数学高考真题卷--全国2文数（含答案解析）.pdf

2 0 1 8 年普通高等学校招生全国统一考试全国n 卷（文科数学）一、选择题:本题共1 2 小题,每小题5分，共 6 0 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.i(2+3 i)=A.3-2 i B.3+2 i C.-3-2 i D.-3*2/2 .己知集合 A=1,3,5,7 ,B=2,3,4,5 ,则 AAB=A.3 B.5 C.3,5 D.1,2,3,4,5,7 3 .函数f(x)中的图象大致为C D4 .已知向量a b 满足1 川二 1,a b=ly则a （2 d-，）=A.4 B.3 C.2 D.O5 .从 2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务,则选中的2人都是女同学的概率为A.0.6 B.0.5 C.0.4 D.0.36 .双曲线捺q 二 1 (於0,力0)的离心率为巡,则其渐近线方程为A.y =V 2%B.y =3xC.y=-%D.y=-%2 27.在 回 中，c o s|4,BC=,AC=5t 贝 lj AB=A.4 V 2 B.V 3 0C.V 2 9 D.2 V 58.为计算S+衿-%-白,设计了如图所示的程序框图,则在空白框中应填入4 3 4 W 0,则z=x+y的最大值为.、x-5 W 0,1 5 .已知 t an(a-?)/,则 t an a -.1 6 .已知圆锥的顶点为S,母线S A,S 3 互相垂直,S A与圆锥底面所成角为3 0 .若弘8的面积为8,则该圆锥的体积为.三、解答题:共7 0 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1 7 2 1 题为必考题，每个试题考生都必须作答.第2 2、2 3 题为选考题,考生根据要求作答.（一）必考题:共6 0 分.1 7.（1 2 分）记$为等差数列 a 的前n项和，已知&=-7,$=T 5.（1）求&,的通项公式；求 S,并求S,的最小值.1 8.（1 2 分）如图是某地区2 000年至2 01 6 年环境基础设施投资额y（单位:亿元）的折线图.为了预测该地区2 01 8 年的环境基础设施投资额,建立了 y 与时间变量t的两个线性回归模型.根据2 000年至 2 01 6 年的数据（时间变量t的值依次为1,2,，1 7）建立模型:y=-3 0.4+1 3.5 根据2 01 0年至2 01 6 年的数据（时间变量Z 的值依次为1,2,7）建立模型:y 为9+1 7.5 以（1）分别利用这两个模型,求该地区2 01 8 年的环境基础设施投资额的预测值;（2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠?并说明理由.1 9.（1 2 分）如图，在三棱锥P-ABC中，AB=BC+2 a,PA=PB=PC=AC4,。为 4 C 的中点.(D 证明:/UL 平面ABC;若 点 M 在棱BC上,且，心 2,监,求点C 到平面夕附的距离.2 0.（1 2 分）设抛物线C-.M x的焦点为F,过厂且斜率为kU(刈的直线1与 C 交于A,B 两点、，M B/3.(1)求/的方程；(2)求过点4 6 且 与 C 的准线相切的圆的方程.2 1 .(1 2 分)已知函数 f(x).(1)若 a 3,求 H x)的单调区间;(2)证明：f(x)只有一个零点.(二)选考题:共1 0分.请考生在第2 2、2 3 题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.2 2 .选修4 Y:坐标系与参数方程(1 0分)在直角坐标系Q中，曲线C的 参 数 方 程 为 Z 需 (？为参数)，直 线1的 参 数 方 程 为 Z 2 +；簿为参数).(1)求。和/的直角坐标方程；(2)若曲线C 截直线/所得线段的中点坐标为(1,2),求/的斜率.2 3 .选修4 T:不等式选讲(1 0分)设函数 f(x)巧x+a x-2 .当 a=l 时,求不等式f(x)20 的解集;(2)若 A x)W 1,求 a的取值范围.1231567891 01 11 21 31 41 51 6DCBBDAABCCDCy=2x-29328 n1 .D【考查目标】本题主要考查复数的运算，考查考生的运算求解能力，考查的数学核心素养是数学运算.【解析】i (2+3 i)=2 i+3 i2=-3+2 i,D.【解题关键】按照复数的运算法则计算即可,同时牢记复数运算中i 2=T.2 .C【考查目标】本题主要考查集合的交运算，考查考生的运算求解能力，考查的数学核心素养是数学运算.【解析】因为集合4=1,3,5,7,B=2,3,4,5,所 以 十 5=3,5,故选C.【解后反思】集合的交、并、补运算是高考中的高频考点，应熟练掌握，解题时一定要认真、细心.3 .B【考查目标】本题主要考查函数的图象、函数奇偶性的判断，考查考生的逻辑思维能力及运算求解能力,考查的数学核心素养是逻辑推理、数学运算.【解析】因为A-x)与 =W=-f(x)(x W O),所 以 f(x)是定义域上的奇函数,所以函数f(x)的图象关(-X)2 X2于原点(0,0)中心对称，排除选项A;因为A 1)和二2,所以排除选项C,D,选 B.e4 .B【考查目标】本题主要考查平面向量的数量积，考查考生的运算求解能力，考查的数学核心素养是数学运算.【解析】因为|a|=l,a b=-l,所以 a (2 a-/)=2 1 a|2-a 6=2 X l2-(-l)=3,故选 B.5.D【考查目标】本题主要考查古典概型，考查考生分析问题与解决问题的能力、运算求解能力，考查的数学核心素养是数学运算.【解析】将 2名男同学分别记为x,%3名女同学分别记为a,b,c.设”选中的2人都是女同学”为事件A,则从5名同学中任选2人参加社区服务的所有可能情况有(x,y),(x,a),(x,6),(x,c),(y,a),(y,6),(y,c),(a,6),(a,c),(6,c),共 10 种,其中事件 A 包含的可能情况有(a,6),(a,c),(6,c),共 3 种，故 P(A)系 4.3.故选 D.【方法总结】对于古典概型，计算事件/的概率的具体步骤:分析一次试验由多少个基本事件组成(即求；分析事件A包含多少个基本事件(即求必W);利用公式P(4)三,求得事件A的概率.在求解n,m的值时,可利用列举法逐一列出基本事件求解,列举基本事件时要做到不重不漏.6.A【考查目标】本题主要考查双曲线的简单几何性质，考查考生的运算求解能力，考查的数学核心素养是数学运算.【解析】因为双曲线的离心率为所以=b,即c 6 a.又/=/+瓦所以（国 a）J +优化简得2 才=氏所aW-W 2.因为双曲线的渐近线方程为y=-x,所以y=五 x.故选A.a a【拓展结论】（1）焦点在x 轴上的双曲线的标准方程为1 4=1 （a0,0）,焦点坐标为（土G 0）,实轴长为a2 bz2 a,虚轴长为2b,渐近线方程为尸土家;（2）焦点在y 轴上的双曲线的标准方程为=1 （a Y,h 0）,焦点坐标为（0,d）,实轴长为2 a,虚轴长为2b,渐近线方程为y=x.D7.A【考查目标】本题主要考查二倍角公式、余弦定理，考查考生的运算求解能力，考查的数学核心素养是数学运算.【解析】因为c os gq,所以c o s 小2 c os 上 之 乂（乎-1/于是,在放中，由余弦定理得AS=AC+BC-2A C X B C XCOS C=52*l2-2 X 5 X I=3 2,所以 A B 4 近.故选 A.【命题风向】解三角形是近几年高考中的高频考点，将解三角形与其他知识巧妙地融合在一起,既体现了试题设计的亮点,又体现了对所学知识的交汇考查.8.B【考查目标】本题主要考查程序框图，考查考生的逻辑推理能力以及运算求解能力,考查的数学核心素养是逻辑推理、数学运算.【解析】由题意可将S 变形为S=（l+*“+2）-（；+*“+士），则由S=N-T,得 游 1+*“+白 月+；+士.据3 99 2 4 100 3 99 2 4 100此,结合的试，片7 三 易 知 在 空 白 框 中 应 填 入 故 选 B.I 1+19.C【考查目标】本题主要考查异面直线所成的角,考查考生的空间想象能力、化归与转化能力以及运算求解能力,考查的数学核心素养是直观想象、数学运算.【解析】如图，连接班;因为1 6 口,所以异面直线如与5 所成的角等于相交直线小与4 5 所成的角，即/4 笈不妨设正方体的棱长为2,则CE=,B C R由勾股定理得B EM.又由4 砌_ 平面E CG 尻可得ABL BE,所以ta n N E AB空 当.故选C.AB 2【答题模板】求异面直线所成的角，需要将异面直线所成的角等价转化为相交直线所成的角,然后利用解三角形的知识加以求解.1 0.C【考查目标】本题主要考查三角函数的图象与性质，考查考生的数形结合能力以及运算求解能力，考查的数学核心素养是直观想象、数学运算.【解析】解法一 Ax/o ss in X 个/I c os(xf.当 X G 0,a 时，；,a5,所以结合题意可知,a*W 口，即 a W 哼,故所求a的 最 大 值 是 故 选 C.解法二 F (才)=-s in X P O S*=r/5 s in(x*).于是，由题设得/(x)W 0,即 s in(x5)2 0 在区间 0,a 上恒成立.当xG 0,a 吐6,a*,所以a W”，即 aW*故所求a的最大值是?.故选C.【解题关键】灵活运用“局部整体化”思想是处理好形如产法in(3 x+0)(3%),y c os(ox+0)(oX),y 刃t a n(QX+0)(。加)的三角函数问题的关键.具体问题中，首先将“3 户 0”看作一个整体，然后活用相关三角函数的图象与性质求解.1 1.D【考查目标】本题主要考查椭圆的定义和简单的几何性质,考查考生的数形结合能力、运算求解能力,考查的数学核心素养是直观想象、数学运算.【解题思路】结合有关平面几何的知识以及椭圆的定义、性质加以灵活分析,关键是寻找椭圆中a,c 满足的关系式.【解析】由题设知/49内0 ,N 阳兄4 0 ,|&=2 c,所以 空|=c,|阳 匚 遮 c.由椭圆的定义得|%|+|你|=2 a,即8 c+c W a,所以(遍+l)c 之a,故椭圆C 的离心率故选D.a V3+1【方法总结】在求解有关椭圆或双曲线的离心率的问题时,一般不直接求出a 和 c 的值，而是根据题设条件建立关于基本量a,6,c 的方程(组)或不等式(组)，通过解方程(组)或不等式(组)求得离心率的值或取值范围.1 2.C【考查目标】本题主要考查函数的奇偶性、对称性、周期性，考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力，考查的数学核心素养是逻辑推理、数学运算.【解题思路】可以先根据题设条件确定函数f(x)的周期,再由已知求出一个周期内的相关函数值,最后结合周期化简求和;也可以找一个符合题意的特殊函数，以便迅速求解.【解析】通解 因为/(l-x)=F(l+x),所以函数/(x)的图象关于直线x=l 对称.因为F(x)是奇函数，所以函数A x)的图象关于坐标原点(0,0)中心对称.数形结合可知函数f(x)是以4为周期的周期函数.因为f(x)是(-8,+8)上的奇函数,所以f(o)4).因为f(l-x)=f(l+x),所以当x=1时,/1=f(0)4);当x=2时，f(3)=F(-D=-f(D=-2;当 产3 时，F(4)=f(-2)=-f-0.综上,可得 AD+F(2)“F(50)=12 XAD+f(2)(3)+f(4)+f(l)+f)=12乂2句+(-2)内+2 8 3.故选 C.优解 取一个符合题意的函数f(x)2 sin节,则结合该函数的图象易知数列 )5 G N)是以4 为周期的周期数列.故 f(l)(2)”(3)-(50)=12%/(1)(2)(3)”(4)(1)(2)=12 X2X)+(-2)4)+2X)=2.故选 C.【拓展结论】一般地,若函数f(x)的图象既关于点(a,0)对称,又关于点(&0)(力#a)对称,则函数f(x)是以2|a-引为周期的周期函数;若函数f(x)的图象既关于直线x=a对称,又关于直线x=6(6Wa)对称,则函数f(x)是以2|a*i为周期的周期函数;若函数f(x)的图象既关于点(a,0)对称,又关于直线x=b(bW热对称,则函数f(x)是以4 1 a-引为周期的周期函数.13.y3x-2【考查目标】本题主要考查利用导数求曲线在某点处的切线方程，考查考生的运算求解能力,考查的数学核心素养是数学运算.【解析】由题意知,产,所以曲线在点(1,0)处的切线斜率k=y L i之,故所求切线方程为y-0=2(x-1),即 y之x-2.14.9【考查目标】本题主要考查线性规划中的最值问题,考查考生的数形结合能力、运算求解能力，考查的数学核心素养是直观想象、数学运算.【解析】通解 画出可行域如图中阴影部分所示.目标函数z=x+y可化为产-x+z,作出直线片-x,并平移,当平移后的直线经过点8 时,z 取得最大值.联立，得卜 修。3=，解得产=2,所以夙5,4),故 心 石掰或(x-5=0,(y=4,优解 画图(图略)知可行域是封闭的三角形区域,易求得可行域的三个顶点的坐标分别是(1,2),(5,4),(5,0),依次代入目标函数z中 可 求 得 z 的值是3,9,5,故为,日.【方法总结】线性目标函数的最优解一般在可行域的顶点或边界处取得,所以对于可行域为封闭型的线性规划问题,可以直接解出可行域的所有顶点坐标,然后将坐标分别代入目标函数求出相应的数值,从而确定目标函数的最值.15.|【考查目标】本题主要考查三角恒等变换，考查考生的运算求解能力，考查的数学核心素养是数学运算.【解题思 路】可直接利用正切函数的差角公式求解;也可灵活利用加减变形技巧加以求解.【解 析】解法一5 ns IT、i .ta n a-ta n-,i因 为ta n (a -)所以-建，即 4 5 l+ta n a ta n出 54ta n a-1 1l+ta n a 5,解 得ta n_32a解法二 因为 ta n （可）W，所以 ta n a F a n （a 中 an（a-4,+tan 白 J二言4 5 4 4 i _ ta n（aW）ta n：人 尸 24 4【解 题 高 招】有 意 识 地 考 虑“角”与“角”之 间 的“加 减”联系，常 见 的 有2 a =（）+（a-）,2a+B=（a+B）+a,=a-（a -等；（2）处理有关三角函数问题时,有时需将表示“角”的代数式看作一个整体,然后通过换元,进一步分析、解决问题.1 6 .8 n 【考查目标】本题主要考查圆锥与直角三角形的交汇,考查考生的数形结合能力、运算求解能力,考查的数学核心素养是直观想象、数学运算.【解 题 思 路】首先结合题设条件求得圆锥的母线长,然后在直角三角形中求得圆锥的高以及底面圆的半径,最后利用圆锥的体积公式求解即可.【解 析】由题意画出图形,如图,设力。是 底 面 圆。的 直 径,连 接S O,则S 0是圆锥的高.设圆锥的母线长为1,则 由S A L S B,外8的 面 积 为8,得“2 =8,得7=4.在R tA 4 S。中，由题意 知/必户3 0 ,所以S O 曰 2 Ao专 之 火.故 该 圆 锥 的 体 积 吟 贝XA dXSO X（2 V 3）2X 2 8 n.【方法总 结】（1）求简单几何体的体积时，可直接利用相应几何体的体积公式求解；（2）求组合体的体积时,常用转换法、分割法、补形法等进行求解；（3）求以三视图为背景的几何体的体积时,应先根据三视图还原几何体的直观图,然后根据题设条件求解.1 7 .【考查目标】本题主要考查等差数列的通项公式及前项和公式，配方法求最小值，考查考生的运算求解能力,考查的数学核心素养是数学运算.【解题思路】（1）结合题设,构建关于首项和公差的方程,解之即可求得数列的通项公式；（2）先 求 出S”再利用配方法求得最小值.【解 析】（D设 4的 公 差 为d,由 题 意 得3 a产3 d=-1 5.由a产-7得dd所 以&的 通 项 公 式 为aH n A（2）由（1）得 Sn=n-8/?-（/?-4）2-1 6.所 以 当n=A时，S取得最小值,最小值为T6.【方法总结】在进行等差（比）数列的通项与前n项和的运算时，常化成关于首项和公差（公比）的方程（组）求解，但要注意消元法及整体计算的应用，以减少计算量.1 8.【考查目标】本题主要考查线性回归方程的实际应用,考查考生的应用意识，分析问题与解决问题的能力以及运算求解能力,考查的数学核心素养是数据分析、数学建模、数学运算.【解题思路】（1）模型中取力=19,模型中取t句，求出对应的函数值即可；（2）利用所给折线图中数据的增长趋势，加以分析即可.【解析】（1）利用模型,该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为y=-30.4+13.5X19之26.1（亿元）.利用模型,该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为y=99+17.5 X9之56.5（亿元）.（2）利用模型M到的预测值更可靠.理由如下：（i）从折线图可以看出,2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线y=-30.4+13.51上下,这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型。不能很好地描述环境基础设施投资额的趋势.2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加,2010年至2016年的数据对应的点位于一条直线的附近,这说明从 2010年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势,利用2010年至2016年的数据建立的线性模型yR9+17.5 1可以较好地描述2010年以后的环境基础设施投资额的变化趋势，因此利用模型额到的预测值更可靠.（i i）从计算结果看,相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元，由模型得到的预测值226.1 亿元的增幅明显偏低，而利用模型得到的预测值的增幅比较合理，说明利用模型得到的预测值更可靠.以上给出了 2 种理由,考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分.n n八 A 八 八 （Xj-x）（y i-y）八 xyi-nxy*人【解后反思】线性回归方程y=a 中，系数计算公式b-，也可以写成b T-,a-y-bx,（%岳）2 E xf-nx2i=i i=i其中表示样本均值.统计中涉及的图形较多，常见的有条形统计图、折线图、茎叶图、频率分布直方图等,应熟练掌握这些图形的特点,提高识图与用图的能力.1 9.【考查目标】本题主要考查立体几何中线面垂直以及点到平面的距离，考查考生的空间想象能力、推理论证能力以及运算求解能力,考查的数学核心素养是直观想象、逻辑推理、数学运算.【解题思路】（1）利用线面垂直的判定定理加以证明；（2）利 用“等面积法”巧解点到平面的距离.【解析】因 为 仍 4=/n,。为”的中点,所 以 a .匚U I、I/nix 2/5 0C,MC,sinZ.ACB 4/5所 以川 十CH-丁.所以点C 到平面P O V 的距离为.【方法总结】（1）证明线线平行常用的方法:利用平行公理，即证两直线同时和第三条直线平行;郃I J 用平行四边形进行平行转换;酬I J 用三角形的中位线定理证明；朗 I J 用线面平行、面面平行的性质定理进行平行转换.（2）证明线线垂直常用的方法:利用等腰三角形底边中线即高线这一性质；勾股定理的逆定理；段面垂直的性质定理,即要证两直线垂直,只需证明一条直线垂直于另一条直线所在的平面.20.【考查目标】本题主要考查抛物线与直线和圆的综合,考查考生的数形结合能力、运算求解能力，考查的数学核心素养是直观想象、数学运算.【解题思路】（1）利用点斜式写出直线1的方程，代入抛物线方程，得到关于x的一元二次方程,利用根与系数的关系以及抛物线的定义加以求解；（2）由题意写出线段四的垂直平分线所在直线的方程，设出圆心的坐标，由题意列出方程组，解得圆心的坐标,即可求解.【解析】（D 由题意得尸（1,0）,/的方程为y=4（x T）（Q 0）.设 4（科%）,6（超.由哈 得 以-吃 炉 户 石.=4%4=16d+16X),故汨+%?：kz所以|必=|朋+1 BF =(xi+1)+(尼+1)二空上.fcz由 题 设 知 智=8,解得k=T(舍去)，k=L因 此1的方程为y=x-L(2)由(1)得 18的中点坐标为2),所 以 的 垂 直 平 分 线 方 程 为 y-2=-(x-3),即y=x.设所求圆的圆心坐标为(xo,妙)，则 ；覆铲+】6 解 得 由:溷 窗:为因此所求圆的方程为(x-3)。(尸2)2=16 或 di)，+(y卅)2=144.【拓展结论】设 48是过抛物线/2 px(pX)的焦点厂的弦,记履为,九)，8(必 ，直线48的倾斜角为9,。e (0,“)，则%疚|月6|=为+心。1 I。,S-a TP.0(其中。为坐标原点).4sn20 AF BF p 2sin021.【考查目标】本题主要考查导数与函数单调性的关系、零点存在性定理,考查考生的数形结合能力、推理论证能力以及运算求解能力,考查的数学核心素养是直观想象、逻辑推理、数学运算.【解题思路】(1)通过求导、解不等式即可迅速求解；(2)构造函数,利用导数研究该函数的单调性,进而得f(x)的单调性,然后利用零点存在性定理即可证得结论.【解析】(1)当 a l 时,f(x)/-3%-3%-3,f(x)=/3x-3.令 f (x)与 解 得 xW-2遍 或 产 3+2遍.当 xW(-,3-2百)U(3+2倔 +8)时,f O；当 xR(3 2/1,3+2遍)时,f (x)0.故 A x)在(,3-2百)，(3 2/5,)单调递增,在(3-2V3,3+2遍)单调递减.由 于 3+户1 3,所 以 f(x)O 等价于T -3 a R.x2+x+l设 g(x)-2 F 1-3a,则 g(x)x2+x+l(x2)：(：十?：；)。0,仅当户0 时 g(x)丸所以 g(x)在(-8 +8)单调递增.+x+l)2故以*)至多有一个零点,从而f()至多有一个零点.又 A 3a-l)h 6 l+2 a2=芍必二产二 2.可 得 f(x)NO的解集为 x|-2W 启 3 .(2)A x)W1 等价于|x+a|+x-2124.而|x+a|+|x-2|2|a+2 L,且当x t时等号成立.故/(x)W l 等价于|a+2 N 4.由I a+21 2 4可得aWa 或 a 22.所 以a的取值范围是(-9-6 u 2,+8).