，a=v-Pu/=!7 7参考数据：=140,Z无戊=9 9 41=1i=I【答案】(1)y =-14.5x+10 8(2)0.68 55【解析】【分析】(1)先求出元?，套公式求出石和2,得到回归方程；(2)记小明获胜时比赛的局数为X,则 X的可能取值为3、4、5.分别求出其对应的概率，利用概率的加法公式即可求解.【小 问 1详解】由题意，根据表格中的数据，可得元=g(l +2+3+4+5+6+7)=4,9 =(10 5+8 4+49 +39 +35+23+15)=50,7 _卒)，一7 石 9 9 4-140 0 ”可得。=号-=-14.52 81=1所以近=了一 位=10 8,因此y 关于x的回归方程为：y =-14.5%+10 8.【小问2 详解】记小明获胜时比赛的局数为X,则 X的可能取值为3、4、5.P(X =3)=0.6 x 0.7 x 0.7 =0.29 4,p(X=4)=0.4 x 0.5 x 0.7 x 0.7 +0.6 x 0.3 x 0.5 x ().7 +0.6 x ().7 x 0.3x ().5=0.224p(X =5)=0.6 x ().7 x().3x 0.5 x ().5+0.6 x 0.3 x ().5 x 0.3 x ().5+0.6 x 0.3 x ().5 x ().5 x ().7 +0.4 x 0.5 x 0.5 x 0.7 x 0.7 +0.4 x O.5x O.3 x 0.5 x 0.7 +0.4 x 0.5 x 0.7 x 0.3 x 0.5=0.167 5.P,m=0.294+0.224+0.1675=0.6855.j-2 v221.已知双曲线。:=1（“0,0）过点（2,2）,且离心率为a2 b（1）求双曲线C的方程.（2）设直线/是圆0：/+尸=4上的动点尸，%）为/（）处的切线，/与双曲线C交于不同的两点A,B,证明：以AB为直径的圆过坐标原点.V2 V2【答案】（1）二-2_=12 4（2）证明见解析【解析】【分析】U）根据双曲线的基本量关系求解即可；（2）解 法1：先求得圆在点夕（4,九）处的切线方程为x0 x+%y=4,再代入双曲线方程化简可得+2/%q +（%2-8）=0,再设4（%,乂）,5（%2，%），根据韦达定理代入求得kOAkOH=-1 证明。4 _ L即可；解法2：同解法1,联立直线与双曲线的方程得（3/2-8）/8/%+32-4片=（）,再结合韦达定理计算可 得 砺 砺=0证明即可.【小 问1详解】由题意得：一=6,故c?=342=+，故6=2。2.a4 4 4 4 x又过点（2,2）可得 一-=1,即-=1,解得/=2,=4,则双曲线C的方程为二上=1a2 h2 a2 2a2 2 4【小问2详解】解 法1：因为点尸（%,%）（%。0）在圆Y+y2=4上，所以圆在点P（毛，匕 处的切线方程为丁一为二一五 七）,化简得/x+%y=4.则直线/的方程为q+以=4,代入双曲线C的方程2/一 丁=4,变形为4（2/一 /）=（/+,整理得（V +4）/+2x0y0 xy+（k一8）f =。等号两边同除以犬（犬 工（）,设 A（Ax）,B（X2,%），则 般%=入.*=一i，%+4 y0-+4故。A _ L O B,即以A B为直径的圆过坐标原点.解法2:因为点尸（乙）,%）0）在圆J?+y 2=4上，所以圆在点尸（X。，儿）处的切线方程为y-y0=-（x-x0）,化 简 得+x0y =4工 一 片=1由 “2 4 及 其+y：=4得（3/2-8*_ 8 x o X +32 4x；=0,四+为 工4:切线/与双曲线C交于不同的两点4、B,且0与2 4,3%2 一8 H0,且 =64x02-4（3x02-8）（32-4x02）0,设A、B两点的坐标分别为（玉,乂）,（与,），则 x1+x28%o _ 32 4x023片一8 1 3/2-8 则 OA-OB=xx2+y y2=x1x2+y（4-x0X j）（4-x0 x2）,%MW+6 4%（%+%）+年尤也4一X 0+.3/_ 8 4 32x02 x：（32-4/2）l o-；-1-；-3%-8 3%-832-4/2 32-4/23/2-8 3x0 -8=0,即以A 3为直径的圆过坐标原点.【点睛】本题主要考查了根据直线与双曲线的位置关系，证明圆过定点的问题，需要根据题意联立直线与双曲线的方程，代入韦达定理，利用斜率之积或向量之积证明直线垂直，进而证明定点在圆上.属于难题.2 2.已知函数/（x）=x l +、（a w R）.ev（1）当a=l时，求f（x）在点（1,7（1）处的切线方程.（2）若g（x）=e i/（x l）+x（l I n x）在x e l,+8）时有两个零点，求实数。的取值范围.【答案】（1）J =H+（2）（-o o,0）【解析】【分析】(1)由导数的几何意义求出斜率，再由点斜式求解即可；(2)g(x)=(x-2)ex-+a(x-1)2-X I n X +X,若 g(x)在 工 内)上有两个零点,令h(x)=(x -l)er-(x +1)l n(x +1)+ax2+X+1,X G 0,+O O),则 (x)在 0,+8)上有两个零点，再利用导数法研究函数的零点即可【小 问1详解】X2当。=1 时，/(x)=(x-l)+,ex2 r x所 以-&)=1 +仝 七,e*所以 r(i)=i+-.e又/=Le所以曲线y =/(x)在点(1,/。)处的 切 线 方 程 为=+即 y =+jx-l.【小问2详解】g(x)=(x-2)e*T +a(x-x l n x +x,若g(x)在 l,+o o)上有两个零点，令(x)=(x -l)e*-(x +1)l n(x +1)+o r?+x +1,x e 0,+o o),则 h(x)在 0,+o o)上有两个零点,h(x)=x e*-l n(x +1)+lax,令(p(x)=hx)=xex-l n(x +1)+lax,则 0 x+1 (x+1)所以9(x)在 0,+o o)上单调递增，故(px)。(0)=2a.当a 2 0时，。(%)2 0,夕(%)在0,+00)上单调递增，0(x)2 e(O)=O，即(x)N 0,则(x)在 0,+8)上单调递增，所以(x)2(0)=0,所以(x)有且仅有1个零点，不符合条件.当 a 0 时、e(O)=2a 2 a+1 l +2 a=0,-2 a+1所 以 加e(0,2 a),使得“小)=0.当x 0,%)时，“(x)0,夕(x)单调递减，则0(x)0,?(x)单调递增，因为当Xf+8时-，g(x)f+,所以存在V,使得夕(x)=0.即当x e (),x)时，/z(x)W 0,则(x)在 (),)上单调递减，当x e(x,+o o)时，h(x)0,则7i(x)在(匕+8)上单调递增,又 (0)=0,当 X f +O O 时，()+8,所以(x)在X G 0,+8)上有两个零点.即g(x)在 1,田)上有两个零点.综上所述，实数。的取值范围是(-8,0).【点睛】分类讨论思想是高中数学一项重要的考查内容.分类讨论思想要求在不能用统一的方法解决问题的时候，将问题划分成不同的模块，通过分块来实现问题的求解，体现了对数学问题的分析处理能力和解决能力