高中数学人教课标A版选修2-2_浙江省“数海漫游”2022届高三下学期第二次联考数学试题（解析版）.pdf

20212022学年第二学期“数海漫游”第二次模拟考试（浙江卷）数学本试题卷分选择题和非选择题两部分.全卷共4 页，选择题部分1至 3 页；非选择题部分3 至 4页.满分150分，考试时间120分钟.考生注意：1.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸规定的位置上.2.答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效.参考公式：若事件A,B互斥,贝!|尸（4 +B）=P（A）+P（B）若事件A,3相互独立，则P（A B）=P（A）P（B）若事件A在一次试验中发生的概率是乙贝!次独立重复试验中事件A恰好发生攵次的概率,（4）=&夕*（1-。）1（4=。，1，2,）台体的体积公式V =g（+廊;+2）（其中耳，邑分别表示台体的上、下底面积，/?表示台体的高）柱体的体积公式V =（其中S表示柱体的底面积，刀表示柱体的高）锥 体 的 体 积 公 式（其中S表示锥体的底面积，表示锥体的高）4球的表面积公式S =4万R 2,球的体积公式V =乃代（其中R表示球的半径）选择题部分（共 40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4 分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A=4:1 3 ,B =1,2,3 ,则 A C|B=（）A.。B.（/C.1,2,3 D.。,1,2,3 【答案】A【解析】【分析】由子集的定义得出集合A,再由集合的交集运算可得答案.【详解】解：因为集合4 =k归=8 ,8 =1,2,3 ,所以从=0,1 ,2 ,3 ,1,2 ,1,3 ,2,3 ,1 2 3 ,所以An 8=0,故选：A.2 22.设非零实数。，。使得曲线：二+二=1 是双曲线，则（）a bA.a+b 0 C.a b 0【答案】C【解析】【分析】由双曲线方程的特征判断即可得出结果.2 2【详解】曲线r：土+匕=i 是双曲线，则 实 数b 异 号,即 曲 o.a b故选：C3 .已知平面。和直线/有交点，则“直线/与平面a垂直 是 平面1内存在两条夹角为3 0。的直线机，使得m J_/且_ L/”的（）A,充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】根据线面垂直的性质和线面垂直的判定定理，结合充分必要条件的概念，即可得到结果.【详解】若直线/与平面a垂直，则/垂直a内的任意一条直线，若平面a内存在两条夹角为3 0。的直线”?，n,则加_ L/且，/；若平面a内存在两条夹角为3 0。的直线m ,，使得m _ L/且，/,由线面垂直的判定定理可知直线/与平面a垂直；所以“直线/与平面a垂直”是“平面a内存在两条夹角为3 0。的直线加，使得加_ L/且_U”的充分必要条件.故选：C.4 .某几何体的三视图如图所示（单位：c m）,则该几何体的体积（单位：c n?）是（）【答 案】C23D.3【解 析】【分 析】根据几何体的三视图，该几何体是由正方体去掉三棱锥得到，根据正方体和三棱锥的体积公式可求解.【详 解】如图，该几何体为正方体去掉三棱锥。-4 A E,1 1 22所以该几何体的体积为：V=V48CD_W|M-VD_AD1=2 x 2 x 2-x-x 2 x 2 x l=,5.若 复 数z满 足z=2+zi（i为虚数单位），则z的 共 腕 复 数 是（）A.|+iB.1-iC.-2+iD.2-i【答 案】B【解析】【分析】先根据复数运算求出复数Z,再根据共辗复数的含义，即可得到结果.2【详解】因为z=2+zi，所以z=l+i,所以z的共辗复数是1 i.1-i故选：B.6.函数y=|x-cosxkinx的图像可能是()【答案】B【解析】【分析】首先判断函数的奇偶性，即可判断函数的对称性，从而判断C、D,再利用特殊值即可判断A,从而得解；【详解】解：y=,f(x)=|x cosXsinx定义域为R,且/(-x)=kx-cos(-x)bin(1x)=T-x-cosx|sinx=Tx+cos x|sin x,即/(-x)。且丰-/(x),故 不 具 有 奇 偶 性，所以函数图象不关于y轴对称也不关于原点对称，故排除c、D；且当xe(g oj时s i n x 0.x c o s x (),则/(x)=|x c o s x k i n x Jabcfa+2(Q+/?+C=+i-2ab+2bc+2ac 3(ab+be+ac),结合。,b,c 范围及不等式等号取得的条件，分别讨论最小值、最大值即可【详解】由题，七(4)=。+6占+。2 =a b +机+a c,由概率性质得，2 2 2b+c c+a a+b,+=a +Z?+c =l,2-2-2(1)因为a,b,。是两两不相等的非负实数，ah,+b,c+ac=a-h-+-h-e-+-a-b-+-a-c-+-h-e-+-a-c-ylra-hrc/jia +lrbr +lrcj ,不能取等-号，即nnab+bc+ac4abc4a+b+cQ,故无最小值；(2)(a +b +c j =/+b2+c2+2ah+2bc+lac=a2+b2+b2+c2+cr+C1+2ab+2bc+2ac 3(a +b c +a c)2，故+,当a=/?=c=时，取等号，故有最大值；3 3故选：B8.已知矩形A8CO,是 边AO上一点，沿8M翻折 ABA/，使 得 平 面 平 面BCD暇，记二面角A 8C。的大小为a,二面角A-DM C的大小为 ,贝U ()冗 兀A.oc f3 C.ct+5【答案】D【解析】【分析】过点A在平面43M内作A H L 8W，垂足为点H，过点，作E/7/CD分别交直线BC、D M于点E、/，连接AE、A F，设M=a,NAA/B=y,则/为 锐 角，利用二面角的定义可得出NA”=a ,ZAFH=f i,计算得出tana=字，tan/?=一，利用正切函数的单调性结合两角和的正切公式可sin y cos y判断各选项的正误.【详解】过点A在平面ABM内作AH _L 8W，垂足为点H,过点”作Ef7/CD分别交直线5 C、D以于点E、F,连接4 E、AF-设ZAMB=y,则/为锐角，因为平面AW_L平面B C D M,平面ABA/C平面BC/W=3/W,AH B M，A”u平面所以，AHJ_ 平面 3C D 0,.8。（=平 面8。用，.47/_15。，因为 C D _L 5C,则 HE_L3C,.“E nA”=，.BC_L 平面 A/E，A E u 平面 A/E，Aii AH故二面角A 5。一。的平面角为NAH=a ,且tana=-,同理tan尸 二 一，HE FH71在 RtZB4M 中，ZBAM27T又因为 A/7_LBA/，则 NBA”=ZABM=ZAM B=y,2E D L J A H o c o s).A H =acosy,B H=t z s i n/,MH=-=-t a n/s i n/-D F/B C,则 N H B E =/HMF=y,所以，E H =B H s i n y=asin2 y,F H =MH sm y=t z c o s2%,A H a c o s y c o s/八 A H a cosy 1t a n a=-=-=,t a n p =-=-=-H E 6!s i n y s i n /F H acos y c o s/无法比较s i r?/和c o s?y的大小关系，故无法比较t a n a、t a n 4的大小关系，即a、4的大小无法确定,TT 7T因为0 a 一,0 夕 一，则0 a +月兀，2 21 1 1因为 t a n(a +)=-1-t a n a +t a n 尸 _ t a n a t a n (3 _ c o s y1 -t a n t a n (3 1 s i n2 7-It a n a t a n J31-3COS/故选：D.9.已知抛物线C：y =f,则使得OM经过点尸(1,1),OM和抛物线C在P处的切线斜率相等，且OM和坐标轴相切的点M有()A.1个 B.2个 C.3个 D.4个【答案】D【解析】【分析】先求出抛物线在P(l，l)处切线的斜率，从而可求得圆心M 所在直线方程，设出圆心”的坐标,分情况讨论，利用圆心到切点的距离相等列出方程，求出解的个数即可【详解】.y =x 2,.y，=2 x ,所以抛物线在点尸处切线的斜率后=M y=21 1 1 3所以直线M P斜率为一万，直线M P方程为y-1 =-5(工-1)即 丁 =一万X十 万1 3设圆心 +一)2 2I i a 1 3当 QM 与 X 轴相切时,有 J(a 1)+(C l H-1)-d 4V 2 2 2 2整理得：/_ Q _ 1 =0,=5 0故该方程的解有2个，即与X轴 相 切 的 点 有2个当O M与y轴相切时，有小（4一1）2+（-；。+|-1）2=同整理得：/_ 1 0。+5 =0,A=（-1 0）2-4x l x 5 =80 0故该方程的解有2个，即与y轴相切的点M 有2个综上，符合这样条件的点M 有4个故选：D1 0.已知等比数列%,的公比q g,贝ij（）A.右 后+X j H F X1 001 V 1,则+引 T 卜 J ki o o l 1。C.右卜+X 2 H F X j o J c l,则 小 国+无2|T W KIOI|1 ,则-卜 J|X o i|1。【答案】A【解析】【分析】取特殊值，使得其满足某个选项中条件，而结论不成立，从而否定这个选项，排除三个错误选项可得正确结论.【详解】例 如 不=%01 =）；（一 ，则 玉+N o i =导？1 JL J JL JL I JL 而 厢 +后+7 0 =：；,1 01.1 x l 00=1 0H01 02 01=1 012.,-1 01即 J 1 01.1 x l 0 1 0,C错误;*1右”“西 0，则 归+%2+.+%0|=1 1 1 X i -湎）4 1%+为2 +,+内0 1 =玉（1 +1 +不+”+产）=-j-=严），1-44例如取X =1 ,玉+再0 1 =-（1-4 13 2 x 4 1,7 F J+7 R +7R j=i+g+击=2-击2 i,D错误,.4 1 4 1同理此时归+W +玉00|=玉+芭0 0 =5（l-n F）=_ 1,+表=2-*2 i ,B 错误，排除B CD,只有A 正确.故选：A.【点睛】方法点睛：本题考查数列不等式问题，表面看起来四个选项都相似，解题时考虑到单项选择题的特点，通过取特殊值，满足选项的条件，而不满足选项的结论，从而否定该选项正确，排除该选项.特殊值的取法，如4 =1,q=；,7=2,为了开方后好计算本题取 21 2 .若实数X,y 满 足 约 束 条 件+则 2 =工+丁的 最 小 值 是,最大值是.-x+y 1【答案】.7 .7【解析】【分析】作出可行域，根据几何意义求解即可.2x-y 2【详解】解：作出约束条件l所以，当直线z =x +y 过点A时，即取得最大值，也取得最小值.2x-y=2联立方程组 2 _ _ 2A M=-AB+A C y 则 4而7 =印+呵=/?2+c2+2/?c c os 4 50=Z?2+c2+y2bc,又因 MA =2 所以 之+c?+夜 历=1 6-由余弦定理得：c os 4 5。=H J +c-4=,b2+c2-4 =yf2bc,2hc 2bc 2所以由 得：be=3亚,所以AABC的面积是：s =！A s i nA =Lx3&x立=32 2 2 23故答案为：1 6；.21 5.将1,2,3,4,5,6,7,8八个数字排成一排，满足相邻两项以及头尾两项的差均不大于2,则这样的排列方式共有 种.（用数字作答）【答案】1 6【解析】【分析】根据题意可将该排列问题看成一个圆环上有1,2,3,4,5,6,7,8八个数字使其满足题意要求进行摆放，有两种情形，然后再将此圆环分别从某一个数字处剪开排成一列，一个作为头一个作为尾，由此即可求出结果.【详解】根据题意可将该排列问题看成一个圆环上有1,2,3,4,5,6,7,8八个数字使其满足题意要求进行摆放，有两种情形，如下图所示：然后再将此圆环分别从某一个数字处剪开排成一列，一个作为头一个作为尾，则每一个圆环有8种剪开方式情况，故满足题意的有2x8=16种.故答案为：16.16.若p、Q、R是棱长为1的正四面体棱上互不相同的三点，则 用 新 的 取 值 范 围 是.【答案】卜.【解析】【分析】设点P、Q、R分别棱长为1的正三棱锥A-3 8的棱A。、B C、BO上的动点，设 限=2前，其 中 利 用 三 角 不 等 式 推 导 出|耳 卜1,利用平面向量数量积的性质可求 得 所 如-1 ,取PR的中点，可得出0A 农=|同2T西。之一；，即 可 得 出 而 读 的取值范围.【详解】如下图所示，由任意性，设点P、。、/?分别棱长为1的正三棱锥A-3 8的棱A。、B C、B D上的动点，设 丽=4前，其中2 G 0,1,则 用 一 方=X(定 一 而)，所以，P Q =(l-A)PB+A P C,所 以，同闫(1 -X)方+/1无 卜(1 _/1)冏+前 卜m a x罔，困|=1,当且仅当线段P。与 棱4 8或CO重合时，等号成立，即|用|的最大值为1，：.PQ QR=-QP QR-QF-Q =-,当 且 仅 当。与 点B或C重 合，P、R重 合 于 点A或 点。时,等号成立，但P、。、R为不同的三点，则P 0 Q R 1,由上可知|京|的最大值为1，取 线 段P R的 中 点M，则0户.0尺=(。仞,+勿)(。/1/_府)二 也 向 一2 2 0 _(_ 1 =_ 1,2 J 4当 且仅当线段E?与 棱A B重 合 且。为 棱A B的中点时，等号成立，则4综上所述，-IPC QRL.4故答案为：.【点 睛】关键点点睛：本题考查立体几何中向量数量积的取值范围，解题的关键在于充分利用几何性质推导出|所 卜1,QP-QR=QM-MP,注意取最值时取等的条件，但也要注意题中条件的限制.1 7.已知，a,b R,函 数/(力=,2-4公：+3乃2卜乃|c o s%.若不等式|/(%)之 向+.对于任意实数x恒成 立，则 打?的最小值是,最大值是.【答 案】.-2 .氐【解 析】【分 析】数形结合,由图可得不等式|/(x)|N|6 +q恒成立的充要条件是a7r+b|/（3万）仁|3加+471 a7r+b兀 ia7i+b即 71 a7i-b7t-7i 3a 兀 +b 7t作图如下bz z z设 z =。，则人=一，当曲线=一过。（或 8）时，z 取得最小值；当 曲 线 二 一 与 直 线 相 切 时，Za a a取得最大值由 3。7+=一 万所以 2 m i n =ab=-2几3a兀+b=兀由 3 万 a2 一=Q+Z=Ob=jrTT令 二 （）,解之得2 =不，即Z m a x=F1 2 1 2故答案为：一 2 万，1 2三、解答题：本大题共5 小题，共 74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.1 8.已知角a 顶点与原点。重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点p,且点尸在圆C：(x+3)+(y 4)-=1 上.（1）若 P点的横坐标为 3,求 s i n 2 a的值;（2）若角 满足sin（。+/?）=-；,求sin 的最大值.【答案】（1）1或-17（2）1【解析】【分析】（1）由点在圆上得P（3,3）或P（-3,5）,进而根据三角函数定义得tana=-l或 一 再 根 据 同角三角函数关系构造齐次式求解即可；2乃 71（2）易知sin尸的最大值不超过1,进而转化为证明a=q-,满足条件即可.小 问1详解】解：若尸点的横坐标为 3,因为点尸在圆C：（x+3y+（y 4）2=l上所以，P（3,3）或尸（一3,5）,所以,所以,tana=-1 或-3,3当 tan a=1 时,sin 2a2 sin a cos asin2 a+cos,a2 tan atan2 a+1 5 .c 2sincrcos4z 2 tan or 15当 tan a=一 时，sin 2a=z-z=-=-3 sin a+cos a tana+l 17【小问2详解】解：易知s in/的最大值不超过1,Z77 7 T下面证明：sin力的最大值是1.只需证明a=-,满足条件.7 77-1由于 0+/?=满足sin(a+)=一 一 ；6 2设夕(-3+cosx,4+sinx),则 tana=-6 =4+sin”,-3+cos xH n3 -4 1 .V3.(n r,n即-=sinxd cosx=sin x-e-1,1,2 2 2 I 3 j L J所以，存在点尸使得a=2.3综上所述，sinQ的最大值是1.19.如图，在四棱台 中，AF=BF，CD=2GH,EFA.EH.（1）证明：A B I D H（2）若 A B =A E =E H =H D,求直线A 尸与平面AD七所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析旦5【解析】【分析】（1）延长交于点p,进而证明Q4J_ A6,再结合已知得AB _L 平面PAD，再根据线面垂直即可证得结论；（2）结 合（1）得 五石，平面P A。，进 而 得 直 线 与 平 面 AD石所成角即44E，再根据几何关系求解即可.【小 问 1 详解】证明：在四棱台438EFGH中，延长AE,8 CG,交于点p ,因为在四棱台AB CD-EEGH中，C D =2 G H所以 P F =F B =F A，在 B4 F 中，E为 公 中 点，故因为 A f i/F,E F 上 E H，所以AB LE”，因为 APnE”=,所以AB _L 平面P A。，所以得证【小问2详解】解：设A B =A=2则 族=A B=1.2由于AB _L平面P A。，则F E _L平面B4 ，所以，直线 与平面ADHE所成角即 4 4 E.因为在四棱台 A 5 C D E F G H 中，C D=2 GH,PF=F B =FA，所以E为P 4中点，所以 砂，AE，则 s i n Z F A EE FA FE FJ46+E尸5即直线 M 与 平 面 所 成 角 的 正 弦 值 为 弓.2 0.已知数列%满 足:6=4=2,an+l=-p-4 寸-1-(n 2).(1)证明：an n,e N*;1 1 1 ,八(2)证明：一+,+n,然后假设当=%(%2 3)时，ak k,证明出4+0 +1,结合数学归纳法可证得结论成立；(2)先 利 用 数 学 归 纳 法 证 明 出+然后利用放缩法结合裂项求和法可证得结论成立.【小 问1详解】证明：对任意e N*，ann.因为 q=2 N l,a2=2 2,%=多 +。2 =1 +2 =3 2 3 ,假设当 =%(左2 3)时，ak k,则a*”之 牛+号2 +舁2 +1,这说明当=左+1时，4+1 2%+1也成立，综上所述，an n,eN .【小问2详解】证明：先归纳证明：对任意左 1,2,4 +,1x2 2x3 3x4 4x5 5x6因为41=2 2-,=2-,4=3 2-,a.4-,as5-10 10 10 4 10 5 106x7a(66-，10假设当=攵（6,攵eN*）时，%2,+1）则当=女 +1 时，*.*3K+上 一2(攵 +3k+2)=K 5k 426 5x6 40,+%_ .(,+1)+4(.-1)3&2+-2+3Z+2(左 +1)(%+2)-%-10 20-20 io-10-这说明当=Z+l（ZN6,ZeN*）时，%出（+1）仅上2）,1 /、*,1 0 1 1 1综上所述，an /?(/?+1),neN ,所以，a 7-E=l|-7-10”(+1)n n+)故 一1 +1 +1 i1n0 f,1 1 +-1-1 +-+-1 -1-|1=-1-0-2,得到直线/的斜率%=壮/（0,；）,即可求解；（2）设直线/为y=A（x-l）+l,联立方程组得到+，西 工2，求得M4,用。，2G的方程，得到%=/，y产含，进而求得|。兄=|为 一 力|=匕 和|P|=1+P=得到G十/勺十/1 5k K0 1 27S.0R=a 湎vy,结合基本不等式，即可求解.【小 问1详解】2 2解：由题意，椭圆C:+匕=1,可得。=21=6,可得知（一2,0）,4 3因为P是x轴上一点，且在点M左侧，设P（,0）,其中p 2,则直线/的斜率k=J 6（0，!）,即直线/斜率的取值范围为（0,-）.1 +P 3 3【小问2详解】解：设直线/的方程为y=Mx 1）+1,y=A（x-l）+l联立方程组上2 y2 _，整理得（公+马/.T+T =_ 2k2-2设A（%,y J,网 肛 ），可 得%+“2 3K 4由（一2,0）,则MA：y=（x+2）,MD所 以 为=x：2%=x；2 则也用一,。一+2Z(1-Z)x+42 2 女 2=0,k k2-2 k-2，X/2 =Q左 2+。，4:=:2(8+2),FG:x川人+日，司1+2 X2+2)又由y +%=g+1-女+kxz+l k=？八%+2%+2%+2 X2+21 3 左(X +4)(百+2)(%2 +2)2k2-2k=2 Z +(1-3%)公+?4-+4k2-2 k-2 4k2-4k2k+(l-3k)=2 Z +(1-3%)k2+-+46/一 2 Z +3(1-3%y八131-3 A+42k2-2k+4k2+3k2-2 k-2 +4k2-4k+4k2+3Q则|。用=尻 一”卜丁3?1-3Ki 2 7 1 2 7由|P F|=+P =可得S 呐=5上/刈=3 河 二 两 2 3 7 =5 4.k4当且仅当3 左=1 一3 攵时，即=,时，等号成立，6所以APQR面积的最小值是5 4.2 2.已 知,a,b eR*,函数 力 的导函数/(%)存在.(1)若/(x)Wl 恒成立，证明：f(a+l)/a +l)-夜)卜 1 .注:e=2.7 1 8 2 8 是自然对数的底数.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【解析】【分析】(1)要证明：f(a+b)f(a)+b,即证明：f(a+b)-(a+b)a,则 E(a+O)WF(a).(2)记 8(%)=/(4)=(4_；)(：1 1 1*_ 1)+,*,由(1)知，要证明/(6)一/(&+1)4 1,即证明g(。)一 g(。+1)W L再分别讨论0 a W 1 和1 a +1 时 g(。)g(。+1)W 1，即可证明.【小 问 1 详解】要证明：f(a+b)f d)+b,即证明：.f(a+，)一(a+Z 7)W.f(a)-a.记 Rx)=x)-x,由 尸 =r(x)-4V0,得尸(x)在 A 上单调递减.于是由a+8a,得厂(。+8)W b(a),得证.【小问2详解】由/(%)=(尤-3%(1 1 1%-1)+：/，记 8(%)=/(6)=(上 一(；1!1 -1)+1%,贝 U g (x)=l +Inx,当 x e(O,l ,-I n x 0 ,XG(1,+),-lnx/x 4/x 4 V x所以 g 1x)=l +lnxWl,则 由(1)知，/(V T T)-/(G)=g(a +l)g(a)l下面，我们只需说明/()-/(而T)l,即g(a)g(a +l)0,0 XO,O x 0,X f+8,g(x)f 0,所以g(x)0在(1,+OO)上恒成立,所以g(x)在(1,田)上单调递增.g(a)=1-半、ln -l|+6r/r6z +5 a=5/(厂Ja 2、)2 1g(l)=_/+Z=W，则 g(a)-g(a+l)0WL当l a 一 _ _ _ _ _ _I_=一 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _4e8 4e8V7T-l.再证明：当la 0,故G(a+l)NG(a),得证！综上所述，我们得到,(5【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性以及不等式的证明，属于难题.不等式证明问题是近年高考命题的热点，利用导数证明不等式主要方法有两个，一是比较简单的不等式证明，不等式两边作差构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出函数的最值即可；二是较为综合的不等式证明，要观察不等式特点，结合已解答的问题把要证的不等式变形，并运用已证结论先行放缩，然后再化简或者进一步利用导数证明.