突破2023年高考数学题型之2022年数学高考真题(全国通用)专题15 立体几何中球的问题(含详解).pdf

专题1 5立体几何中球的问题【高考真题】1.（2022.新高考I I）已知正三棱台的高为1,上、下底面边长分别为36和4 6，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（）A.IOOTT B.128 7t C.144兀 D.19 27t1.答 案 A 解析 设正三棱台上下底面所在圆面的半径大令，所以加二兰一区乃二也生，即si n 60 si n 600旺=3,e=4,设球心到上下底面的距离分别为4,心，球的半径为R,所以4=病=？，一=收 一 16，故河-囚=1或4+刈=1,即|病 导-加-16卜1或 庐 工+而 二 百=1，解得配=25 符合题意，所以球的表面积为S=4TIR2=o 07r.故选A.2.（2022全国乙理）已知球O 的半径为1,四棱锥的顶点为O,底面的四个顶点均在球。的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（）A.-B.-C.D.亚3 2 3 22.答 案 C 解析 设该四棱锥底面为四边形ABC Q,四边形A B C D 所在小圆半径为r,设四边形A B C。对角线夹角为a,贝 1 48。=:4。8。闾11。4 3 5。8。45-2八2=2,（当且仅当四边形4 3 8为正方形时等号成立），即当四棱锥的顶点O 到底面A B C。所在小圆距离一定时，底面A 8 C Z）面积最大值为2/，又八2=1,则=；2/.=4 J/.2/-4与/尸+；+2*=驾 当 且仅当D J e-0,当 2出 W/W 3小 时，64 27F0,所以当/=2加 时，正四棱锥的体积丫取最大值，最大值为不，又/=3 时，丫=了，/=3小 时，V81 27 27 64=T.所以正四棱锥的体积v 的最小值为了，所以该正四棱锥体积的取值范围是0，T .故选c.【方法总结】如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球.有关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点与难点，也是高考考查的一个热点.考查学生的空间想象能力以及化归能力.研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识，解决这类问题的关键是抓住内接的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径.并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用.球的内切问题主要是指球外切多面体与旋转体，解答时首先要找准切点，通过作截面来解决.如果外切的是多面体，则作截面时主要抓住多面体过球心的对角面来作.当球与多面体的各个面相切时，注意球心到各面的距离相等即球的半径，求球的半径时，可用球心与多面体的各顶点连接，球的半径为分成的小棱锥的高，用体积法来求球的半径.空间几何体的外接球与内切球十大模型1 .墙角模型；2.对棱相等模型；3.汉堡模型；4.垂面模型；5.切瓜模型；6.斗笠模型；7.鳄鱼模型；8.已知球心或球半径模型；9.最值模型；1 0.内切球模型.可参考：侯永青工作室 2022年高考数学之解密几何体的外接球与内切球十大模型命题点对点突破【题型突破】1.点 A,B,C,力均在同一球面上，S.AB,AC,AO两两垂直，且 A 8=l,AC=2,A D=3,则该球的表面积为（）A.l i t B.147c C.D.7 兀2.等腰AABC中，AB=AC=5,B C=6,将AABC沿 BC边上的高AO折成直二面角B-A O-C,则三棱锥B-A C D的外接球的表面积为（）20A.5兀 B.丁兀 C.10兀 D.34K3.已知球。的球面上有四点A,B,C,D,D A,平面ABC,ABV BC,D A=A B=B C=y 2,则球。的体积等于.4.已知四面体尸一A8C四个顶点都在球。的球面上，若 P8_L平面48C,A B L A C,且 AC=1,A B=P B=2,则球。的表面积为.5.三棱锥PABC中，A A B C 为等边三角形,P A=P B=P C 3,P A 1 P B,三棱锥产 一 人 8 c 的外接球的体积为（）2727A/3 I-A.爹兀 B.一 广 一 兀 C.2773Tt D.27兀6.已知正四面体4BC。的外接球的体积为8加兀，则 这 个 四 面 体 的 表 面 积 为.7.表面积为8百的正四面体的外接球的表面积为（）A.4布 兀 B.1 2兀 C.8 7c D.4娓兀8.已知四面体ABC。满足4 8=优，A C=A D=B C=B D=2,则四面体ABCD的外接球的表面积是9.三棱 锥 中 S-A 8C,SA=8C=行，S B=A C=事,SC=AB=而.则三棱锥的外接球的表面积为.1 0.已知一个四面体A3CQ的每个顶点都在表面积为9兀的球。的表面上，且 A 3=C O=e A C=A D=B C=B D=邓,则。=.11.一直三棱柱的每条棱长都是2,且每个顶点都在球。的表面上，则球。的表面积为（）A.等 B.与 C.警 D.巾兀12.一个正六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为9底面周长为3,则 这 个 球 的 体 积 为.O13.已知正三棱柱A B C-A B iG 中，底 面 积 为 平，一个侧面的周长为&3，则正三棱柱ABC-AIBIG外接球的表面积为（）A.4兀 B.8兀 C.16K D.32兀14.已知直三棱柱A3C4 5 1 a 的 6 个顶点都在球。的球面上，若 A8=3,AC=1,ZBAC=60,A4i=2,则该三棱柱的外接球的体积为（）.40 兀 4 丽 兀 3 2 0 ”A.B.-万一 C.方 D.20K15.已知矩形ABCO中，AB=2AD=2,E,F 分别为AB,CO 的中点，将四边形AE尸。沿 E F折起，使二面角4 EFC 的大小为120。，则过A,B,C,D,E,尸六点的球的表面积为（）A.67r B.5兀 C.4兀 D.3兀16.三棱锥S4 8 C 中，S A,底面A 8 C,若 SA=A B=B C=A C=3,则该三棱锥外接球的表面积为（）A.18TI B.警 C.217r D.42n17.四面体A8CD的四个顶点都在球O 的表面上，平面BCD BCD是边长为3 的等边三角形，若A B=2f则球O 的表面积为（）A.4兀 B.12兀 C.16K D.32兀18.已知三棱锥S-A 8 C 的所有顶点都在球。的球面上，SAL平面ABC,SA=2小,AB=,AC=2,ZBAC=60,则球。的表面积为（）A.4兀 B.12K C.16兀 D.64兀19.在三棱锥P-A B C 中，已知出，底面ABC,ZBAC=60,PA=2,A B=A C=y f 3,若该三棱锥的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（）A.等 B.&皆 C.8兀 D.12兀20.在三棱锥A-B C Q 中，A C=C D=巾,A B=A D=B D=B C=,若三棱锥的所有顶点，都在同一球面上，则 球 的 表 面 积 是.21.把边长为3 的正方ABCD沿对角线A C对折，使得平面ABCJ_平面4 JC ,则三棱锥。-他。的外接球的表面积为（）A.32万 B.274 C.18乃 D.9422.在三棱锥A-B C O 中，AC。与ZiBC。都是边长为4 的正三角形，且平面ACDJ平面B C D,则该三棱 锥 外 接 球 的 表 面 积 为.23.已知如图所示的三棱锥D-A B C的四个顶点均在球。的球面上，2 A B C和 OBC所在的平面互相垂直，AB=3,A C=小,B C=C D=B D=2 小,则球。的表面积为（A.4兀B.12兀C.1671D2 4.在三棱锥A-3 8 中，平面ABC_L平面BCD,AAfiC是边长为2 的正三角形，若 NBQC=f,三棱4锥的各个顶点均在球。上，则球。的表面积为（）.A.B.3兀 C.4乃 D.3325.已知空间四边形ABCD,N BAC=Z 兀,AB=A C =2 6 B D =4,CD=2遥，且平面ABC 1.平面8 83,则该几何体的外接球的表面积为（）A.24万 B.48万 C.64乃 D.96乃26.已知圆锥的顶点为P,母线2 4 与底面所成的角为30。，底面圆心。到 的 距 离 为 1,则该圆锥外接球 的 表 面 积 为.27.在三棱锥P-A 8 C 中，PA=PB=PC=6侧 棱 与 底 面 ABC所成的角为60。，则该三棱锥外接球的体积为（）A.n B.C.4万 D.专28.在三棱锥尸一/W C中，PA=PB=PC=&,A C =A B =2,且 A C J_ A 8,则该三棱锥外接球的表面积为（）A.4/r B.8乃 C.167r D.9%29.已知体积为代的正三棱锥P-A B C 的外接球的球心为O,若满足ON+O月+。=0,则此三棱锥外接球的半径是（）A.2 B.&C.2 D./430.己知正四棱锥PABC。的各顶点都在同一球面上，底面正方形的边长为噌，若该正四棱锥的体积为2,则此球的体积为（）124兀 625兀 500兀 256兀A.3 B-g-C 81 D 931.在三棱锥S-A B C 中，SB=SC=AB=B C =A C =2,二面角S-B C-A的大小为60。，则三棱锥S-A 8 C 外接球的表面积是（）A 14万 16乃 厂 40万 52万3 3 9 932.已知三棱锥A-BCD,8C=6,且 AA3C、M CD均为等边三角形，二面角A-3C-的平面角为60。，则 三 棱 锥 外 接 球 的 表 面 积 是.33.已知边长为6 的菱形A8C 中，Z BAD=20 ,沿对角线A C折成二面角8-AC-的大小为（9 的四面体且cos，=，,则四面体ABCD的 外 接 球 的 表 面 积 为.334.在三棱锥P-4 3 C 中，顶点P 在底面4 3 c 的投影G 是 AABC的外心，P B=B C =2,且面PBC与底面A8C所成的二面角的大小为60。，则三棱锥P-A 8 C 的 外 接 球 的 表 面 积 为.35.直角三角形ABC,Z A B C =-,A C +B C =2,将 A A B C 绕 A B 边旋转至A A B C 位置,若二面角C-M2-C 的大小为y，则四面体C -A B C的外接球的表面积的最小值为（）3A.6/r B.3兀 C.J i D.2兀236.已知三棱锥P-ABC的所有顶点都在球。的球面上，ZVIBC满足48=26，NACB=90。，以 为球。的直径且朋=4,则点P 到底面ABC的距离为（）A.A/2 B.2y 2 C.4 D.2小37.已知矩形A8CD的顶点都在球心为O,半径为R 的球面上，AB=6,B C=2 小,且四棱锥O-A3CZ）的体积为8 5，则 R 等于（）A.4 B.2小 C.陪 D.回38.已知三棱锥尸一ABC的四个顶点均在某球面上，PC 为该球的直径，A8C是边长为4 的等边三角形，三棱锥PABC的体积为号，则此三棱锥的外接球的表面积为（）16兀40兀64兀 80兀 3 3*3 L-*339.己知三棱锥A-S 8 C 的 体 积 为 亚，各顶点均在以R 4为直径球面上，AB=A C =R B C =2,则这个球的表面积为.40.（2017全国HI）已知圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直径为2 的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为.41.三棱锥PABC的四个顶点都在体积 为 竽 的球的表面上，底面A2C所在的小圆面积为16兀，则该三棱锥的高的最大值为（）A.4 B.6 C.8 D.1042.（2015全国H）已知A,B 是球。的球面上两点，Z AO B=9 0,C 为该球面上的动点.若三棱锥O-ABC体积的最大值为36,则球。的表面积为（）A.367r B.64兀 C.1447rD.25 67t43.已知点A,B,C,）均在球。上，A B=B C=#,A C=2 小.若三棱锥。一ABC体积的最大值为3,则球O的表面积为.44.在三棱锥A-B C O 中，AB=1,B C=巾,C D=A C=小,当三棱锥4 一8C O 的体积最大时，其外接球的表面积为.45.已知三棱锥DA8C的所有顶点都在球O 的球面上，A B=B C=2,AC=2吸，若三棱锥。一ABC体积的最大值为2,则球0 的表面积为（）c c c-25 兀 -12171A.8兀 B.9兀 C.D.03y46.若一个正四面体的表面积为其内切球的表面积为S,则言=_ _ _ _ _ _.3247.已知一个平放的各棱长为4 的三棱锥内有一个小球0（重量忽略不计），现从该三棱锥顶端向内注水，小球慢慢上浮，当注入的水的体积是该三棱锥体积的 时，小球与该三棱锥各侧面均相切（与水面也相O切），则小球的表面积等于（）7兀 4兀 -2兀 一 汽A.7 B.丁 C.丁 D.76 3 3 24 8.已知四棱锥 一ABC。的底面ABC。是边长为6 的正方形，且 必=PB=PC=P。，若一个半径为1 的球与此四棱锥所有面都相切，则该四棱锥的高是（）9 9A.6 B.5 C.2 D.42兀 .49.将半径为3,圆心角为号的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的内切球的表面积为（）A.7i B.2兀 C.3元 D.4兀50.体积为47r空的球与正三棱柱的所有面均相切，则该棱 柱 的 体 积 为.专题1 5立体几何中球的问题【高考真题】1.（2 0 2 2.新高考I I）已知正三棱台的高为1,上、下底面边长分别为3 6 和46，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（）A.IOOTT B.1287t C.14 4 兀 D.19 27t1.答 案 A 解析 设正三棱台上下底面所在圆面的半径大令，所以加二兰一区乃二也生，即s in 60 s in 600旺=3,e=4,设球心到上下底面的距离分别为4,心，球的半径为R,所以4=病=？，一=收 一 16，故河-囚=1或4+刈=1,即|病 导-加-16卜1或 庐 工+而 二 百=1，解得配=25符合题意，所以球的表面积为S=4TIR2=o 07r.故选A.2.（2022全国乙理）已知球O的半径为1,四棱锥的顶点为O,底面的四个顶点均在球。的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（）A.-B.-C.D.亚3 2 3 22.答 案 C 解析 设该四棱锥底面为四边形A BC Q,四边形A B C D 所在小圆半径为r,设四边形AB C。对角线夹角为a,贝 1 4 8。=:4。8。闾11。43 5。8。4 5-2八2=2,（当且仅当四边形43 8 为正方形时等号成立），即当四棱锥的顶点O到底面AB C。所在小圆距离一定时，底面A8C Z）面积最大值为2/，又八2=1,则=；2/.=4 J/.2/-4与/尸+；+2*=驾 当 且仅当D J e-0,当 2出 W/W 3小 时，64 27F-ABC的外接球的表面积为（）A.32万 B.27万 C.18万 D.9万21.答案 C 解析 将边长为1 的正方形A 8 8,沿对角线AC把 AAC折起，使平面A 8 _ L 平面48C,则 8CJ_CO,B A 1 A D :三 棱 锥 C-A 8 D 的 外 接 球 直 径 为 AC=3 0 ,外接球的表面积为22.在三棱锥A-BC。中，ACD与 BC。都是边长为4 的正三角形，且平面AC。，平面B C D,则该三棱 锥 外 接 球 的 表 面 积 为.22.答案 y n 解析 取 A2,8 的中点分别为E,F,连接EF,AF,B F,由题意知AF_LBF,A F=B F=2 4,E尸=为 4尸+8 尸=加,易知三棱锥的外接球球心。在线段E/上，所 以 O E+O F=#,设外接球的半径为R,连接04,0 C,则有R2=c/+0 产，所以产，Q 2（）（优）2+0 炉=22+0产，所以。尸一0?=2,又0 E+0 尸=#,则。产=?/?2=y,所以该三棱锥外QA接球的表面积为47t/?2=-7 t.23.已知如图所示的三棱锥D-A B C的四个顶点均在球。的球面上，ZkABC和AOBC所在的平面互相垂直，AB=3,A C=小,B C=C D=B D=V，则球。的表面积为（）B.12KC.16KD.36兀2 3.答案 C 解析 如图所示，.,AB2+AC2=8G,为直角，即AABC外接圆的圆心为8 c 的中点 0、ZVlBC和AO8C所在的平面互相垂直，则球心在过AOBC的圆面上，即 O 3C 的外接圆为球的大圆，由等边三角形的重心和外心重合，易得球半径R=2,球的表面积为5=4兀心=6兀，故选C.若 eq三棱24.在三棱锥A-3 C D 中，平面ABC，平面3CQ,AA3C是边长为2 的正三角形,锥的各个顶点均在球。上，则球。的表面积为（）.A.卷 B.3n C.4万 D.等2 4.答案 D 解析 记 M C D 外接圆圆心为E，AABC外接圆圆心为P,连结OE,O F ,则OEJ_平面BCD,OF_L平面ABC；取 B C 中点N,连结AN,E N ,因为A4BC是边长为2 的正三角形，所以AV过点F，且 AF=2/W=|/W =|G；在中，N B D C =j B C =2,设 凶。外接圆为r,则2/一 B C _ 2 一2 后sinZ B D C 应 ，所以r=a，故 BE=EC=r=母，所以有BE?+E C2=B C：因为N 为23 c 中点，所以 E N L B C ,KE/V=|BC=1 ；又平面 A8C_L 平面 18cD,所以 EN_L 平面 ABC,OE_L平 面A BC；因 此E N O F且E N =O F =,设 三 棱 锥 A-B C D外 接 球 半 径 为 R,则R=OA=J。尸+A F（方 因此，球。2的8表面积为S=4.=丁.故选D.2 5.已知空间四边形 ABCD,ZBAC=-TT,AB=A C =2 ,B D=4 ,3CQ=2 6,且平面A8C_L平面8 a,则该几何体的外接球的表面积为()A.24万 B.48万 C.64%D.96兀25.答 案B解 析 在 三 角 形ABC中，NBAC=2 T，AB=A C =2j3,由余弦定理可得3BC =A B2+A C2-2 AB-AC c o s =6,而在 三 角 形 B C D 中，B D=4 ,C D =28 ,.B D2+C D2=B C2,即 为 直 角 三 角 形，且B C为斜边，因为平面ABC_L平面BC),所以几何体的外接球的球心为为三角形A B C的外接圆的圆心，设外接球的半径为R,则2R=与:=4 6，sin43即R=2,所以外接球的表面积S=ATTR2=48万.26.已知圆锥的顶点为P,母线2 4与底面所成的角为30。，底面圆心。到B 4的距离为1,则该圆锥外接球 的 表 面 积 为.26.答案 解析 依题意得，圆锥底面半径r=一=2,高 =一=3叵.设圆锥外接球半3 sin 300 sin 600 3径 为A,则a =r+(/?-/?)2,即 叱=22+(/?-乎)2 ,解 得：口 =当.外接球的表面积为S=44=-.327.在三棱锥P-A B C中，PA=PB=P C =6，侧 棱 抬与底面ABC所成的角为60。，则该三棱锥外接球的 体 积 为()A.乃 B.鼻 C.4万 D.专2 7.答案 解析 过P点作底面4 8C的垂线，垂足为O,设 为外接球的球心，连接A,A O,因八 3 4 0 =60,PA=M ,故 4 0 =乜，PO=一,又 A4WO 为直角三角形，A H =P H =r,：.2 2A q 4 4A H2 A O2+O H2,：.r2=(-y)2+(1-r)2,：.r=l,E=tan30,O D =-yJOE2+D E2.,.外3D E 3 3接球半径R=y/OD2+B D2=(|)2+12=半，外接球的表面积为4R=4(半 产=争32.已知三棱锥A-BCQ,8C=6,且AABC、A B C D 均为等边三角形,二面角A-3 C-。的平面角为60。，则 三 棱 锥 外 接 球 的 表 面 积 是.32.答案 52万 解 析 取 8 c 的中点M,连接AW、D M,则A W _L 8C,且 D W _L 8C,所以，二面角 A-B C-D 的平面角为 Z4MD=60。，SL A M =D M =ABsin60=373,则 A/VM7 是边长为 3 G 的正三角形，如下图所示，设 AABC和 ABC。的外心分别为点P、Q,则尸M=Q M=gA=J ,过点、P、Q 在平面 加 内作AM 和 O 0 的垂线交于点O,则 O 为该三棱锥的外接球球心，易知，Z O M P =30 ,所 以，OP=PM.tan30=l,PA=-A M =2,所 以，球 O 的 半 径 为3OA=0 尸+P*=屈,因此，该三棱锥的外接球的表面积为4乃x(屈了=52万.3 3.已知边长为6 的菱形ABCD中，Z B A D =20 ,沿对角线A C折成二面角3-A C-。的大小为，的四面体且cos6=，则四面体A8C的 外 接 球 的 表 面 积 为.333.答案 547 解析 由边长为6 的菱形A8CD中，N84O=120。，可知，AC=A8=8C=A=CO=6G r-,在折起的四面体中，取 AC 的中点E,连接BE,DE.D=B=x6=3V3,则EB_LAC,2D E Y AC,A C cB E=E,.4(?_1面51),N B E D 为二面塾 B A C D 的大A、为 8,在 D E ,BE 上分 别 取=E M =-D E =y3,则 例，N 分别为三角形ADC,ABC的外接圆的3 3圆心，过 M,N 分别做两个三角形的外接圆的垂线，交于O,则O 为四面体外接球的球心，连接OE,O D为外接球的半径火.则N O E D =S ,所以cos2?=二出g=2,所以cosS=，5,在三角形OEM,2 2 2 3 2 3cos-=,解得O E =-=,在三角形O E D中，余 弦 定 理 可 得2 O E 0TO D2=D E2+O E2-2DE-OEos-=(3 )2+(=)2-2.3x/3R2=,所以外接球的2 V2 V2 3 2 2表面积S=4TTR2=54.3 4.在三棱锥P-A 8 c 中，顶点P 在底面A8C的投影6 是 448。的外心，PB=B C=2,且面P8C 与底面ABC所成的二面角的大小为60。,则三棱锥P-A B C的 外 接 球 的 表 面 积 为.3 4.答案 解析 由于G 为AABC的外心，则G4=G5=G C,由题意知，PG_L平面A B C,由勾9股定理易得上4=PB=P C,取 3 c 的中点E,由于G 为AABC的外心，则GE_LBC,且 BE=，BC=1 ,2PG_L 平面？W C,B C u 平面 A B C,则 B C J_P G,又 G E L B C,PG RG EM G,，BC_L 平面 PGE,;P E u 平面P G E ,:.P E B C,所以，PE=dPB。-B E。=6,且平面PBC与平面ABC所成的二a面 角 的 平 面 角 为 NPEG=60。，PG=Psin60=-,因 此，三 棱 锥 的 外 接 球 的 直 径 为22/?=空=?，所以，/?=-,因此，该三棱锥的外接球的表面积为4万川=4%x（3=也.PG 3 3 3 3 923 5.直角三角形ABC,Z A B C =-,A C+B C =2,将 AABC绕 4 5 边旋转至AABC位置，若二面角C-/1B2-C 的大小为 等，则四面体C-A B C 的外接球的表面积的最小值为（）3A.6万 B.34 C.-7t D.24235.答 案 B 解析 如图，43_L平面8。，ACBC是等腰三角形，B C =B C ,Z C B C =,设3x（O x 6=3,即 R+-jR2t2=3（R 为外接球半径），解得R=2,.球。的表面积为43t x 2 2=1 6 无.4 4 .在三棱锥A-BCO中，AB=1,B C=巾,C D=A C=小，当三棱锥力-8c。的体积最大时，其外接球的表面积为.4 4 .答案 6 兀 解析 ：AB=,B C=p,AC=5，：.AB2+B C2=A C2,即A 8C 为直角三角形，当 CDJ _ 面ABC时，三棱锥A-BCQ的体积最大，又，；C D=5 A 4 8 C 外接圆的半径为坐，故外接球的半32，外接球的表面积为4兀 犬 2 =6兀.45.已知三棱锥D-A B C的所有顶点都在球。的球面上,A8=BC=2,AC=24L若三棱锥。-48C体积的最大值为2,则球O 的表面积为（）C c c C 25 兀 r 12171A.87t B.9 兀 C.D.945.答案 D 解析 由A8=8C=2,4C=2吸，可得+所以AABC为直角三角形，且 AC为斜边，所以过aABC的截面圆的圆心为斜边AC的中点E.当DE_L平面A8C,且球心。在 OE上时，三棱链一A8C的体积取最大值，因为三棱链O-A 8C 体积的最大值为2,所以!$AA8CQ E=2,即 品X22XD E=2,解得 O E=3.设球的半径为 R,则 A E+OEAO2,即（巾）2+（3 /?）2=代，解得/?=,.所以球0 的表面积为4兀/?2=4兀、传）=蒋回.46.若一个正四面体的表面积为与，其内切球的表面积为S 2,则言=_ _ _ _ _ _.S246.答案 解析 设正四面体棱长为小 则正四面体表面积为$=4x乎.岸=小屋，其内切球半径为正四面体高的;，即 r=:x 半=半，因此内切球表面积为32=4兀 3=子，则费=近幺=6 旦4 43 0 3 2 匹）兀47.已知一个平放的各棱长为4 的三棱锥内有一个小球0（重量忽略不计），现从该三棱锥顶端向内注水，小球慢慢上浮，当注入的水的体积是该三棱锥体积的 时，小球与该三棱锥各侧面均相切（与水面也相O切），则小球的表面积等于（）7兀-4兀 人 2兀 n 兀Ad B-T C-T D-247.答 案 C解析当注入水的体积是该三棱锥体积的.时，设水面上方的小三棱锥的棱长为x（各棱长都O相等），依题意，修=3得x=2易得小三棱锥的高为半，设小球半径为匕则;S底 面 孚=44S底,&-r,得r=坐,故小球的表面积故选C.o 348.已知四棱锥P-ABCQ的底面A8CD是边长为6 的正方形，且 必=PB=PC=P。，若一个半径为1的球与此四棱锥所有面都相切，则该四棱锥的高是（）9 9A.6 B.5 C.2 D.W4 8.答案 D 解析 由题意知，四 棱 锥 是 正 四 棱 锥，球的球心0 在四棱锥的高尸上，过正四棱锥的高作组合体的轴截面如图：AE H 尸其中PE,P F是斜高，A为球面与侧面的切点.设P H=，易知RQ%OSRS PF,O A P O 1 h 1 9所 以 方=所 即 十 后 不 解 得 =不 故 选D.2 7r4 9.将半径为3,圆心角为竽的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的内切球的表面积为（）A.兀 B.2苑 C.3 7 i D.4兀4 9.答案 B 解析 将半径为3,圆心角为寺的扇形围成一个圆锥，设圆锥的底面圆的半径为R,则有2成2 7r=3 x,所 以/?=1,设圆锥的内切球的半径为r,结合圆锥和球的特征，可知内切球球心必在圆锥的高线上，设圆锥的高为儿因为圆锥的母线长为3,所 以2后=2卷 所 以 官 岩，解 得 一 享因此内切球的表面积5=4兀/=2兀.故选B.5 0.体积为4手7r的球与正三棱柱的所有面均相切，则 该 棱 柱 的 体 积 为.5 0.答 案6 3 解析 设球的半径为/?,由与/?3=与，得R=I,所以正三棱柱的高。=2,设底面边长为a,则全2 =1,所以 a=2，5.所以 V=4 x（2巾）2 x 2 =6 /.