十年高考真题（2013-2022）与优质模拟题汇编（全国文科数学）专题09平面向量（解析版）.pdf

大数据之十年高考真题(2013-2022)与优质模拟题(新课标文科卷)专题09平面向量.真题汇总，.1.【2022年全国乙卷文科03】已知向量豆=(2,1),万=(一 2,4),则忸一同()A.2 B.3 C.4 D.5【答案】D【解析】因为&b=(2,1)(2,4)=(4,3),所以区司=“2+(3)2=5.故选：D2.【2020年全国2 卷文科05】已知单位向量a,6 的夹角为60。，则在下列向量中，与人垂直的是()A.a+2b B.2a+b C.a-2b D.2a-b【答案】D【解析】由已知可得：a-h=|a|ii|cos60=l x l x =1.A：因为(3+2b)b=H b+2b2=g+2 X 1=g 力0,所以本选项不符合题意：B：因为(23+石)万=2 五 不+5 2=2 乂1+1 =2。0,所以本选项不符合题意；C：因为(H 2b),万=N ,b 2b2=g 2 x 1=,力0,所以本选项不符合题意；D：因为(2H方)石=2五,万一万2=2 x 1 1=0,所以本选项符合题意.故选：D.3.【2019年新课标2 文科03】已知向量展=(2,3),b=(3,2),则 值 一 百=()A.V2 B.2 C.5V2 D.50【答案】解：=(2,3),b=(3,2),：.a-b=(2,3)-(3,2)=(-1,1),/.|a b=，(1)2+12=y/2.故选：A.)4.【2019年新课标1文科08】已知非零向量：，b满足向=2网，且(2一万)J_ b,贝笈与b的夹角为(A 1 R r -D-6 3 3 6【答案】解：G Lb,A(a b)-b=a-b b2=abcos b2=0,Jc+os i f=-=r=rab_ I萨 _ 1-,21blz 2*/e 0,T T,；=；.3故选：B.5.【2018年新课标1文科07】在似。中，4。为BC边上的中线，E为/。的中点，则 还=()3 T 1,T T 3 T 3 T 1.T 3 TA.-A B-A C B.-A B-A C C.-AB-V-AC D.-AB-AC4 4 4 4 4 4 4 4【答案】解：在/B C中，为8C边上的中线，E为 的 中 点，EB=AB-AE-AB-AD2T 11T T=A B-X-(AB+AC)2 23 T 1-=-AB-AC,4 4故选：A.6.【2018年新课标2文科04】已知 向 量b满足而|=1,a-b=-1,则之(2%-b)=()A.4 B.3 C.2 D.0【答案】解：向量；，b满足面=1,a-b=1,则。,(2a b)=2a2 a-b=2+1=3,故 选:B.7.【2017年新课标2文科04】设非零向量2,嬴 足 日+不=而一百则()A.a_LbB.|a|=|h|C.a/bD.abT _ T T T【答案】解：.非零向量a,b满足|a+b|=|a b|,：.(a+b)2=(a-b)2,Q2+/+2ab=a2 4-b2 2ab,4ab=0,解得a-b=0,:.a l b.故选：A.8.【2016年新课标3 文科03】已知向 量 赢=(1,争，B C=(圣|),则 N N 8 C=()A.30 B.45 C.60 D.120【答案】解：言1.晶=4 +,=?，向=函=1：八0BABC V 3.coszABC =：出 川IBCI 2又 0 TT TTT-T/.EB+FC=(EF+FB)+(FE+EC)=FB+EC=(AB+AC)=AD,2故选：A.1 2.【2014年新课标2 文科04】设向量Z,b满足日+b|=而一目=乃，则之b=()A.1 B.2 C.3 D.5【答案】解：:|a+b|=|Q-b|=正,，分别平方得滔+2”b+b2=10,a2 la9b+b2=6,两式相减得4a*b=10-6=4,即 Q b=1,故选：A.13.【2022年全国甲卷文科13】已 知 向 弱=(皿 3)而=(1,6+1).若则瓶=【答案】-#-0.75【解析】由题意知：a-6=m+3(m+1)=0,解得m=-*故答案为：-414.【2021年全国甲卷文科13】若向量3,6满 足 同=3,=5,五,b=1，则 网=.【答案】3V2V a-b =5：.d-b 2=a2+62-2 a-b =9+|b|2-2 =25A b=3 V2.故答案为：3班.15 .【2021年全国乙卷文科13】已知向量3 =(2,5)石=(尢 4)，若N/瓜 则”.【答案】|由题意结合向量平行的充分必要条件可得：2 X4-2 X5=0,解方程可得：A =故答案为：16 .【2020年全国1 卷文科14】设向量a =(1,-l),b =(m+1,2 m-4),若表1 方，则m.【答案】5【解析】由互1 万可得互方=0,又因=(1,-1),b =(m +1,2m 4),所以H b =1,(rn+1)+(-1),(2m 4)0,即 m=5,故答案为：5.17 .【2019 年新课标3文 科 13 已知向量展=(2,2),b=(-8,6),则 c o s v Z b=.【答案】解：a-b=2 X(-8)+2 X 6=-4,a=V22+22=2y 2,向=/(-8)2+6 2=10,1 T；、-4 V2c o s Va,b =-.故答案为:18 .【2018 年新课标3文 科 13 已知向量之=(1,2),b=(2,-2),c=(1,A).若最(2a+b),贝 以【答案】解：.响量展=(1,2),h=(2,-2),*.2a +b =(4,2),V c =(1,入)，c/(2a+b),1 A4 2解得人=故答案为：p19.2017 年新课标1 文 科 13 已知向量，=(-1,2),b=(加，1),若向量热+b 与；垂直,则m【答案】解：:向 量：=(7,2),b=(阳，1),T T/.a 4-b=(-1 +m,3),.向量2+b 与；垂直，/.(a +h)*a =(-1+w)X (-1)+3 X 2=0,解得m =7.故答案为：7.20.【2017 年新课标3文 科 13】已知向量；=(-2,3),b=(3,加)，且添1%,则加=【答案】解：向量a=(-2,3),b=(3,)，且a _ L b,-一/.a-b=-6+3 m=0,解得加=2.故答案为：2.21.2016 年新课标 1 文科 13 设向量热=(x,x+1),b=(1,2),且；J _ b,则 x=.【答案】解：_ L1T T/.a-b=0；即 x+2(x+1)=0；v_ _ 23故答案为：-22.【2016 年新课标2 文 科 13】已知向量展=(?，4),b=(3,-2),且展 则加=.【答案】解：向量。=(加，4),b=(3,-2),且Q力，可 得 1 2=-2 m,解得m=-6.故答案为：-6.2 3.【2013年新课标1文 科 13】已知两个单位向量一 了的夹角为60 ,c=m+(1-力b.若力最=0,则【答案】解：c=ta+(1 t)b,c-b 0,c-b=ta-/?+(1 t)b2=0,.*.zcos60 +1-/=0,A l-i t=0,解得，=2.故答案为2.2 4.【2013年新课标2 文 科 14】已知正方形 8 8 的边长为2,E 为 C D 的中点，则 族 晶=.【答案】解：；已知正方形/8 C O 的边长为2,E 为 CO 的中点，则AB-AD=(),故 AE-B D=(A D+D E)(BA+AD )=(AD +AB)(AD -AB)=A D -A D.A B +AB.A D-=4+0-0-1 x 4=2,故答案为2.模拟好题1.已知向量五方满足扬|=2,五与5 的夹角为60。，则当实数4变化时，历-2国的最小值为()A.V3 B.2 C.V10 D.2V3【答案】A【解析】如图，设8 i=瓦 赤=5，当作一 AS)1互 时，|5-4国取得最小值，过B作BE 1 0 4,即伊一反|取得最小值为|8E|,因 为 五 与 万 的 夹 角 为60。，所以NB0A=60,BEO=90,O B =2,所以由E|=V3.故选：A.2.已知 ABC为等边三角形，AB=2,设点P、Q满足前=XAB,AQ=(1-X)AC,A G/?,若的 方=一|则 2=()A.-B.-C.-D.-8 4 2 4【答案】C【解析】由题意可知，BQ=AQ-AB=(1 -A)AC-AB,CP=AP-AC=AAB-AC,又ABC 为等边三角形，AB=2,AB-AC=2x2x=2,BQ CP=(1 -A )A C -AB (AAB-3C)=A(1-A)x 2-4A-4(1-A)=-解得4=p故选：C.3.已 知 仙 力BC的外接圆圆心为。，且2荷=AB+AC,OA=|而则向量沅在向量K上的投影向量为(A.B.OC C.CA D.OC2 2 2 2【答案】c【解析】依题意 ABC三角形的外接圆圆心为。，且 2而=而+而,所以。是BC的中点，即BC是圆。的直径，且484。=全由于|罚|=|同 所 以 三角形04B是等边三角形，设圆。的半径为1,贝 可沅|=1,C A=V3,所以向量配在向量6 上的投影向量为阿 cos票 湍=-也.故选：C.4.已知P 是等边三角形/8 C 所在平面内一点，且48=2 h，BP =1,则 而 炉 的 最小值是()A.1 B.V2 C.V3 D.2【答案】A【解析】设A C中点为O,连接O B,则 08=3,因为BP=1,所以P 点在以8 为圆心，I 为半径的圆上，所 以 而 方=万 定=(P A+P C)2-(P A-P C)2=协9=阳 _ 3,显然，当B,P,0 三点共线时，尸。取得最小值2,二(而硬)mm=4-3 =1.故选：A5.已知单位向量五与向量万=(0,2)垂直，若向釐满足|五十万+可=1,则 的 取 值 范 围 为()A,1(V 5-1 B.与1,等 C.V 5-1,75+1 D.与1,3【答案】C【解析】由题意不妨设互=(1,0),设？=(x,y)，则 互 +万+下=(L0)+(0,2)+(x,y)=(l+x,2+y).V|a+b+c|=1,.,.(l+x)2+(2+y)2=1,即表示圆心为(一1,一 2),半径为 1 的圆，设圆心为 P,|。尸|=V(-l)2+(-2)2=V5.|c|=J)+俨 表 示 圆 p 上的点到坐标原点的距离，V5-1|c|=y/x2+y2H+2耳 王=1 1 +渔，12 3y 2x 12 3G+；=l =当且仅当34 y ,B J 3 Q、时取等号，I =I 4（2V6-3）I 3y 2x y=-所以3 +1的最小值为u+在，x y 12 3故选：C【点睛】关键点点睛：此题考查平面向量的数量积运算，考查正弦定理的应用，考查基本不等式的应用，解题的关键是由己知条件求出a,b,c后，再由A,P,B三点共线，得：+3=1，所以：+；=（：+；）?化简后结合基本不等式可求出其最小值，考查运算能力，属于较难题1 0.A B C 中，AC =4i，AB=2,A=4 5,尸是A A B C 外接圆上一点，AP =XAB+iiAC,则 2 +4 的最大值 是（）A 二+1 B 企-1 c eD 6+4 2 2,-2 -2-【答案】A【解析】解：由 余 弦 定 理=AB2+AC2-2AB AC cosA,即 B C 2 =4 +2-2x 2x V2Xy =2,所以B C =或，所以B C 2 +A C 2 =4 2,即C=9O。，则/8C为等腰直角三角形.设4 B的中点为0,则。为A 4 8 C外接圆的圆心，如图建立平面直角坐标系,则4(-1,0),8(1,0),C(0,l),设P(co s a s i n 8),0 G 0,2 7 T),则 而=(co s 0 +1,sin0),AB=(2,0),AC=(1,1),因 为 而=XAB+匹,即(co s。+l,s i n 6()=2(2,0)+“(1,1),二匚(2 2 +=cos0+1所 内 =s i n e 1所以4 +=1(co s +s i n 8+1)=1 +y s i n(0+9，所 以 当：话,即，时q+4)m ax=#净故选：A1 1.已知复数Z 1对应的向量为两，复数Z 2对应的向量为两，则()A.若|zi +Z 2 I =0-Z 2 I，则0 Z 1 1 OZ 2B.若(西+际)_L (际 一 防)，则|zj =|z2 lC.若Z i与Z 2在复平面上对应的点关于实轴对称，则2逐2 =以逐2|D.若|zj =|z2l 则 Z彳=Z2【答案】A B C【解析】因 为|Z 1+z2l=|Z 1 -z2b所以I 西+西I=I 西 一 西 I，贝川西+西=|百 一 百|2,即 4 西 西=0,则 西，西，故选项A正确;因为（百+两）1 （百 一 百），所以（西+两）（西 一 两）=0，即 西 2=密2,则0|=同|,故 选 项 B正确;设Z 1 =a+bi（a,b e R）,因为Z 1 与Z 2 在复平面上对应的点关于实轴对称，则Z 2 =a-bi（a,b 6 R）,所以z1 Z 2 =a?+房，Z 1 Z 2 =a2+b2,则z/2 =怙/2|,故选项C正确；若Z i =1 +i,z2=1-i满足|z/=|z2|,而z羊乎Z 2 故选项D错误；故选：A B C.1 2.已知 A B C 是半径为2的圆。的内接三角形，则下列说法正确的是（）A.若角C =,则而 9=12B.若 2 成+而+m=6，贝”品|=4C.OA-OB=OA O B,则 西，诙的夹角为gD.若（而+明）定=|而，则4 B 为圆。的一条直径【答案】B C【解析】对于A,作。垂直于4 8.垂足为。，则4。=（48，由正弦定理得4 8=2 x 2 x s i n C =4 x s i n g =2 V 3 ,故而 AO=AB-A0 COSLBAO=AB-AD =x(2 V 3)2=6,故 A 错误：对于 B,由 2 通 +而 +前=G得，OA+AB+OA+AC =0 0,故 co s =e（o,n）,故9=3，则CX,福的夹角为泉C正确；对于 D,由（阮 +丽）元=|衣|2 得（互 +BA）-AC-AC 2=（BC +B A-A C）-AC =O,（BC +BA+C A Y A C =0,2BA-X C =0,则8c为圆。的一条直径，D 错误，故选:B C1 3.中华人民共和国的国旗图案是由五颗五角星组成，这些五角星的位置关系象征着中国共产党领导下的革命与人民大团结.如图，五角星是由五个全等且顶角为36。的等腰三角形和一个正五边形组成.已知当A B =2 时，B D =V 5 1，则下列结论正确的为（）A.D E=D H B.AF-BJ=0C.AH =-A B D.C B+C D =J C-J H【答案】A B【解析】对于 A,连 接 如 图，由。尸 =尸”，/CF H=108 得：Z D W F =36 =Z F,D E=D H,A 正确;对于B,连接力尸，由4。=F H 得：/尸 垂 直 平 分而BJ/D H,即4 F 1 B/,则 而 可=0,B正确；对于C,而与而不共线，C 不正确；对于D,连接C，B H,由选项A 知，D H =D E=BC,V H BC/D H,则四边形BCOH是平行四边形，C B+C D =C H=J H-J C,D 不正确.故选：AB1 4.已知AABC中，AB=3,4C=5,BC=7,。为力BC外接圆的圆心，/为AABC内切圆的圆心，则下列叙述正确的是（）A.ABC外接圆半径为”3C.A0-JC =8B.AABC内切圆半径为交2D.AI-JC =1【答案】BCD【解析】在4BC中，cos心 冬 黑=-/所 以 而 4=争设ABC外接圆半径为R,则 2氏=饴=卷=午，则口=鸣 故 A 错误;T 3设4BC内切圆半径为r,则5&诋=3 3 +5+7）=N 3*5*乎 解 得 r=去 故 B 正确;1 3 1 5因为cos*BA 0=券=矗=挈，cos/C 4=券=矗=普，3 3所 以 而 阮=而-4-砌=布 前 一 同 何=Z x 5 x 这-辿 X3X 这3 14 3 148.故 C1E确;设内切圆与三角形分别切于D,E,F,则设4E=EF=x,C E=C D =y,BD =BF=z,x+y=5x+z=3,解得=g y =；,z=I，所以A/=产了*=1,.y+z=7则 cosZ-BAl=I，coszC/1/=所 以 万.近=万.函 一 四）=AI-AC -Al-AB=1X5X1-1X3X1=1,故 D 正确.故选：BCD.AE1 5.定义平面向量的一种运算e 如下：对任意的两个向量3 =（X i，y D，方=（%2，、2），令式。石=（修丫2 x2y1,x1x2+71 72）下面说法一定正确的是（）A.对任意的;1 6 R,有（然）0石=4。方）B.存在唯一确定的向量芍使得对于任意向量都有万0 5 =互 成立C.若五与石垂直，则（互标）配与五日（石0共线D.若五 与 万 共线，则伍。石）呢与五日0碗）的模相等【答案】A D【解析】设向量既=（#i，y i）,b=Cx2,y2）对于 A,对任意的4 6 R,W（Aa）0 b =（A xl f A y1）0（x2,y 2）=Uxi7 2 _Ax2y1,A x1x2+A y iy2）=#1、2-x2Vlxlx2+y，2）=丽）故 A 正确;对于B,假设存在唯一确定的向量？=（x（）,y o）使得对于任意向量第 都有元0?=*顺=H 成立，即（x/o-xo y nxixo+y/o）=（与丫1-x jy o,XQXJ+%为）=O i，y i）恒成立，即方程组-1九 一 :二=1，对任意乙,当恒成立，而此方程组无解，故B不正确；I%1%0十%y。一%对于 C,若五与石垂直,则X/2 +y/2 =0,设？=（%3，乃），则（3丽）灾=（%172-%2%，0）。（%3，为）=（叼y 2 y 3 一X 2yiy3xly2x3-x2y1x3）,a 0（6 0 c）=（x i，y i）（x2乃一万3丫2，X2刀3+y 2 y 3）=（X1X2X3+Xty2y3-y i2乃+3y2，X 6 2乃一修丫23+y iX2X3+y/2 y 3）=O iy 2 y 3-P i%2y3,-X 0 2 X 3 +y i”3）*“（v y 2 y 3-y ix2y3,x-iy2x3-三必必），其中 c R，故 c 不正确；对于D,若互与万共线，则久1丫2-亚力=0，设？=（%3，乃），值丽）0?=（0,勺丫2+力2）。（久3，丫3）=（-%6 2与-%丫2打，与 2丫3+乃，2 y3），a 0（h 0 c）=0 6 2与+X/2 y3-y1 X 2 y3+%及3，巧犯为-+y iX2X3+y/2 y 3）=（尤62%3+、1，2X3，万1%2%+y。2 y3），所以但丽）而与次）0碇）的模相等，故D正确.故选：A D.【点睛】本题在平面向量的基础上，加以创新，属于创新题，考查平面向量的基础知识以及分析问题、解决问题的能力.16.在平面直角坐标系x Q y 中，r 0,QM：(x -r)2 +y 2 =,与 抛 物 线 c：y 2 =有且仅有两个公共点，直线/过圆心且交抛物线C于/,B 两点、,则35 砧=.【答案】0【解析】因 与 抛 物 线 C有且仅有两个公共点，而。”与抛物线C都关于x 轴对称，因此，两个公共点的横坐标相同，并且唯一，由|(+4 消去 y 并整理得：X2 2(r 2)x +y =0 .且X 2 0,于是得A=4(r-2)2-r2=3 rz-1 6r +1 6=0 ,解得=4,即点M(4,0),显然直线/不垂直于y轴，设直线/的方程为x =t y +4,X y=2 t_=v 曲4+4消去 X 并整理得：y2-4 t y -1 6=0,设，(小,%),8(%2，、2)，则 为+、2 =牝,为、2 =-1 6，所 以 初 OB-xtx2+y/2 =+号+为丫2 =(-；),+(-1 6)=0.故答案为：01 7.已知 力B C 是等边三角形，E,F 分别是A B 和4 C 的中点，P是 A B C 边上一动点，则满足瓦 师=丽 方的点P 的个数为.【答案】4【解析】解：以B C 的中点。为坐标原点，B C 所在直线为x 轴，。4 所在直线为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系.设 A 8 C 的边长为 4,则B(2,0),C(2,0),A(0,2 6)，E(-1,V 3),F(1,V 3),BE=(1,V 3),C F=(-1.V 3),设P(x,y),则 匹=(一1 一/百一旷)，PF =(l-x,V 3-y),由 理P F=BE-疗 得(-1 -x,V 3-y)-(1 -x,V 3-y)=(1,V 3)(-1,V 3),所以x 2 +(y _ 何)2 =3,即点p 的轨迹是以(0,b)为圆心，旧为半径的圆，也就是以4。为直径的圆，易知该圆与 A B C 的三边有4个公共点.1 8 .已知平面向量万，苞满足|2 匹一久|=2,设4=瓦+4 匹 石=瓦+%，若 1 W方4 W 2，则同的取值范围为【答案】6-1,西+1【解析】设？=万 一 2 诙，则石=(0+0，则由条件1式小了工2知+W 4,所以3 3也+方 工+为 5,所 以 百 W卜+|W低 用=1,乂|根+-制 式 同 呼+111邛+三+W所以百一 1 W|a|V 5 +1.故答案为：8 1,而+1 .1 9 .已知A A B C 的内角4 B,C 所对的边分别为a,瓦c,4=或 c =3,as i n B =g,D,E 分别为线段A 8,4 c 上的动点，*=为 则0 E 的最小值为 AB CA-【答案】吗#。后19 19【解析】在 A B C 中，由正弦定理得：竭 二,as i n C =3 s i n g =誓，36 r 2二则 =竺 更=工=3 由正弦定理得：=；.b=2；sinB asinB V3 2,设 而=tAB(G t 1),则 在=tC A=-tAC,.AE=AC +C E=(0,A +/z =I，4 4(学)2 =g,则-2(1 +办)一等-2(1+AM)+1(当且仅当;I =g 时等号成立)，荏而的最小值为，故答案为：2 4.设5,石为不共线的向量，满 足 下=%+而,3；1 +4 4 =2(尢 e R),且尼|=|a-c|=|b-c|,若|五-用=3,则(同|/J 一心 万)2 的最大值为.【答案】32 4【解析】令方=万?,5=而 =沆，又因为R|=同一回=|了-斗即 函=C A=C B，则点。为4 0 4 B的外心,因为|五-了|=AB=3.设8(-a 0),4(|,0),。(0,6)，不妨取m0则点。O o J o）在圆C：%2 +（y-7 7 1）2 -m2+*上,由0 c =4 0 4 +0 8，代入坐标，（一沏,巾y 0）-=2（|-x 0,y（）+（-g-X o,y（）,解得&=处一瓶=L k-A-f l（+Qm1-1-/4 联立 3A 4-4 u =2 和C:%2 4-（y -r r i）2=m2+解 得 巾=苧 广 （4/，故|%|=|皿+*|=*分2 2 1 X-/Z-X当 且 仅 当 月 =/二 即 入=-1时取故5皿8=/即,仇|W9,于是(同.曲)2 -(3.赤 m a x =0A2 0B2 (1 -C 0 s 2-0 B)m a x=0A2 T 函2 -s i M O B l m a x =岭 回 吐 睢=32 4.故答案为：32 4【点睛】求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义.具体应用时可根据己知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用.25.已知平面向量方行工满足同=1,向=|c|=2V2.且0 -石)0 -0 =0,。=值，矶0 W。则答 2的取值范围是.【答案】卜等,学【解析】由题可设瓦？=五，OB=b，玩=a0(0,0),4(1,0)，B、C在以。为圆心半径为2夜的圆上,又一了)一下)=0，则8 A _ L C 4.因为4408 =0 6 o,：,记了与苍一下的夹角为a,当6=0 时，a =,c os a =0；当。=；时，由对称性可设8(2,-2),kAB=-2,kAC-I，tanZ.OAC=Z-OAC n/.c os z 04C =-雪，smOAC=y.（叫 2病、，迎1M、,夜 V10c o s a=COs 0 A C-）=-x-+-x-=-：综上，结合图像可得c os a 十%铝所 以 瞥=历=2应 c os a e 等，野 .|a-c|a-c|L 5 5 J故答案为:-