高中数学竞赛专题其它综合类竞赛题（真题强化训练）试卷.pdf
学习考试复习备考资料（试卷或考点）考试备考资料（习题试卷、考点）第 1 页，共 8 页学习考试复习备考资料（试卷或考点）高中数学竞赛专题 其它综合类竞赛题（真题强化训练）试卷【高中数学竞赛专题大全】竞赛专题1 7其它综合类竞赛题（50题竞赛真题强化训练）一、填空题1.（20 1 9 全国高三竞赛）计算:岳圉=2.（20 1 9 全国高三竞赛）设不1 23）/（24 1）/（1 4,5）,舄（4 次+1,3）是空间中体积为1 的一个四面体的四个顶点.则k=.3.（20 1 9.全国高三竞赛）给定函数/（x）=J=（x4 1）.则函数/（X）与反函数广（X）交点 的 坐 标 为.4.（20 1 9 全国高三竞赛）把函数=的系数按其自然位置排成两行两列，记为二阶矩阵A =（：其中，每一个数字称为二阶矩阵的元素.又记“4（幻+力（a1+hcx（ab+bd，x=/X 7=）-7；的系数所组成的二阶矩阵 cfx）d（c +c d）x+（c +4 2）cr+ah ab+hd,一 一“,（a?+be ab+hd 一,一 .一,为 A的平方，即A-=A x A=.观察二阶矩阵乘法（c +c d bc+d）yacked bc+d）的规律，写出A3 =A5A=&中的元素的=_ _ _ _ _ _ _ _.1 如 a22）5.（20 1 8江西高三竞赛）a、为正整数，满足=短，则所有正整数对（。，3 的个数为.6.（20 1 8湖南高三竞赛）如图，将一个边长为1 的正三角形分成四个全等的正三角形，第一次挖去中间的一个小三角形，将剩下的三个小正三角形，再分别从中间挖去一个小三角形，保留它们的边，重复操作以上做法，得到的集合为谢尔宾斯基缕垫.设A”是第n次挖去的小三角形面积之和（如4是 第 1 次挖去的中间小三角形面积，&是第2 次挖去的三个小三角形面积之和），则前n次挖去的所有小三角形面积之和的值为.第 2 页，共 8 页学习考试复习备考资料（试卷或考点）高中数学竞赛专题 其它综合类竞赛题（真题强化训练）试卷边长为1的原等边三角形第一次第二次7.（2018 湖南高三竞赛）已知n为正整数，若,-V是一个既约分数,那么这个Av._ 1 A分 数 的 值 等 于.8.（2019全国高三竞赛）设左为常数.若对一切x、y e（0.1）,有9.（2019 全 国 高三竞赛）定义数列 q：4=3+4（乂），令4=卜*，褊）.则4的最大值为.10.（2019.全国高三竞赛）如图，设圆台的轴截面为等腰梯形A B C O,其中，AB=18,C D=6.若圆台的高为8,PQ是下底面与A 8夹角为60的直径，则异面直线P C、D Q所成角的余弦值为.2 x+y 4,11.（2018甘肃 高 三 竞赛）设x,y满足 x-y 2 1,若z=a r+y只在点A（2,0）处取得最x-2y/2 OI 9,则/（V2 0 1 9+V2 0 2 0）的值为.2 0.（2 0 1 9全国高三竞赛）不等式寸+（1 _ 父）弘 1 的解集为.2 1.（2 0 1 9.全国高三竞赛）已知函数y =V+6 以-”与x 轴有两个不同的交点&0卜3 ），并且（山是为）飞-6则。的值是一.2 2.（2 0 1 9全国高三竞赛）设实常数k使得方程2 丁+2./-5 孙+x +y +A=0 在平面直角坐标系x Oy 中表示两条相交的直线,交点为P.若点A、B 分别在这两条直线上，且|必卜俨8|=1,则 PA.PB=.2 3.（2 0 1 9 全国高三竞赛）已知a、b、c 是一个直角三角形三边之长，旦对大于2的自然数，成立（屋+0,均有P（.v+y）P（.v）+P（y）.3 8.（2 0 1 8 全国高三竞赛）已知多项式/（力=2 0/+（2-7。）+（5-3）/+（1 1-7。）+%-5,其中，a 为实数.证明：对任意的实数。，方程/（=0总有一个相同的实数根.3 9.（2 0 1 8 全国高三竞赛）给定正整数，求 其 中.可 表 示 不 超 过 实 数 x的最大整数.4 0.（2 0 1 8 全国高三竞赛）试求所有的正整数”及实数x x e-，使得t an x +百与c o t x+G均为有理数.3 3 3 34 1.（2 0 1 8 全 国 高三竞赛）实数Z=Z x=Z 二 二1满足Z二.，试求=1 /=1 *1 /=|玉 +X /七4=（i =L Z 3）的值.a=th+c.4 2.（2018 全国高三竞赛）己知非零实数。、b、c、/满足 ,nb=c+t+t（1）求证：二次方程以2+c（/-2c）x-W+c 2）（b-c）=0必有实根，且2c-6 a是方程的一个实根；（2）当 a =1 5,6=7 时，求c、t.4 3.（2018 全国高三竞赛）设。、b为 复 数,0 p l.求证：|a+邛 4 同+网。4 4.（2019 全国高三竞赛）已知非常数的整系数多项式 x）满足（/+4/+4+3）/（*）=（/-2/+2 乂-1）/+1）.正明：对所有正整数（28）,/（）至少有五个不同的质因数.4 5.（2019,贵州高三竞赛）我们知道，目前最常见的骰子是六面骰，它是-颗正立方体，上面分别有到六个洞（或数字），其相对两面之数字和必为七.显然，掷次六面骰，只能产生六个数之一（正上面）.现欲要求你设计一个“卜进制股”，使其掷一次能产生0 9 这十个数之一，而且每个数字产生的可能性一样.请问：你能设计出这样的骰子吗?若能,请写出你的设计方案：若不能，写出理由.4 6.（2019.全国高三竞赛）设二元函数z =/（x,y）=2x 2+3y 2-6 y 的定义域是第 6页，共 8页学习考试复习备考资料（试卷或考点）高中数学竞赛专题 其它综合类竞赛题（真题强化训练）试卷。=（x,y）1 3/+2y2 4 7町,x,y e R.（1）求 z=x,y）（点（x,y）e D）的取值范围；（2）求所有的实数。，使得在空间直角坐标系O-“z中，曲面z=x,y）（点（x,y）e D）与另一个曲面z=Ay+a（x、ywR）相交.47.（2019全国高三竞赛）设直线与函数y=/-f+x 的图像恰有两个不同的公共点.求出所有这样的直线方程.48.（2018 全国高三竞赛）已知知七，X”为实数，且|引2 1,对=1,2，小 的子集A=，4,，讣，定义S（A）=%+/+z.其中，规定5（0）=0,问：从n 个这样的和中至多可以选出多少个，使得其中任何两个的差的绝对值都小于1?49.（2018全国高三竞赛）（1）若正整数n 可以表示成 （久bwN,a、622）的形式，则称n 为“好数”.试 求 与 2 的正整数次事相邻的所有好数.（2）试求不定方程|2-3 5:卜 1的所有非负整数解（毛%2）.50.（2018全国高三竞赛）在9x9的方格表中取出4 6 个方格染成红色.证明：存在一块 由 4 个方格构成的2x2区域，其中由至少3 个方格被染成红色.第 6 页，共 8 页学习考试复习备考资料（试卷或考点）高中数学竞赛专题 其它综合类竞赛题（真题强化训练）试卷第8页，共8页
