突破2023年高考数学题型之2022年数学高考真题(全国通用)专题16 解析几何中的圆问题(含详解).pdf

专题1 6解析几何中的圆问题【高考真题】1.（2 0 2 2全国乙理）过四点（0,0）,（4,0）,（-1,1）,（4,2）中的三点的一个圆的方程为1.答 案（犬-2）2+（）-3）2 =1 3或（-2）2+（），-1）2=5或1-9）+0|）=或0+（）T=詈F=0解 析 依题意设圆的方程为/+产 +6+4+尸=0,若过（0,0）,（4,0）,则.1 6 +4。+尸=0l +l-D+E+F =0尸=0解 得。=一4,所以圆的方程为 f+），2-4 x-6 y =0,即（x-2）2+（y-3/=1 3;若过（。，0）,（4,0）,（4,2）,=-6尸=0则,1 6 +4 O+F =01 6 +4 +4 O+2 E+F=0尸=0，解得.0=-4,所以圆的方程为 x 2 +y 2-4 x-2 y =0,即(x-2)2+(y-lf=5;=-2F=0若 过(。,0),(4,2),(-1,1),则 +2 E+F=0F=0Q解 得D=-1所 以 圆 的 方 程 为,fl+1-D+E+F =0W+爰 _卜 _白=0,即 W 若；若过(T )，(4,0)，(4,2),则 I6 +4 D+尸=0I 1 J 1 6 +4 +4 O+2 E+尸=0解 得。=-与，所以圆的方程为f +y 2弋x-2 y弋=0,即，一 穿+（一1）2=噜；故答案为:E=-2/、2 /、2 4 /、2 /、2 4丫 (7丫 6 5 /8丫 /,2 1 6 9(x 2)+(y-3)=1 3或(x 2)+(y-l)=5 1=。是圆Q )2+丁=1 的一条对称轴，则=()A A，21B-2C.1D.-13.答案 A 解析 由题可知圆心为(a,0),因为直线是圆的对称轴，所以圆心在直线上，即为+0-1=0,解得故选A.4 .(2 0 2 2新高考I )写出与圆公+产=1 和。_ 3)2 +(y-4)2=1 6 都相切的一条直线的方程4 .答 案 片 _%+;或 看 9噌 或“一解 析 圆的圆心为。(。，半 径 为 圆(x-3)2+(y-4 产=1 6 的圆心。1 为(3,4),半径为4,两圆圆心距为,3?+4?=5，等于两圆半径之和，故4 3 3两圆外切，如图，当切线为/时，因 为 也=，所 以&=-：，设方程为y =q x+f(f0),O 到/的距离，解得，所以，的方程为y=+9,当切线为旭时,设直线方程为g y+p=其中。0,k 对称的直线与点，则 a的 取 值 范 围 是.1 315 .答案解析A(-2,3)关于y =a对称的点的坐标为4(-2,2 a-3),8(0,a)在直线y =a 上,2所以A B所在直线即为直线/,所以直线/为y=J -x+a,即（a-3）x+2 y-2 a =0；圆 2C:(x+3)+(y+2/3（-3）-4-=1,圆心C（-3,-2），半径r=1,依题意圆心到直线/的距离 =I,、2,-1m-3）-+221 Q 1 Q 1 Q即(5-5 a)2 4 S-3)2+2 2,解得 即 a e -；故答案为【知识总结】1.圆的定义和圆的方程定义平面上到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆方程标准(xa)2+(yb)2=r2(r 0)圆心C(a,b)半径为r般x2+y2+D x+E y+F=0(D2+E2-4F 0)圆心d（一争半径 r=lb2+E24F2.点与圆的位置关系平面上的一点M（x o，州）与圆C：（工 一。）2+。一 匕）2=户之间存在着下列关系:（1）|MC|熙初W在圆外，即5）a p+G o b）2 J 0 M 在圆外；（2）|M Q=rO M 在圆上，即（x o 4）2+3）一与2=，加 在圆上；（3）|MC|r 4 M在圆内，即的一4+一6 汽/台何在圆内.3.直线与圆的位置关系（圆心到直线的距离为d,圆的半径为r）相离相切相交图形必量化方程观点J0几何观点d rd=rd r+也外切dd=+-2相交 r -r2dr+r2内切d=r-r内含d+0-1)2=12.已知圆E 经过三点4 0,1),8(2,0),C(0,-1),则圆E 的标准方程为()A.(x-1)2+y2=y B.(+”+户 得C.5+)，2余 D.(x-f)2+y2=y3.在平面直角坐标系。孙 中，以点(0,1)为圆心且与直线x一力+26+1=0相切的所有圆中，半径最大的圆 的 标 准 方 程 为()A.+(-1)2=4 B.x2+(yl)2=2 C./+1)2=8 D./+。-1)2=164.已知圆的圆心在直线x 2y 3=0上,且过点A(2,3),8(2,5),则圆的一般方程为5.圆心在y轴上，半径长为1,且过点4(1,2)的圆的方程是()A./+。-2)2=1 B.f+(y+2)2=lC.(X 1 月+。-3)2 =1 D.f+(y-3)2=46.若 圆 C 的半径为1,圆心在第一象限，且与直线4x-3y=0和 x 轴都相切，则该圆的标准方程是()A.(x-3)2+(y-l)2=l B.(x 2)2+(y-1尸=1C.(x+2)2+01)2=1 D.(x-2)2+(y+l)2=l7.圆(X 1)2+()，-2)2=1关于直线丫=彳对称的圆的方程为()A.(x-2)2+(y-l)2=l B.(x+1)2+0，2)2=1C.(x+2)2+(y-1)2=1 D.(x l)2 +(y+2)2=l8.已知圆C 的半径为2,圆心在x 轴正半轴上，直线3x+4y+4=0与圆C 相切，则圆C 的方程为()A.x2+y22x3=0 B.x2+y2+4x=0 C.x2+)P+2x3=0 D.9+产-4x=09.(多选)己知ABC的三个顶点为A(1,2),8(2,1),C(3,4),则下列关于ABC的外接圆圆M 的说法正确的是()A.圆 M 的圆心坐标为(1,3)B.圆 M 的半径为小C.圆 M 关于直线x+y=O 对称 D.点(2,3)在圆M 内10.(多选)设有一组圆Ci：(xA)2+(r-k)2=4(A G R),下列命题正确的是()A.不论k 如何变化，圆心C 始终在一条直线上 B.所有圆Q 均不经过点(3,0)C.经过点(2,2)的圆Ct有且只有一个 D.所有圆的面积均为4兀题型二与圆有关的最值问题11.若点尸为圆丁十丁=1上的一个动点，4 1,0),B(l,0)为两个定点，则|%|十|P阴的最大值为()A.2 B.2啦 C.4巾 D.412.已知4(-2,0),8(2,0),点 P 是圆C：。3)2+6币 产=1上的动点，则依尸卜+田抨的最小值为()A.9 B.14 C.16 D.2613.己知圆C：(一3猿+。-4=1 和两点A(-i,0),B(m,0)(2 0).若圆C 上存在点尸，使得NAP8=9 0 ,则 机 的 最 大 值 为()A.7 B.6 C.5 D.414.已知x,y 满足4x2y4=0,则 产 的 最 大 值 为()_ _ 17 _ 29 _ 13V13A.2 B.彳 C.歹 D.-15.已知A(0,2),点 P 在直线x+y+2=0 上，点 Q 在圆C：f+丁一4x2 y=0上，则|B4|+|PQ|的最小值是.16.设点P(x,y)是 圆/+。-3)2=1上的动点，定点A(2,0),B(2,0).则两瓦的最大值为.17 .等边ABC的面积为州5,且AABC的 内 心 为 若 平 面 内 的 点 N 满足|MM=1,则丽标的最小值为()A.-52小 B.-54y/3 C.62y/3 D.-64y/318.已知点P 在直线x+y=4 上，过点P 作圆O：W+V=4 的两条切线，切点分别为A,B,则点M(3,2)到直线AB距 离 的 最 大 值 为()A.y/2 B.y3 C.2 D.小 1 9.若直线 x-Vaya 1=0 与圆C：(x2)2+V=4交于A,B两 点,当依剧最小时，劣弧AB的长为()兀A.2 B.兀 C.2兀 D.3兀题 型 三 直线与圆的位置关系20.直线日一+2一左=0 与 圆/+/一 标 一 8=0 的位置关系为()A.相交、相切或相离 B.相交或相切 C.相交 D.相切21.(多选)直线y=齿一 1 与圆C：(x+3)2+(y3)2=36相交于A,B 两点，则 AB的长度可能为()A.6B.8C.12D.1622.设圆/+）22一2），-2=0 的圆心为C,直线/过（0,3）与圆C 交于A,B 两点，若48|=25，则直线/的方程为（）A.3x+4y12=0 或 4x3y+9=0 B.3x+4y12=0 或 x=0C.4x-3y+9=0 或 x=0 D.3 x-4 y+12=0 或 4x+3y+9=023.（多选）（2021.新高考全国H）已知直线/：以+纱一户=0 与圆C：/+）?=户，点 4 5，b）,则下列说法正确的是（）A.若点A 在圆C 上，则直线/与圆C 相切B.若点A 在圆C 内，则直线/与圆C 相离C.若点A 在圆C 外，则直线/与圆C 相离D.若点A 在直线/上，则直线/与圆C 相切24.（2021北京）已知圆C：/+/=4,直线/：y k x+m,当 k 变化时，/截得圆C 弦长的最小值为2,则m 等于（）A.2 B.C.3 D.525.过点尸（2,4）作圆（x-1）2+。-1）2=1 的切线，则切线方程为（）A.3x+4y4=0 B.4x3y+4=0 C.x=2 或 4x3y+4=0 D.y=4 或 3x+4y4=026.若直线x+政一a 1=0 与圆C：（x2/+产=4 交于A,B 两点,当|A用最小时，劣弧AB的长为（）兀A.2 B.7 i C.2it D.3兀27 .（多选）（2021新高考全国I）已知点P 在圆。-5）2+。-5）2=16上，点4（4,0），8（0,2）,则（）A.点 P 到 直 线 的 距 离 小 于 10 B.点 P 到直线A 8的距离大于2C.当/P 5 4 最小时，|尸 8|=3啦 D.当/P B A 最大时，|P8|=3啦28.在平面直角坐标系。孙 中，已知圆C：（犬 一 2）2+2=4,点A 是直线x-y+2=0 上的一个动点，直线AP,AQ分别切圆C 于 P,。两点，则线段尸。的 长 的 取 值 范 围 为.29.（多选）（2022深圳模拟）设直线/：产 fcr+l（ACR）与圆C：/+产=5,则下列结论正确的为（）A./与 C 可能相离 B./不可能将C 的周长平分C.当我=1 时，/被 C 截得的弦长为平 D./被 C 截得的最短弦长为4题型四 圆与圆的位置关系3 0.圆 G：（x+l）2+（y2 =4 与圆C2：（x3）2+。-2 =4 的公切线的条数是（）A.1 B.2 C.3 D.431.已知圆G：x2+y2+4 x-2 y-4=0,圆 C2：（x+|）2+（y-1 =y,则这两圆的公共弦长为（）A.5 B.2啦 C.2 D.132.已知圆M：W+y22町=0（a0）截直线x+y=0 所得线段的长度是2啦，则圆“与圆N：（x-1）z十。1 =1 的位置关系是（）A.内切 B.相交 C.外切 D.相离3 3 .若圆G：(x l)2+(y CI)2=4与圆。2：(x+2)2 +(y+l)2=/相交，则正实数。的 取 值 范 围 为()A.(3,+)B.(2,+8)C.G，+8)D.(3,4)3 4 .圆G：d+y22 x+1 0 y 2 4=0与圆C 2：d+V+2 x+2 y 8=0的公共弦所在直线的方程为,公共弦长为.3 5 .(多选)已知圆 O i：/+丫2 2%3=0 和圆。2：f+VZ y l u。的交点为 A,B,则()A.圆。和圆。2有两条公切线 B.直线A B的方程为x-y+l=OC.圆Q上存在两点P和。使得|P Q I|A B|D.圆。上的点到直线A B的最大距离为2+也3 6 .若A为圆CK炉+产=1上的动点，8为圆C 2：。-3)2+。+4)2=4上的动点，则线段AB长度的最大值是.3 7 .如果圆C：(x-a)2+。-。)2=8上总存在两个点到原点的距离均为啦，则实数的取值范围是()A.(-3,-1)U(1,3)B.(-3,3)C.-1,1 D.(-3,-1 U 1,3)3 8.已知圆C：(x i y+G，-2)2=9上存在四个点到直线/：x y+6=0的距离等于2,则实数b的取值范围是()A.(-8,1-5A/2)U(1+5 2,+)B.(1-5 2,1+5也)C.(-8,1-V 2)U(1+V 2,+8)D.(1一也，1+啦)专题1 6解析几何中的圆问题【高考真题】1.（2 0 2 2全国乙理）过四点（0,0）,（4,0）,（-1,1）,（4,2）中的三点的一个圆的方程为1.答 案（犬-2）2+（）-3）2 =1 3或（-2）2+（），-1）2=5或1-9）+0|）=或0+（）T=詈F=0解 析 依题意设圆的方程为/+产 +6+4+尸=0,若过（0,0）,（4,0）,则.16+4。+尸=0l +l-D+E+F =0尸=0解 得。=一4,所以圆的方程为 f+），2-4x-6y=0,即（x-2）2+（y-3/=1 3;若过（。，0）,（4,0）,（4,2）,=-6尸=0则,16+4 O+F =016+4+4O+2 E+F=0尸=0，解得.0=-4,所以圆的方程为 x 2+y2-4x-2y=0,即(x-2)2+(y-l f=5;=-2F=0若 过(。,0),(4,2),(-1,1),则 +2 E+F=0F=0Q解 得D=-1所 以 圆 的 方 程 为,fl +1-D+E+F =0W+爰 _卜 _白=0,即 W 若；若过(T )，(4,0)，(4,2),则 I 6+4 D+尸=0I 1 J 16+4+4O+2E +尸=0解 得。=-与，所以圆的方程为f +y2弋x-2y弋=0,即，一 穿+（一1）2=噜；故答案为:E=-2/、2/、2 4/、2/、2 4丫 (7丫 65/8丫 /,2 169(x 2)+(y-3)=13或(x 2)+(y-l)=5 0),。到，的距 离 一-T-，解得，所以，的方程为y=-=x+=,当切线为机时，设直线方程为依+y+P =。,.11+4 4 4其中。0,k 0)圆心C(a,b)半径为r般x2+y2+D x+E y+F=0(D2+E24F 0)圆心d半径 r=lb2+E24F2.点与圆的位置关系平面上的一点M(x o，州)与圆C：(工 一。)2+。一 匕)2=户之间存在着下列关系:(1)|M C|熙初W 在圆外，即5)a p+G o b)2J 0M 在圆外；(2)|M Q=r OM 在圆上，即(x o 4)2+3)一与2=，加 在圆上；(3)|M C|r 4M 在圆内，即的一4+一6汽/台何在圆内.3.直线与圆的位置关系(圆心到直线的距离为d,圆的半径为r)相离相切相交图形忌量化方程观点/0几何观点d rd=rd r+r?外切2)dr-ri相交r-r2dr+r2内切rf=|nrz|内含d+0-1)2=11.答 案 C 解 析 到两直线3 x 4 y=0,3 x 4 y+1 0=0 的距离都相等的直线方程为3 x-4 y+5=0,联立x=3,v=_i 又两平行线间的距离为2,所以圆M 的半径为1,从而圆M 的方程3 x-4 y+5=0,V r 4 解得为(*+3)2+。+1)2=1.2.已知圆E 经过三点A(0,l),8(2,0),C(0,-1),则圆E 的标准方程为()25425I6-3-A24;+-2516DB2.答 案 C解 析 方 法 一(待定系数法)设圆E 的一般方程为+F+D r+Ey+F=()(Q 2+序-4 0),l+F=O,则由题意得（4+2。+尸=0,J-+F=0,所以圆E 的一般方程为1+y 2-|x l=0,即 一(方 法 二(几何法)因为圆E 经过点4(0,1),8(2,0),所以圆上的圆心在线段A 3的垂直平分线y-，=2(x-1).由题意知圆E的圆心在x轴上，所 以 圆E的圆心坐标为G，o).则 圆E的半径为|仍|=G4)2+(00)2=4.所以圆E 的标准方程为(无 一 4)2+产=正.3.在平面直角坐标系。孙 中，以点(0,1)为圆心且与直线x 一处+2 b+l=0 相切的所有圆中，半径最大的圆 的 标 准 方 程 为()A.*+&1)2=4 B.d+(厂 1)2=2 C./+(y 1尸 8 D./+。-1)2=163 .答 案 B 解析 由直线x 外+2 b+l=0 可得该直线过定点A(1,2),设圆心为8(0,1),由题意可知要使所求圆的半径最大，则/m a x =|A8|=y(_l_0)2+Q-)2=,所以半径最大的圆的标准方程为(+1)2 =2.4 .已 知 圆 的 圆 心 在 直 线 3=0 上,且过点4 2,3),8(2,5),则圆的一般方程为4 .答 案+/+2 x+4y-5=0 解 析 方 法 一 设所求圆的标准方程为。一 )2+。-6)2=产，由题意得(2)?+(3-0)2=,a=_ ,(一2一 )2+(5 力)2=/，解得卜=一2,故所求圆的方程为(元+)2+。+2)2=10,即f+./+2X。一2。-3=0,1=10,+4 y 5=0.f 2x+y+4=0,方法二 线段A 8的垂直平分线方程为2 x+y+4=0,联立%_ 2),_ 3=0,得交点坐标。(一1,一2),又点。到点A 的距离d=4 T 5,所以圆的方程为(x+l)2+&+2)2=10,即N+V+2 x+4 y 5=0.5 .圆心在y 轴上，半径长为1,且过点4(1,2)的圆的方程是()A./+(y-2)2=l B.f+(y+2)2=lC.(X-1)2+&-3)2=1 D./+，-3)2=45.答 案 A 解析 根 据 题 意 可 设 圆 的 方 程 为 一32=,因为圆过点4 1,2),所 以 12+(23 2=,解得b=2,所以所求圆的方程为N+(y 2)2=1.6 .若圆C的半径为1,圆心在第一象限，且与直线4 x 3 y=0 和 x 轴都相切，则该圆的标准方程是()A.(x-3)2+(y-l)2=l B.(x-2)2+(y-l)2=lC.(x+2)2+(y 1)2=1 D.(x-2)2+(y+1)2=16 .答 案 B 解 析 设圆心坐标为(。，b)(aQ,匕 0),由圆与直线4 x 3 y=0 相切，可得圆心到直线的距|4 4 一3 臼离 d=5 r 1,化简得|4 a 3 臼=5,，又圆与x轴相切，可得物=r=l,解得6=1 或 6=11(舍去),把b=代入得4 a 3=5 或 4 a 3 =-5,解得a=2或。=一爹(舍去),所以圆心坐标为(2,1),则圆的标准方程为(X2)?+。-1)2=I.7 .圆(X1)2+。-2)2=1 关于直线)，=x对称的圆的方程为()A.。-2)2+。-1)2=1 B.(x+l)2+(y-2)2=lC.(x+2)2+，-1)2=1 D.(A 1 )2+G，+2)2=17.答案 A 解析 已知圆的圆心C(l,2)关于直线y=x 对称的点为C (2,1),所以圆(X1)2+。-2)2=1关于直线y=x 对称的圆的方程为(x 2)2+(y 1)2=.8 .已知圆C的半径为2,圆心在x轴正半轴上，直线3 x+4 y+4=0 与圆C相切，则圆C的方程为()A.W+y 2 2%3=0 B./+丁+以=。C.f+V+Zx3=0 D.A+y24 x=08.答案D 解析 设圆心为m，0)(0),由题意知圆心到直线3 x+4 y+4=0 的距离d=|3 a+4|西+4?=3 a+45=r=2,解得。=2,所以圆心坐标为(2,0),则圆C的方程为(-2)2+=4,化简得/+-4片=0,故选 D.9.(多选)已知 4 B C 的三个顶点为A(1,2),8(2,1),C(3,4),则下列关于 A8 C 的外接圆圆M 的说法正确的是()A.圆 M 的圆心坐标为(1,3)B.圆的半径为小C.圆 M关于直线x+y=0 对称 D.点(2,3)在圆M 内9.答案 A B D 解析 设 4 8 C 的外接圆圆M 的方程为+9+。/+尸=0,1+4 +2E+F=0,则 1 4+l+2 O+E+F=0,9+1 6+3 O+4 E+F=0,O=-2,解得E=-6,所以 A B C 的外接圆圆 例 的 方程为F=5.+5=0,即(x l)2+(y 3)2=5.故圆M 的圆心坐标为(1,3),圆 M 的半径为小，因为直线x+y=0 不经过圆M 的圆心(1,3),所以圆M 不关于直线x+y=0 对称.因为(2 1/+(3 3)2=1 5,故点(2,3)在圆M 内.10.(多选)设有一组圆C i：。一好2+。一.2=4 伏G R),下列命题正确的是()A.不论k 如何变化，圆心C始终在一条直线上 B.所有圆Q均不经过点(3,0)C.经过点(2,2)的圆C t 有且只有一个 D.所有圆的面积均为4 7 t10.答案 A B D 解析 圆心坐标 为&k),在直线y=x 上，A 正确；令(3-%)2+(0-&)2=4,化简得2。-6&+5=0,*./=3 6 4 0=-4 0,有两个不相等实根，经过点(2,2)的圆G 有两个，C错误；由圆的半径为2,得圆的面积为4 兀，D正确.题型二与圆有关的最值问题11.若点尸为圆f+V=i上的一个动点，4(-1,0),8(1,0)为两个定点，则|以|+|P 用的最大值为()A.2 B.2吸 C.4巾 D.4八附+11.答 案 B 解 析 由已知得线段A B为圆的直径.所以|司|2+火 砰=4,由基本不等式得(2一)PA2+PB22W 2=2,所以陷|+|P B|W 2也，当且仅当解|=|P 8|=45 时，等号成立.12.已知4(-2,0),B(2,0),点 P是圆C：(-3)2+。一币)2=1上的动点，则依砰+伊仁的最小值为()A.9 B.14 C.16 D.2612.答案 D 解析 设。为坐标原点，尸(x,y),则H P|2+|BP F=(x+2)2+V+(x 2)2+产=2(/+尸)+8=2|P O F+8.圆 C的圆心为C(3,币)，半径为r=l,OC=4,所以伊。产的最小值为(O C-r)2=(44=9,所以依 砰+逐 砰 的最小值为26.1 3.已知圆C：(无 一 3)2+。-4)2=1和两点4 一“3 0),B(m,0)(w 0).若圆C 上存在点尸，使得NAPB=9 0 ,则 机 的 最 大 值 为()A.7 B.6 C.5 D.413.答案 B 解 析 .在中，原点。为斜边中点，忸8|=2根(巾 0),.|OC1-rW/n=|OP|W|OC|2*+3丫+3+r,又 C(3,4),r=l,.MW QPIW G,即 4WmW6.1 4.已知 x,y 满足 d+y2 一 八一2)，-4=0,则一的最大值为().c c 17-2 9 c 13回A.2 B.-j-C.-D.-2x+3y+3 y-I14.答案 B 解析 由 r+y24x2y4=0 得(x2)2+(y1)2=9.x+3=2+3=0上，则|%|+|PQ|的最小值是.15.答 案 2小 解析 因为圆C：f+y2-4 x-2 y=0,故圆C 是以C(2.1)为圆心，半径r=,的圆,设m+0 t n+2,5+-+2=0,r _.2 2 m=-4,_2 解 得)=_ 2 故m0 1，A(一4,-2),连接A。交圆。于。(图略)，由对称性可知解|+|PQ|=|A P|+|P Q 2 匹Q=Af C一=2币16.设点P(x,y)是圆e+Q 3/=1 上的动点，定点A(2,0),B(2,0).则丽潘的最大值为.16.答 案 1 2 解析 由题意，得或=(2x,-).丽=(-2 一x,-y),所以萩谕=/+9-4,由于点P(x,y)是圆上的点，故其坐标满足方程/+皿-3)2=1,故/=-8 3)2+1,所以说.两=一(y3)2+l+y2-4=6 y-1 2.易知2 W y =I,即/+)224)，+2=0,且小一 l W y W l+小，又 两=(一3一x,-y),NB=(3x,-y),所以两标=(x+3)(x-3)+)2=*+)29=2小y-1122d X(小一 1)-11=-5 2小.18.已知点尸在直线 x+y=4 上，过点P作圆0：/+丁=4的两条切线，切点分别为A,B,则点M(3,2)到直线4 8距 离 的 最 大 值 为()A.啦 B.小 C.2 D.小18 .答 案D解析 设P(a,b),则“+=4,以0尸为直径的圆的方程是(1一5 2+(),-5 2=；32+)，与圆。的方程9+)2=4相减，得直线A 8的方程为o r+y=4,即a x+b y 4=0,因为a+b=4,所以。=4 a,代入直线 A3 的方程，得 a x+(4a)y 4=0,即 a(x y)+4y 4=0,当 x=y 且 4y 4=0,即x=l,y=l时该方程恒成立，所以直线4 3过定点M l)，点M到直线A 8距离的最大值即为点、M,N之间的距离，|M N|=小，所以点/(3,2)到直线A B距离的最大值为小.19 .若直线尤+a y-a 1=0与圆C：-2)2+.俨=4交于A,B两点，当|AB|最小时，劣弧A 8的长为()7 1A.2 B.K C.2兀 D.3兀19 .答案 B 解析 直线x+a y-l=0可化为(工 一1)+()，-1)=0,则当工 一 1 =0且y 1 =0,即x=1且y=l时，等式恒成立，所 以 直 线 恒 过 定 点 设 圆 的 圆 心 为C(2,0),半 径r=2,当M C L A 8_ _ n时，依用取得最小值，且最小值为2多一|M C F=2产%=2啦,此时弦长4 8对的圆心角为受，所以劣n弧A B的长为EX2=7C.题型三直线与圆的位置关系20 .直线kx-y+2-k=0与圆X2+/-2X-8=0 的位置关系为()A.相交、相切或相离 B.相交或相切 C.相交 D.相切20 .答案 C 解析 方法一 直线Ax y+2%=0的方程可化为左(x 1)(y 2)=0,该直线恒过定点(1,2).因为12+22-2X18 V 0,所以点(1,2)在圆/+221-8=0的内部，所以直线依一3，+2=0与圆f+y221-8=0相交.方 法 二 圆的方程可化为。-1)2+)2=32,所以圆的圆心为(1,0),半径为3.圆心到直线f c ry+2一 女|女+22=0的距离为护 石=石 元 或2=丘 一1与圆C：。+3)2+。-3y=36相交于A,B两点、,则A B的长度可能为()A.6B.8C.12D.162 1.答案 BC 解析 因为直线）二履一1 过定点（0,-1）,故圆C 的圆心C（3,3）到直线y=fcr1 的距离的最大值为M（30）2+（3+1）2=5.又圆C 的半径为6,故弦长AB的最小值为2/二 于=2 H.又当直线y=H-l 过圆心时弦长A 8取最大值，为直径1 2,故12.2 2.设圆f+产一2 一2）-2=0 的圆心为C,直线/过（0,3）与圆C 交于A,8 两点，若|AB|=2小，则直线/的方程为（）A.3x+4y12=0 或 4x3y+9=0 B,3x+4y12=0 或 x=0C.4x3y+9=0 或 x=0D.3 x 4 y+12=0 或 4x+3y+9=022.答 案 B解析 当直线/的斜率不存在，即直线/的方程为x=0 时，弦长为2小，符合题意；当直线/的斜率存在时，可设直线/的方程为y=fc r+3,由弦长为2小，半径为2 可知，圆心到该直线的饮+2|3距离为1,从而有q 百 工=1,解得人=一丁综上，直线/的方程为x=0 或 3x+4y 12=0.23.（多选）（2021新高考全国II）已知直线/：or+外一/=0 与圆C：/+尸=，点&，b）,则下列说法正确的是（）A.若点A 在圆C 上，则直线/与圆C 相切B.若点4 在圆C 内，则直线/与圆C 相离C.若点A 在圆C 外，则直线/与圆C 相离D.若点A 在直线/上，则直线/与圆C 相切23.答 案 A B D 解析 圆心C（0,0）到直线/的距离十加,若点A 3,6）在圆C 上，则 辟+坟=凡产所以d=诟 4则直线/与圆C 相切，故 A 正确；若点4（“，份在圆C 内，则 出+/2 W,则直线/与圆C 相离，故 B 正确；若点4 a,b）在圆c 外，则 矫+浜 凡 所 以“=诟与 4,所以直线4 8 与圆M 相离，所以点P 到直线A 8的距离的最大值为4+=4+京，4+友 /52+(5-2)2-42=3V2,当/P 8 4 最大时，点 P 与。重合，|P8|=3啦，故 C,D 都正确.上的一个动点，直线在平面直角坐标系0孙 中，已知圆C：&-2)2+尸=4,点 A 是直线x-y+2=0AP,AQ分别切圆C 于尸，Q 两点，则线段尸。的 长 的 取 值 范 围 为.28.答 案 2y2,4)解析 由圆的方程知，圆心C(2,0),半径r=2.连接AC,PC,QC(图略)，设|2-0+2|_ _=x,则-忑=2啦.AQ 为圆 C 的切线，.CPLAP,CQYAQ,.|AP|=|4 Q|=C|2 T_ AP-PC 4y/x2 4 I_4 _ I=出 口.是尸。的垂直平分线，.|尸。|=2X MCI=.V =4、/1一 学.：xN2业；.5W14一手 1,.2&W|P Q|4,即线段P。的长的取值范围为 26，4).2 9.(多选)(2 02 2 深圳模拟)设直线/：y=f c c+l(&e R)与圆C：x2+/=5,则下列结论正确的为()A./与 C可能相离 B./不可能将C的周长平分3 2C.当=1 时，/被 C截得的弦长为2 D./被 C截得的最短弦长为4 2 9.答 案 B D 解析 对于 A选项，直线/过定点(0,1),且点(0,1)在圆C内，则直线/与圆C必相交，A选项错误；对于B选项，若直线/将圆C的周长平分，则直线/过原点，此时直线/的斜率不存在，B近选项正确；对于C选项，当=1时，直线/的方程为x)，+1=0,圆心C到直线/的距离为d=2 ,所以直线/被C截得的弦长为啦，C选项错误；对于D选项，圆心C到直线/的距离为d=事 霜 W 1,所以直线/被 C截得的弦长 为 班 二 行 4,D选项正确.题型四圆与圆的位置关系30.圆 C i：(犬+1)2+。-2)2=4 与圆C 2：。-3)2+。-2 尸=4的公切线的条数是()A.1 B.2 C.3 D.430.答案 C 解析 圆 C i：(x+l)2+(y-2)2=4 的圆心为 C i(-1,2),半径为 2,圆 C 2：(-3)2+。-2)2=4的圆心为C z(3,2),半径为2,两圆的圆心距|=4=2+2,即两圆的圆心距等于两圆的半径之和，故两圆外切，故公切线的条数为3.31 .已知圆G：片+尸+以一2 一4=0,圆 C 2：+5+一 券=争 则 这 两 圆 的 公 共 弦 长 为()A.5 B.2 2 C.2 D.131.答案 C 解析 由题意知圆C i：/+)2+4 1-2 y 4=0,圆 C 2：x2+y2+3x 3y 1 =0,将两圆的方程相减，得 x+y-3=0,所以两圆的公共弦所在直线的方程为x+y-3=0.又因为圆C i 的圆心为(一|-2+1 -3|2,1),半径/=3,所以圆C i 的圆心到直线x+y 3=0 的距离d=忑=2 啦.所以这两圆的公共弦的弦长为2.一屋=2 7 32 _(2 啦 =2.32 .已知圆M：f+V-Z g u O g X)截直线x+y=0 所得线段的长度是2吸，则圆M与圆N：1)2=1 的位置关系是()A.内切 B.相交 C.外切 D.相离3 2.答案 B 解析 由题意得圆M 的标准方程为 2+3“)2=2,圆心(0,。)到直线+=0 的距离”=宝，所以受/。2 一片=2 解得。=2,圆圆N的圆心距|M N|=,小于两圆半径之和3,大于两圆半径之差1,故两圆相交.3 3 .若圆C l：(X 1/+。一)2=4与圆C 2：a+2)2+(y+l)2=“2相交，则正实数a的取值范围为()A.(3,+8)B.(2,+)C.(j,+)D.(3,4)3 3 .答案 A 解析|。1。2|=#9 +(+1)2,因为圆 C i：(x l)2+(y )2=4 与圆 C 2：(x+2)2+(y+1 尸=a?相交，所以|一 2|-9+(+1)2 3.3 4 .圆 G：/+产 一%+1 0/-24=0与圆Q：x2+V+2 x+2 y-8=0 的公共弦所在直线的方程为,公共弦长为.3 4.答 案x-2 y+4=0 2小 解析 联立两圆的方程得x2+y22 x+1 O y 24=0,x2+/+2 x+2 y-8=0,两式相减并化简，得 x-2 y+4=0,此即两圆公共弦所在直线的方程.由炉+y-2x+1 0)-2 4=0,得1)2+。+5/|1 -2 X (-5)+4=5 0,圆C i的圆心坐标为(1,一5),半径r=5巾,圆心到直线x 2 y+4=0 的距离为d=.十(一？)2=3 小.设公共弦长为2/,由勾股定理得户=/+匕 即 5 0=(3 小户+巴 解得/=小，故公共弦长为2小.3 5 .(多选)已知圆。|：/+)，2标-3=0 和圆。2：f+y22)-1=0 的交点为A,B,贝 ()A.圆 O i和圆。2有两条公切线 B.直 线 的 方 程 为 x-y+l=0C.圆 O 2上存在两点尸和。使得|P Q|A B|D.圆 O i上的点到直线48的最大距离为2+也3 5 .答案 A B D 解 析 对于A,因为两个圆相交，所以有两条公切线，故 A正确；对于B,将两圆方程作差可得-2%+2，-2=0,即得公共弦48的方程为x-y+l=0,故 B 正确；对于C,直线A3经过圆。2的圆心(0,1),所以线段A8是圆。2的直径，故圆。2中不存在比AB 长的弦，故 C错误；对于D,圆 O i的圆心坐标为(1,0),半径为2,圆心到直线A 8：x y+l=0 的距离为 峰”=正，所以圆01 上的点到直线A8的最大距离为2+也，D正确.3 6 .若 A为圆G：/+产=1 上的动点，8为圆C 2：(x 3)2+。+4)2=4 上的动点，则线段AB 长度的最大值是.3 6 .答 案 8 解析 圆 C i：/+丁=1 的圆心为G(0,0),半径n=l,圆 C 2：(x-3)2+(y+4)2=4 的圆心为 C 2(3,-4),半 径 n=2,所以|G C 2|=5.又 A为圆G 上的动点，8为圆C 2上的动点，所以线段A8长度的最大值是|G C 2|+n+r2=5 +l+2=8.3 7 .如果圆C：(x 4)2+。-。)2=8 上总存在两个点到原点的距离均为啦，则实数。的 取 值 范 围 是()A.(-3,-1)U(1,3)B.(-3,3)C.-1,1 D.(-3,-1 JU 1,3)3 7 .答案 A 解析 到原点的距离为艰的点的轨迹方程为圆C i：/+9=2,因此圆C：(x-a)2+(y-a)2=8上总存在两个点到原点的距离均为表，转化为圆C i：/+产=2 与圆C：(x-a)2+(y。)2=8 有两个交点，两圆的圆心和半径分别为G(0,0),n=6，C(a,a),r=2啦，ri|G C l ri+r,./也间=9 知圆心 C(l,2),半径为 3,若圆 C：(犬 一 1)2+。-2)2=9上存在四个点到直线/：x y+6=0的距离等于2,则点C到直线/：x-y+b=O的距离8 1,|1 -2+Z?|u u*2+(_ )2 1,*-1 y/2 b 1 +啦.