机械工业出版社(熊诗波 黄长艺)版《机械工程测试技术基础》(第三版)课后习题答案.doc
机械工业出版社(熊诗波 黄长艺)版机械工程测试技术基础(第三版)课后习题答案 信号及其描述习题 1.1求周期方波（图1-4）的傅立叶级数（复指数函数形式）。画出频谱图|Cn| ；n 图并与表1-1对比。 +¥ 解：傅立叶级数的复指数形式表达式：x(t)=åC jnw0t n e n=0,±1,±2,±3,××× n=-¥ 式中： TT 0 C1x(t)e -jnw0t dt=1é0-jnw0t n=T0 ò 2- T02 Têò-T0(-A)e dt+0ë2 ò 2 t Ae -jnw0dtùúû T0 =1é-A2 Têe-jnw0tùú+1éAêwe-jnw0tùú0ë-jnw0 û-T0T0ë-jn0 2 û0 = -jAjnp np + jA1np ´ 2 e -+e jnp =-j Anp (1-cosnp) ì =ï2Aí-jn;n=±1,±3,±5,××× ïpî 0;n=±2,±4,±6,××× 所以： +¥ x(t)= å æ ç-j2Aöjnw0t n=±1,±3,±5,±7,××× n=-¥ è np÷e ø幅值频谱： C2 2 2An=CnR+CnI= np n=±1,±3,±5,××× 相位频谱： æ ç- 2Aö÷ì -pïn=1,3,5,××× jn=arctg CnI C=arctgç÷=2nR ç ç0÷í ÷ ïpèøî2 n=-1,-3,-5,××× 傅立叶级数的复指数形式的幅值频谱图和相位频谱都是双边频谱图。 1.2求正弦信号 x(t)=x0sint的绝对均值|x |和均方根值x rms 解： mT 2p x=lim t)dt= 1T®¥ ò x(T0 ò T0 x0sinwtdt= 2x0 p 式中：T0= w 2 x1 T0 rms= Tòx(t)dt= 1 òT0 00T0(x0 sinwdt)2 dt= x0 02 1.3求指数函数 x ( t ) = Ae - a t ; (a > 0 ; t ³ 0 ) 的频谱。 解： X(f)=-j2pft-at-j2pft ò +¥ -¥x(t)edt=ò +¥ A 0Ae×edt= a+j2pf1.4求符号函数（题图1-1a）和单位阶跃函数（题图1-1b）的频谱. 1 解:1) 符号函数的频谱: 令: x-at 1(t)=lima®0 e x(t) Xò x-j2pft 1(f)= 1(t)e dt =limæ0-at pft a®0çdtö÷ èò-¥ e(-1)e-j2pft dt+ò +¥ at e -e -j2ø =1 jpf 2)单位阶跃函数的频谱: x2(t)=lime -at a®0 x(t) X-j2pft +¥ 2(f)= ò x2(t)e dt=limæ-at-j2pft 1a®0çèò0eedtö÷ø= j2pf 1.5求被截断的余弦函数cos0t（题图1-2）的傅立叶变换。 x(t)=ìcosw0t;t<T í î0; t³T解： X(f+¥ -j2pft +T )=ò -¥ x(t)edt=ò -T cos2pf0te -j2pft dt = ò +T 1j2pf0t -j2pft -T (e -+e j2pf0t )e dt 2 =Tésinp(f+f0)2Tsinp(f-f0)2Tùê ëp(f+f0)2T+p(f-fú 0)2Tû =Tsinc×q1+sinc×q2 1.6求指数衰减振荡信号（见图1-11b）： x ( t ) = e - at sin w 0 t ; ( a > 0 , t ³ 0 ) 的频谱 解： -j2pft X(f)= ò +¥ -¥ x(t)e -j2pft dt= ò+¥ -at (e sin2pf0t) e dt = ò +¥ e-at × jf0t e -j2pft 2 (e -j2p-e j2pf0t )dt =jæ 2ç11 öçèa+j2p(f+f-÷÷0)a+j2p(f-f0)ø1.7设有一时间函数f(t)及其频谱(题图1-3所示)，现乘以余弦型振荡cos0t ，(0>m)。 在这个关系中，函数f(t)叫做调制信号，余弦型振荡cos0t叫做载波。试求调幅信号f(t)cos0t的傅立叶变换。示意画出调幅信号及其频谱。又问：若0<m时将会出现什么情况？ 解： +¥ X(f)=ò +¥ -¥ x(t)e -j2pft dt= òf(t)cos2pft×-j2pft -¥ e dt =ò +¥ f(t)é1-j2pf0tj2pf0tù-j2pft -¥ ê2(e+e) ×edtëú û = 1 2 F(2pf+2pf0)+ 12 F(2pf-2pf0) 2 当0<m时，将会出现频率混叠现象 1.8求正弦信号x(t)=x20sin（0t+）的均值x 和均方值x和概率密度函数p(x) 解：将x(t)=x0sin（0t+）写成（0t+）=arcsin(x(t)/ x0) 等式两边对x求导数： 1 dt1x0 dx=wæx2=10w2 1-ç(t)ö0x0-x2(t) ç÷ èx÷ 0ø p(x)=lim1é DxêlimTxù Dx®0 ëTú=lim1×2Dt T®¥ûDx®0DxT =2dt T×dx=1 px22 0-x(t) 2.2用一个时间常数为0.35s的一阶装置去测量周期分别为1s，2s，5s的正弦信号，问幅值 误差将是多少？ 解：H(w)=1 jtw+1=1Y(w) 0.35wj+1=X(w) A(w)=1 +(0.35w)2=12 1+æç0.7pö è7÷ø 当T=1s时，A(w1)=0.41，即AY=0.41Ax，误差为59% 当T=2s时，A(w2)=0.67，误差为33% 当T=5s时，A(w3)=0.90，误差为8% 2.3求周期信号x(t)=0.5cos10t+0.2cos(100t-45o)，通过传递函数为H(s)=1 0.05s+1 的装置后所得到的稳态响应。 解： 利用叠加原理及频率保持性解题 x(t)=0.5sin(10t+90o)+0.2sin(100t+45o) A(w)=11 1+(tw)2= ，f(w)=-arctg(0.005w) +(0.005w)2 w1=10，A(w1)=1，f(w1)-2.86o x(t1)=0.5´1×sin(10t+90o-2.86o) ， 3 w2=100 ，A(w2)=0.89 ，f(w2)=-26.57o y(t2)=0.2´0.89×sin(100t-26.57o+45o) y(t)=0.5sin(10t+87.14o)+(-0.178)sin(100t+18.43o) 2.7将信号coswt输入一个传递函数为H(s)=12s+1 的一阶装置后，试求其包括瞬态过程 在内的输出y(t)的表达式。 解： x(t)=cos(wt)=sin(wt+90o) H(s)= 1 ts+1 ，A(w)= 1，f=-arctg(tw) +(tw ) 2 y(t)= 1 o +(tw) 2 sin(wt+90-arctg(tw ) = 1+(tw ) 2 cos(wt-arctgtw) 3155072 (对正弦输入 1+0.01jw)1577536 +176jw-w 2 的系统x(t)=10sin(62.8t)的稳态响应的均值显示。 解： 写成标准形式 2 H(w)= a×wn (jtw+1)(jw) 2 +2xwjw)+w 2n(n = 1 (1256)2 (0.01jw +1)× -w2+2´1256x(jw)+(1256 )2´2 A(w)= 1 ´ 1 +(62.8´0.01) 2 é 2 ´2ê1-æ62.8ö2 ù ç176êë è1256÷øú+ úû 1577536 =1.69´0.99=1.7 对正弦波，ux= A2=1.7´10 2 =12 S 2 +1.4w2 nS 2 +w 2 和 41wn n S +1.4w2 2的两个环节串联后组 nS +w n 4 成的系统的总灵敏度（不考虑负载效应） 解： H(w)=H1(w)×H2(w) 1(w)=3.5S+0.5=7S+1，S1=3 41w2 Hn 2(w)=S2+1.4w+w2，S2=41 nSn S=S1×S2=3´41=123 2.10想用一个一阶系统作100Hz正弦信号的测量，如要求限制振幅误差在5%以内，则时间单常数应去多少？若用该系统测试50Hz正弦信号，问此时的振幅误差和相角差是多少？ 解： 由振幅误差 E=|A0-AI| A=1-A0(w)£5% IA=1-AI A(w)³95% 即 A(w)=1 +(tw)2=95% ， 1=0.95，t=5.23´10-4s +(2p´100t)2 当w=2pf=2p´50=100p，且t=5.23´10-4s时 A(w)=1 (»98.7% +5.23´10-4´100p)2 此时振幅误差E1=1-98.7%=1.3% f(w)=-arctg(5.23´10-4´100p)»-9.3o 2.11某力传感器可以作为二阶振荡系统处理。已知传感器的固有频率为800Hz，阻尼比x=0.14，问使用该传感器作频率为400Hz的正弦力测试时，其振幅比A(w)和相角差j(w)各为多少？若该装置的阻尼比可改为x=0.7，问A(w)和j(w)又将作何种变化？ 解： 作频率为400Hz的正弦力测试时 A(w)=1 éù2 ê1-æçwö2 ú+4x2æçwö2 êç÷ ëèw÷ nøúç÷ ûèw÷ nø 5 =1 é2 ê1-æç400ö2ù ÷øú+4´(0.142æ400ö2 êëè800)ç úûè800÷ø 2xæçwö ç÷ j(w)=-arctgèw÷ nø 2 1-æçwö ç÷ èw÷ nø 2´0.14´æç400ö =-arctgè800÷ø 2 1-æç400ö è800÷ø »-10.6o A(w)=1 ê1-æç400ö2ù ÷æ4002 êëøú+4´(0.72ö è800)ç úûè800÷ø 2´0.7´æç400ö è800÷ j(w)=-arctgø 2»-43o 1-æç400ö è800÷ø 即阻尼比变化时，二阶振荡系统的输出副值变小，同时相位角也变化剧烈，相位差变大。 2.12对一个可视为二阶系统的装置输入一单位阶跃函数后，测得其响应中产生了数值为1.5的第一个超调量峰值。同时测得其振荡周期为6.28s。设已知该装置的静态增益为3，试求该装置的传递函数和该装置在无阻尼固有频率处的频率响应。 解： 最大超调量 æö -çx1p÷ ç÷ 即 x=1 çö ln1.5÷+1 èø 6 且 T2p d= d w2 »1 wn= 1 -x 2 = 1-(0.13) 2 »1.01 系统的传递函数 H(s)= Y(s)X(s) = kS 2x S w 2+ 2n w+1 n = 3 S 2 (1.01)2 + +1 该装置在无阻尼固有频率处的频率响应 由H(jw)= Y(w)K X(w) =æ2 çjwö÷2x(jw)çèw÷+n ø w+1n = K æçç1-wö÷+2jxw èw2÷nø wn H(jwK n)= é = 3ê1-æçw ö2 ÷ú+2jx wêçë èw÷n ø úû wn wd为有阻尼固有频率 M=0.5，w2pd= T =1 æ -çxp ö÷ç÷M=eè 1-x 2 ø Þx= 1æpö2 =0.215çlnM÷+1èø wd=wn-x2 ， wwd n= 1.02-x 2 = S=3 7 H(s)= w2 n S 2 +2xw2S nS+w ×n 3 S 2 ´ A(wn)= 1´3=6.98 （w=w4x2 n时代入得） A(w)= 1 ,j(w)=-90o 2x j(wp n)=-arctg¥=-2 y(t)=6.98sinçæ 1.02t- pö è2÷ ø 4.1解 ：m=2mm时， 单臂，URy= D4RU0 U Sg×R×ey = 4R U0 2´120´2´10 -6 U y = 4´120 *3=3´10 -6 (V) 双臂，UDRy= 2RU0 U Sg×R×ey = 2R U0 ´10 -6 U 2´120´2y = 2´120 *3=6´10 -6 (V) ：m=2000mm时， 单臂，UDRy= 4RU0 U ×R×ey = Sg4R U0 8 U y = 2´120´2000´10 4´120 -6 *3=3´10 -3 (V) 双臂，Uy= DR2R0 U0 U y = Sg×R×e2R U0 -6 U y = 2´120´2000´10 2´120 *3=6´10 -3 (V) 双臂的灵敏度比单臂的提高一倍。 4.4解：Uy= DRR0 U0 12 U y = Sg×R×e R U0 U y =Sg×(Acos10t+Bcos100t)×Esin10000t =Sg×AEcos10tsin10000t+Sg×BEcos100tsin10000t= SgAE(sin10010t+sin9990t)+ 14 jSgAEd(f+ 101002p 100102p 12 SgBE(sin10100t+sin9900t) 100102p )+d(f+99002p 99902p )+d(f-99002p )99902p ) Uy(f)=+14 )-d(f-101002p jSgBEd(f+ )-d(f-)+d(f+)+d(f- 4.5解：xa=(100+30cosWt+20cos3Wt)(coswct) =100cos2000pt+30cos1000ptcos2000pt+20cos3000ptcos2000pt=100cos2000pt+15(cos3000pt+cos1000pt)+10(cos5000pt+cos1000pt) Xa(f)=50d(f+10000)+d(f-10000)+7.5d(f+10500)+d(f-10500) +7.5d(f+9500)+d(f-9500)+5d(f+11500)+d(f-11500)+5d(f+8500)+d(f-8500) 4.10 解：H(s)= 1 ts+1 = 1RCs+1 = 110 -3 s+1 9 H(w)= 110 -3 jw+1 A(w)= 11 +(tw) 2 = +(10 -3 w) j(w)=-arctan(tw)=-arctan(10 -3 w) U y =10A(1000)sin(1000t+j(1000)=10´0.707sin(1000t+450 )=7.07sin(1000t+450 ) 4.11 解：A(w)= 1 j(w)=-arctan(tw) +(tw) 2 wA(10)= 1=10时， +(0.05´10) j(10)=-arctan(0.05´10)=26.56° A(100)= 1=100时，+(0.05´100) w ° y(t)=0.5´0.816cos(10t+26.56°)+0.2´0.408cos(100t-45°+78.69° ) =0.408cos(10t+26.56° )+0.0816cos(100t+33.69° ) 5.1 h(t)=ìí e-at;(t³0,a>0) î0;(t<0) R+¥ +¥ -at -a(t+t) x(t)= ò -¥ h(t)×h(t+t)dt= ò eedt = ò +¥ e-a0 e -2at dt= e -a2a 5.2 x(t)=Ap 1sin(w1t+j1- p 2 )+A2sin(w2t+j2- 2 ) 10 由同频相关，不同频不相关得： Rx(t)= A12 2 cosw1t+ A22 2 cosw2t 4 p 5.3：由图可写出方波的基波为x1(t)= p sin(wt- 2 ) Rp xy(t)= 2 p cos(wt- 2 ) 5.4: Sxy(f)=H(f)Sx(f) H(f)=Sxy(f)/Sx(f) Sxy(f)=FRxy(t) Sx(f)=FRx(t)=FRxy(t+T)=FRxy(t)e jwT H(f)=e -jwT 5.5:见图5-16 5.6:由自相关函数的性质可知: j2 x=Rx(0)=Acos0=A x2 rms= x= A 5.7:由对称性性质: Fsinc2 (t)=1 f- p 2 <f< p 2 p ¥ 2 òsinc 2(t)dt= p -¥ -òdf =p2 11
