浙江六校竞赛联考一试答案.pdf

2022年全国中学生数学奥林匹克竞赛（初赛）暨 2022年全国高中数学联合竞赛模拟考试一 试（A 卷）参考答案及评分标准说明：1.评阅试卷时，请依据本评分标准.填空题只设8 分和0 分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不得增加其他中间档次.2.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第9 小题4 分为一个档次，第 10、11小题5 分为一个档次，不得增加其他中间档次.一 填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分6 4分.1.若3 s ina s in/3 =,则c o s 2 0=.答案：解：因为a +4，所以s in =c o s a,即3 s ina-c o s a即 V1 0 a-c o s a）=V w.令s in”典，COS0=,则 J l 0 s in（a-）=J 1 0 ,0=F 2k/r k wZ,1 0 1 0 2B P a=6 +5+2左 左,从而s ina =s in0+y +及）=cosd.4因此c o s 2乃=2 c o s2/?-l=2 s in2 a-1=.2.从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为.2答案：3解：从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，共有C；=2 1种不同的取法,若两数不互质，不同的取法有：不4）,（2,6）,（2,8）,（3,6）,（4,6）,（4,8）,（6,8）,共7种，故所求概率尸=71*-7 =余?3.已知凡b e 0,2,则。2一。+|/）-4的最大值为.答案：4.解:当 g a 时，/_ 4 +|6 _4 =/_ 2 0 +6 =（-1）2+6 _1,又/,6 0,2,显然当“=0或2,6 =2时，该式取得最大值1 +27=2.当 时，a a+h a =a a+a b=a h,又 a,be 0,2,显然当 a =2,b=0时，该式取得最大值”0 =4.综上所述，的最大值为4.4.在三棱锥尸Z 8 C 中，P A=P B=AB=&,P C =a,AC=b,BC=c.若 P Z C和APBC都是等腰直角三角形，则满足条件的有序实数对(a,b,c)的个数为答案：3.解：根据题意可画简图如下，A 7%3为等边三角形，且8 c都是等腰直角三角形，分类讨论如下：P尸/_1 _尸。,尸/=尸。=五 时，P C=P A=P B=C,此时A P 8 C 中，Z 5 P C =9 0.所以，AC=4iP C=2,BC=6 P B =2,止 匕 时，a=y/2,b=2,c=2.P/_L ZC,P/=N C =五时，P C=42AC=2,此时 A P 8 C 中，N P BC=90 ,止 匕时=此时 a =0,6 =&,c =&AC1P C,ACP C,AC=P C=l,此时 A P 8 C 中，N BCP =90。,此时BC-P C-1,止 匕 时 a =贬,6 =l,c =1 .所以也c的取值有3种不同情况.5.设z e CU wR满足忖=1,F+左z+l|的最大值为3,则左=答案：1或-1.(只写一个不给分)解：设z=a +6 i(a,beR)，因为股=1,所以|z=l ,z/=l,所以产+依+1=+后+Z z|=卜(z+z+%).而2 +5 =+万=2”1,所以卜2+化 +1|=卜卜+2 +。|=卜+2 +年 上|=|2 0 +川,因为|z|=，/+万=1 ,所以a e -1,1,所以产+化+以诽|+2 =3,解得Z=1.6.设平 面 向 量a,h,c满足 同=1,例=2,|a-c|=|A-c|=3,c=a+曲(X,/J,0 ).若入 +=4,则k|=答 案.屈.22解：作方=1，O B=b，O C=c,由题意得区/=|引=3,忸/=|词=3.设直线O C与 直 线 交 于 点P.因为八府+痴(4 0,0),故点P在线段4 5上(不含端点).C又2+=4,结合等和线性质可知方=4砺.作 0G_ L/5 于 G,CH 工 4B 于 H,有 CH =3 O G,P H=3 P G./记 皿 田当点G 修4在线段Z 8上时，C”=3si nO,八 匕 二O BBH=AH=3 cos0O G=-CH=sin0AG=O A2-O G2=c o s6 =S G=5 c o s6.3|1 O G2+BG2=O B2,得si n?。+25 c o s2。=4,可解得c o sO =正，进而有c o s6 =4 4止 匕 时，P H=GH=(BG-B H、=cese=,C/=3si n 6 =,(注：点尸为4 4 2 8 4线段4/的中点，在线段4 8上，符合题意)可得CP=PH、CH2=W底,所以OO C=&P C=叵.3 2当点G在线段”的反向延长线上时，同方法可推得点P与点A重合,矛盾.综上所述，同=|国=亭.r2 V217.已知点Z是椭圆C:+4 =l(a b 0)的左顶点，过点Z且斜率为上的a b 2直线/与C交于另一点尸(点尸在第一象限).以原点。为圆心，|0尸|为半径的圆在点尸处的切线与X轴交于点。.若|尸4|之|尸,则C的离心率的取值范围为.(5答案：Q,.I 2 J解：要使/|2归0|,只要N 尸/N N 尸/。，只要一松2即“，即只要-即2 4.X2 y2-1-=1因为直线4 P方程为：尸;(x +a),联 立/J，得心2+/.；(+十=“皆,y=-(x+a)，g p(f l2+4b2)x2+2ayx+a4-4a2b2=0(*).3aA-4 a2b2注意到X L-。为方程（*）的一个根，故r:/+4/-。+4融2,所以点L -a2+4b2卜。3+4而2 4 从 _ 4 加 4b2I /+4 ，/+4从/同侍电，_ _/+4帅2_ _/+4 ,由于O P L尸0,故心。=-高 产，令-7同，得a +-=2b1 a2=2(a2-c2 a2=e2 ,即4/2 2T.所以。的离心率的取值范围是8.设实数0 a42 e,函数/（x）=e、+=.若存在实数0 西 满 足/（%）=/。2），且为6+2%2&T/（又0）时,西嘉+2%后f 3x（）H,当f-+o o时,再立+2X2A/%7-+00.右 X|+2x?yx2 怛大于 3x0,则+2%忘)m i”。等价于3 x o H a (*),又由/(%)=0,得八2xt=2%A代 入(*)，得3-3/百 叱，所以4 =2/标 物31n*|j.4下面证明再在+2X2 R 3x0后 恒成立.(I )先证占+2%.g()=/(x)-/(2,-x)=e +-=-x-y=(O x+e-E-飞坪,x4x(2x0-xy2xQ-x令X=M，左e(O,l),考虑函数/；团=卢-。+物 飞-广 近-7 ho.kx。(2XQ kx J yjz.XQ KXQ+3 )-T 4 k(2二%口 由 2/屈=a 4 2e ,得0 X。1 =1 e。”)2 1 口 =11 1 1所以一 WT(2/G(一二。将，两式代入人(女)，得 0),则”(x)=e -l 0在(0,+s)上恒成立，故S(x)=e，-x-l e(0)=0,即 e*x +l 卜0),即-2尸.分别取工=1-%和=%-1,得 占Z e,-1,Jw ei=ei+ei 471T+；,从而2-k k 2-k kh(k)0,也即g (x)0=/(芭)/(2%-%)=/()/(2%-x j,又.X2 X(),2x0-x x0,X)在(,+8)上单调递增，所以X22X0-X ,故有X,+x2 2x0.5（I I ）再证X诉+2X扃 3x0瓦由于2x3-3x2+l 0对任意xe（O,-K ）成立，分别取x =和=,得字 上 述 两 式 相 加，得玉 +工2 6 =xp _ +2=+X2y 2xoyx,xo xoyxo XOIXO3.由%/，彳 导 X?J x?x。J x 0，有-%J x +2%2 J x?3x 0，综上所述，332a0）,由题意得.%3=；212的，解得4=2或=一1（舍去），所以为 =2，因为 2%,为 奇 数，=l o g?。,”为 偶 数 所以 一2,为 奇 数,-1,为 偶 数.4分令 备 2,为奇数，品，为 偶 数.则 52”=。+，2+。3 +。2“_|+。2”=（CI+。3+。2-1）+（。2+C 4+，2“）设 Z,=。+。3+。2“_|,4+Q+C 2”.易得北=。1+。3+&-1=2.8分由于4=C 2+C 4+C,2“=*+*+则4R=1 32n-l-1-1-1-2T 21 22n3作差610T6+53.22-1,所以n10 6 +5R=-“9 9,22/,_|1 2分B C T n c 10 6 +5所以$2“=1 +&=2 r t+y-9.22-i1 6分10.(本题满分20分)已知a,b e R,若西广2，七是函数f(x)=x3+ax2+b的零点且玉 x2 x3,|xl|+|x2|=|x3|，求6a+b的最小值.解：/(x)=0即d=_(以2+6),可转化为两函数图象的交点.若再户2 0,此时a 0,6 0,由对称性可知再-三，区忸W1不合题jir.思.若为0，此时 0,由题意得_ 玉+=%3.5分对 于 方程(工一%)(工一七)(工一天)=0，即X3(玉 +x2+x3)x2+(x,x2+x(x3+x2x3)x-xx2x3=0-(%)+x2+x3)=a故 0)令 g(x)=/-1 2 x,g(x)=3(x+2)(x 2),则 g(x)在(0,2)上单调递减，在(2,y)上单调递增.所以6。+6的最小值为-16.2 0分1 1.(本题满分20分)在平面直角坐标系中，抛物线C:/=4歹的焦点为尸，直线y=Ax+3交。于4 8两点，延长力 8 b分 别 交 抛 物 线 于 两 点.令S5AB=S，S&FMNSS&FAN SyS&FBM=S 4，求+S3s4的最小值.$2解：设4 4作，B工2,宁)，M%3号，N卜 号,尸(0，1).由于4,F,A1三点共线，故/=4即再毛=-4.同理8,F,N三点玉7共线，X2X4=-4.x；x：4 4 4 4故直线即、=中 工 一 竽，即 工 兀 T兀，4 x3-x4 4 4rr-（+、2）4B R y=-X-.x）x2 X|X2由y=A x+3,；2 _ 4得V-4 fc r-12 =。，所以X I+X 2=4%，xtx2=-12所以直线 MV：y=-x-,即 y=J x +；,过定点.5 分12 12 3 3 J）注 意 到 自=慝!带，所以S 3 s L监.10分设E（0,3）,。,；），则S：=；|印也-|=3（3-1*，（&+）2-4中2=4 2+3 ,$2=如也3=311-扪、3-引=卜-引=；*三号故=孑 再 _ZI=（x,+x2）2-4 X,X,=I 2+3 .因此自+邑S,=9 +1（后2+3）.所以兴+S 的最小值为9此时k=0.J?J.1 5分.2 0分8