十年高考真题（2013-2022）与优质模拟题汇编（新高考卷与全国专题08三角函数与数列解答题（解析版）.pdf

大数据之十年高考真题(2013-2022)与优质模拟题(新高考卷与新课标理科卷)专题08三角函数与数列解答题.真题汇总I 一.1.【2 0 2 2 年全国甲卷理科1 7】记S”为数列&的前项和.已知一+兀=2 0n+1.(1)证明：与 是等差数列；(2)若成等比数列，求右的最小值.【答案】(1)证明见解析；(2)-78.【解析】(1)解：因为+几=2%+1,即 2 S n +=2?1 即+几，当n Z 2 时，2 Sn_i 4-(n -l)2=2(n -1)Q?T+(n -1)，一得，2Sn 4-n2-2 szi_i -(n -l)2=2n an+n -2(n -1)八 一 1 -(n -1),即 2 即+2 n 1 =2n an-2(n -1)即 一 i +1 即 2(九l)an-2(n -l)a吁i =2(n 1),所 以%an_r=1,n 2 且？i G N*,所以 斯 是以1为公差的等差数列.(2)解：由(1)可得。4 =%+3,劭=Q i +6，9=%+8,又。4，的成等比数列，所以。7 2 =0 4，。9，即(。1 +6)2=(a1+3)Q +8),解得的=1 2,所 以%=n 1 3,所以s n=_1 2 n +竽=,=乂等 2 一等，Z Z Z L L/o所以，当n =1 2 或m=1 3 时(S J m i n =-78.2.2 0 2 2 年全国乙卷理科1 7】记4 A B C 的 内 角 的 对 边 分 别 为 a,b,c,已知s i n C s i n(4 -B)=s i n B s i n(C -/)(1)证明：2 a2 =：b2+c2；(2)若a=5,c o s 4 =小 求 A B C 的周长.【答案】(1)见解析 1 4【解析】证明：因为 s i n C s i n(/4 一 B)=s i n B s i n(C -4),所以 s i n C s i n 4 c o s 8 sin Csin B cosA =sin B sin CcosA -sin B sin A cosCf所以Q C 2ac 2bc Zab即 妇 乂 _&+C2-a2)=-立 I,2y 2所以2 a2 =按+/；(2)解：因为a=5,c o s =看由(1)得匕2 +。2 =5 0,由余弦定理可得a?=b2 4-c2-2b ccosA,贝 I J 5 0-*c =2 5,所以be=弓，故(b+c)2=b2+c2+2b c=5 0 +3 1 =8 1,所以b+c =9,所以 4 8 c 的周长为a+b+c =1 4.3.2 0 2 2 年新高考1 卷 1 7记%为数列%的前n项和，已知的=1,七；是公差为,的等差数列.(1)求 a j 的通项公式；1 1 1(2)证明：-+-+-+-2.,ai az an【答案】(1)即=吟 由(2)见解析【解析】,；%=1，S i =%=1,六肃=1，又：阕是公差为狗等差数列，.号=l+i(n-l)=等,.=.当n 2 2 时，S _!=(n+1)a,-1,%=Sn-S 戊_ i=5+2)。“5+1)的 一133整 理 得:(n-l)an=(n+即 工n-ln+1n-i9a =aix?x2x-x5x5;Y 3 4 n n+1 n(?i+l)=1 X-X-X.X X=_-2 3 n-2 n-1 2显然对于几=1也成立,.册 的 通 项 公 式 即=智；%=前；=2(4马，：.-+工+!=2(1-9 G-,+G )1=2(1 )2a2 an L 27 2 3/n n+17J I n+174.【2022年新高考1卷18记4BC的内角/,B,C的对边分别为，b,c,已知詈=言 .1+smA l+cos28若。=手 求8；(2)求 学 的最小值.【答案】(;(2)472-5.【解析】因为 =叱：。=2 s m*8 =即 sinB=cosAcosB sinXsinB=cos(4+B)=cost=l+cos2F 2coszF cosB、/2而0 8 0,所以 V C e。B 2 V 8-5 =4V2-5-C O SD cos4B当且仅当COS2B=立时取等号，所 以 哗 的 最 小 值 为4V 2-5.2 T5.(2 0 2 2 年新高考2卷 1 7已知 a j 为等差数列,他“是公比为2的等比数列，且a2 一吊=a3 -%=为一 4.(1)证明：的=%1；(2)求集合 川瓦=c i m +a1(1 m 5 0 0 中元素个数.【答案】(1)证明见解析；(2)9.【解析】(1)设数列 册 的公差为d,所以，(+14或 即可解得，匕=a =$所以原命题得证.(2)由(1)知，/=a】=g,所以瓦=c i m +%Q x 2fe-1=a+(zn l)d +a 即2i=2m 亦即m=2k-2 e 1,5 0 0,解得2 W k W 1 0,所以满足等式的解k =2,3,4,1 0,故集合 4瓦=am+a1,l m 又 s i n B .则 c o s B =Ji-，苧，砒=六=咯 则 S A 4 B c=、c s i n B=9(2)由正弦定理得：合=高=焉，则 高=矣 屋;=/嬴=方=3b,=-3 s i.n nn =12 2则R7 .【2 0 2 1 年全国甲卷理科1 8 已知数列 a“的各项均为正数，记又 为 小 的前项和，从下面中选取两个作为条件，证明另外一个成立.数列 a“是等差数列：数歹(1 疯 是等差数列；a2=3%.注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.【答案】答案见解析选作条件证明：设=a n +&(a 0),贝iS =(a n +6)2,当n =1时，%=S i =(a +b)2；当n 2时，an=Sn S g i =(a n +f t)2 (a n a 4-6)2=a(2an a +2 b)；因为 册 也是等差数列，所以(a +b)2 =a(2 a a +2 b),解得b =0；所以册=a2(2n-1),所以a?=3 a l.选作条件证明：因为&=3，册 是等差数列，所以公差d =a?-=2%，所以=7 1 a l +产 d =n2a19 即=y/a n,因为J sn+i -=y/a(n+T)一 丁可力=所以 店 是等差数列.选作条件证明：设y n=a n +&(a 0),则=(a n +6)2,当n =1 时，%=S =(a +b)2；当n 2时，an=Sn-Sn_x=(a n +b)2-(a n -a +&)2=a(2an-a 4-2 b)；因为。2 =3的，所以a(3 a +2 b)=3(a +b)2,解得方=0或6=一半；当b =0时，at=a2,a,=a2(2n -1),当n N 2时，t i n-an_ i =2 a?满足等差数列的定义，此时 a“为等差数列；当。=一争寸，=a n +b=an -展 =一?i.2b2 2bn _ .所 2比1 2b2T 2bn-l n*所 以 券 券 券、=,ZDj 1 202 1 2%+L 1所 以 券、=乎，2如+1-1 bn由于。忆+1中0所以二 二 白 即 以+1-垢=3,其中n e wx un/所以数列 b“是以如=1 为首项，以d=T为公差等差数列;（2）由（1）可得，数列 b,J 是以/=称为首项，以d=3为公差的等差数列,1 +（n -1）x=1+pW _ 2bn _ 2+nn 一 2bn-l -l+ii,当 n=l 时，。=S i =I，当佗2时，“=sn-S,T =翟-=-而%，显然对于=1 不成立，11.【2 0 2 1年新高考2卷 17 1记Sn 是公差不为0的等差数列/的前项和,若。3=$5，。2。4=$4.(1)求数列%J的通项公式4；(2)求使S,册成立的n的最小值.【答案】(1)。=2 7 1-6；(2)7.(1)由等差数列的性质可得：S5=5 a 3，则:a3=5 a 3,二a3=。，设等差数列的公差为d,从而有：a 2 a 4=(。3 d)(a 3 +O =d?,S4=(i +Q2 +=(。3 2 d)+(Q3 d)+%+(0 3 d)=2 d,从而：d 2=2d,由于公差不为零，故：d=2,数列的通项公式为：an=。3 +(办-3)d=2 n -6.(2)由数列的通项公式可得：a 1=2 -6 =-4,则：Sn=n x (-4)+，l(y x 2 =n2-6 n,则不等式S”“即：n2-5 n 2 n -6,整理可得：(n l)(n 6)0,解得：6,又r i为正整数，故n 的最小值为7.12 .【2 0 2 1年新高考2卷 18】在A A B C 中，角4、B、C 所对的边长分别为a、b、c,b =a +l,c=a+2.(1)若2 s in C =3 s in A,求 A B C 的面积；(2)是否存在正整数a,使得A 4 B C 为钝角三角形?若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由.【答案】(1)；(2)存在，且a =2.4(1)因为2 s in C =3 s in 4,则2 c =2(a +2)=3 a,则a =4,故b =5,c =6,cosC-J =工,所以，C 为锐角，则 sinC=/1-co s2 c=2ab 8 8因 此,SABC=1a&s in C =|x4 x5x=(2)显然cba,若 A B C 为钝角三角形，则C 为钝角，由余弦定理可得cosC=驾三=小(：+了-(：+2产=弊案 0,2ab 2a(a+l)2a(a+l)解得一 1 a 3,则0 a a +2,可得a 1,a e Z,故a =2.13 .【2 0 2 0 年全国1卷理科17 设 a“是公比不为1 的等比数列，如为。2,。3的等差中项(1)求 册 的公比；(2)若%=1,求数列 n t0 的前n 项和.【答案】(1)-2；(2)S,=【解析】(1)设%的公比为q,%为。3的等差中项，2al=a2+a3,at 0,q2+q-2=0,q 1,q=-2；(2)设 n an 的前n 项和为5”,%=1,%=(-2)f5,t=1 x 1+2 x(-2)+3 x(-2)2+-+n(-2尸，-2 Sn=1 x(-2)+2 x(-2)2+3 x(-2尸+(n-1)(-2)-1+n(-2)n,一得，3%=1+(-2)+(-2)2+(2)n-i-n(-2)n=1-(-2)_ z _ 2 yl=l-a+3n)(-2)n1-(-2)3.c _ l-(l+3n)(-2)-n 91 4.【2020 年全国 2 卷理科 17】A4BC中，sin24-sin28sin2C=sin5sinC.(1)求 Z；(2)若B C=3,求aABC周长的最大值.【答案】拳(2)3+2V3.【解析】(1)由正弦定理可得：BC2-AC2-AB2=AC AB,cos4=心+必 一 上ZAC AB12fv A G(0,7T),/.A=.(2)由余弦定理得：BC2=AC2+AB2-ZAC ABCQSA=AC2+AB2+4C 4 8 =9,即Q4C +AB)2-A C AB=9.7 AC AB (AC+AB)2-=1(AC +AB)2,解得：AC+A B 2V3(当且仅当4 c=4B时取等号)，4BC 周长 Z,=AC+AB+BC 0),则：=Q2+从-2abcosC=3m2+m2-2 x V3m x m x-=m2,即c=m.选择条件的解析：据此可得：ac=V3m x m =V3m2=V3,A m =1,此时c=m =l.选择条件的解析:门 “b2+c2-a2 m2+m2-3m2 1据此可得：cosA=2 2bc 2 m 4 2则：sin4=J l-(-g)=与,此时：csinA=m x 弓=3,则：c=m=2 7 3.选择条件的解析：可得；=巴=1,c=b,b m与条件c =6b矛盾，则问题中的三角形不存在.解法二：sinA=/3sinB,C=-,B =n (4+C),6.sinA=V3sin(4+C)=V3sin(4+JsinA=V3sin(4+C)=y/3sinA-+VScosA-g,/.sin A=y/3cosAt.tanA V 3,.A=W，=C =*，若选，ac=V3,.a=V 3&=V 3 c,.,.y/3c2=V3,/.c=l;若选，csinA=3,则 字=3,c =2 /3;若选,与条件c =矛盾.1 7.【2020年山东卷18】已知公比大于1的等比数列%满足。2+。4=2 0,。3 =8.(1)求 即 的通项公式；(2)记b m 为%在区间(O,m On 6 N*)中的项的个数，求数列 瓦 的前1。项和5 io o.【答案】(1)%=2%(2)Sio o =48 O.【解析】(I)由于数列s n 是公比大于1的等比数列，设首项为,公比为(?，依题意有卜解得解I a i 2=%=1，即有2个1;限 如 久,对应的区间分别为：(0,4 ,(0,5 ,(0,6,(0,7,则=既=%=%=2，即有L个2；无，如，,对应的区间分别为：(0，用,(0,9,(0,15 ,则万 8=%=“=%5 =3,即有23个3；6，勿7,对应的区间分别为:(0,16,(0,17,(),31,则如6=/7 =”,=/i =4，即有24个4；%2，/3,63对应的区间分别为：(0,32,(0,33,(),63,则=/3 =/3 =5，即有25个5；加4/65,，如00对应的区间分别为:(0,64 ,(0,65 ,-,(0,100,则d 4 =%5 =如oo=6,即有37个6.所以 S i oo=1X2+2X22+3X23+4X 24+5X 25+6X37=4 80.18.【2020年海南卷17】在a c =6,c s i n4 =3,c =四匕这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c的值；若问题中的三角形不存在，说明理由.问题：是否存在AA B C,它的内角4 8,C的对边分别为a,b,c,且s i n4 =g s i nB,C =g?o注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】详见解析【解析】解法一：由 s i nZ =6 s i nB可得：？=V 3,b不妨设Q =y/3m,b =m(m 0),则：/=Q2+82-2ab cosC=37n2 4-m2-2 x 4 3 m x m x y=m2,即c =m.选择条件的解析：据此可得：ac=/3m x m =y/3m2=V 3,m=1,此时 c =m=1.选择条件的解析：据此可得:cosAb2+c2_a2 _ 府+=2-3-2-2bc_ 15 则：sin A =/I (-)2=,此时：c s i nA =m x 且=3,则：c=m =2V 3.7、2 2 2选择条件的解析:可得J =1,c=b,b m与条件c =矛盾-，则问题中的三角形不存在.解法二：u：sin A =y/3sin B,C =j 8=兀 -(A +C),/.sin A=73 s i n(A+C)=V 3s i n(A+Jsin A=V 3 sin Q 4 +C)=y/3sin A-个 +3cosA-1,：.sin A =-y/3cosA,：.tan A =-y/3,：.A=y,.B =C =J若选，ac=V 3,/a 3b=V 3c,V 3c2=V 3,.c=l;若选，csin A=3,则?=3,c =2V 3;若选，与条件c=旧 6矛盾.19.【2020年海南卷18已知公比大于1的等比数列 厮 满 足+。4 =20,a3=8.(1)求 a 9 的通项公式;(2)求由。2-a2a3+(-l)n-1anan+1.o 921i+3【答案】(l)=(2)【解析】(1)设等比数列 八 的公比为g(q l),则a2 4-a4=atq+arq3=20a3=atq2=8整理可得：2 q 2-5 q +2=0,:q 1,q=2,a 1=2,数列的通项公式为：an=2-2-1=2n.(2)由于：(一1尸 一 1。；1。+1=(一 1尸 一 1 x 2n x 2n+1=(一1尸-1221故：+.+(-l)n-1anan+1=23-25+27-29+l)nT -22n+1一 23 kH1-(1)一a72n+3A+C20.【2019年新课标3 理 科 18】X B C 的内角4、B、。的对边分别为a,b,c,己知s i n-y =b s i M.(1)求 5；(2)若 为 锐 角 三 角 形，且。=1,求 Z B C 面积的取值范围.【答案】解：(1)asin-4+C2,7T B B=b s i M,即 为 s i n%-=a c o、=b s i n4,B B B .可得 s i nJ c os -=s i n s i nJ =2s i ny c os y s i i L 4,V s i n/f 0B .B Bc o 丐=2s i ny c os y,B若 c os 5=0,可得 8=(2H1)IT,X rW Z 不成立,B 1*.s i n-=二，2 2由 0 1且 i+a2-a+i a2t解得g a2,可得/8C 面积 S=iasin-=a&(坐，).，3 4 8 22 1.【2019年全国新课标2 理 科 1 9 已知数列 斯 和 仇 满足m=l,fei=0,4斯+1=3劭-儿+4,4 m 1=3s-an-4.(1)证明：劭+/是等比数列，斯-氏 是等差数列；(2)求 斯 和阿 的通项公式.【答案】解：(1)证 明:*.*4an+1 =3an-/?w+4,4MH=3b-4；4(1 +b“+T)2(4+hfi),4(1 -b+1)=4(cin-bn)+8；即。+1+儿+1=*(a“+b”)，an+-bn+=an-包+2；又 m+bi=l,a-6i=l,1 s+d 是首项为i,公比为5的等比数列，-/%是首项为1，公差为2 的等差数列；1(2)由(1)可得：an+bn=(-)/r l,an-力?=1+2(/?-1)In-1；Un +一 参1、1bn=(彳)n +oZ 乙2 2.【2019年新课标1理 科 1 7 NBC的内角/,B,C 的对边分别为“，b,c.设(sin-sinC)2=sin2/-sinfisin C.(1)求 4；(2)若d a+b=2 c,求 sinC.【答案】解：(1)/6 C 的内角4,B,C 的对边分别为，b,c.设(sinB-sinC)2=sin1 A-sinBsin C.则 sin25+sin2C-2sin5sinC=sin2J-sinBsinC,.由正弦定理得：h2+c2-a2=hc,.b2+c2-a2 b e 1c。84 2b c=赤=2,7 TV O J T T,/=全(2)：2a+b=2cf/.由正弦定理得企s i n4 +sin B =2sin C,V 6 27r +s i n(C)=2sin C解得s i n(C 看)=孝,C一看=/，0=与+看，n n n n n n V 2 V 3 V 2 1 V 6+V 2/.s i nC=s i n(-+-)=s i n-c os-4-c os-s i n-=x +x -=-.4 6 4 6 4 6 2 2 2 2 423.【2018年新课标1 理 科 17】在平面四边形/8 C O 中，N 4 D C=90 ,N%=4 5 ,A B=2,(1)求 cosZ A DB；(2)若 D C=Z j i,求 A C.【答案】解：(1)V Z A D C=9 0Q,Z A=4 5,A B=2,60=5.一工 人 8 B D 口 2 5 由正弦定理得：-=-,即-=-,sin 乙 A DB sin Z-A sin 乙A D B s i n4 5./,2sin 4 50 _ _ /2 s i n/4Z)D=-g-=-g-,:A B B D,:AD BJB D2+DC2-2 x B D x DC x cos B DC=125 +8-2 x 5 x 2鱼 x *=5.24.【2018年新课标2 理 科 17记 S为等差数列 斯 的 前 项 和,已 知 m=-7,S3=15.(1)求但 的通项公式；(2)求 S,并求S,的最小值.【答案】解：(1)二等差数列 四 中，1=-7,$3=-15,.*.?!=-7,3ai+3d=-1 5,解得 a i=-7,d2,an 7+2-1)2n-9；(2)：ai=-7,1=1,an=2n-9,/.Sn=掾(+a”)=(2n2 16n)=n2-8=(-4)2-16,，当 n=4 时，前 n 项的和Sn取得最小值为-16.2 5.【2018年新课标3 理 科 1 7 等比数列 斯 中,a ,a5=4ay.(1)求 斯 的通项公式；(2)记 区为 斯 的前项和.若S”=6 3,求 w.【答案】解：(1)：等比数列 加 中，ai=l,。5=43.，lXq4=4X(I X/),解得q-+2,当 g=2 时，a=2n,当 q-2 时，an (-2)n二 a”的通项公式为，a=2n l,或 即=(-2)(2)记必为伍 的前项和.当 g 1 一-2 时-1(7)_ 1-(-2)-1一(一 2产1 6,1-1 1 4一 2 盯，品一 1_q-i_(_2)-3，由 品=6 3,得际=1=(拦尸=63,m GN,无解；当 m=l,g=2 时，S=Q1-n)=2-1,由 Sm=63,得 s=2？-1=6 3,加 WN,解得m=6.“22 6.【2017年新课标1理 科 1 7ZHC的内角4,B,。的对边分别为，b,c,已知48C 的面积为二一二3sinA(1)求 sinBsinC；(2)若 6cos氏osC=l,Q=3,求43C 的周长.【答案】解：由三角形的面积公式可得S用 c=*c s in 8=j,/oSLTl/i.3csin8siM=2a,由正弦定理可得3sinC sinsirL4=2sinJ,siMWO,Jsin5sinC=手(2)V6coscosC=l,/.C OSC OSC=N，61coscosC -sin5sinC=762 1L21/.cos(8+C)=-a*4 1 cos/i=2，V 0 J n,4/=可71赤=/=嬴=2汽=直=2 8b c be be 2/.Sin 5 s in C=-=-=?V a1=b1+c1-2bccosA,.,./+e2-bc=9,：.(b+c)2=9+3cb=9+24=33,b+c=V33*周长 a+b+c=3+V33.2 7.【2017年新课标2 理 科 1 7 4 8 C的内角4 B,C的对边分别为a,b,c,已知sin CA+C)=8sin*.(1)求 cosB；(2)若 +c=6,力B C的面积为2,求瓦【答案】解：(1)sin(/+C)=8 sin j,*.sinB=4(1 -cosB),Vsin25+cos25=1,/.16(1 -cos5)2+C OS25=1,/.16(1 -cosB)2+C OS2B-1=0,/.16(cosB-1)2+(cosB-1)(cosB+1)=0,(17cos-15)(cosB-1)=0,.o15.*COSD=j-y；o(2)由(1)可知 sin8=yy，:SABC=|qcsin6=2,.ac1=72，/.b2=a2c2-2accosB=a2+c2-2x 孝 x 挎=/+/-5=(Q+C)2-2ac-15=36-17-15=4,：.b=2.2 8.【2017年新课标3理 科1 7 4BC的内角4 B,。的对边分别为防b,c,已知siM+bcosZ=0,=2V7,b=2.(1)求 c；(2)设D为BC边上一点、,且4 Q L 4 C,求力8。的面积.【答案】解：(1)VsiiU+V3cos=0,/.tanJ=-V3,V 0 J i i =/g l l =l,6 i o i =/g l O l =2.（I I ）由（1 ）可知：b b 2b 3-b Vtzi2+2ai=4tzi+3,，a i=-1 (舍)或 ai=3,则 斯 是首项为3,公差d=2 的等差数列，斯 的通项公式为=3+2(77-1)=2耳+1：(II).斯=2+1,.1 1 11 1/，册+1 (2n+l)(2n+3)-2(2n+l-2n+3.、，1 1数列 d 的削n 项 和 Tn=(-/31-5+1-5一1 +-1-1-)=i(一l-l-)=-n-7 2n+l 2n+3 2 3 2n+3 3(2 九+3).3 3.【2015年新课标2 理 科 1 7 ZBC中，。是 5 C上的点，4 D平分NB4C,48。面积是4。面积的2 倍.、sinB 求 薪;(2)若 4 0=1,DC=节,求 8。和 4 c 的长.【答案】解：(1)如图，过 4 作于E,.SAABD 2B D X A E 0-=7-=2SADC-DCxAE:BD=2DC,.7。平分 N 84c:NBAD=/D ACBDAD-=-,AsinZ=sinZ-BAD sinZ-BADxsinz.BADBD在力。中,DCADs出 血C =嬴？AsinZC=ADxsinZ.DACDC在48。中,sinZ-B DC 1 6 分sinZ-C BD 2(2)由(1)知，B D=2D C=2x=/2过。作 于 作 QNJ_ZC 于 N,.1。平分 NR4C,:,DM=DN,/由/处DM qS“D C ACxDN：.AB=2AC,令 A C=x,则 48=2x,：NB4D=NDAC,/.cos Z BAD=cos ZD AC 7工由余弦定理可得:(2X)2+12-(V2)2/+-(孝)2=,2x2xxl-2xxxl：.x=f AC=1,5 D 的长为V L NC的长为1.3 4.【2014年新课标1理 科 1 7 已知数列。八的前项和为S”a=y anan+=XSn-数.(I)证明：an+2-入(I D 是否存在入，使得 斯 为等差数列？并说明理由.【答案】(I)证明：如+i=AS-1,。+ia+2=A5+i-1,斯+(4“+2-4”)=儿7”+1 :即+1W 0,C ln+2 an=入.1,其中人为常(H)解：假设存在入，使得 4 为等差数列，设公差为4则入=。+2-4“=(a什2-斯+1)+(。+1 -a”)=2d.；.d=李an=1+-(q-l),an+1=1+竽：.ASn=l+l+f l+=-n2+(A-)n+2-,1(II)由(I)知 一=anM H 0根据 斯 为等差数列的充要条件是2 _ 4 =0,解得入=4.此时可得又=n2,an=2n-1.因此存在入=4,使得 斯 为等差数列.也可以先考虑前3 项成等差数列，得出入，再进一步验证即叽3 5.【2014年新课标2 理 科 1 7 已知数列 斯 满足ai=l,即+1=3 +1.(I)证明。+是等比数列，并求 斯 的通项公式;、十 1 1 1 3(II)证明：一+一.Q1 0,2 2【答案】证 明(I1 1 1an+i+2 3an+l+-3(0n+5)=1 -=3,an an+2 an+21 3:Q 1+,=2 wO,数列 a+当是以首项为1，公比为3 的等比数列;4 2.+之1=23 x o3n _i1 =-3yn,HHnP a3n-ln=-2-；23n-l当2 2 时，3 7 3”-3 1 _ 2 2_1_乙=3n-l 3n-3n-1=1 3当 n=1 时，一=1 二成立,Q 1 2当2 时,J_ A J_ L 1.,1 1 l-(3)n _ 3 1、一 3；+豆+Z 3丞 行=T=2(前)于,L1 1 1 3 对 N+时，一+.al a2 an 23 6.【2013年新课标1理 科 17如图，在ABC 中，NABC=90,AB=V3,8 c=1,P 为/B C内一点,NBPC=90.(1)若PB=今,求我;(2)若乙“8=150,求 ta n/P 8 4cp D 1【答案】解：(/)在 RtZkPBC 中，cos/PBC=浣=m:./PBC=6Q,：.ZPB A30.在尸8/中，由余弦定理得 PA2=PB2+AB2-2 尸 8 48cos30=(1)2+(V3)2-2 x 1 x V 3 x =.PA 2*()设N尸 8/=a,在 RtZP8C 中，PB=BCcos(900-a)=sina._ 一 ,._ ,AB PB y/3 sina在尸8 中,由 正 弦 定 理 得 嬴 而=薪 行 而 即 诉=嬴 的 二 了化为docosa=4sina./.tana=q3 7.【2013年新课标2 理 科 1 7 4BC在内角4、B、C的对边分别为a,b,c,已知=6cosC+csiM.(1 )求 8；(I I)若 6=2,求48。面积的最大值.【答案】解：(I)由已知及正弦定理得：sin4=sin8cosC+sin8sinC ，V sin?l=sin(8+C)=sin8cosc+cos8sinC ，/.sin=co sfi,即 tariff=1,.8 为三角形的内角，二8=%(II)S&ABC=*sin8=由已知及余弦定理得：4=a2+c2-2accos7 2ac-2acx写，4z整理得：“cW 麦，当且仅当a=c 时，等号成立，1 V 5 4 1则4 4 C面积的最大值为二 x x-j=-x y/2 x(2+V2)=V2-Fl.2 2 2 V2 2模拟好题1.已知a,b,c分别为锐角三角形ABC 三个内角A,B,C 的对边，且b c=2asinC.(1)求 4(2)若a=V7,b=2,求c；(3)若 cosB=j,求 sin(2B-A)的值.【答案】(呜(2)3(33 浮【解析】由 于。c2 2c 3=02bc 4c 2解得C=3 或C=一 1(舍)，故 C=3.(3)由 cosB=I，可得 sinB=cos2B=cos2B sin2B=33 94J5sin2B=2sinBcosB=-9所以 sin(2B A)=sin28cos4-cos2BsinA4V5 1 1 V39 2 i 9，2_ 4遥+代-18-2.在 ABC中，角 4 B,C 的对边分别为 ，b,c,(b+a)(sinA-sinB)=(c-b)sinC.(1)求角A 的大小；(2)设a=2,cosg=与，求 b.【答案】(1)4=*(2)b=3【解析】(1)由题设(a +b)(a b)=(c b)c,即b e =c2+h2 a2,所以 cosA =Jt二?.=i,又 0 A V T T,故A=g.2bc 2 3(2)由(1)知：0 V 8 则 0 V?1),由等比数列的前项和公式可得，S n =12 +6 X亚3 计1+3,所以 S 的通项公式S”=3 1+3.(2)由于 Sn=3 +i +3,“以 C八 l og 3(Sn-3)l og 3(Sn+i 3)(n+1 n+2)n+2 n+11则7 =+-+.+二 二 二 二-i,因为n M,所 以+。，所 以+-一5又7 随的增大而减小，所以当n =l时，7 n 取得最大值一,故一片底士-去4 .已知数列 册 的 前 项 和 为 工=+1,正项等比数列 勾 的首项为由,且a i%+a 2 b 2 +。3 瓦=14.(1)求数列%和 刈 的通项公式；(2)求使不等式勾 (含 丫 (n2)成立的所有正整数n组成的集合.【答案】即=2n2_ 1,左；以=(2：(2)3,4,5,6,7).【解析】(1)因为数列 噩 的前 项和为5 =/+1,所以当?1 =1时，=2；当nN 2 时，an=Sn-Sn_1=2 n-1,故n 2所以o 2 =3,的=5，从而a】3+。2 b 2 +a3b l=1 4,化为 2 d3+3b2+5 b l =1 4,又因为数列 九 为正项等比数列且比=%=2,设公比为q,且q 0,又 2 q2 +3 q 2 =0,解得q=或 勺=-2 (舍)，从而b=(J 2.(2)当n 2时，不等式勾 (37 7y转化为2 n _2 1,记f 5)=第,f(2)=1 /=2,/(4)=/(5)=2,八6)=g,/(7)=|,/(8)=弟当n 2 4时，需=焉、高=葩*1,八单调递减，所以f(n)(看)成立的所有正整数组成的集合为 3,4,5,6,7 .5 .已知数列 即 的前项和为S”，且 2 Sn =3%-3.(1)证明数列 册 为等比数列，并求出数列 斯 的通项公式；(2)设8n=l o g3an,求数列 斯力 的前n项和Tn.【答案】(1)证明见解析，%=3 3n 4 4【解析】(1)当n =1 时，由 2 s l =3 a l -3 可得%=3,由已知 2Sn=3an-3,有 2 sl i+i=3 an+x 3,两式相减得 2 八+1 =3 az i+i-3 an，即即+i =3(zn,因为%=3,所以册H 0,所 以 詈=3,所以数列%是以3为首项，3为公比的等比数列，所 以%=3n；(2)由(1)可得勾=l o g 3 即 二九，所以即儿=7 1 3 ,Tn=1 x 3 4-2 x 3 +3 x 3 +.4 n x 3n,则 3 加=1 X 32+2 x 33 4-.4-(n -1)x 3n 4-n x 3n+1,所以-2 7 =3 +3 2 +3 3 +.+3 n nx3，+i=(123，1+t _|,所以=：+一”.6.已知数列 斯 的前 项和%满足4 0n-2 Sn +n 2 -3 n-4 =0,n e N*.数列 九 满足d=1,2nbn+1anbn,n E N*.(1)求证：数列 即-n 为等比数列，并求数列 a 的通项公式；(2)求证：%+i 以 2 3一 翳,n N*.【答案】(1)证明见解析，%=2 +n(2)证明见解析【解析】(1)当n=1 时，Q 1 =3;当 N 2 时，4Q?L I 2 s 口 一 +(n 1)之一3(TI 1)4 =0,n G N*,所以 4(即一%_i)-2an 4-2 n -4 =0,整理得册=2an1-n +2.所以Q 一 =2 八 _ (H-1),又一 1 =2 H 0,故册一7 1 H 0.所以 =2,即 a“-n 为等比数列.所以即一几=2 ,即=2 +un-1*)(2)由题意得b+i=(1 +揄%，所以0+i与勾同号,又 因 为 瓦=10,所 以 勾 0,即以+1-勾=/力 0，即0+%.所以数列 勾 为递增数列，所 以%2瓦=1,B P n+i bn=却口 2 端,累加得bn 比 1 +-+号 .令7=椽+舒,，所以1n=+捻+展，两式相减得：箱 =,+,+)+备一*=1号2一号,1-2所以=2器，所以九2 3-貂，所以勾+】%23霜 7.已知数列%为等差数列,。2 =3,%4 =3。5，数列 的前项和为S”，且满足2 s =3 bn-l.(1)求 册 和 九 的通项公式；(2)若金=册%，数列%的前项和为7”，且7 -展3 n 2)故数列%是 以1为首项，3为公比的等比数列，所以b=3 5 1 5 N+).(2)解：数列 品 中，cn=an-bn=(2 n -1)-3n-1.则7 =1 x 3 0 +3 x 3 1 +(2 n -3)3n-2+(2 n -1)-3-1所以 3 7 =1 x 3 1+3 x 3 2 +(2 n -3)-3N T+(2 n -1)-3n故2 7 =1 +2(3 1+32+.+3 T)-(2 n -1)-3n=-1 +2(3 0 +3+3计】)1 -3n-(2 n-l)-3n=-l +2-(2 n -1)-3n=(2 -2 n)-3n-21 3所以 7 n =5-1)-3。+1V (-l)n-m Tn-n-3n=l-3 对 n N*恒成立.当 n 为奇数时，(1)m =-m 1 -3 n m 3 -1 =m (l 3n)m a x=1 32=8综上：实数 7的取值范围为m e(-8,2).8.已知数列 o j的前项和为S，%=-1 1,a2=-9,且Sn+1 +5n-i-2 Sn=2(n 2)(1)求数列“的通项公式；(2)设 勾=-,数列出 的前项和为。?，求使得7 0 的的最大值.anan+l【答案】刖=2-1 3(2)5【解析】(1)由题意知(S+/-S)-(S n -S n=2,解得 an+i-an=2(n 2)又。2 -。/=2,所以 3 7 是公差为2的等差数列，贝 lj an =ai+(/?-1)d=2n -1 3：1 ii i(2)由遨知瓦：(2n-13)(2n-ll)=2