高中数学选择性必修二（第 2 课时）等比数列的前n 项和的性质及应用教学设计.pdf
4.3.2（第2课时）等比数列的前n项和的性质及应用教学设计课题等比数列的前n 项和的性质及应用单元第一单元学科数学年级高二教材分析 等比数列前n项和是 2 0 1 9 人教A版数学选择性必修第二册第四章的内容。本节是数列这一章的一个重要内容，它不仅在现实生活中有着广泛的实际应用，如储蓄、分期付款的有关计算等等，而且公式推导过程中蕴涵的类比、化归、分类讨论、整体变换和方程思想方法，都是学生今后学习和工作中必备的数学素养。本节教材的编排与 等差数列前项和类似，也利用等比数列的通项公式和性质导出前项和公式，让学生经历公式的推导过程，体会化无限为有限，体验从特殊到一般的研究方法，学会观察、归纳、反思，进一步培养学生灵活运用公式的能力。最后举例说明前项和公式在解决问题中的应用。教学目 标与核 心素养1 数学抽象：等比数列的前n 项和公式2逻辑推理：等比数列的前项和公式的运用3数学运算：等比数列的前项和公式的运用4数学建模：运用等比数列的前项和公式解决实际问题5数据分析：从“等比数列的前n 项和公式”到“等比数列的前n 项和的性质”再到实际问题，最后到课堂练习，让学生体会数学知识的逻辑性、严密性及系统性重点等比数列前n 项和公式及其应用难点运用等比数列解决实际问题教学过程教学环节教师活动学生活动设计意图导入新课温故知新等比数列前n项和公式复习导入复习旧知识，使学生更快地接受新知识，即加强新旧知识间的联已知%，q(qH 1)/n%,an,q(q工1)%，q=1量系，同时又使整节课教学结构紧密。求和公式Sna i(l-Qn).=i-Q 9H l)S na1 一 anQ f=1-q 色*1)Sn=nQi思考1.类比等差数列，等比数列 册 的前n 项和无有什么函数特性？提示：1.等比数列的前n 项公式的应用中，注意前n项和公式要分类讨论，即 q 4 1和 q=l时是不同的公式形式，不可忽略q=l的情况.当q=l时，=ncii是 n 的正比例函数.当公比q*1时，等比数列的前n 项和公式是c a i(l-Qn)Sn=1 1-q它可以变形为l-qq +1-q设4=言，上 式 可 写 成Sn=-A qn+A是一个指数式与一个常数的和,且指数式的系数与常数项互为相反数.其 中 4 H 0、71讲授新课拓展等比数列前n 项和的性质1 数 列 册 是 等 比 数 列0 Sn=A qn-A（A 丰 0）2 若等比数列 an 的前n 项和为%,则Sn、S2 n-Sn.S3n-S2n 成等比数列（其中Sn、S2n-5 心 S3nS2n均不为0,即当q=-l,n为偶数时，上述性质不成立）3 若等比数列 即 的公比为q,则Sn+m=S”+qSm（m,n e N*）4等比数列的项数是偶数时，0=q ；5奇等比数列的项数是奇数时，誓=q.3偶例 1 0 如 图 4.3-2,正 方 形 ABCD的边长为5 c m,取正方形ABCD各边的中点E,F,G,H,作第2 个正方形EFG H,然后再取正方形EFGH各边的中点I,J,K,L,作第3 个正方形IJK L,依此以正方形面积求方法一直继续下去.(1)求从正方形A B C D 开始，连 续 1 0 个正方形的面积之和；(2)如果这个作图过程可以一直继续下去，那么所有这些正方形的面积之和将趋近于多少？分析：可以利用数列表示各正方形的面积，根据条件可知，这是一个等比数列.卷。B F C图4.3-2解：设正方形ABCD的面积,后继各正方形的 面 积 依 次 为 0 3，%，则%=2 5由于第k+1 个正方形的顶点分别是第k 个正方形各边的中点，所以1ak+l=2 ak因此，册 是以2 5 为首项，1为公比的等比数歹 U.设 Q九 的前n 项和为又.(1)25X1-G Y /I1OSn=:y =5 O X 1 (9 =2你能说明理由吗？和问题为背景，引导学生运用等比数列求和的知识解决问题。体会等比数列与指数函数的关系。发展学生数学抽象、数学运算、数学建模等核心素养。25 575512所以，当 10个正方形的面积之和为交W cm2.（2）当n 无限增大时、S”无限趋近于所有四方形的面积和%+口 3+Qn+.而25 x 1-（i）zixSn=产=5。1 一 （力i-2随着n 的无限增大，G）“将趋近于0,Sn将趋近于 50.所以，所有这些正方形的面积之和将趋近于50.例 1 1 去年某地产生的生活垃圾为2 0 万吨，其 中 14万吨垃圾以填埋方式处理，6 万吨垃圾以环保方式处理.预计每年生活垃圾的总量递增5%,同时，通过环保方式处理的垃圾量每年增加1.5万吨.为了确定处理生活垃圾的预算，请写出从今年起n年内通过填埋方式处理的垃圾总量的计算公式，并计算从今年起5 年内通过填埋方式处理的垃圾总量（精确到0 1 万吨）.分析：由题意可知，每年生活垃圾的总量构成等比数列，而每年以环保方式处理的垃圾量构成等差数列.因此，可以利用等差数列、等比数列的知识进行计算.解：设从今年起每年生活垃圾的总量（单位：万吨）构成数列 册,每年以环保方式处理的垃圾量（单位：万吨）构成数列 b ,n 年内通过填埋方式处以垃圾处理问题为背景，引导学生运用数列的知识解决问题。发展 学 生 数 学 抽象、数学运算、数学建模等核心素养。理的垃圾总量为%(单位：万吨)，则an=2 0(1 +5%)nbn=6+1.5 nsn=(1 一 瓦)+(。2 -8 2)+Can 一 瓦)=(a2+a2 4-F an)一(坊+6 2 +%)=(2 0 x 1.0 5 +2 0 x 1.0 52+2 0 x 1.0 5n)-(7.5 +9 +6 +1.5 n)_ (2 0 x 1.0 5)x (1 -1.0 5n)1 -1.0 5n,(7.5 +6 +1.5 n)3 2 7=4 2 0 x 1.0 5n-n2-n-4 2 04 4当 n=5 时，S$=6 3.5所以，从今年起5 年内，通过填埋方式处理的垃圾总量约为6 3.5 万吨.例 1 2 某牧场今年初牛的存栏数为1 2 0 0,预计以后每年存栏数的增长率为8%,且在每年年底卖出 1 0 0 头牛.设牧场从今年起每年年初的计划存栏数依次为C 1，c2,c3,.(1)写出一个递推公式，表示金+1 与备之间的关系；(2)将(1)中的递推公式表示成。+1-1=r(C n-k)的形式，其 中k,r为常数;(3)求 S i。=q +c?+C 3+G o 的值(精确到1).分析：(1)可以利用“每年存栏数的增长率为8%”和“每年年底卖出1 0。头”建立金+i 与金的关系；(2)这是待定系数法的应用，可以将它还原为(1)中的递推公式的形式，通过比较系数，得到方程组；(3)利 用(2)的结论可得出解答.解：(1)由题意，得 q =1 2 0 0,并且cn+1=1.0 8 cn-1 0 0 (2)将+1 -k =7*(%-k)化成cn+i rcn-rk+k 比较的系数，可得(r=1.0 8t/c r k =-1 0 0解这个方程组，得r r =1.0 8Ik=1 2 5 0所以，(1)中的递推公式可以化为cn+1-1 2 5 0 =1.0 8(c-1 2 5 0)(3)由(2)可 知,数 列&-1 2 5 0 是以-5 0 为首项，1.0 8 为公比的等比数列，则(q-1 2 5 0)+(c2-1 2 5 0)+(c3-1 2 5 0)+(c10-1 2 5 0)-5 0 x (1 -1.O 81 0)=-7 2 4.81 -1.0 8以牧场牛的存栏量问题为背景，引导学生运用等比数列的知识解决问题。发展学生数学抽象、数学运算、数学建模等核心素养。所以S10=Ci+C 2+c3 H-F c10 1250 x 10 724.3=11 775.7 11 776.课堂练习：1在数列 册 中，a“+i=can（c 为非零常数）且前n项和%=371-1+/c,则实数k 的取值是什么？提示：由题知，册 是等比数列.3”的系数与常数项互为相反数.而3n的系数为 .4=（同类巩固）若等比数列 6 中，Sn=血3+2,则 111=2已知等比数列 Qn 的前n 项和为%=%3九一一3则X的 值 为 一；62已知等比数列 的 的 前 n 项和为Sn=3n-2+2 a,则a的值为 一22 数列 册 是首项为1,公比为2 等比数列，其前n 项和为无,若Sn+i=kan-l,则 上一.分析：直接利用数列的递推关系式求出数列的通项公式，进一步利用求和公式的应用求出结果.练习巩固解：数列 册 是首项为1,公比为2等比数列，故an=2时】，所以%=翌=271-12 1所以，Sn+1=2n+1-1 =k2nT -1所 以k=43(裂项求和)数列%满足anbn=l，=n2+5n+6,nW A T,则 bn的前10项之和为()A.B.-C.-D.13 13 39 39解：数列&J,也 满足anbn=1,an=n2+5n+6,n e N*,入 i i i in n2+5n+6(n+2)(n+3)n+2 n+3 bn的前10项之和为:111111 1 111 3 4 4 5 5 6 12 13 3 13_ 10=39故选：D4(等比数列前n项和性质)各项均为正数的等比数列 Qn中，若Si=10,S20=3 0,求S30.解：法一 设包 八 的公比为q，显然q。1.由己知条件可列出方程组人 当土J i-q|4(1 -q2。)r 2 0 =30 =+-1 1 -Q两 式 作 商 得1 +Q1 0=3 A q =2 C 一D o%n。7 吗 _ 。式I r l+L _ J L U X (z 1 十/十1-q 1-q4)=7 0法二由性质S n+m u S n +qn Sm得S2 0=S1 0+q1 OSlo 即 3 0 =1 0 +1 O Q1 0严=2S30=S2 0+q2 0Slo=3 0 +40 =7 0法三运用性质又、S2 n-Sn.S 37 t S 2rl成等比数列,*S i。、S2o S1()S 3 0 S20 成等比数列而 S i。1 0,S2Q=3 0(S 2 0 S i。)？=S i。(S 3 0 -S 2 0)即(3 0 -1 0)2=1 0-(S 3 0 -3 0),S 3 0 =7 0法四由=以 上 空 得 手 =占1-q 1-q l-qn所以Sm Sn-a)由已知S10=1 0,S20=30易 得 q力士1故-人 1-Q1 0 1 一 个 即偌=冷得严=2又涕=舟解 得 S 3。=7。5已知 an 是公比为q的等比数列，其前n 项和为Sn,且S 3 =-3,5 6 =一(1)求 q；(2)设 5 是以2为首项，q为公差的等差数列，其前n 项和为，当n N 2 时，试比较与垢 的大小.解：(1)当 q=l 时，若5 3 =3,则应有S 6 =-6,这与$6 =-二矛盾，故 q4 1.8由 1=一2，s I1 L 2=3b 1-q 8 1-q两式相除，得1 +q 3 =：,解 得 q =一；o2(2)由题意知%=2 _*n _ 1)=Un(n-l)/1 9n-n2Tnn =2n-2-x 2/=-4-当九2 2时，丁 b _ 9n n2 5 n (n l)(n-10)所以当 2 W nW 9 时，Tnbn当 n=10 时，Tn=bn；当 nN 11 时，Tnbn.课堂小结1 等比数列前n 项和的性质2 例 10、11、123 课堂练习板书1 复习2 等比数列前n 项和的性质3 例 10、11、124 课堂练习教学反思
