艺术生高考数学专题讲义：考点9 幂函数.pdf

考点九募函数知识梳理1 .幕函数的概念如果一个函数，底数是自变量X,指数是常量a,即、=片，这样的函数称为募函数.注意区分曙函数与指数函数：事 函 数 的 一 般 形 式 是 募 函 数 中 自 变 量x处在底数位置，幕指数为常数；指数函数的一般形式是y=a)指数函数中自变量x处在指数位置，底数为常数.2 .五个简单鬲函数的图象和性质(1)图象比较(2)性质比较数性产元y=x2y=R1y=x定义域RRR0,+o o)小R且存0 值域R0,+o o)R0,+o o)力G R且*0 奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非偶函数奇函数单调性增x e o,+s)时，增；X W(8,0 时，减增增x (0,+co)时,减；1 (8,0)时，减典例剖析题型一 幕函数的概念例 1下 列 函 数 中 是 基 函 数 的 是.2 y=2x y=2 =炉 y=%答 案 解析 根据毒函数的定义y=V,。是常数，得出了=?是嘉函数，2y=2x y=2 y=%不是器函数.1 2 1变式训练 下列函数：丫=炉+1;丁=尤2;=2%2；y=x 3；y=x 3+1,其中基函数是答 案 解析 根据基函数的定义y=/,a 是常数，得出是幕函数，例 2 已知幕函数次x)的图象经过(9,3),则人2)一式1)=.答 案 隹-1解 析 设 基 函 数 它 的 图 象 经 过(9,3),1 1所以3=9 ,;.a=2,幕函数为y(x)=),所以式2)式1)=&-12变 式 训 练 函数丫=(%2%+1)/1-2 .3是基函数，且人一的=於)，则实数m的值为.答 案 12解 析 因为函数产(加一m+1)/一 2 3是曷函数，所以加一,+1 =1,解得，”=1或7 =0.因为述一X)=/(X),所以函数是偶函数，当机=0时 一，暴函数为y=K 3.函数表示奇函数，当m=1 时y=x4.函数是偶函数.解 题 要 点(1)暴函数的形式是y=d(a W R),其中只有一个参数a,因此只需一个条件即可确定其解析式.(2)若暴函数y=L(ad R)是偶函数，则 a 必为偶数.当a 是分数时，一般将其先化为根式，再判断.题 型 二 幕函数的图象例 3下图给出4 个塞函数的图象，则图象与函数的大致对应是()1答案 y=x3(g)y=x2(3)y=x2y=x1i1解 析 图说明函数定义域为R，有 丁=/，、=/，且观察图象可知图为y=,，则图为y=/；1又图中函数定义域为 0,+8),所以其对应丫=公，1综上可知：y=,y=/丫=公、=乂-1.变 式 训 练 下 列 命 题 中 正 确 的 是.幕函数的图象一定过点(0,0)和点(1,1)若 函 数 4 x)=V 是奇函数，则它在定义域上单调递增幕函数的图象上的点一定不在第四象限幕函数的图象不可能是直线答 案 解析 幕函数y=x 的图象不过点（0,0）,它在（一8,0）,（0,+8）上单调递减，于是，都不正确.事 函 数 y=x 的图象是直线，不正确.当x 0 时，式幻=尸 0必成立，所以，基函数的图象上的点一定不在第四象限，答案为.解 题 要 点 若基函数y=K 在（0,+o o）上单调递增，则 a 0,若在（0,+o o）上单调递减，则 a 0.熟记5 个简单幕函数的图象是解题的关键.题型三幕函数有关的大小比较问题3 3例 4已知“=6=（2）C=O823,则 a,b,c 从 小 到 大 用”号排列为答 案cab32 3 3 3解析 因为基函数 在（0,+8）单调递增，且可5,所以（今（乎 即a（|）o=l 0）又因为对数函数y=l09 a”在（0,+8）单调递减，所以C=log 2|，o9 2 1=0，因此c acb2 2解析 因为 g 在（0,+8）上是增函数，所以Qc,又因为y =S）、在（一 8,+8）上是减函数，所y=x 5以 c b.解 题 要 点 同底数的两个数比较大小，考虑用指数函数的单调性.同指数的两个数比较大小，考虑用基函数的单调性：若指数大于0,对应的募函数在（0，+8）上是增函数；若指数小于0,对应的幕函数在（0，+8）上是减函数.若指数和底数都不相同，则可借助中间值0 或 1 比较.当堂练习1.已知幕函数）一兀0 的图象过（4,2）点，则寸=.答 案 可解 析:已知基函数），=L的图象过点（4,2）,11-o则 4 a=2,，a=2,故函数的解析式为y=/(x)=%,2.当x(0,+8)时，基函数y=(加 2 团一1)/5 厂 3 为减函数，则实数机的值为答 案m=2解析 因为函数y=(m2fnl)x5,n3既是嘉函数又是(0,+8)的减函数，m2=l所以1一 5 加-3cb2解 析 .1=/。0)为增函数，1.。.y=(I)。R)为减函数，:cb,ch.4 .已知事函数y(x)=/的图象经过点(2,阴，则1 4)的值为.效口率不-25 .若幕函数的图象过点(2,(),则 它 的 单 调 递 增 区 间 是.答 案(一 8,0)解 析 设 丫=严，5!lj1=2a,：.a=2,：.y=x 2.课后作业一、填空题_ 1I.在函数y 2,y1-,y+x,y=l 中，幕 函 数 的 个 数 是.答 案 1解 析 .基函数的定义是“形如y=K,aGR的函数，叫做幕函数”，12，在函数 y=%,y=2 x2,y=x2+x,y=l 中，1只 有 一 个 丫=/=/2 符合定义，是幕函数：2.已知幕函数y(x)=X 的图象经过点(4,2),则.穴16)=.答 案 411-2解析 由于知基函数_/(x)=d 的图象经过点(4,2),则有*=2,解得m=2,故116)=16 =4.3 .若函数/(x)=(2 m+3)xm-3 是幕函数，则，的值为.答 案 T解 析.(x)=(2 m+3)xm2-3 是幕函数，2?+3 =1,1 7 1 1.4 .已知事函数y=/(x)的图象过(3 6,6),则 此 函 数 的 解 析 式 是.12答 案 y=%11-2解析 设基函数、=/)=/,由于它的图象过(3 6,6),故有3 6。=6,6(=2,故此函数的解析式是丫=彳.5 .在同一坐标系中，函数f(x)=x(x)，9(阳=外X 的图象可能是.答 案 解析 对，没有基函数的图象，不符合题目要求；对，/0)=/0 0)中。1,9(刈=1。9d中0 a 0)中9 0)=，。9 丛中。1，不符合题意；对,f(x)=xa(x 0)+a 9(x)=logaxtoa l,符合题意.1a=log13,b=g)2,c=236 .设 5 ,则a、氏 c 的大小关系是.答案 a b c11解析 由函数的性质得到。=，。为3 1所以，ab=/是奇函数，所以，结论正确；幕函数y=/是偶函数，所以，结论正确；嘉1函数y=X 的图象关于直线y=x 对称，所以，结论正确.1 3-79 .下列函数(l)y=T,(2)y=/,(3)y=x,(4)y=x,在(-oo,0)上 是 增 函 数 的 是.答 案 解 析 由幕函数的图象和性质得(1)是奇函数，在(一8,0)上递增.(2)是偶函数，在(一8,0)上递减.(3)奇函数，在(一8,0)上递减.(4)在(一8,0)上无意义，故区间(一8,0)不是函数的单调区间.故答案是(1).10.函数负x)=x+l恒过一个定点，这 个 定 点 坐 标 是.答 案(1，2)解析 由于函数y=/恒过一个定点(1,1),故函数_/(x)=/+l恒过一个定点(1,2),故答案为(1,2).11.比较大小(填或“=”)：占 0.5 (1)0.5(1)5 3 ；(2)(K)3(3)3.答 案(1)(2)3j.(2)因为幕函数丫=如在区间(-00,+8)上是增函数，又一兀 一3,所以(一兀)3 (3)3.二、解答题1 2.比较大小:1 1(1 1)1.552,1.722-1,-1,-2解 析 .，y=x；1 11.52=如在 R阳；(3)；尸 尸 ，是增函数,-1-2,1 3.已知辱函数兀0=/的图象经过点A(2 ).求实数a的值；(2)求证：质)在区间(0,+8)内是减函数.-J 2 -解 析(1)解：；Xx)=犬的图象经过点4 2 v),，(2)“=姆，11即 2-a=2 2,解得 a=一&(2)证明：任取 Xl，X2(0,+0 0),且即Xl0,/.X|X2 ,于是兀Z(Xl)0.1即式X2)勺g),所以1 x)=/在区间(0,+8)内是减函数.X