高中数学：学案2：高中数学人教A版2019选择性必修第三册条件概率.pdf

7.1.1 条件概率 导学案【学习目标】1 .在具体情境中，了解条件概率2 .掌握条件概率的计算方法3 .利用条件概率公式解决一些简单的实际问题【自主学习】知识点一条件概率条件设 4 8 为两个事件，且。(4)0含义在事件4发生的条件下，事件笈发生的条件概率记作P(BA)读作&发生的条件下反发生的概率计算公式(D 事件个数法:夕(冽4)=噌(2)定义法:P(BA)嘘 知识点二条件概率的性质(2)尸(4 力)=1如果8 与 C 互斥，则P(BU c=P(BA)+KCA).12【合 作 探 究】探 究 一 利 用 定 义 求 条 件 概 率【例1】一 个 袋 中 有2个 黑 球 和3个 白 球，如 果 不 放 回 地 抽 取 两 个 球，记 事 件“第一 次 抽 到 黑 球”为4;事 件“第 二 次 抽 到 黑 球”为笈(1)分别求事件力，B,力门8发生的概率;求 尸(4).思 路 点 拨 首 先 弄 清“这 次 试 验”指 的 是 什 么，然后判断该问题是否属于古典概 型，最后利用相应公式求解.解 由古典概型的概率公式可知，、，、2 尸(%)=,尸(8)=2X1+3X2 8 25X42 0-5110,1-4-1-W-2-5个 n =W=(冷归 纳 总 结：1.用 定 义 法 求 条 件 概 率 以 剧/)的 步 骤(1)分 析 题 意，弄 清 概 率 模 型；(2)计 算 尸(力,c a n面;代 入 公 式 求PBA)=陪232.结合古典概型分别求出事件4 8的概率，从而求出户(引力)，揭示出P(4),P和 P(创4)三者之间的关系.【练习1 甲、乙两市都位于长江下游，根据一百多年来的气象记录，知道一年中下雨天的比例甲市占2 0%,乙市占1 8 沆 两地同时下雨占1 2%,记尸(4)=0.2,产(=0.1 8,。(4 0 面=0.1 2,则 尸(力|而=,产(8|4)=.2 3【口案】3 5 由公式 P(/l =FnB)ni-3 PB A)=Fa A.).=5(探究二利用基本事件个数求条件概率【例 2】现有6 个节目准备参加比赛，其中4个舞蹈节目，2个语言类节目，如果不放回地依次抽取2个节目，求：(1)第 1 次抽到舞蹈节目的概率；第 1 次和第2 次都抽到舞蹈节目的概率；在 第 1 次抽到舞蹈节目的条件下，第 2 次抽到舞蹈节目的概率.思路点拨 第(1)、(2)问属古典概型问题，可直接代入公式；第(3)问为条件概率，可以借用前两问的结论，也可以直接利用基本事件个数求解.解 设第1 次抽到舞蹈节目为事件4 第 2次抽到舞蹈节目为事件B,则第1次和第2次都抽到舞蹈节目为事件4 n B.从 6 个节目中不放回地依次抽取2 个的事件数为(。)=X=3 0,根据分步计数原理(=A：A!=2 0,于是P(A)=/喙=*=17 7(Q)3 U 34,、L,“/z 2 丁 口 /z nfADB)12 2(2 因为(/n =A =1 2,于是产a n 而=子 =芯=三n(tJ)30 5(3)因为(/n 而=12,z?U)=20,所以(8=V.7瓜 公归纳总结：3-5-2-O1112【练习2】本例条件不变，试求在第1 次抽到舞蹈节目的条件下，第 2 次抽到语言类节目的概率.解.设第1次抽到舞蹈节目为事件4第 2 次抽到语言类节目为事件C,则第1次抽到舞蹈节目、第 2 次抽到语言类节目为事件AOC/7(J)=A；XAj=20./7(/n 0=A：XA；=8.,、n(AQC 8 2：.PC A)=以为=20=5探究三条件概率的性质及应用【例 3】一张储蓄卡的密码共有6 位数字，每位数字都可从0 9 中任选一个.某人在银行自动提款机上取钱时，忘了密码的最后一位数字.求：(1)任意按最后一位数字，不超过2 次就按对的概率；(2)如果他记得密码的最后一位是偶数，不超过2 次就按对的概率.思路点拨(1)不超过2 次，即第1次按对或第1次未按对第2 次按对；(2)条件概率，利用互斥事件的条件概率公式求解.5 解 设第，次按对密码为事件4(，=1,2),则 4=4 U (A A)表示不超过2次按对密码.(1)因为事件4与 事 件 互 斥，由概率的加法公式得/(力)=(4)+尸(4 4)=1 9 X 1 11 0+1 0 X 9 =5-1 用 6表示最后一位按偶数的事件，则以用而=户(4 而+户(小4)=-+4 X 1 25 X 4=?归纳总结：1 .利用公式尸(6 口。|/)=必引力)+户(。4)可使条件概率的计算较为简单，但应注意这个性质的使用前提是“8与。互斥2 .为了求复杂事件的概率，往往需要把该事件分为两个或多个互斥事件，求出简单事件的概率后，相加即可得到复杂事件的概率.【练习3 在一个袋子中装有1 0 个球，设有1 个红球，2个黄球，3个黑球，4个白球，从中依次摸2 个球，求在第一个球是红球的条件下，第二个球是黄球或黑球的概率.解 设“摸出第一个球为红球”为事件4,“摸出第二个球为黄球”为事件B,“摸出第三个球为黑球”为事件C 1 X 2 1 1.X 3 1则/(4)=10X9=6=l 0 X 9=3 0，所以尸(8 4)=五万=石丁历=,P(C A)=3OTO=3,2 1 5所以 P(BU C A)=P(B A)+尸(C|J)=Q+7=Q.7 O 76所以所求的条件概率为g.7课后作业A组基础题一、选择题Q 1 11.根据历年气象统计资料，某地四月份吹东风的概率为套，下雨的概率为而,0既吹东风又下雨的概率为为.则在下雨条件下吹东风的概率为（）,2 c 8 八 8 r 9A-7 B.c-n D-T T【答案】c8【解析】在下雨条件下吹东风的概率 为 普=A，故选c.3 042 .根据以往数据统计，某酒店一商务房间1天有客 人 入 住 的 概 率 为 连 续23天有客人入住的概率为三，在该房间第一天有客人入住的条件下，第二天也有客人入住的概率为（）113 3A-3 B-2 C-5 D-4【答案】D【解析】设第二天也有客人入住的概率为尸，根据题意有三4 P =3 解得尸=，35 5 4故选D.3.已知4与6是两个事件，尸（0=；,=1,则尸（4|而等于（）4 o11A-3 Bq81-2D.3-8【答案】：D解析：由条件概率的计算公式，可得（川 而=然=9=）4.甲、乙、丙三人到三个景点旅游，每人只去一个景点，设事件力为“三个人去的景点不相同”，6为“甲独自去一个景点”，则 概 率 尸 等 于（）4-92-B.91C-21D-3【答案】：C解析：由题意可知，（而=C；22=1 2,=A：=6.,.产(川/=MAB)61 212,5 .某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.7 5,连续两天的空气质量为优良的概率是0.6,已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（）A.0.8 B.0.7 5C.0.6 D.0.45【答案】：A解析：根据条件概率公式尸（创冷=翳，得所求概率为普=0.8.tA）U.1096 .投掷一枚质地均匀的骰子两次，记 4=两次的点数均为奇数,6=两次的点数之和为4,则尸(6 4)等于()_122-9A.C1-42-3RD.【答案 c解析:由题意事件4 包含的基本事件是事，1),(1,3),(1,5),(3,1),(3,3),(3,5),(5,1),(5,3),(5,5)共 9个，在/发生的条件下，事件5 包含的基本事9件是(1,3),(3,1)共 2 个，所以(6|4)=.7 .从 1,2,3,4,5中任取2 个不同的数，事件4 “取到的2 个数之和为偶数”，事件8：“取到的2 个数均为偶数”，则以用力)等于()1181-42-51-D.2【答案1 B解析：尸 C4)=罟=|,(的专$,由条件概率的计算公式得以8|力)=馈1T o_24158.从1，2，3,4,5,6,7,8,9 中不放回地依次取2个数，事件A 为“第一次取到的是奇数”，3为 第二次取到的是3的整数倍“，则P(A)=()A 2A。8B-磊D-I10【答案】B【解析】由题意。（4）=3，事件为第一次取到的是奇数且第二次取到的是3的整数倍”，若第一次取到的为3或9,第二次有2种情况；若第一次取到的为1,5,1,第二次有3种情况,故共有2x 2+3x 3=1 3个事件,13 13P(AC|B)=9x8 72由条件概率的定义产出A）=W*故选B.二、填空题9 .投掷两颗均匀的骰子，已知点数不同，设两颗骰子点数之和为其则后6的概率为.2【答案】：7O解析：设力=投掷两颗骰子，其点数不同”，B=“后 6”，5 I I J a j）=-=1，P（第 4.，（山）=2-5-阴冷4H1 0 .设某种动物能活到20 岁的概率为0.8,能活到25 岁的概率为0.4,现有一只 20 岁的这种动物，它能活动25 岁的概率是.【答案】：0.5解析:设事件A为“能活到20 岁”,事 件B 为“能活到25 岁”，则尸（4）=0.8,而=0.4,而所求概率为（6|力），由 于 医 4故尸（4面=尸（而，11口 ，、RAa RB)0.4于TH PB A)=R公=丽=森=0 5,所以一只20岁的这种动物能活到25岁的概率是0.5.11.一个口袋中装有6个小球，其中红球4个，白球2个.如果不放回地依次摸出2个小球，则在第1次摸出红球的条件下，第2次 摸 出 红 球 的 概 率 为.3【答案】-2【解析】P A)=仝 誓=9 =：，故【答案】为5 .P(A)2 5 534 21 2.某气象台统计，该地区下雨的概率为西，刮四级以上风的概率为百，既刮四级以上的风又下雨的概率为A，设A 为下雨，8 为刮四级以上的风，则P(B A)=,P(A|B)=.3 3【答案】三，78 44 2 1【解析】由已知P(A)=F，F(B)=,P(AB)=,：.P(B A)=P(AB)P(A)P(A|B)=P(AB)P(B)3 3故【答案】为w，3834三、解答题1 3.某次社会实践活动中，甲、乙两个班的同学共同在一社区进行民意调查.参3加活动的甲、乙两班的人数之比为5:3,其中甲班中女生占二，乙班中女生占12I.求该社区居民遇到一位进行民意调查的同学恰好是女生的概率.【答案】【解析】如果用A 与彳分别表示居民所遇到的一位同学是甲班的与乙班，B 表示是女生.5 5 -3则根据已知，有P(A)=5尸(A)=5+3 o o3 一 1而且P(6|A)=m，P(BA)=,题目所要求的是P(8),-5 3 3 1 1由全概率公式可知 P(B)=P(A)P(8|A)+P(A)P(8|A)=WX +WXW=;?.o 5 o 3 21 4.已知口袋中有2 个白球和4 个红球，现从中随机抽取两次，每次抽取1 个.(1)若采取放回的方法连续抽取两次，求两次都取得白球的概率；(2)若采取不放回的方法连续抽取两次，求在第一次取出红球的条件下，第二次取出的是红球的概率.1 3【答案】(1)9：(2)5-2 2 1【解析】(1)两次都取得白球的概率P=z x z =x.6 6 9(2)记事件A：第一次取出的是红球；事件8：第二次取出的是红球，13则尸4 x 56 x 5=|,P(A8)4 x 3 26 x 5 -5利用条件概率的计算公式，可得P（8|田=萼 察=5乂；=：.1 5 .某学校有A，B两家餐厅，王同学第1 天午餐时随机地选择一家餐厅用餐.如果第1 天去A 餐厅，那么第2 天去A 餐厅的概率为0.6；如果第1 天去B 餐厅，那么第2 天去A 餐厅的概率为0.8 .计算王同学第2 天去A 餐厅用餐的概率.【答案】0.7.【解析】设4=”第 1 天去4餐厅用餐”，用=第 1 天去6 餐厅用餐，4=“第2 天去4 餐厅用餐”，则。=A U 4,且A1 与4互斥.根据题意得P（A）=P（4）=S5,P A）=0.6,P（Al 5,）=0.8,由 全 概 率 公 式，得尸（4）=尸（4）尸（4 2 1 4）+（4）尸（4|瓦）=0.5 x 0.6 +0.5 x 0.8 =0.7,因此，王同学第2 天去A 餐厅用餐的概率为Q 7.1 6 .1 0 张奖券中有3 张有奖，甲，乙两人不放回的各从中抽1 张，甲先抽，乙后 抽.求：（1）甲中奖的概率；（2）乙中奖的概率；（3）在甲未中奖的情况下，乙中奖的概率.3 3 1【答案】历;凝（3）-.143【解析】(1)设“甲中奖”为事件A，则P(A)=布.(2)设“乙中奖”为事件 B,则 P(3)=尸(A3 +Z8)=P(AB)+P(X 3),a 7 1 _ 7 3 7X P(AB)=x-=,p(AB)=-x-=,1 0 9 1 5 1 0 9 3 0一 1 7 9 3所以 P(8)=P(A3)+P(AB)=+=.1 5 3 0 3 0 1 01(3)因为 P(Q =,P(血)=,所以 P(B|各=4 =等=4.1 0 3 0 P(A)31 015B 组能力提升一、选择题1 .将三颗骰子各掷一次，设事件4 表示“三个点数都不相同”，6表示“至少出现一个6点”，则概率尸（/|而等于（）1-A6-91-B.25C,T89 1D -2 1 6【答案】：A解析：因为（面=&1B)c/s C；C；C；60 6 0 53尸(6)=1 (8)=1 一.=11 2 5 9 12 1 6 2 1 6,6 0所以尸（4 而=RAB)2 1 6 6 0RB)_ 9 9 1 2 1 62 .从混有5 张假钞的2 0 张百元钞票中任意抽出2 张，将其中1 张放到验钞机上检验发现是假钞，则第2 张也是假钞的概率为（）1A历1 7B-3 816【答案】：D解析：设事件力表示“抽到2 张都是假钞”，事件3 为“2 张中至少有一张假钞”，所以为P(AB).而P(岫=存=白，P J ；1=悬.尸(/面=与瞿=二、填空题3.某校组织甲、乙、丙、丁、戊、己等6 名学生参加演讲比赛，采用抽签法决定演讲顺序，在“学生甲和乙都不是第一个出场，且甲不是最后一个出场”的前提下，学 生 丙 第 一 个 出 场 的 概 率 为.【答案】74【解析】设事件A：“学生甲和乙都不是第一个出场，且甲不是最后一个出场”;事件8：“学生丙第一个出场”，对事件A,甲和乙都不是第一个出场，第一类：乙在最后，则优先从中间4 个位置中选一个给甲，再将余下的4 个人全排列有C A：种；第二类：乙没有在最后，则优先从中间4 个位置中选两个给甲乙，再将余下的4个人全排列有A：.A：种，故总的有=C；A：+A A：.对事件AB,此时丙第一个出场，优先从除了甲以外的4 人中选一人安排在最后，再将余下的4 人全排列有C；.A；种，故 P(B|A)=n(AB)(A)US JC;A：+A A：4故【答案】为；4.甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个17黑球.先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以4，4和4表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以3表示由乙罐取出的球是红球的事件，则 下 列 结 论 中 正 确 的 是.尸（8）=；尸（屈4）=、；事件B与事件A相互独立；A，4，4是两两互斥的事件.【答案】【解析】因为每次取一球，所以A，4,4是两两互斥的事件，故正确;5_ _x5_因为P（A）吟,P（4）W，P（A）得，所以他4）=需=&=：1 0故正确；2 4_ X _1同J 理尸（例 A,）=,（%）=10 H2 p（4）2 _io4TiPB A3）=P（4）3 4一x 一1 0 1 134T T1（）5 5 2 4 3 4 9故【答案】为.三、解答题5.现有6个节目准备参加比赛，其中4个舞蹈节目，2个语言类节目，如果不放回地依次抽取2个节目，求：第1次抽到舞蹈节目的概率；（2）第1次和第2次都抽到舞蹈节目的概率；（3）在第1次抽到舞蹈的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率.解析：设“第1次抽到舞蹈节目”为 事 件“第2次抽到舞蹈节目”为事件B,则“第1次和第2次都抽到舞蹈节目”为事件AB.18(1)从 6 个节目中不放回地依次抽取2 次的事件数为n(0)=A；=3 0,根据分步计数原理加=A：A；=2 0,于是P 3 =心)2 0 2网0一而一亍(2)因为(/=A；=1 2,于是认为 1 2 2P(A&=)=正=亨法一：由(1)(2)可得，在第1 次抽到舞蹈节目的条件下，第 2次抽到舞蹈节目的概率为P(B A)=法二：因为(/0 =1 2,/7(A)=20,2所以尸(8 4)=nHz203-56.三行三列的方阵有9个数a”(f=1,2,3,j=l,2,3),从中任取三个数，已知取到42 2 的条件下，求至少有两个数位于同行或同列的概率.a”a.i a C3，1 S22 3233ai a 33y解析：设事件力=任取的三个数中有a 小，事 件 8=三个数至少有两个数位于同行或同列,则方=三个数互不同行且不-“打)2 1同列,依题意得(4)=晨=2 8,(/B)=2,故 一(814)=-=狼则Z X/l l Z o 1 419 1 1 3P(BA)=1P(B I J)=113即已知取到侬的条件下，至少有两个数位于同行或同列的概率为20