十年高考真题（2013-2022）与优质模拟题汇编（全国文科数学）专题02复数（解析版）.pdf

大数据之十年高考真题(2013-2022)与优质模拟题(新课标文科卷)专题02复数真题汇总1.【2022年全国甲卷文科03若z=l+i.贝“iz+3 Z|=()A.4V5【答案】DB.4V2C.2V5 D.2V2【解析】因为z=l+i,所以iz+3Z=i(l+i)+3(l-i)=2-2 i,所以|iz+32|=2&.故选：D.2.【2022年全国乙卷文科02】设(l+2i)a+b=2 i,其中a,b为实数，则()A.a=l,b =-1 B.a=l,b =1 C.a=l,b=1 D.a=-1,b=-1【答案】A【解析】因为a,bR,(a+b)+2ai=2 i,所以a+b=0,2a=2,解得：a=l,b=-l.故选：A.3.【2021年全国甲卷文科3】已知(1 一 i)2z=3+2 i,则名=(A.-1 i B.-1+C.-2 2 2【答案】B(1-i)2z=-2=3+2i,3+2i(3+2i)i-2+3i.,3.-2i-2ii 2 2故选：B.4.【2021年全国乙卷文科2】设 iz=4+3 i,则2=()A.-3-4 i B.-3 +4i C.3-4i【答案】C由题意可得：z=t=3-4i.I 1-1)D.3+4i故选：C.5.【2020年全国1卷文科02若z=l +2i+i3,则团=()A.0 B.1C.V2 D.2【答案】C【解析】因为z=l+2i+i3=1+21-i =1+i,所以|z|=V l2+I2=V2.故选：C.6.【2020年全国2 卷文科0 2 (1-i)4=()A.-4 B.4C.-4/D.4/【答案】A【解析】(1-i)4=(1-i)22=(1-2i+i2)2=(-2i)2=-4.故选：A.7.2020 年全国 3 卷文科 0 2 若2(1+i)=1-i,则 z=()A.1-z B.1+z C.-i D.i【答案】D【解析】因为三=(1T)Z=i=_ f,所以z=i.1+i(l+i)(l-0 2故选：D8.【2019年新课标3 文科0 2 若 z(1+i)=2 3 则 z=()A.-1-z B.-1+z C.1 -i D.1+z【答案】解：由z(1 +/,)=2 3 得2i _=l+i.故选：D.9.【2019年新课标2 文科02】设 z=i(2+i),则5=()A.l+2z B.-l+2z C.1 -2zD.-1 -2i【答案】解：z=i(2+储=-1+23 z=-1-23故选：D.1 0.【20 1 9 年新课标1 文科0 1】设 2=总，贝旭=()l+2iA.2 B.V3 C.V2 D.1【答案】解：由7得六检=繇=那近.故选：C.1 1 .【20 1 8年新课标1 文科0 2】设 2=号+2 3则|z 尸()A.0 B.1 C.1 D.V2【答案】解：2=替+2,=台工+2=-汁2口，则团=1.故选：C.1 2.【20 1 8年新课标2 文科0 1】i (2+3。=()A.3 -2i B.3+2i C.-3-2i D.-3+2i【答案】解:i(2+3 i)=2i+3i2=-3+2/.故选：D.1 3 .【20 1 8年新课标3文科0 2 (1+i)(2-力=()A.-3 -z B.-3+i C.3 -i D.3+i【答案】解:(1+z)(2-/)=3+i.故选：D.1 4.【20 1 7 年新课标1 文科0 3 下列各式的运算结果为纯虚数的是()A.i(1 4-z)2 B.z2(1 -i)C.(1+z)2 D.i(1+j)【答案】解：A.i(1+z)2=2=-2,是实数.B.i2(1 -/)=-1+z,不是纯虚数.C.(1+z)2=2i 为纯虚数.D.i(1+r)=i-1 不是纯虚数.故选：C.1 5.【20 1 7 年新课标2 文科0 2 (1+/)(2+/)=()A.1 i B.1+3/C.3+i D.3+3 i【答案】解：原式=2 -l+3 i=l+3 i.故选：B.16.【2017年新课标3 文科02】复平面内表示复数z=i(-2+，)的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】解：z=i(-2+i)=-2z-1对应的点(-1,-2)位于第三象限.故选：C.17.2016年新课标1 文科02设(l+2i)(+i)的实部与虚部相等，其中a为实数，则。等 于()A.-3 B.-2 C.2 D.3【答案】解：(l+2i)(+i)=-2+(2a+l)i的实部与虚部相等，可 得:c i -2 2+1,解得-3.故选：A.18.【2016年新课标2 文科02】设复数z 满足z+i=3-3则，=()A.-1+2/B.1 -2iC.3+2z D.3-2i【答案】解：,复数z 满足z+i=3-i,：.z=3-23：.z=3+23故选：C.19.【2016年新课标3 文科02若 z=4+3则 告=()忆|A.1 B.-1 C.+1zD.i-|z【答案】解：z=4+3i,则5 =悬=1=?一z|4+3i|5 5 5故选：D.20.2015年新课标1文科03已知复数z 满 足(z-1)z=l+z,则 z=()A.-2-i B.-2+i C.2-z D.2+i【答案】解：由(z-1)i=l+i,得 z-1=手=1 一 i,：.z=2-i.故选：C.21.【2015年新课标2 文科02若为。实数，且名史=3+3 则 =()A.-4 B.-3 C.3 D.4【答 案】解：由0：=3+3得2+山=(1+i)(3+i)=2+43i+i则 a=4,故选：2 2.【2014年 新 课 标1文 科03设z=9+i,贝旭=(A玛 B.1C.弓D.2【答 案】解：+二岛悬+=升黑故选：B.23.2014年 新 课 标2文 科02】U=()1-LA.1+2/B.-l+2z C.1 -2 2.-1-2/【答 案】解:化简可得詈臀l-l(l-z)(l+l)i-i2-2+4i2=-1+2/故选：B.24.【2013年 新 课 标I文 科。2】言=()A.-l-|z B.-1 +手 C.1+1D.1-if【答 案】解:-l-+-2-i7 =-l-+-2-i =-(-l-+-2-i-)-i =-2+i =-.1 +,-1I.(1-i)2-2i-2ii 2-2故选：B.25.【2013年 新 课 标2文 科0 2|1-|=()1 1+z 1A.2V2 B.2 C.V2 D.1【答 案】解：喘|=岛=专=衣.故选：C.:模拟好题1.已知复数z满足(1 一 i)(l+z)=2-i,则 复 数z在 复 平 面 内 对 应 的 点 在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答 案】A【解 析】V(1 -i)(l 4-z)=2-i,：.z2-7i -11 一-1?l-i1-i2=清林=+夕，复数Z 在复平面内对应的点为G,i),故复数z 在复平面内对应的点在第一象限，故选：A.2.已知四=2i (i 为虚数单位)，则2=()Z 1.4.3.A-?+rB.-3-4-1.5 5C|+D.453.-15【答案】D【解析】由题设z +i =2z i 2i2=2z i +2,则(2i l)z =i -2,所以z =E =(i-2)(2i+l)_ 4+3i _ 4-3i(2i-l)(2i+l)-5*双Z-5 故选：D3.已知复数a 2-4 +(a 2)i 是纯虚数(i 为虚数单位)，则&=(A.2 或-2 B.2 C.-2【答案】C【解析】因 为 复 数-4 +(a -2)i 是纯虚数，所以a 2 4 =0且a*2,所以a =-2.故选：C.4.已知复数z=l +i,则忆？+z|=()A.VT o B.4 C.3 /2【答案】AD.0D.1 0【解析】复数z =1 +i,则z?=(1 +i)2=2,故彷+z|=|1 +3 i|=Vl2+32=V1 0,故选：A5.在复平面内，复数z =1 对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】c【解析】l-2i (l-2i)(-i)-.Z=-7-；-=-2-1,I 1-(-1)所以复数Z在复平面上的对应点为(-2,-1),该点在第三象限.故选：C.6.已知复数z在复平面内对应的点的坐标为(-1,2),则詈()A.-2-2 i B.1-i C.2+2i D.1-2i【答案】D【解析】由题意得z=-1+23但=形詈=V=l-2 i.Z-12故选：D.7 .设Z1，Z2为复数，五，药分别是Z1，Z 2的共辗复数，满足ZZ2=|Z1|2,则下列一定成立的是()A.Z B.Z z?C.Z=0 D.Z=z 2【答案】B【解析】设Zi=a+bi(a,b e R),则z2=|a+bi|2 _ a2+b2 _(a2+b2)(a-bi)_,.-=-5-3-=Q -D1,a2+bz所以C 错a+bi a+bi药=a+bi,当bW O 时，Z1HZ2，z2装药，A 错，D 错,z7=a bi=z2,B 对，故选：B.8.已知i 为虚数单位，。为实数，复数2=器在复平面内对应的点在轴上，则。的 值 是()A.-2 B.-C.-D.222【答案】A由Z=a-2i _(a-2i)(l+i)_ a+2+(a-2)ia+2,(a-2)i=-H-22l-i (l-i)(1 4-i)2因为复数z在复平面内对应的点在y轴上，所 以 詈=0,分 于0,则a =-2故选：A9.已知复数2=1 +3 i,则工=()Z.1,3.13.10 10 10 101,3.c 1 3 .C.-1 1 D.-110 10 10 10【答案】A【解析】因为2=1 +3 i,所以z=1 -3 i,所似工=-L=i+百=但=三+二i771 l-3i(l-3i)(l+3i)10 10 10故选A.1 0.在复平面上表示复数z的点在直线x-y=0上，若z是实系数一元二次方程/+7 HX +4 =0的根，则m=()A.夜 或-&B.夜 或2夜C.2位 或-2企 D.-a或-2近【答案】C【解析】设z =a +a i(a 6 R),则(a +ai)2+m(a +a i)+4 =0,化简 2 a+m a +mat+4 =0,即(m a +4)+(m a +2a2)i =0,所 以 m at42=n，解得巾=2a或-2企，bn a +2a=0故选：C.1 1.已知复数Zi，Z 2,则下列说法正确的是()A.若口|=。|,则Z 1=Z 2 B.若z：=z g,则|z j =C.若|z/，则Z1 Z2 D.若(Z1 +Z2)(Z1 Z2)=0,则/=Z；【答案】B D【解析】对于A,若Z=1 +i,Z2=V 2i 则满足怙1 1 =%|=V 2 而不满足z 1=z?,所以A错误，对于 B,由z f=z ,得Z孑-=(Z1 +Z2)(Z1 Z2)=0,所以Z1 +Z2=0 或Zi -Z2=0，所以Z1 =Z2或Zi =Z2，所以|z/=|Z2|,所以 B 正确，对于C,因为两个虚数的模可以比较大小，而两个虚数不能比较大小，所以C错误，对于 D,由（Z i +Z 2）（4 Z 2）=0,得 z jz 2 =0,所以 z：=z%所以 D 正确，故选：B D1 2.在复数范围内，下列命题不正确的是（）A.若z是非零复数，则z-5不一定是纯虚数B.若复数Z满足z 2=f z 2|,则z是纯虚数C.若/+z =0,则Z i =0 且=0D.若Z ,Z 2为两个复数，则为-句一定是实数【答案】B C D【解析】对于A,设2 =。+步（处b e R）9 z=a-bi,z -z =2 6 i,但有可能b =0,就不一定是纯虚数，故A正确;对于 B,设2 =。+历（。，b e /?）,z2=a2-b2 4-2ab,z2 =y/（a2-b2）2+4a2b2=a2 4-f e2,由条件可知z?=罔,即 滔 一 块+2期=_（次+炉）,所 以 长：一 层，因为a,b可同时为0,所以Z不定是纯虚数，故B错误；对于 C,若Z i =1,z2=i,+2 =0,故 C 错误；对于 D,设Z i =a+b i,z2=c 4-d i （Q,b,c,d 6 /?）,则%=c d i,所以Z i -药=（a-c）+（b +d）i不一定是实数，故D不正确.故选:B C D.1 3.已知Z i，Z 2均为复数，则下列结论中正确的有（）A.若|2 1|=。|,则 Z 1=Z 2 B.若 21=豆，则 Z 1+Z 2 是实数C.（Z i -Z2）2=|Z 1 -z22 D.若Z 1+Z 2 =O,则Z i豆是实数【答案】B D【解析】Z i =1,z2=i,|z/=怙2|而Z i H Z 2，A 错.令Z i =a+b i,则Z2=Q b i,ZI+Z2=2Q为实数，B 对.为=1,z2=i （z1 z2）2=-2 i,|zt-z22=2,则（z 一z 2）?芋 一Z 2 F，C 错.令Z i =a+b i,则Z2=-Q 历，石=Q +b i,Z j,Z2 (a+b i)(a+b i)=-Q?/为实数，D 对,故选：B D1 4.欧拉公式e i x=c o s x+i s i n x(本题中e为自然对数的底数，i 为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式建立了三角函数与指数函数的关系，在复变函数论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”依据欧拉公式，则下列结论中正确的是()A.复数e 专为纯虚数B.复数嫄对应的点位于第二象限C.复数e i 涵共翅复数为苧一夕D.复数e W O e R)在复平面内对应的点的轨迹是圆【答案】A B D【解析】解：对 A:因为复数6*=8 5 +1 4 吗=1 为纯虚数，故选项A正确；对 B：复数e 1 2 =c o s 2 +i s i n 2,因为c o s 2 V 0,s i n 2 0,所以复数数对应的点为(c o s 2,s i n 2)位于第二象限,B正确；对 C：复 数 =85 2+1 5 也2=1+在1 的共加复数为工一在 故选项C错误：3 3 2 2 2 2对 D：复 数=c o s。+i s i n 0(0 G R)在复平面内对应的点为(c o s。,s i n。)，因为c o s 2 e +s i n 2。=1,所以复数eW。e R)在复平面内对应的点的轨迹是圆，故选项D 正确.故选：A B D.1 5 .已知复数z 满足方程Q 2 -4)(Z2 4Z+5)=0,则()A.z 可能为纯虚数 B.方程各根之和为4 c.z 可能为2 -i D.方程各根之积为-2 0【答案】B C D【解析】由(z2-4)(z2-4 z +5)=0,得z 2 -4 =0 或z?4 z +5 =0,即z?=4 或(z 2)2=1.解得：z=2 或z =2 i，显然A错误，C正确；各根之和为 2 +2 +(2 +i)+(2 i)=4,B正确；各根之积为一2 x 2 x(2 +i)(2 -i)=-2 0,D 正确故选：B C D.1 6 .复数z 满足z =2 -i (其中i 为虚数单位)，则|z|=.【答案】V5【解析】由已知可得|z|=0 2 +(-1)2=V5.故答案为：V5.17.已知i 为虚数单位，则复数2=炉74-1-【答案】誓-g i.【解析】Z故答案为：竿 一 g i.18.已知复数z=占，则z-2=1V 31-【答案】%#0.25【解析】_ i(l+V3i)_ -V3+i 场 _ -V3+i-百-i 3+1 1z 一(i-0 i)(i+V5i)-T故z z =-j-=-故答案为：419.若 l b i (i 是虚数单位)是关于X的实系数方程x2+bx+c=0 的一个复数根，则a =【答案】#0.062516【解析】实系数一元二次方程/+bx+c=0的一个虚根为1 一 V3i,其共粗复数1+V3i也是方程的根.由根与系数的关系知,(1-V 3 i)+(1+V3i)=-b(1-i)(l+V3i)=c/.b=2,c=4.故答案为：!lo2 0.如果复数z 满足|z+l-i|=2,那么|z 2+i|的最大值是【答案】2+g#g+2【解 析】设 复 数Z在复平面中对应的点为ZV|z+l-i|=2,则点Z到点C(一 1,1)的 距 离 为2,即点Z的轨迹为以C为圆心，半 径 为2的圆|z-2+i|表示点Z到点4(2,-1)的距离，结合图形可得|Z用4 A C +2=2+7 0故答案为：2+VH.【答 案】一表【解 析】1+i _ (l+i)(3 4i)_ 3-i-4i2 _ 73+4i (3+4i)(3-4i)-32-16i2-25表i,则虚部为一表.故答案为：一义.22.已 知i是虚数单位，复数z满 足 号=-击 则2=-【答 案】-2-i【解 析】因为 1 =-2 _,所以z=-二 一 1=-Zi(1-1 =-(i-i2)-l =-2-i.,2i 1+i 八 1+i(l+i)(l-i)k)故答案为：-2 i.23.已 知i为虚数单位，则复数z=的实部为i+i-【答 案】争#05【解 析】_ 一l+2i _ (2 1)(1)_ 3i+lZ 1+i -2，所以实部为今故答案为：T2 4.设复数z=a+b i(a,b 0,a.b e R),若复数z(l+i)对应的点在直线x+3y-2=0上，则+*的最小值为_【答 案】9【解 析】z(l+i)=(a+&i)(l+i)=(Q b)+(Q+b)i故复数对应的点的坐标为(Q b,a+b),乂因为点在直线x+3y 2=0(Q b)+3(Q+b)-2=0,整理得：2a+b=l2a12 1+广(Z+B)3+b)=2b 2a5+5+2a b当 且 仅 当 步g时，即a=b时等号成立，即2的 最 小 值 为9故答案为：92 5.若复数2=5，则z在复平面内对应的点在第一象限.【答 案】一【解 析】因为z得2i(l-i)_ 2i(l-i)2=l+i,所 以Z在复平面内对应的点(1,1)在第一象限.故答案为：.