江苏省南京市联合体2022年一模数学试题（含答案与解析）.pdf

2021-2022学年度第二学期第一次模拟考试试卷数学注意事项：1本试卷共6页全卷满分120分考试时间为120分钟考生答题全部答在答题卡上，答在本试卷上无效2请认真核对监考教师在答题卡上所粘贴条形码的姓名、考试证号是否与本人相符合，再将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡及本试卷上3答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡上的指定位置，在其他位置答题一律无效4作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1.9的平方根是（)A.3 B.士3C.石D.土J52.下列运算正确的是()A.x5+入5=xIOB.x5-:-x5=x C.x5入5=xIOD.（入-5)5=xl0 3若m=了，则m的取值范围是（)A.3 m 4 B.4m5 C.5m6 D.6m7 4.如图，四边形ABCD内接千00,D是AC中点，若乙B=70,则乙CAD的度数为（)A.70 8.55 C.35 D.20 1 1 5实数a,b满足a护，下列结论：(DaO,.:.lbl.其中所有正确结论的a b 序号是（)A.CD B.蠲C.D.6.如图，E是菱形ABCD的边BC上的点，连接AE.将菱形ABCD沿AE翻折，点B恰好落在CD的中点F处，则tan乙ABE的值是()I,I,I,._ B E C D A.4 B.5 C.而D.而二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分请把答案填写答题卡相应位置上）7.式子J:了在实数范围内有意义，则x取值范围是.8.2020年6月23日，我国的北斗卫星导航系统(BDS)星座部署完成，其中一颗中高轨道卫星高度大约是21500000米，将数字21500000用科学记数法表示为.9.计算戎孕的结果是.10.设x,x2是关千x的方程入22x十k=O的两个根，且x1=x2，则k的值为11.已知反比例函数y一的图像经过点(1,3)、（m,n)，则mn的值为.12.在6ABC中，AC=3,BC=4,若乙C为钝角，则AB的长的取值范围是.13.如图，在正五边形ABCDE中，BD、CE相交于点0.以0为圆心，OB为半径画弧，分别交AB,AE 千点M,N.若BC=2,则MN的长为（结果保留动A B c D E 14.如图，在Rt6ABC中，乙AC8=90,AC=6,BC=8,将6ABC绕点A逆时针旋转得到6ABC，点B、C对应点分别为点B、C,AB与BC相交千点D,当BCIIAB时，则CD=A B C R 15.若x+y=S,则xy+I的最大值为.16.如图，在t:,.ABC中，AB=2,乙ACB=60,DC.LBC,DC=BC,则AD的长的最大值为.D A B 三、解答题（本大题共11小题，共88分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）矿9.a+3 17.计算：（-一）.a-3 3-a a x+I O 18解不等式组x+1x，并将解栠在数轴上表示出来-l-2 3-3-2-1 0 1 2 3 19.某家电销售商店16周销售甲、乙两种品牌冰箱的数量如图所示（单位：台）：销售-i-7 一一/_ i i -L-a-13121110987.甲品牌，乙品牌2 3 4 5 6周(1)甲品牌冰箱16周销售谥的中位数是，乙品牌冰箱16周销售记的众数是(2)求该商店甲品牌冰箱16周销售量的平均数和方差；4(3)经过计算可知，乙品牌冰箱16周销售谥的平均数是10,方差是一根据上述数据处理的结果及折3 线统计图，对该商店今后采购这两种品牌冰箱的意向提出建议，并说明理由20.甲、乙、丙三人分别从A,B,C这3个检票通道中随机选择1个通道进入游乐园(1)求甲、乙选择同一通道的概率；(2)甲、乙、丙选择同一通道的概率是21.甲、乙两位同学同时为校文化艺术节制作彩旗已知甲每小时比乙多做5面彩旗，甲做60面彩旗与乙做50面彩旗所用时间相等，间甲、乙每小剒各做多少面彩旗？22.如图，在矩形ABCD中，点E,F分别在AD,BC上，且AE=CF.直线EF分别交BA,DC的延长线千点G,H.G A(1)求证：匹边形BHDG是平行四边形：(2)若AB=4,BC=8,当AE的长为时，四边形BHDG是菱形23.如图，为了测量小河对岸大树BC的高度，小明在点A处测得大树顶端B的仰角为37，再从点A出发沿倾斜角为30的斜坡AF走4m到达斜坡上点D,在此处测得树顶端B的仰角为26.7.求大树BC的高度（精确到O.lm).（参考数据：tan37:=:Q.75,tan26.7:=:Q.5,3:J.73.)B F E A 24.一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发，沿一条笔直的公路匀速开往乙地图中的线段OA和线段BC分别表示货车和轿车离甲地的距离y(km)与货车出发时间X(b)之间的函数关系.l(km)300。A 1.4 a -x u)(1)轿车出发时，两车相距kn1;(2)若轿车比货车提前0.6小时到达乙地，求线段BC对应的函数表达式及a的值；(3)若轿车出发1.6h,此时与货车距离小于12km,直接写出轿车速度v的取值范围25.如图，在矩形ABCD中，E为AD的中点，6EBC的外接圆00分别交AB,CD千点M,N.A E(1)求证：AD与OO相切；(2)若DN=l,AD=4,求00的半径r.26已知二次函数y=a(x-l)(x-1-a)(a为常数，且a=t:-0).(1)求证：该函数的阳像与x轴总有两个公共点；(2)若点(0,y小(3,y2)在函数图像上，比较Y1与Y2的大小；(3)当0 x3时，y 2,直接写出a取值范围27.解决问题常常需要最近联想，迁移经验例如研究线段成比例时需要想到(1)【积累经验】如图(D,00是6ABC的外接圆，AD是6ABC的高，AE是00的直径求证AB AE AD AC a C(2)如图，已知线段a,b,c.用两种不同的方法作线段d,使得线段a,b,c,d满足=-要b d 求：CD用直尺和圆规作阳；保留作图的痕迹，写出必要的文字说明a I I b c 图(3)【问题解决】如图，已知线段a,b.AB是00的弦在00上作点C,使得CACB=ab.要求：O用直尺和圆规作图；保留作图的痕迹，写出必要的文字说明a I I b I I 图参考答案一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1.9的平方根是（)A.3 B.土3C.五D.士J5【答案】B【解析】【分析】直接根据平方根的定义进行解答即可【详解】解：？（士3)2=9,:.9的平方根是士3.故选：B.【点睛】本题考查的是平方根的定义，即如果一个数的平方等于a,这个数就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根2.下列运算正确的是（)A.x5十x5=xl0【答案】C【解析】B.x5勺x5=xc.ff=xIO【分析】根据合并同类项，同底数幕乘除法以及幕的乘方进行判断即可【详解】解：A.x5+x5=2x5,不符合题意；B.x5奴f=l，不符合题意；C.x5-x5=xto，符合题意；D.（入5)5=x25，不符合题意；故选：C.D.(.x5)s=x1 0【点睛】本题考查整式的合并同类项，同底数幕乘法和除法法则以及幕的乘方的运算，熟练地掌握以上运算是解决问题的关键3.若m=17,则m的取值范围是（)A.3m.4【答案】B【解析】B.4 m 5【分析】估算出了的范围即可【详解】解：？16勺725:.4斤和5:.4 m 5 故选：BC.5 m 6 D.6 m 7【点睛】本题考查了无理数的估算，无理数的估算常用夹逼法，用有理数夹逼无理数是解题的关键4如图，四边形ABCD内接千00,D是AC的中点，若乙B=70,则乙CAD的度数为（)A.70【答案】C【解析】B.55 C.35 D.20【分析】根据圆内接四边形的对角互补可得LD=ll0再由三角形内角和定理及等弧所对的圆周角相等即可求解【详解】四边形ABCD内接千00,.乙B乙D=180,.乙B=70,:.LD=ll0 :.丛CD+乙CAD=70,.D是AC的中点，:.AD=CD,:.乙ACD=乙CAD=35.故选：C.【点睛】本题考查了圆内接四边形的对角互补、三角形内角和定理及等弧所对的圆周角相等，熟练掌握知识点是解题的关键1 1 5实数a,b满足a沪，下列结论：aO,-一，圆伽其中所有正确结论的a b 序号是（)A.【答案】A【解析】B.蠲C.D.1 1 分析】由a护，可知lallb|，得出ab,但b的符号不确定，当bO时a b 1 1 一一，进行判断即可a b【详解】解：a2b气.lallb|，故正确:albl,当bO时，lbl=b,有ab，即a-bb；当b-b,即ab,:.ab，故正确1 1.1 1 当b,当bO时一，故，错误，a b a b 故选：A.【点睛】本题考查了实数大小的比较，涉及推理能力和分情况讨论的能力，难度不大6.如图，E是菱形ABCD的边BC上的点，连接AE.将菱形ABCD沿AE翻折，点B恰好落在CD的中点F处，则tan乙ABE的值是（),I I,I I,I 仁B E C A.4【答案】D【解析】D B.5 C.而D.扣【分析】过A点作AN.lDF千N,根据四边形ABCD是菱形，有AB=CD=AD,乙ABE乙D,设AD=4,F 是CD 中点，则有DF=FC=2,根据翻折的性质可知AB=AF,则可知!:-,AFD是等腰三角形，由AN.lDF,得AN也平分DF,则有DN=NF=l,在Rth,AND中利用勾股定理可得AN,则可求出tan乙D,即tan乙ABE得解【详解】过A点作AN.lDF千N,如图，,I,I I I,-B E C？四边形ABCD是菱形，D:.AB=CD=AD,乙ABE乙D,设AD=4,.F是CD中点，:.DF=FC=2,根据翻折的性质可知AB=AF,.6AFD是等腰三角形，?AN.lDF,.AN也平分DF,则有DN=NF=l,:.Rt凶ND中利用勾股定理可得AN=JAD2-DN2=JF习了亏，AN而.tan乙D=而，ND 1:.tan乙ABE=5,故选：D.【点睛】本题考查了菱形的性质、正切、等腰三角形的判定与性质等知识，证明丛AFD是等腰三角形是解答本题的关键二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分请把答案填写答题卡相应位置上）7.式子J;二3在实数范围内有意义，则x的取值范围是.【答案】x乏3【解析】【分析】直接利用二次根式有意义的条件得到关千x的不等式，解不等式即可得答案【详解】由题意可得：X一3乏O,解得：X乏3,故答案为x乏3.【点睛】本题考查了二次根式有惹义的条件，熟练掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键8.2020年6月23日，我国的北斗卫星导航系统(BDS)星座部署完成，其中一颗中高轨道卫星高度大约是21500000米，将数字21500000用科学记数法表示为-【答案】2.15Xl07【解析】【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为ax10,其中1:;tallO,n为整数，且n比原来的整数位数少I,据此判断即可【详解】解：21500000=2.15X 107.故答案为：2.15X107.【点睛】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为aXlO，其中llatO时，方程有两个不相等的实数根；当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；当扩4acO时，方程没有实数根；熟记根的判别式是解题的关键k ll已知反比例函数y一的图像经过点(1,3)、（m,n)，则mn的值为.X【答案】3【解析】【分析】把点的坐标分别代入解析，即可求得k及mn的值k【详解】解：把点(l,3)代入y=X 得k=3故反比例函数的解析式为y=3 X 把点(m,n)代入y=3 X 得mn=3故答案为：3【点睛】本题考查了求反比例函数的解析式，理解在函数图像上的点的坐标一定满足函数解析式是解决本题的关键12.在6-ABC中，AC=3,BC=4,若乙C为钝角，则AB的长的取值范围是.【答案】5AB7【解析】【分析】根据勾股定理求出AB的长，再根据两边之和大于第三边，即可得答案【详解】解：在6-ABC中，若乙C为直角，AC=3,BC=4,则AB=忒百二f=5;：乙C为钝角，两边之和大千第三边，:.5A83+4,:.5AB7,故答案为：5AB7.【点睛】本题考查了勾股定理，三角形两边之和大千第三边，解题的关键是掌握乙C为钝角这关键点13.如图，在正五边形ABCDE中，BD、CE相交于点o.以0为圆心，OB为半径画弧，分别交AB,AE 千点M,N.若BC=2,则MN的长为（结果保留立A B c D E【答案】一2冗5【解析】【分析】根据在正五边形ABCDE,计算出正五边形的每个内角为：540-=-5=108所以乙BCD=l08,BC=CD,CD=DE,得到三角形BCD和三角形CDE是等腰三角形，得到BC=B0=2,从而得到乙80=180-乙BOC=l08,根据弧长公式先求出所以BE的长，再求MN的长即可；【详解】连接OM,ON;A B E c D？在正五边形ABCDE:正五边形的每个内角为：540虹5=108所以乙BCD=l08,BC=CD,CD=DE 即三角形BCD和三角形CDE是等腰三角形，:.乙ECD乙CBD=(180-108)笠36乙BCO=J80-36=72,乙BOC=l80-72-36=72,:.乙BOC乙BCO所以三角形BCO为等腰三角形，.BC=B0=2:.乙B0=180乙B0C=l08乙ABO=l08乙CBO乙CB0=108-36=72.OB=OM：乙OBM=LBM0-72：乙BOM=l80-乙OBM-乙OMB=l80-72-72同理可得；乙NOE=36：乙MON=108-L.BOM-L NOE=108-36-36=36 36冗x22冗所以MN=180 5 故答案为：-2冗5【点睛】本题考查了弧长的计算，以及正五边形的有关性质，解题的关键是熟悉弧长的计算，以及正五边形的内角，以及等腰三角形的性质和判定14.如图，在Rt丛ABC中，乙ACB=90,AC=6,BC=8,将丛ABC绕点A逆时针旋转得到6ABC，点B、C的对应点分别为点8、C,AB与BC相交于点D,当BCIIAB时，则CD=A B C R【答案】7 4【解析】【分析】设CD=x，由BCIIAB,可推得乙BAD乙B由旋转的性质得：乙B乙B千是得到乙BAD 乙B,AC=AC=4,AD=BD=8-x,由勾股定理可求解【详解】设CD=x,:BCII AB,:.乙BAD 乙B,由旋转的性质得：乙B乙B,AC=AC=6,:.乙BAD乙B,:.AD=BD=8-x,:.(8-x)2=x2+6气7.x=-,4 7:.CD=,4 故答案为：一7 4【点睛】考核知识点：旋转的性质理解旋转的性质是关键15.若x+y=S,则xy+l的最大值为.【答案】一29 4【解析】【分析】由x+y=S得x=5-y,代入xy+l得(5-y)y+1=-;?-+Sy+1,进而求出最值【详解】解：由x+y=5得x=5-y,5 29:.X)1+I=(5-y)y+l=-;l-+5y+l=-(y-)2+,2 4:-10,5 29:当y=时，xy+l有最大值，且最大值为.2 4 故答案为：29 4【点睛】本题考查一元二次方程的最值问题，用一个未知数表示另一个未知数进而求最值解决问题的关键16.如图，在t:i.ABC中，AB=2,乙ACB=60,DC上BC,DC=BC,则AD的长的最大值为D A B【答案】孜J5#J江4【解析】1【分析】过点D作DE.lAC的延长线于点E,得出 乙DCE=30,令CD=CB=x,AC=y,则DE=X,CE=2 五五X,则AE=y+一一x,由勾股定理，得AD2=AE2+ED2，进而求最值2 2【详解】解：过点D作DE.lAC的延长线千点E,:乙ACB=60,DC.lBC,:.乙DCE=30,1 令CD=CB=x,AC=y,则DE=7x,2 3 由勾股定理得CE=(石亡下百二勹了:-=X,2 2 3:.AE=AC+CE=y+x,2 在Rtt:.ADE中，AD2=DE2+A览1,o.,.3:.A炉（x）件(y+x)2王沪石xy,2 2:(x-y)2:0,记y2_2xy乏0,2勹x+y-即x，当x=y时，等号成立，2:.AD2式户3xyO,上AD扎拉故答案为：j正J5.I;、I、DI CI A B【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，利用勾股定理解三角形，30的直角三角形的性质和边关系，利用不等式求最值等知识，难度有些大，属千压轴题三、解答题（本大题共11小题，共88分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）a 2 17.计算：(+).;.9 a+3 a-3 3-a a【答案】a【解析】【分析】首先提出负号使括号内变为(a2-9，然后根据平方差公式、除法法则进行化简即可a-3 a-3【详解】原式a 9 a+3 a-9 a+3 a=(-=-=(a+3=a a-3 a-3)a a-3 a a+3【点睛】本题考查了平方差公式、分式的化简，重点是掌握乘法公式在分式化简中的计算方法18解不等式组卢勹产，并将解集在数轴上表示出来2 3-3-2-1 O l 2 3【答案】1x3,见解析【解析】【分析】分别求出每个不等式的解集，并将其解集表示在数轴上即可【详解】解厂勹解不等式，得x之l，解不等式，得x3,:原不等式组的解集为I:s;x3,占将不等式组的解栠在数轴上表示为：,.i,1,于-3-2-1 0 1 2 3【点睛】本题考查解不等式组，并将不等式组的解媒表示在数轴上，正确的计算能力是解决问题的关键19.某家电销售倘店16周销售甲、乙两种品牌冰箱的数量如图所示（单位：台）：销售13 12 11 I _;、-t-1一本，况：一一：.甲品牌乙品牌87 2 3 4 5 6周(1)甲品牌冰箱16周销售立的中位数是，乙品牌冰箱16周销售伦的众数是(2)求该商店甲品牌冰箱16周销售量的平均数和方差；4(3)经过计算可知，乙品牌冰箱16周销售岱的平均数是10,方差是根据上述数据处理的结果及折3 线统计图，对该商店今后采购这两种品牌冰箱的意向提出建议，并说明理由【答案】(I)10;9(2)平均数是lO,方差为13 3(3)答案不唯一，见解析解析】【分析】（1)利用中位数的定义，众数的定义即可求解；(2)利用平均数的公式以及方差计算公式即可求解；(3)根据(1)中计算结果及折线统计图的变化趋势，说明哪种进货多，哪种少即可，答案不唯一【小问l详解】解：甲品牌的销售量分别为7、10、8、10、12、13,重新排列为7、8、:l0、l0、12、3,处千中间的两个数都是10,则甲品牌冰箱16周销售呈的中位数是10,乙品牌的销售侬分别为9、10、11、9、12、9,9出现次数最多，则乙品牌冰箱16周销售量的众数是9,故答案为：10,9;【小问2详解】解：甲品牌冰箱周销售量的平均数为x(7+10+8+10+12+13)=10,6 13 趴,=x (7-10)2+(l 0-10)2+(8-l 0)2+(10-10)2+(12-10)2+(13-l 0)2=;6 3【小问3详解】解：甲、乙两种品牌冰箱周销售量的平均数相同，乙品牌冰箱周销售量的方差较小，说明乙品牌冰箱销售量比较稳定，可建议商家多采购乙品牌冰箱；从折线统计图的变化趋势看，甲品牌冰箱的周销售扯呈上升趋势，可建议商家多采购甲品牌冰箱：（答案不唯一）【点睛】本题考查了折线统计图，折线图不但可以表示出数量的多少，而且能够清楚地表示出数量的增减变化情况也考查了平均数以及方差，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键20.甲、乙、丙三人分别从A,B,C这3个检票通道中随机选择l个通道进入游乐园(1)求甲、乙选择同一通道的概率；(2)甲、乙、丙选择同一通道的概率是【答案】(l)-3(2)-9【解析】【分析】（I)先画出树状图，从而可得甲、乙随机选择l个通道的所有等可能的结果，再找出甲、乙选择同一通道的结果，然后利用概率公式计算即可得；(2)先画出树状图，从而可得甲、乙、丙随机选择l个通道的所有等可能的结果，再找出甲、乙、丙选择同一通道的结果，然后利用概率公式计算即可得小问l详解】解：画树状图如下：开始甲乙c爪AB爪AA 由图可知，甲、乙随机选择l个通道共有9种等可能的结果，其中，则甲、乙选择同一通道的概率为P=，3 1 9 3 1 答：甲、乙选择同一通道的概率为3【小问2详解】解：画树状图如下：甲、乙选择同一通道有3种结果，开始甲c慧A B CA B CA B CAB CAB CA B CA B CA B CA BC c 乙A B c 丙由图可知，甲、乙、丙随机选择1个通道共有27种等可能的结果，其中，甲、乙、丙选择同一通道有3种结果，则甲、乙、丙选择同一通道的概率为P=-,3 1 27 9 故答案为：一1 9【点睛】本题考查了利用列举法求概率，正确画出树状图是解题关键21.甲、乙两位同学同时为校文化艺术节制作彩旗已知甲每小时比乙多做5面彩旗，甲做60面彩旗与乙做50面彩旗所用时间相等，问甲、乙每小时各做多少面彩旗？【答案】甲每小时做30面彩旗，乙每小时做25而彩【解析】【分析】根据题意可设乙每小时做x面彩旗，则甲每小时可做(x+5)面采旗，根据甲做60面彩旗与乙做50面彩旗所用的时间相等的等忧关系，可列方程求解由千是分式方程，解完后一定要检验【详解】试题分析：解：设乙每小时做x面彩旗，则甲每小时做(x+5)面彩旗，60 50 根据题意，得一一一，x+5 X 解这个方程，得x=25,经检验，x=25是所列方程的解，.x+5=30,答：甲每小时做30面彩旗，乙每小时做25面彩【点睛】考点：列分式方程解应用题22.如图，在矩形ABCD中，点E,F分别在AD,BC上，且AE=CF.直线EF分别交BA,DC的延长线千点G,H.G A(1)求证：四边形BHDG是平行四边形；(2)若AB=4,BC=8,当AE的长为时，四边形BHDG是菱形【答案】（1)见解析(2)3【解析】【分析】(1)、由矩形的性质可证得：t:.AGE兰6CHF,进而可得BG=DH,再由ABIICD即可证得；(2)、设AG=x,由矩形性质可得DG-=4+x,在直角三角形ADG中，由勾股定理可得AG长，再证心AGE(/)1:,.BGF,由对应线段成比例列方程即可求解【小问l详解】证明：？四边形ABCD是矩形，AB/I CD,AB=CD，乙BAD乙BCD=90,乙AGE乙CHF,乙BAD 乙GAE乙BCD乙HCF=l80,乙GAE乙HCF=90,.AE=CF,1:,.AGE竺八,CHF,AG=CH,AB+AG=CD+CH,即BG=DH,AB/ICD,四边形BHDG是平行四边形；【小问2详解】？四边形BHDG是菱形，:.BG=GD,设AG=x,.0AB=4,BC=8,:.DG=BG=AB+AG=4+x,由(I)可知：乙GAD=90,AD=BC=S,:.DG2-AG2=AD2,:.(x+4)2-x2=64,解得：x=6,:.AG=6,GB=lO,设AE=m，则CF=m,BF=8-m,:AE II BC,心AGE必GF,GA AE GB BF 6 m=10 8m 解得m=3,:.AE=3.故答案为：3.【点睛】本题考查了矩形的性质，平行四边形的判定，菱形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握以上性质和判定是解题的关键23.如图，为了测址小河对岸大树BC的高度，小明在点A处测得大树顶端B的仰角为37再从点A出发沿倾斜角为30的斜坡AF走4m到达斜坡上点D,在此处测得树顶端B的仰角为26.7求大树BC的高度（精确到O.lm).（参考数据：tan37:0.75,tan26.7:Q.5,J3:1.73.)B F E A【答案】11.2m【解析】【分析】过点D分别作DGJ_AC,DHJ_BC,垂足分别为G,H.根据三角函数求出DG=AD-sin30=2.AG=ADcos30=2 3在Rt6ABC中，利用锐角正切三角函数求出BC=tan37AC.BH=DHtan26.7,然后列方程BC2=tan26.7(AC+2五）代入数据计算即可【详解】解：如图，过点D分别作DGJ_AC,DHJ_BC,垂足分别为G,H.：乙DGC乙DHC乙HCG=90,:四边形DGCH为矩形，:.DG=CH,DH=CG,在Rt1:,.ADG中，乙DAG=30,AD=4m,DG AG:sin30=,cos30=,AD AD.DG=ADsin30=2.AG=ADcos30=23.在Rt1:,.ABC中，？tan37=-，BC AC:.BC=tan37-AC.BH 在Rt1:,.8DH中，tan26.7=一,DH.BH=DHtan26.7.sc-2=tan26.7(AC+23).:.tan37AC2=tan26.7(AC+2 3).即0.75AC-2动5(AC+23).:.AC=4石8.:.BC=0.75x(43+8)=33十年11.2m.答：大树BC的高度为11.2m.B F、D/佥6.7/.lE G A-C【点睛】本题考查解直角三角形，矩形判定与性质，熟练掌握锐角三角函数定义，以及矩形的判定方法与性质是解题关键24.一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发，沿一条笔直的公路匀速开往乙地图中的线段OA和线段BC分别表示货车和轿车离甲地的距离y(km)与货车出发时间x(h)之间的函数关系.l.(km)300 O 1 4 a A -x 尸）(1)轿车出发时，两车相距km;(2)若轿车比货车提前0.6小时到达乙地，求线段BC对应的函数表达式及a的值；(3)若轿车出发6h,此时与货车的距离小于12km,直接写出轿车速度v的取值范围【答案】Cl)84;(2)ysc=lOOx140;3.5;(3)l05vl20.【解析】【分析】（1)先求出货车的速度，再乘以轿车晚出发的时间即可；(2)先写出点C的坐标，再由待定系数法求函数解析式，再联立两个解析式求解即可得到a的值；(3)轿车出发1.6h,则货车出发3小时，此时，货车距离甲地的距离为3x60=180（于米），轿车距离甲地的距离为1.6v于米，分别讨论货车在轿车前方，若货车在轿车后方，求解即可【小问l详解】由图可知，货车的速度为3()().,.5=60（千米小时），60 xl.4=84（于米），故答案为：84;【小问2详解】若轿车比货车提前0.6小时到达乙地，则C(4.4,300).根据题意得，k300 BC=100.4.4-1.4 将(1.4,0)代入y=lOOx+b,得b=-140.:.Yl/c=lOOx-140.:YoA=60 x:.100 x-140=60 x,解得x=3.5,即a的值为3.5.【小问3详解】轿车出发1.6h,则货车出发3h,此时，货车距离甲地的距离为3x60=180（千米），轿车距离甲地的距离为1.6v千米若货车在轿车前方，则180-l.6v105,若货车在轿车后方，则1.6v-18012,解得vl20,.轿车速度v的取值范困为105vl20.【点睛】本题考查了函数应用，求一次函数的解析式及解不等式，熟练掌握知识点并能够从图像中获取信息是解题的关键25.如图，在矩形ABCD中，E为AD的中点，6EBC的外接圆 00分别交AB,CD千点M,N.A E(1)求证：AD与00相切；(2)若DN=l,AD=4,求00的半径r.【答案】（1)见解析(2)2.5【解析】【分析】（1)连接EO并延长交BC于点F,连接OB、OC,根据矩形的性质等先证明6ABE竺6DCE,再由全等三角形的性质及垂直平分线的判定证明EF.LAD,再利用切线的判定得出结论即可；(2)过点0作OF.LCD,垂足为F,连接OE、ON,先判断四边形OEDF是矩形，根据矩形的性质及勾股定理即可求解【小问1详解】证明：连接EO并延长交BC千点F,连接OB、OC,？四边形ABCD是矩形，.AB=CD,ADIi BC,乙A乙D=90.E为AD的中点，.AE=DE.:6ABE竺八DCE.EB=EC.OB=OC,:.EF垂直平分BC,即乙EFC=90.：乙DEF 乙EFC=l80,:.乙DEF=I80乙EFC=180-90=90,即EF.LAD.？点E在00上，.AD与00相切E【小问2详解】过点0作OF上CD,垂足为F，连接OE、ON,？四边形ABCD是矩形，:.乙D=90.?AD切00千点E,:.L0ED=90.:乙OFD=90,:四边形OEDF是矩形:.OF=ED,DF=OE=r.:E是AD的中点，:.OF=ED=0.5AD=2.在Rt60FN中，由勾股定理得：0户N户0炉，即2气(r-1)2产:.解得r=2.5.E【点睛】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定和性质、垂直平分线的判定、切线的判定及勾股定理等，熟练掌握知识点是解题的关键26.已知二次函数y=a(x-l)(x-l-a)为常数，且a1:-0).(1)求证：该函数的图像与x轴总有两个公共点；(2)若点(0,y小(3,y2)在函数图像上，比较y1与Y2的大小；(3)当0 x3时，y 2,直接写出a的取值范围【答案】（I)证明见解析(2)当al时，Y1 Y2;当a=l时，Y1=Y2；当Oal时，Y1 Y2(3)-2s a sl，且a*O解析】【分析】（1)令y=O,可得出X的两个解，且两个解不相等即可得出结论；(2)先求出y尸y2=3a(a-l)，然后分三种情况讨论即可；(3)先求出抛物线与X轴的交点，对称轴，顶点坐标，然后在OxO和aO两种情况确定函数的最大值，从而得出结论【小问l详解】证明：令y=O,即a(x-l)(x-1-a)=O,:.x-1=0或x-1-a=O,即x1=1,x2=l+a,:a*O,:.I-:t:-l+a,:方程有两个不相等的实数根，占该函数的图像与X轴总有两个公共点【小问2详解】解：？点(0,Y1),(3,Y2)在函数图像上，:.当x=O时，Yi=a2+a 当x=3时，y2=-2a2+4a,:.y1-y1=a2+a-(-2a2+4a)=3a2-3a=3a(a-l),:.当al时，Y1 Y2,当a=l时，Y1=Y2,当Oal时，YiO时，二次函数的图像开口向上，:0 x3,a2+a:;2.-2a2+4a 三2解得：2三 a三l,.0 a l,当aO时，二次函数图像开口向下，对称轴a+2 X=.2 a+2 当0-3，即2aO时，2 占二次函数图像在顶点处取得最大值，3.a:.-=-2,:.-2aO,2+a 当o，即a-2,a 由题意可知，a2+a:,;2，解得：2:a:1,即a=-2;综上所述，当0 x3时，y2,a的取值范围是：2al,且a:/:-0.【点睛】本题考查了二次函数图像与系数的关系，二次函数图像与X轴的交点，二次函数的性质，二次函数图像上点的坐标特征，作差法比较函数值的大小，解一元二次方程，解不等式（组）等知识，采用了分情况讨论的解题方法解题的关键是X在某一范围内的函数最大值的确定27.解决问题常常需要最近联想，迁移经验例如研究线段成比例时需要想到(1)【积累经验】如图(D,00是6ABC的外接圆，AD是6ABC的高，AE是00的直径求证AB AE AD AC a C(2)如图，已知线段a,b,c.用两种不同的方法作线段d,使得线段a,b,c,d满足一一要b d 求：用直尺和圆规作图；保留作图的痕迹，写出必要的文字说明a I I b c 图(3)【问题解决】如图，已知线段a,b.AB是00的弦在00上作点C,使得CACB=ab.要求：O用直尺和圆规作图；保留作图的痕迹，写出必要的文字说明a I t b I I 图【答案】（l)答案见解析解析】(2)答案见解析(3)答案见解析分析】（1)先证乙ADC乙ABE,乙C=乙AEB,得6ABE(./)丛ADC,即可得答案；b(2)方法l，根据丛ABC.n丛DEF,可得DF=d,方法2,根据ACxDB=ABX-，可得BD=d;2(3)作EF=a,EG为00直径，EH=b,得EG El=ab,再证CACB=EG EI,即可得答案【小问1详解】解：如下图，连接BE,:AD是6ABC的高，:.乙ADC=90.?AE是00的直径，:.乙ABE=90,：乙ADC乙ABE,:AB=AB,:.乙C乙AEB,:丛ABE=6ADC,AB AE=-AD AC【小问2详解】方法1,如下图，D A 作t:i.ABC,使AB=a,AC=b,作DE=c,乙D乙A,乙DEF乙ABC,:.6,.ABC乙丛DEF,AB DE a c=-.-AC DF b DF.a C-=b d:.DF=d,方法2,如下图，。b 作A使得AB=2c,AB边上的高为,AC=a,以AB为直径作半圆0,所以乙ADB=90,2 b:ACxDB=ABx:_,2 b:.aDB=2cx:_,2:.aDB=bc,.a C.-=,b DB a c,b d:.BD=d;【小问3详解】如下图，点C即为所求，E ll l 2 作EF=a,EG为00直径，EH=b,由A型相似求出EI的长，EF EI EC EH a EI EC b:.EG ET=ab,在弦AB的上下各作距离为ET的等距平行线h和l2,EI上AB,.：AEAG0丛ETB,:.EA EB=EG EI,汹与弦AB的距离为ET,:.c、E重合，:.CA CB=ab,：山、h与00的交点即为点C.【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，圆的性质，尺规作图，解题的关键是掌握尺规作图的方法