高等数学(下)课后习题答案.pdf

高等数学(下)习题七1.在空间直角坐标系中，定出下列各点的位置：A(1,2,3);B(-2,3,4);C(2,-3,-4);D(3,4,0);E(0,4,3)；F(3,0,0).解：点A在 第I卦限；点B在第II卦限；点C在第V U 1卦限；点D在x O y面上；点E在y O z面上；点F在x轴上.2.x Q y坐标面上的点的坐标有什么特点？y O z面上的呢？z O x面上的呢？答：在x O y面上的点，z=0;在y O z面上的点，x=0;在z O x面上的点，y=0.3.x轴上的点的坐标有什么特点？y轴上的点呢？z轴上的点呢？答：x轴上的点，y=z=0;y轴上的点，x=z=0；z轴上的点，x=y=0.4 .求下列各对点之间的距离：(1)(0,0,0),(2,3,4);(2)(0,0,0),(2,-3,-4);(3)(-2,3,-4),(1,0,3);(4)(4,-2,3),(-2,1,3).解：s=/22+32+4 2=-y 29(2)S=j 2 2+(-3)2+(-4)2=炳(3)s =(1+2”+(0-3)2+(3+4)2=屈(4)s =J(-2-4)2+(1+2”+(3-3)2=3底5 .求 点(4,-3,5)到坐标原点和各坐标轴间的距离.解：点(4,-3,5)到 x 轴，y 轴,z 轴的垂足分别为(4,0,0),(0,-3,0),(0,0,5).故：=4 2 +(-3)2+5 2=5 7 2s=J(4 -4)2+(3-0 +(5二 0”=用s=a+(-3+3)2+5 2=闻s=,4 2+(-3)2+(5-5)2=5.6.在z轴上，求与两点A (-4,1,7)和B (3,5,-2)等距离的点.解：设此点为M (0,0,z),则精品(-4)2+12+(7-Z)2=32+5 2+(-2-Z)214解得 z =914即所求点为M (0,0,).7 .试证：以三点A(4,1,9),B (10,-1,6),C (2,4,3)为顶点的三角形是等腰直角三角形.证明：因为|A B|=|A C|=7.且有|A C 12+1A B 12=4 9+4 9=9 8=|B C 12.故AABC为等腰直角三角形.8.验证：(,a+b)+c=a+(.b+c).9.设=a b+2c,u=a+3b c.试用 a,b,c表示2“一3V.解：2M-3v=2(。-b +2c)-3(a+3h-c)=2a-2b+4c+3a-()b+3c=5 a-1 1f t +7 c10.把 a ABC的 BC边分成五等份，设分点依次为D|,D,D ,D ,再把各分点与A连接,试以A 8 =c,BC=a表示向量3 A 和 R A.解：DA=BA-BD=-c-a1 1 5 ,.2 _ _D A=BA-BD=-c-a-2 2 5 -*3D A=BA.BD=c u,3 3 5*,*4DA BA-BD=c a.4 4511.设向量O M 的模是4,它与投影轴的夹角是60 ,求这向量在该轴上的投影.解：设 用 的投影为好，则Pr j OM-OM J cos60 =4 x ；=2.12.一向量的终点为点B (2,-1,7),它在三坐标轴上的投影依次是4,-4 和 7,求这向量精品的起点精品P (7,1,3),试求：P P的模；1 2P P方向的单位向量.1 2A的坐标.解：设此向量的起点A的坐标A(x,y,z),则AB=4,-4,7=2-x,-l-y,7-z解得 x=-2,y=3,z=0故A的坐标为A(-2,3,0).廿一向量的起点是Pi(4,0,5),终点是(1)P P在各坐标轴上的投影；(2)1 2(3)的方向余弦；(4)解：(1)a-Pr j PP=3,X X 1 2a=Prj PP=1,y y i 2a=Pr j PP=-2.z z 1 2|华卜 J I -二 瓦 +(3 二 5%=a-3 k(3)C OS a=-_*j =：一附I a 1cosp=j_4_r=_?=回a-2cosy=j_ =-=,留用PP,3 1 -2.3.1 .2,(4)旷 般 匚 而 +耳 鼠14 .三个力=(1,2,3),h=(-2,3,-4),月=(3,-4,5)同时作用于一点.求合力R的大小和方向余弦.解：R=(h 2+3,2+3-4,3-4+5)=(2,1,4)IKI=，22+12+4 2=回15 .求出向量a=i+j+k,b=2i-3j+5 k和c=-2i-j+2k的模，并分别用单位向量e e e来表达向a b c量 a,b,c.解：1。1=12+12+12=褥b 1=722+(-3)2+52=738精品 c=J(-2)2+(1)2+22=3a=j3e,b /38e,c=3e.a b c16.设m=3i+5 j+8k,n=2i-4 j-7 k,p=5 i+j-4 k,求向量a=4 m+3n-p在x轴上的投影及在y轴上的分向量.解:a=4(3i+5 j+8k)+3(2i-4 j-7 k)-(5 i+j-4 k)=13i+7 j+15 k在x轴上的投影a、=13,在y轴上分向量为7 j.17 .向量r与三坐底轴交成相等的锐角，求这向量的单位向量e.r/J/3解：因a=P =y ,故3co s 2a=1 co s a=,c o s a=-(舍去)则 e =co s a,co s P，co s y =r5/3.3 3 3上1 a+j+无).18-已 知 两 点 叫(2,53,M2(3,2 5),点M在线段M M上，且 叱M=3叫，求向径O M的坐标.解：设向径”=x,y,z M M=x-2,y-5,z +3IM M -3-x,-2-y,5-z2因为，M M =3 M Mix-2=3(3-x)所以，y 5 =3(2-y)z +3=3(5-z)11X=4=z =3故。M吟十.q A19.已知点P到点A (0,0,12)的距离是7,0尸的 方 向 余 弦 是 求 点P的坐标.7 7 7解：设 P 的坐标为(x,y,z),1P A i2=%2+y 2+(-12)2=4 9得 X2+y2+Z2=-9 5 4-24 zz 6 一 ，5 7 0co s y =z =6,z =J x 2+y2 +42 7 1 2 4 9精品又 COSaX+y 2+27x =2,ix219 04 9co s p =-Jx2+y2+Z23753,12285-4 9 故点P的坐标为P (2,3,6)2兀2 0.已知a,b的夹角 p =,或。(铮黑?且 同=3,例=4,计算:(1)a-b；(2)(3a-2b)(a+2b).2兀 1解：(1)a-b =C O Sa-2b)(a+2b)=?a a+()a b-2b a-4b b=3l a h +4a-b-4 b 2=3 x 32+4 x (-6)-4 x 16=-61.2 1.已知 a=(4,-2,4),b=(6,-3,2),计算：(1)a-b；(2)(2a-3b)-(a+b);(3)a-b2解：(1)a-f t =4 x 6+(-2)x (-3)+4 x 2 =38(2a-3b)(a+b)=2a a+2a b-3)a b-3b b=2l al 2-a-b-3b2=2x 42+(2)2+4238 3 3+(3)2+22=2x 36-38-3x 4 9 =7 1 3(3)a-b2=(a-b)(a-b)-a a-2a b+b b=a2-2a-b+b2=36 2x 38+4 9 =922.已知四点 A (1,-2,3),B (4,-4,-3),C (2,4,3),D(8,6,6),求向量 AB 在向量CO上的投影.解：A 8=3,-2,-6,C D=6,2,3).I n AB CD 3x 6+(-2)x 2+(-6)x 3 4r r j AD=-=-=.2|c o|_ J62+22+32 723.诜重量为100k g的物体从点Mj(3,1,8)沿直线移动到点M,(1,4,2),计算重力所作的功(长度单便房m)精品解：取重力方向为Z轴负方向,依题意有f=0,0,-100X9.8s=-2,3,-6故 W=f s=0,0,-980 -2,3,-6=5880(J)2 4.若向量a+3 b垂直于向量7a-5b,向量a-4b垂直于向量7a-2b,求a和b的夹角.解：(亚 炉(7a-5b)=7 I。匕+1 6a T5 I A|2=0 (a-4b)(7a-2b)=71 a l2-3 0 a 6+8 历 0 由及可得:a b a bla I2 b21 (a ft)2 1=2 a2b2 4又=；2 ,所以3二部12,，入 1 7 r故 9=arccos=.2 325.一动点与M jX lJ)连成的向量与向量n=(2,3,-4)垂直，求动点的轨迹方程.解：设动点为M(x,y,z)M M =x l,y-l,z-l0因 故”=()o oK P 2(x.l)+3(y-l)-4(z-l)=0整理得：2x+3y4z-1=0即为动点M的轨迹方程.26._i?(-2,7,6),b=(4,-3,-8),证明：以a与b为邻边的平行四边形的两条对角线互相垂直证明：以a,b为邻边的平行四边形的两条对角线分别为a+b,ab,且a+b=2,4,-2)a-b=-6,10,14X(a+b)(a-b)=2X(-6)+4X10+(-2)X14=0故(a+b)，(a-b).27.已知 a=3i+2j-k,b=i-j+2k 求：(1)a x b；(2)2aX7b；(3)7b X 2a；(4)a x a.2-1 -1 3 3 2解：(1)a x b=2 2 1 *比=3 i 7j-5比(2)2a x 7b =1 4(x 6)=4 2 98j-70 4(3)7b x 2a =1 4(b x a)=-1 4(a x b)=-4 2/+98j+70k(4)a x a =0.精品28.已知向量a和b互相垂直，且Sl=3,历1=4.计算：(1)|(a+b)X(a-b)|;(2)|(3 a+b)X(a-2b).(1)I(a+ft)x (a -ft)=1 a x a -a x ft xa-b xb 1=1 -2(a xb)I7 1=2la l-lhl-s i n-=242(2)l(3a+b)x(a-2A)I=l3 a x a-6a x fc+b x o-2b x ft 1=1 7(，x a)I兀=7x 3 x 4 x s i n =84229.求垂直于向量3 i-4 j k和2i-j+k的单位向量，并求上述两向量夹角的正弦.解：a x ft =-4 -1-1 1-13.3-42-1i +k=-5i-5j+5k1 2J +与a 义 b平行的单位向量e=(i j+k)ab I 3s i n Gla x ft I _ 5串la lx lhl J 5号 如5/1 3263 0 .一平行四边形以向量a=(2,l,1)和b=(l,2,1)为邻边，求其对角线夹角的正弦.解：两对角线向量为I=。+小=3 1 j,I=a-5=i+3 j 24因为 llx/1=1 2*+6j+1 0 jt 1=71 4 0,1 2i i=M,i i=V i 412所以s i n 0 =l xl I 71 4 0 ,2 _ II Z 吗|一 师.轲 即为所求对角线间夹角的正弦.3 1 .已知三点 A(2,-1,5),B3,-2),C(-2,3,1),点 M,N,P分别是 A点 BC,C A 的中点，证明:MNXM PL(ACXBC)4证明：中点M,N,P的坐标分别为皿 N3,斗 P(0,l,3)M N =-2,2,-23精品A C =-4,4,-4)5 C =-2,0,3 2M N xM P =-232-232-2-1-2-1k=3i+5j+2k0i+2047T C-x BC-=0-43-4i+34 比=1 2i +20 j+8J t故 M NXMP=L(ACXBC)_k43 2.求同时垂直于向量a=(2,3,4)和横轴的单位向量.解：设横轴向量为b=(x,0,0)则同时垂直千a,b的尚 置为一a x b=304 1 4i+k=4 x j-3 x k0 02 2j+x x30故同时垂直于a,b的单位向量为,a x b 1 .f、e=-=-(4 j 3 4).ax b 53 3 .四面体的顶点在(1,1,1),(1,2,3),(1,1,2)和(3,-1,2)求四面体的表面积.解：设四顶点依次取为A,B,C,D.A B =0,1,2,AD 2,-2,1则由A,B,D 三点所确定三角形的面积为=L AB xAD L 5 i +4i-2k=-1 2 2 2,同理可求其他三个三角形的面积依次为;,JX JI故四面体的表面积S=!+JE+的+wm.223 4 .已知三点 A(2,4,l),B(3,7,5),C(4,1 0,9),证：此三点共线.证明：A 3 =1,3,4 ,AC =2,6,8显然A C=24 B则 AB xAC =A B x 2 A B=2(A 3x A B)=0故 A,f C三点共线.精品3 5.求过点(4,1,-2)且与平面3*-2丫+62=1 1平行的平面方程.解：所求平面与平面3 x-2y+6z=l 1平行故 n=3,-2,6,又过点(4,1,-2)故所求平面方程为：3(x-4)-2(y-l)+6(z+2)=0即 3 x-2y+6z+2=0.3 6.求过点M*,7,-3),且与连接坐标原点到点M“的线段。垂直的平面方程.解：所求平面的法向量可取为n=O Mo=l,7,3 故平面方程为：x-l+7(y-7)-3(z +3)=0即 x+7y-3 z-59=03 7.设平面过点(1,2,-1),而在x轴和工轴上的截距都等于在y轴上的截距的两倍，求此平面方程.解：设平面在y轴上的截距为b则平面方程可定 为 之+之+=12b b 2b又(1,2,-1)在平面上，则有1 2-1,+-=12b b 2b得 b=2.故所求平面方程为1+4+1=14 2 43 8.求过(1,1,-1),(-2,-2,2)和(1,-1,2)三点的平面方程.解：由平面的三点式方程知x-xX-X2 1X-X3 1y-yy -y2 1y -y3 I1z -z=02 1z -z3 1代入三已知点，有x-1-2-11-1y-i-2-1-i-iz +l2+1 =02+1化简得x-3 y-2z=0即为所求平面方程.3 9.指出下列各平面的特殊位置，并画出其图形:尸0；3 x-l=0；(3)2x-3 y-6=0;(4)x -y =0;(5)2x-3 y+4 z=0.解：y =0表示xO z坐标面(如图7-2)3 x-l=0表示垂直于x轴的平面.(如图7-3)精品图 7-2图7-3（3）2x-3y-6=0表示平行于z 轴且在x 轴及y 轴上的截距分别为x=3和 y=-2的平面.（如图7-4）x-y=0 表示过z 轴的平面（如图7-5）（5）2x-3y+4z=0表示过原点的平面（如图7-6）.图7-4 图 7-5 图7-640.通过两点（1,1,1,）和（2,2,2）作垂直于平面x+y-z=0的平面.解：设平面方程为Ax+By+Cz+D=0则其法向量为n=A,B,C已知平面法向量为n;1,1,-1过已知两点的向量由题知 n n=0,n.1=0A+5 C=0A+B+C=Q=C=0,A=-B.所求平面方程变为Ax-Ay+D=0又 点（1,1,1）在平面上，所以有D=0故平面方程为x-y=0.41.决定参数k 的值，使平面x+ky-2z=9适合下列条件：（1）经 过 点（5,-4,6）;（2）与平面2x-3y+z=0成乙的角.4解：因平面过点（5,-4,6）故有 5-4k-2X6=9得 k=-4.（2）两平面的法向量分别为n=l,k,-2 n=2,-3.1In n I -3k 兀 虎且 COS0=I 2-L=-=cos=55+公.用 4 2解得=竺24 2.确定下列方程中的1和 m：（1）平面 2x+ly+3z-5=0 和平面 mx-6y-z+2=0 平行；平面3x-5y+lz-3=0和平面x+3y+2z+5=0垂直.解：（1）n=2,1,3,精品n n=2 =I=3=/n =2,=11O81 2 m-6-1 3 猿 3,-5/,n=1,3,2 n X.n=3 x l-5 x 3 +/x 2 =0=/=6.1 24 3.通 过 点(1,-1,1)作垂直于两平面x-y+z-l=O 和 2 x+y+z+l=0 的平面.解：设所求平面方程为Ax+By+C z+D=O其法向量n=A,B,C n=l,-l,l,n=2,1,1)n L n=A-B +C =On.Ln n 2 A +B+C =02A=-2C3B=3=又(1,-1,1)在所求平面上，故A B+C+D=O,得 D=0故所求平面方程为2 C-g C x +可)，+C z =0即 2 x-y-3 z=04 4 .求平行于平面3 x-y+7z=5,且垂直于向量i-j+2 k的单位向量.解：n=3,-l,7(n =l,-l,2).n Ln,n A.nI 27 7i+3 3j +r i故n =x n =I 22 2-iI A=5 i+j 24则 e=/=(5 i+j 2 4).病4 5 .求通过下列两已知点的直线方程:(1)(1,-2,1),(3,1,-1)；解：(1)两点所确立的一个向量为(2)(3,-1,0),(1,0,-3).s=3-l,1+2,-1-1 =2,3,-2)故直线的标准方程为：-x-1-=-y-+-2-=-z-1-或 -x-3-=-y-1-=-z-+-12 3 -2 2 3 -2(2)直线方向向量可取为s=l-3,0+1,-3-0 =-2,1,-3)故直线的标准方程为：x-3 y+1 z 3 x-1 y z +3_ _ _=_ 或 _=_=_-2 1 -3 一 一2 1 -32 x +3 y z 4 =04 6.求 直 线 /.1八的标准式方程和参数方程.3 x 5 y+2 z +l =0精品解：所给直线的方向向量为2 2 3j+5k=i-lj-1 9 k另取=o代入直线一般方程可解得兀=7/。=1 7于是5线 过 点（。，7,1 7）,因此直成的标准方程为:x _ y-7 _ z-1 71 1 9且直线的参数方程为：x-t 2 x+3 y+z-l=0;x+2 y-1 z-3 =,x+2 y-2 z+6=0.x =1 +f解：(i)直线参数方程为,y=-1 2,z=6t代入平面方程得t=i故交点为(2,-3,6).x 2+2t(2)直线参数方程为，y=l+3 fz =3 +2 f代入平面方程解得t=0.故交点为(-2,1,3).4 8.求下列直线的夹角：j 5 x-3 y +3 z-9 =0 j 2 x +2 y-z +2 3 =0)3 x-2 y +z-l =0 3 x +8y+z-1 8 =0 x-2Ty-3 _ z-8和 T-2x=1解：(1)两直线的方向向量分别为：i j ks=5,-3,3 X 3,-2,1 =5 -3 3 =3,4,-l3 -2 1精品i J ks=2,2,-1X3,8,1=2 2-1=10,-5,10)3 8 1由 I s=3X10+4X(-5)+(-1)X10=0 知 S_Ls从而两直线垂直，夹角为二.2x_2 _3 f _ z-8 直 线；_ =2二=二的方向向量为s4,-12,3,直 线 二 万的方程可变为4 一12 3 1 12y-z+2=0,八 ，可求得其方向向量s=0,2,-l X 1,0,0=0,.1,.2,于是x-1=0 2八 Is I 6cos0=-Li_ 2L=x 0.2064叶 园136e X 78054 9.求满足下列各组条件的直线方程：(1)经 过 点(2,-3,4),且与平面3x-y+2z-4=o垂直；(2)过 点(0,2,4),且与两平面x+2z=l和y-3z=2平行；X V 3 7 1(3)过 点(-1,2,1),且 与 直 线=二=平 行.2-13解：(1)可取直线的方向向量为s=3,-1,2)故 过 点(2,-3,4)的直线方程为x-2 y+3 z-4-1 2(2)所求直线平行两已知平面，且 两 平 面 的 法 向 量 与n,不平行，故所求直线平行于两平面的交线，于是直线方向向量i j ks=nxn=1 0 2=-2,3,1I 20 1 -3故 过 点(0,2,4)的直线方程为x y-2 z-4_=_=_-2 3 1(3)所求直线与已知直线平行，故其方向向量可取为s=2,-1,3故 过 点(-1,2,1)的直线方程为x+l_ y-2 _ z-l50.试定出下列各题中直线与平面间的位置关系：精品/、冗 +3 y+4 z/(1)=-二和 4x-2y-2z=3;2 7 3JC V 7(2)一 =二=二和 3x-2v+7z=8;3-2 7x _ 2 y+2 z 3(3)=-=-和 x+v+z=3.3 1-4解：平行而不包含.因为直线的方向向量为$=-2,-7,3平面的法向量n=4,-2,-2 ,所以s n-(-2)x4+(-7)x(-2)+3x(-2)=0于是直线与平面平行.又 因 为 直 线 上 的 点-4,0)代入平面方程有4x(3)2x(4)2x0=4#3.故直线不在平面上.因直线方向向量s 等于平面的法向量，故直线垂直于平面.(3)直线在平面上，因为3xl+lxl+(-4)xl=0,而直线上的点(2,-2,3)在平面上.5 1.求 过 点(1,-2,1),且垂直于直线x-2y+z-3=0=2 +2，z =-t将其代入平面方程可得(-l+t)+2(2+2 t)(t)+l=0V5 2 2于是所求点(-1,2,0)到平面的投影就是此平面与垂线的交点(一亨3？)5 4 .求 点(1,2,1)到平面 x+2 y+2 z-1 0=0 距离.解：过 点(1,2,1)作垂直于已知平面的直线，直线的方向向量为s=n=l,2,2 x-+t所以垂线的参数方程为 0);(2)x+y+z=4,x=0,x=1 ,y=0,y=2 及 z=0;Z=4-X 2,X=0,y=0,z=0 及 2 x+y=4;(4)z=6-(x z+y 2),x=0,y=0,z=0 及 x+y=l.解：(1)(2)(3)(4)分别如图 7-1 9,7-2 0,7-2 1,7-2 2 所示.x2 y2 z2,x-3 y-4 z+2(1)+=1 与-=-81 36 9 7 3-6 4(2)E +匕/=1 与 t=*16 9 4 4-3 4解：(1)直线的参数方程为精品x =3 +3 f y =4-6tz 2 +4 z代入曲面方程解得t=o,t=l.得交点坐标为(3,4,-2),(6,-2,2).直线的参数方程为x =4，2 =9z =5即为所求圆的方程.6 3 .建立曲线X 2+y 2=z,z=x+l在x O y平面上的投影方程.解：以曲线为准线，母线平行于z轴的柱面方程为X 2+y 2=X+l 即(x _ _ l)2 +y 2 =2.故曲线在x O y平面上的投影方程为r 2 4z =06 4 .求曲线X 2+y 2+z z=a 2,X 2+y z=Z 2在x O y面上的投影曲线.解：以曲线为准线，母线平行于z轴的柱面方程为6 7 2X 2 +)2 =一-2 7 2故曲线在x O y面上的投影曲线方程为 无2 +=下z =06 5.试考察曲面至-行+亍=1在下列各平面上的截痕的形状，并写出其方程.平 面x=2；平 面y=o；(3)平面 y=5;(4)平面 Z=2.精品y2 Z2-十-解：(1)截 线 方 程 为.(5,)2 (2,)2x=2其形状为x=2 平面上的双曲线.三+=1(2)截 线 方 程 为 Ty =0为 x O z 面上的一个椭圆.(3)截线方程为(3 J 力2(2 7 2)2y =5为平面y=5上的一个椭圆.三 一 竺=0(4)截线方程为彳9 2 5z =2为平面z=2 上的两条直线.6 6.求单叶双曲面7T+9-r=1 与平面x-2 z+3=0 的交线在x O y 平面，y O z 平面及x O z1 6 4 5平面上的投影曲线.fx+3解：以2 =”一代入曲面方程得X 2+2 0 y 2-2 4 x-l 1 6=0.故交线在x O y 平面上的投影为%2 +2 0 y 2 -2 4%-1 1 6 =0z =0以x=2 z-3 代入曲面方程，得2 0 y2+4Z2-60Z-35=0.故交线在y O z 平面上的投影为2 0 y2+4 z 2 -6 0 z -3 5=0 x=0 x 2 z -f-3 0交线在x O z 平面上的投影为 八 y =0.精品习题八1.判断下列平面点集哪些是开集、闭集、区域、有界集、无界集？并分别指出它们的聚点集和边界：(1)(x,y)|x*O)；(x,y)|lw x z+y 2 V 4 ；(3)(x,y)|y x2;(4)(x,y)|(X-1)2+y2 1 U (x,y)|(X+l)2+y2 1 .解：开集、无界集,聚点集：R2,边界：(X,y)|x=o.既非开集又非闭集，有界集，聚点集：(x,y)I 1 X 2+V 2 4 ,边界：(x,y)I X 2+V 2=l U (x,y)I X 2+y2=4 .(3)开集、区域、无界集，聚点集：(x,y)|y x 2 ,边界：(x,y)|y=x 2 .闭集、有界集，聚点集即是其本身，边界：(x,y)|(x-l)2+V 2=l U (x,y)I(x+l)2+y 2=l.2 .已知 f(x,y)=X 2+V 2-x y t a n ,试求/(a,t y).解：f(t x,t y)=(t x)2+(0 .(2)=(x,y)x+y 0,x-y 0 .精品(3)。=(x,y)14x-尸 之 0一元2-y20,m+y2 w 0.(4)D=(x,y,z)I x 0,y 0,z 0.(5)=(x,y)I x 0,y 0,X 2 y.(6)=(x,y)I y-x 0,x 0,%2+y2 2-2 2 0.5.求下列各极限：(l)lim 喀土2;,2+y2/a1.2-Jxy+4X TO 孙Y、1.sin 孙(5)lim;X TO X)TO(2)lim-;xo X2+y2y-0/八(4)lim xy;10 Jxy+1 11-C OS(X2+J2)(6)hm-.-.7(x2+y 2)e s 2y-0-人 ln(l+eo)i c解：(1)原式二 二ln2.J12+0 2原式二 +8.、H 上 1-4-xy 4 1(3)原式=lim-=x-o xy(2+xy+4)4,质xy(Jxy+l+1)_0 0 原式lim 2.io xy+1-1y-0h m r sin孙 八 八原式二h m-y=1x0=0.y-0原式二lim.=lim=0.x-O(X 2 +2)e婷+y 2 20 2 e(A-2+y 2)y-0 y-06.判断下列函数在原点0(0,0)处是否连续：sin(x3+y3)八-.-X 2+y 2,0,(l)z=j X2+yi0,承+y2=0；精品s i n(%3 +y 3).,X 3 +y 3 H o,(2)z =X 3+y 30,X 3 +3 =0；0,x 2+y 2-0;,X 2 +2 N o,(3)(2)z =,X 2 y 2+(x-y)2解：由于0 4s i n(x 3 +)X 3 +y 3s i n(1 3 +)W(|x|+Ms i n(%3 +y 3)X2+y 2X2+y iX 3 +y 3X 3 +户I I、八 s i n(x 3 +y 3)s i n”,又li m(|x|+k d)=0,且hm-:=li m-=1,X TO 5 X 3 +3 “T O Uy-0 yfO故li m z =0 =z(0,0).A-0yrO故函数在0(0,0)处连续.li m z =li m =1 w z(0,0)=0X f O M-0 y-0故。(0,0)是z的间断点.若P(x,y)沿直线产x趋于(o,0)点，则 1-力h m z=li m-=1,0 X T OX2 尤2+0y=x-0若点P(x,y)沿直线y=-x趋于(0,0)点,则.r X2(-X)2 X2li m z=hm-=li m-=0X TO-0 X 2 (X)2 +4 X 2 m+4y=-X-0故l i m z不存在.故函数z在。(0,0)处不连续.A-0v-07.指出下列函数在向外间断：.x-y2 f(x,y)=.;X 3 +y 3 f(x,y)二y 2+2 xy 2-2x f(x,y)=ln(lX 2 y 2);(4)f(x,y)=_ e v2 v w()y25?.0,y=0.解：因为当y=-x时，函数无定义，所以函数在直线丫=*上的所有点处间断，而在其余点处均连续.因为当y 2=2 x时，函数无定义，所以函数在抛物线y 2=2 x上的所有点处间断.而在其余各点处均连续.(3)因为当x2+y 2=l时，函数无定义，所以函数在圆周X2+y2=l上所有点处间断.而在其余各点精品处均连续.精品(4)因为点P(x,y)沿直线y=x趋于。(0,0)时.l i m /(x,y)=l i mX TO x-0y=x-0 xe-iX2=00故(O,0)是函数的间断点，而在其余各点处均连续.8.求下列函数的偏导数：x Z=X R+；2S二 2 +V2UV(3)z=x l ny pc2 y 2；(5)z=(l+x y)y；(7)u=ar c tan(x-y)z；X(4)z=l n tan -；y(6)U=Z x y；(8)=公.及 1解：=2 孙+,o x y 2dz 2x=X2-.力 3ds 1 v_ _ _ _ _.du _ _V“2dsu 1-+一.V2 U&1 I 1 1 c 1 i ,、了2(3)=In J x 2+y 2 +/,-2光=l n(x 2 +y 2)+-b x 7 后式26不 2 m+尸&_ 工 1 1 2)，_办 J无2 +y；2也2 +y 2孙举+y2(4)dz _ 1次 一 京 IX 1 s e c 2 y y2 2x CSC,y yydz办1Xtan 2 x 2x-CSC.y 2 yy(5)两边取对数得In z =y l n(1+x y)故&=(1+孙)y y l n(l+x y)T=(1+x y)y -=y 2(l+x y -i.dx x -x y精品=(1+xy)y y ln(l+Ay)J=(1+盯)ln(l+x y)+y-A-oyy1 +xyxy=(l+xy)y In(l+孙)+-.1 +xydu.du.du(6)一 =in z-z-y =lnz z&x-xy-zxy-ox oy ozdu 1 /、z(x-y)z-=-z(x-y)z-=-.dx l+(x-y)d2 l+(x-y)2zz(x-y)z-i(-1)_ z(x-y)z-l+(x_y)z2 l+(x-y)2(x-y)z ln(x y)_(尤 一 y)z ln(x-y)l+U-y)d2 l+(x-y)2zdu y a由z关于x,y的对称性得du x 1 1 J x z In x,xdy z z Inx.*a-xz Inx.Z2X2V29.已知=-,求证：x du+ydu=%a.x+ydx dy证明：du 2xy2(%+y)-x2y2 X2y2+2xy3_=_=_dx(x+y”(x+y)2由对称性知du _ X2y2+2/3dy(x+y”于是du du 3x2v2(x+y).x +y=-=5u.dx dy(x+y)210.设 z=ej,求证：dz dz cX2 +V 2 一 =2z.dx-dy证明：dx _ I X2)X2精品+;)+dx11.设 f(x,y)=x+(y-l)ar c s i n解：f(X,y)=l +(y-X则 /(x/)=1+。=1.X_%2 +y 212.求曲线 4y =4痴 a 1 8z解：k =，dy X2 y 2,求 f.(x,l)1),1-=卜国行在 点(2,4,5)处的切线与正向x轴所成的倾角.=1,(2,4,5)设切线与正向x轴的倾角为网,71则 tan a=1.故 a二 一.413.求下列函数的二阶偏导数：(1)Z=X4+V4-4 X2 Y 2；(3)z=y*；dz,dz.解：(1)=4尤3 8孙2,-=12尤2 8 y2,dx dx 2由x,y的对称性知92 7=1 2 y 2-8 x 2.dy 2&=1(_ y 工 _ydx +(yj I X2 J X2 +y2，y(2)z=ar c tan ;X(4)z=e A.02 7t =-1 6 ydx dyd2z/-=-1 6.dy dx精品d2z(%2+y2)-0-y-2x 2xy=i_ i=i_8X2_(%2+y2)2 _(X2+y2)2及 11 _ XX X2+y2。2z 2xy =-：-，dy2(x2+y2)2d2z(X2+y2)-y-2y yi-%2=-i_ i _=_ i_dxdy_(X2+y2)2_(x2+yi)iCZ X2+y2-x-2x _ y2-X2dydx(%2+y2)2(X2+)，2)2dz】(3)=A In y,-=y v In2 y,ox 0 x2dz d2z=孙 XT,=x(x-l)yx-2,dy dy2以 1 1 /11、-=yx +xyx-In y=yx-(1+x In y),dxdy-y-=yx-i+x In y-y v-i=y*T(l+xln y).dydx 生=e”.2x,%=dx dy及dx2=e.v2+y-2x-2x+e+y 2=2e/+)，(2x2+1),包=e M 3=2 x e 3,色=2xe，zdy2 dxdy dydx14.设 f(x,y,z)=xyz+yzz+zxz,求/(0,0,1),f (0,-l,0),f (2,0,1).zzx解：/(x,y,z)=y2+2zxXf (x,)，,z)=2z,f (0,0,1)=2,X X X X/(x,y,z)=2xy+z2/(x,y,z)=2z,f (0,-l,0)=0,户y zf(X,y,z)=2yz+x2f (x,y,z)=2y/(x,y,z)=0,f (2,0,D=0.zzx zzx精品03 7 03 715.设 z=x l n(x j ,求-及-.dx2dy dxdy2解：=x-+ln(xy)=1 +ln(xy),dx xyd2z y 1 舐-=,-=U,dx2 xy x dx-dyd2z _ x _ 1 dz 1dxdy xy y dxdy2 yi16.求下列函数的全微分：(1)z=e*2+y 2 .(2)Zy=-5+y2(3)w =x y ；dz 入&-解：(I)：-=6/+)，2 21，一 =e x2+y2-2ydx dy(4)=X z ./.dz=2xe/+y2dx+2ye/+y2dy=2ex2+y2(xdx-ydy)1 )2 x 孙(2).-y -dx 2 _ X2dy X2 +y 2 (X2 +y 2)3/2Xdz=-(ydx-xdy).(X2+y 2)3/2du du.(3),/一 =y,=x产 In x zyidx dy=lnx-xy2-lny-yz&/.du=y2xyz-idx+xy：Inx-zy-dy+In x-xyz-In y ydz.d应u=y予 xdu不lnx-xz1z精品y 小 a l (y du=dx+ln；n dy+lnx Xz -dz.Z Z I Z2 J17.求下列函数在给定点和自变量增量的条件下的全增量和全微分:(1)z=x2-xy+2y2,x=2,y=-l,Ax=0.2,Ay=-0.1;z=ex,尤=1,y=1,Ar=0.15,Ay=。-L解：Az=(x+Ax)2-(x+Ax)(y+Ay)+2(y+Ay)2-z=9.68-8=1.68dz=(2x-y)Ar+(-x+4y)Ay=1.6(2)AZ=e(A+Ax)(y+Ay)-Q xy=e(e0.265-1)=0.30e.dz=yep Ax+xe-vAy=e-vy(yAx+xAy)=0.25e18.利用全微分代替全增量，近似计算：(1)(1.02)3 (0.97)2；(2)J(4.05)2+(2.93)2；(3)(1.97)LO5.解：设 f(x,y)=x3 y 2,则f (x,y)=3 m y 2,f(X,y)=2 ky,xy故 df(x,y)=3x2y2dx4-2x3ydy=xy(3xydx+2x2dy)取 x=l,y=l