吃透中考数学29个几何模型10 手拉手模型.docx

更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC 数学更多见 QQ 群：391979252，微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue 微信号：AA-teacher专题专题 1010 手拉手模型手拉手模型一、单选题一、单选题1如图，在OAB 和OCD 中，OAOB，OCOD，OAOC，AOBCOD40，连接 AC，BD交于点 M，连接 OM下列结论：ACBD；AMB40；OM 平分BOC；MO 平分BMC其中正确的个数为（）ABCD【答案】D【分析】由SAS证明AOCBOD 得出OCAODB，ACBD，正确；由全等三角形的性质得出OACOBD，由三角形的外角性质得：AMBOACAOBOBD，得出40 AMBAOB，正确；作OGMC于G，OHMB于H，如图所示：则90OGCOHD，由AAS证明()OCGODH AASD D，得出OGOH，由角平分线的判定方法得出MO平分BMC，正确；由AOBCOD，得出当 DOMAOM时，OM才平分BOC，假设 DOMAOM，由AOCBOD 得出COMBOM=，由MO平分BMC得出 CMOBMO，推出COMBOMD D，得OBOC，而OAOB，所以OAOC，而OAOC，故错误；即可得出结论【详解】解：40AOBCOD，AOBAODCODAOD，更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC 数学更多见 QQ 群：391979252，微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue 微信号：AA-teacher即AOCBOD，在AOC和BOD中，OAOBAOCBODOCOD=，()AOCBOD SAS，OCAODB，ACBD，正确；OACOBD，由三角形的外角性质得：AMBOACAOBOBD，40AMBAOB，正确；作OGMC于G，OHMB于H，如图 2 所示：则90OGCOHD，在OCG和ODH中，OCAODBOGCOHDOCOD=，()OCGODH AAS，OGOH，MO平分BMC，正确；更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC 数学更多见 QQ 群：391979252，微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue 微信号：AA-teacherAOBCOD，当 DOMAOM时，OM才平分BOC，假设 DOMAOMAOCBOD，COMBOM=，MO平分BMC，CMOBMO=，在COM和BOM中，COMBOMOMOMCMOBMO=，()COMBOM ASA D D，OBOC，OAOBOAOC与OAOC矛盾，错误；综上所述，正确的是；故选：D【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的外角性质，角平分线的判定等知识，熟悉相关性质是解题更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC 数学更多见 QQ 群：391979252，微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue 微信号：AA-teacher的关键2如图，AB=AD，AC=AE，DAB=CAE=50，以下四个结论：ADCABE；CD=BE；DOB=50；点 A 在DOE 的平分线上，其中结论正确的个数是（）A1B2C3D4【答案】D【分析】根据全等三角形的判定及角平分线的性质即可依次判断【详解】DAB=CAEDAB+BAC=CAE+BACDAC=EABAB=AD，AC=AEADCABECD=BE，故正确；ADCABEADC=ABE更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC 数学更多见 QQ 群：391979252，微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue 微信号：AA-teacher设 AB 与 CD 交于 G 点，AGD=BGCDOB=DAB=50,故正确；过点 A 作 AFCD 于 F 点，过点 A 作 AHBE 于 H 点，则 AF、AH 分别是ADC 与ABE 边上的高ADCABEAF=AH点 A 在DOE 的平分线上，正确故选 D【点睛】此题主要考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟知角平分线的性质与判定3如图，ACD和AEB都是等腰直角三角形，90CADEAB，四边形ABCD是平行四边形，下列结论中错误的是（）更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC 数学更多见 QQ 群：391979252，微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue 微信号：AA-teacherAACE以点A为旋转中心，逆时针方向旋转90后与ADB重合BACB以点A为旋转中心，顺时针方向旋转270o后与DAC重合C沿AE所在直线折叠后，ACE与ADE重合D沿AD所在直线折叠后，ADB与ADE重合【答案】3B【分析】本题通过观察全等三角形，找旋转中心，旋转角，逐一判断【详解】解：A根据题意可知 AE=AB，AC=AD，EAC=BAD=135，EACBAD，旋转角EAB=90，正确；B因为平行四边形是中心对称图形，要想使ACB 和DAC 重合，ACB 应该以对角线的交点为旋转中心，顺时针旋转 180，即可与DAC 重合，错误；C根据题意可EAC=135，EAD=360EACCAD=135，AE=AE，AC=AD，EACEAD，正确；D根据题意可知BAD=135，EAD=360BADBAE=135，AE=AB，AD=AD，EADBAD，正确故选 B更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC 数学更多见 QQ 群：391979252，微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue 微信号：AA-teacher【点睛】本题主要考查平行四边形的对称性：平行四边形是中心对称图形，对称中心是两对角线的交点二、填空题二、填空题4如图，点 B、C、E 在同一条直线上，ABC与CDE都是等边三角形，下列结论：AE=BD；DGCEFC；线段 AE 和 BD 所夹锐角为 80；FGBE其中正确的是_（填序号）【答案】【分析】利用等边三角形的性质证明BCDACE可判断，利用BCDACE，可得,BDCAEC 利用三角形的外角的性质可得60,AHB从而可判断，再结合等边三角形的性质证明DGCEFC可判断，由DGCEFC可得：CGCF，结合60,ACD可得60CFG，从而可判断【详解】解：如图，记AE与BD的交点为H，ABC与CDE都是等边三角形，更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC 数学更多见 QQ 群：391979252，微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue 微信号：AA-teacherAC=BC，CD=CE，BCA=DCE=60点 B、C、E 在同一条直线上，ACD=60，BCD=ACE=120在BCD和ACE中，BCACBCDACECDCE BCDACE，,BDAE所以结论正确；BCDACE，BDC=CEA，AHB=DBE+BEA=DBE+BDC=180BCD=60，所以错误；在GCD和FCE中，GCDDCECECDCDBCEA ，GCDFCE，所以正确；GCDFCE，CG=CF，ACD=60，GFC=60，更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC 数学更多见 QQ 群：391979252，微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue 微信号：AA-teacher又DCE=60，GFC=DCE，GFBC，所以正确故答案为：【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质和判定，平行线的判定，解决本题的关键是找到判定三角形全等的条件5 如图，C 为线段 AE 上一动点（不与点 A，E 重合），在 AE 同侧分别作等边三角形 ABC 和等边三角形 CDE，AD 与 BE 交于点 O，AD 与 BC 交于点 P，BE 与 CD 交于点 Q，连结 PQ以下结论：PQ/AE；AOE120；CO 平分BCD；CPQ 是等边三角形，OC+BOAO 恒成立的是_【答案】【分析】由“SAS”可证ACDBCE，可得CBEDAC，由“ASA”可得CPCQ，利用全等三角形的性质依次判断可求解【详解】解：等边ABC和等边CDE，ACBC，CDCE，60ACBDCE，更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC 数学更多见 QQ 群：391979252，微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue 微信号：AA-teacherACBBCDDCEBCD，即ACDBCE，在ACD与BCE中，ACBCACDBCECDCE，()ACDBCE SAS，CBEDAC，又60ACBDCE，60BCD，即ACPBCQ，又ACBC，()CQBCPA ASA，CPCQ，又60PCQ，PCQ为等边三角形，故正确；60PQCDCE，/PQAE，故正确；60DACAEBDACADCDCE ，120AOE，故正确；如图，在AP上截取NOQ，连接CN，更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC 数学更多见 QQ 群：391979252，微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue 微信号：AA-teacherCQBCPA，CPCQ，CPNCQO，BQAN，()CPNCQO SAS，CNCO，BCNOCQ，ACNBCO，60NCO，又ACBC，()ACNBCO SAS，BOAN，60NCO，COCN，NCO是等边三角形，NOCO，AOANNOBOCO，故正确；OC不一定垂直AE，ACO不一定等于ECO，BCO不一定等于DCO，CO不一定平分BCD，故错误；故答案为：更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC 数学更多见 QQ 群：391979252，微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue 微信号：AA-teacher【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，利用了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，能熟练应用相关性质是解题的关键三、解答题三、解答题6如图，点 C 是线段 AB 上任意一点（点 C 与点 A，B 不重合），分别以 AC，BC 为边在直线 AB 的同侧作等边三角形 ACD 和等边三角形 BCE，AE 与 CD 相交于点 M，BD 与 CE 相交于点 N连接 MN证明：（1）ACEDCB；（2）ACMDCN；（3）MNAB【答案】（1）见解析（2）见解析（3）见解析【分析】（1）由等边三角形的性质得出 ACCD，BCCE，ACDBCE60，得出DCBACE，由 SAS即可得出ACEDCB；（2）由全等三角形的性质得出EACBDC，再证出ACDDCE，由 ASA 证明ACMDCN 即可；（3）由全等三角形的性质得出 CMCN，证出MCN 是等边三角形，得出MNCNCB60，即可得出结论更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC 数学更多见 QQ 群：391979252，微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue 微信号：AA-teacher【详解】（1）ACD 和BCE 是等边三角形，ACCD，BCCE，ACDBCE60，ACDDCEBCEDCE，DCBACE，在ACE 与DCB 中，ACCDDCBACEBCCE，ACEDCB（SAS）；（2）由（1）得：ACEDCB，EACBDC，ACDBCE60，DCE60，ACDDCE，在ACM 与DCN 中，EACBDCACDCACDBCE ，ACMDCN（ASA）（3）由（2）得：ACMDCN，CMCN，又MCN180606060，更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC 数学更多见 QQ 群：391979252，微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue 微信号：AA-teacherMCN 是等边三角形，MNC60NCB，MNAB【点睛】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定；熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键7如图，两个正方形 ABCD 与 DEFG，连结 AG，CE，二者相交于点 H（1）证明：ADGCDE；（2）请说明 AG 和 CE 的位置和数量关系，并给予证明；（3）连结 AE 和 CG，请问ADE 的面积和CDG 的面积有怎样的数量关系？并说明理由【答案】(1)答案见解析；(2)AG=CE，AGCE；(3)ADE 的面积=CDG 的面积【分析】（1）利用 SAS 证明ADGCDE；（2）利用ADGCDE 得到 AG=CE，DAG=DCE，利用DAG+AMD=90得到DCE+CMG=90，即可推出 AGCE；更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC 数学更多见 QQ 群：391979252，微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue 微信号：AA-teacher（3）ADE 的面积=CDG 的面积，作 GPCD 于 P，ENAD 交 AD 的延长线于 N，证明 DPGDNE，得到 PG=EN，再利用三角形的面积公式分别表示出ADE 的面积，CDG 的面积，即可得到结论ADE的面积=CDG 的面积.【详解】（1）四边形 ABCD 与 DEFG 都是正方形，AD=CD，DG=DE，ADC=EDG=90，ADC+CDG=EDG+CDG，ADG=CDE，ADGCDE（SAS），（2）AG=CE，AGCE，ADGCDE，AG=CE，DAG=DCE，DAG+AMD=90，AMD=CMG，DCE+CMG=90，CHA=90，AGCE；更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC 数学更多见 QQ 群：391979252，微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue 微信号：AA-teacher（3）ADE 的面积=CDG 的面积，作 GPCD 于 P，ENAD 交 AD 的延长线于 N，则DPG=DNE=90，GDE=90，EDN+GDN=90，PDG+GDN=90，EDN=PDG，DE=DG，DPGDNE，PG=EN，ADE 的面积=12AD EN，CDG 的面积=12CD GP，ADE 的面积=CDG 的面积.【点睛】此题考查正方形的性质，三角形全等的判定及性质，利用三角形面积公式求解，根据图形得到三角形全等的条件是解题的关键.8在ABC 中，BAC=90，AC=AB，点 D 为直线 BC 上的一动点，以 AD 为边作ADE（顶点 ADE按逆时针方向排列），且DAE=90，AD=AE，连接 CE更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC 数学更多见 QQ 群：391979252，微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue 微信号：AA-teacher（1）如图 1，若点 D 在 BC 边上（点 D 与 BC 不重合），求证：ABDACE；求证：222DEBDCD（2）如图 2，若点 D 在 CB 的延长线上，若 DB=5，BC=7，则ADE 的面积为_（3）如图 3，若点 D 在 BC 的延长线上，以 AD 为边作等腰 RtADE，DAE=90，连结 BE，若 BE=10，BC=6，则 AE 的长为_【答案】（1）见解析；见解析；（2）1694；（3）34【分析】（1）根据BAC=DAE，推出BAD=CAE，再结合 AB=AC，AD=AE，即可证明ABDACE，根据ABD=ACE，可得ABD+ACB=ACE+ACB=BCE，根据 BD=CE，即可证明结论；（2）过点 A 作 AFDE 于点 F，利用等腰三角形的性质和直角三角形的性质，易得 AF12DE，利用全等三角形的判定定理可得ABDACE，由全等三角形的性质可得ADBAEC，DBEC，易得 EC5，DC12，利用勾股定理可得 DE 的长，利用三角形的面积公式可得结论；（3）根据 RtBCE 中，BE10，BC6，求得 CE2210-68，进而得出 CD862，在 RtDCE中，求得 DE2228=68，最后根据ADE 是等腰直角三角形，即可得出 AE 的长【详解】更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC 数学更多见 QQ 群：391979252，微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue 微信号：AA-teacher（1）BAC=DAE，BAD=CAE，又AB=AC，AD=AE，ABDACE，ABDACE，ABD=ACE，BD=CE，ABD+ACB=ACE+ACB=DCE=90，22222DECDCECDBD；（2）过点 A 作 AFDE 于点 FADAE，点 F 是 DE 的中点，DAE90，AF12DE，同理可证ABDACE，ADBAEC，DBEC，DB5，BC7，EC5，DC12，更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC 数学更多见 QQ 群：391979252，微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue 微信号：AA-teacherDAE90，ADEAED90，ADCCDEAED90，AECAEDCDE90，即CEDCDE90，ECD90，DE2CE2CD225144169，DE0，DE13，AF132，ADE 的面积为12DEAF12131321694；（3）由（1）可知：ABDACE，BDCE，ABDACE，BCE=ACB+ACE=ACB+ABD=90，RtBCE 中，BE10，BC6，CE2210-68，BDCE8，CD862，RtDCE 中，DE2228=68，更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC 数学更多见 QQ 群：391979252，微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue 微信号：AA-teacherADE 是等腰直角三角形，AE2DE682=34【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定定理及性质定理，还有等腰三角形的性质等，综合利用定理，作出恰当的辅助线是解答此题的关键9如图，在ABC中，以 AB，AC 为边向外作等边ABF和等边ACE，连结 BE，CF 交于点 O求证：（1）AEBACF；（2）AO 平分EOF【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析【分析】（1）先根据等边三角形的性质可得,60ABAF AEACCAEBAF，再根据角的和差可得BAEFAC，然后根据三角形全等的判定定理即可得证；（2）如图（见解析），先根据三角形全等的性质可得,AEBACFSSBECF，再根据三角形的面积公式可得ADAG，由此即可得证【详解】更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC 数学更多见 QQ 群：391979252，微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue 微信号：AA-teacher（1）ABF和ACE都是等边三角形，,60ABAF AEACCAEBAF，CAEBACBAFBAC，即BAEFAC，在AEB和ACF中，ABAFBAEFACAEAC，()AEBACF SAS；（2）如图，过点 A 作ADBE于点 D，作AGCF于点 G，连接 AO，由（1）已证：AEBACF，,AEBACFSSBECF，1122BE ADCF AG，ADAG，点 A 在EOF的角平分线上，即 AO 平分EOF【点睛】本题考查了三角形全等的判定定理与性质、等边三角形的性质、角平分线的判定定理等知识点，熟练掌握更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC 数学更多见 QQ 群：391979252，微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue 微信号：AA-teacher三角形全等的判定定理与性质是解题关键10如图，ABC中，ACBC，DCE中，DCEC，且DCEACB，当把两个三角形如图放置时，有ADBE（不需证明）（1）当把DCE绕点C旋转到图的情况，其他条件不变，AD和BE还相等吗？请在图中选择一种情况进行证明；（2）若图中AD和BE交于点P，连接PC，求证：PC平分BPD【答案】（1）相等，证明见解析；（2）证明见解析【分析】（1）利用 SAS 证出DCAECB，即可证出结论；（2）过点 C 作 CMAD 于 M，CNBE 于 N，利用 SAS 证出DCAECB，从而得出 CM=CN，然后利用角平分线的判定定理即可证出结论【详解】解：（1）相等，证明图如下DCEACBDCEACEACBACE DCAECB在DCA 和ECB 中更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC 数学更多见 QQ 群：391979252，微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue 微信号：AA-teacherACBCDCAECBDCECDCAECBADBE；（2）过点 C 作 CMAD 于 M，CNBE 于 NDCEACBDCEACEACBACE DCAECB在DCA 和ECB 中ACBCDCAECBDCECDCAECBCM=CNCMAD，CNBEPC平分BPD【点睛】此题考查的是全等三角形的判定及性质和角平分线的判定，掌握全等三角形的判定及性质和角平分线的判更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC 数学更多见 QQ 群：391979252，微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue 微信号：AA-teacher定是解题关键11如图 1，点P是线段AB上除点A、B外的任意一点，分别以AP、PB为边在线段AB的同旁做等边三角形APC和等边三角形PBD，连接AD和 BC 相交于点 Q，（1）求证：ADBC（2）求DQB的度数（3）如图 2 所示，APC和PBD仍为等边三角形，但PA和PB不在同一条直线上，ADBC是否成立，DQB的度数与图 1 是否相等，请直接写出结论【答案】（1）见解析；（2）60；（3）成立，相等【分析】（1）根据等边三角形的性质得到 PA=PC，APC=60，PB=PD，BPD=60，于是得到APD=CPB，证得APDCPB，即可证明 AD=BC；（2）由APDCPB，再根据三角形的外角的性质即可求解；（2）根据等边三角形的性质得到 PA=PC，APC=60，PB=PD，BPD=60，于是得到APD=CPB，证得APDCPB，即可证明 AD=BC，再根据三角形的外角的性质即可求得AQC=60【详解】（1）APC 是等边三角形，更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC 数学更多见 QQ 群：391979252，微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue 微信号：AA-teacherPA=PC，APC=60，BDP 是等边三角形，PB=PD，BPD=60，APC=BPD，APD=CPB，在APD 与CPB 中，APPCAPDCPBPDPB，APDCPB(SAS)，AD=BC；（2）由（1）得：APDCPB，PAD=PCB，QAP+QAC+ACP=120，QCP+QAC+ACP=120，AQC=180-120=60；（3）AD=BC 成立，AQC=60，理由如下：APC 是等边三角形，PA=PC，APC=60，BDP 是等边三角形，PB=PD，BPD=60，APC=BPD，APD=CPB，在APD 与CPB 中，更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC 数学更多见 QQ 群：391979252，微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue 微信号：AA-teacherAPPCAPDCPBPDPB，APDCPB(SAS)，AD=BC；PAD=PCB，QAP+QAC+ACP=120，QCP+QAC+ACP=120，AQC=180-120=60【点睛】本题考查了等边三角形的性质，三角形内角和定理，全等三角形的判定与性质以及三角形的外角性质，正确证明两个三角形全等是解题的关键12B，C，D 三点在一条直线上，ABC 和ECD 是等边三角形求证：BE=AD【答案】证明见解析【分析】证简单的线段相等，可通过证线段所在的三角形全等来得出结论观察所求和已知条件，可证ACDBCE；这两个三角形中，已知的条件有：BC=AC，EC=CD，而ACD 和BCE 同为 60角的补角，由此可根据 SAS 证得两三角形全等，即可得证【详解】更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC 数学更多见 QQ 群：391979252，微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue 微信号：AA-teacher解：ABC 和ECD 是等边三角形，ACB=ECD=60，BC=AC，EC=CDACB+ACE=ECD+ACE，即BCE=ACD在BCE 和ACD 中，BCACBCEACDECCD BCEACD（SAS）BE=AD13如图，ABD 和BCE 都为等边三角形，连接 AE、CD求证：AEDC【答案】见解析【分析】先由ABD 和BCE 是等边三角形，可知 AB=BD，BE=BC，ABD=CBE，从而得到ABE=CBD，即可证明ABEDBC，从而得到结论【详解】解：证明：ABD 和BCE 都为等边三角形，更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC 数学更多见 QQ 群：391979252，微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue 微信号：AA-teacherAB=BD，BE=BC，ABD=CBE，ABE=CBD，ABEDBC（SAS），AE=DC【点睛】本题考查的是等边三角形的性质及全等三角形的判定与性质，根据题意判断出ABEDBC 是解答此题的关键14如图，C 为线段 AE 上一动点（不与点 A，E 重合），在 AE 同侧分别作正三角形 ABC 和正三角形 CDE（正三角形也叫等边三角形，它的三条边都相等，三个内角都等于 60），AD 与 BE 交于点 O，AD 与 BC交于点 P，BE 与 CD 交于点 Q，连结 PQ试说明：（1）AD=BE；（2）填空AOE=；（3）CP=CQ；【答案】（1）见解析；（2）120；（3）见解析【分析】（1）由于ABC 和CDE 是等边三角形，可知 AC=BC，CD=CE，ACB=DCE=60，从而证出ACDBCE，可推知 AD=BE；更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC 数学更多见 QQ 群：391979252，微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue 微信号：AA-teacher（2）由（1）推出CAD=CBE，利用三角形内角和定理可求得BOP=ACP=60，从而求得AOE 的度数；（3）由ACDBCE 得CBE=DAC，加之ACB=DCE=60，AC=BC，得到CQBCPA（ASA），从而证明 CP=CQ【详解】（1）ABC 和CDE 为等边三角形，AC=BC，CD=CE，BCA=DCE=60，ACD=BCE，在ACD 与BCE 中，ACBCACDBCECDCE，ACDBCE(SAS)，AD=BE；（2）ACDBCE，CAD=CBE，APC=BPO，BOP=ACP=60，AOE=18060=120，故答案为：120；（3）ACDBCE，CAD=CBE，ACB=DCE=60，更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC 数学更多见 QQ 群：391979252，微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue 微信号：AA-teacherBCQ=60，在CQB 和CPA 中，60CBQCAPBCACBCQACP ，CQBCPA（ASA），CP=CQ【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角的判定与性质，三角形的内角和定理，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题15如图 1，等边ABC 中，AO 是BAC 的角平分线，D 为 AO 上一点，以 CD 为一边且在 CD 下方作等边CDE，连结 BE（1）求证：ACDBCE；（2）图 2，延长 BE 至 Q，P 为 BQ 上一点，连结 CP，CQ 使 CPCQ5，若 BC8 时，求 PQ 的长【答案】（1）见解析；（2）6PQ【分析】（1）由题意易得ACBC，CDCE，60ACBDCE，然后根据题意可进行求证；更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC 数学更多见 QQ 群：391979252，微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue 微信号：AA-teacher（2）作CHBQ交BQ于H，则2PQHQ，由（1）易得30CBHCAO，然后根据勾股定理求解即可【详解】（1）ABC和CDE均为等边三角形，ACBC，CDCE，且60ACBDCE，60ACDDCBDCBBCE，ACDBCE，ACDBCEVV（2）作CHBQ交BQ于H，则2PQHQ，在RtBHC中，由已知和（1）得30CBHCAO，4CH，在RtCHQ中，2222543HQCQCH，26PQHQ【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定及勾股定理、含 30角的直角三角形，关键是根据题意得到三角形的全等，然后根据勾股定理及直角三角形的性质进行求解问题即可16如图，在ABC 和ADE 中，BAC=DAE=90，点 P 为射线 BD，CE 的交点（1）问题提出：如图 1，若 AD=AE，AB=ACBD 与 CE 的数量关系为；更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC 数学更多见 QQ 群：391979252，微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue 微信号：AA-teacherBPC 的度数为（2）猜想论证：如图 2，若ADE=ABC=30，则（1）中的结论是否成立？请说明理由如果不正确请写出正确结论（3）拓展延伸：在（1）的条件中，若 AB=3，AD=1，若把ADE 绕点 A 旋转，当EAC=90时，直接写出 PB 的长【答案】（1）相等，90；（2）结论不成立，3BDCE，结论成立；（3）3 105或6 105【分析】（1）依据等腰三角形的性质得到ABAC，ADAE，依据同角的余角相等得到DABCAE，然后依据“SAS”可证明ADBAEC，最后，依据全等三角形的性质可得到BDCE；由三角形内角和定理可求BPC的度数；（2）先判断出ADBAEC，即可得出结论；（3）分为点E在AB上和点E在AB的延长线上两种情况画出图形，然后再证明PEBAEC，最后依据相似三角形的性质进行证明即可【详解】解：（1）ABC和ADE是等腰直角三角形，90BACDAE，ABAC，ADAE，DABCAE45ABCACB()ADBAEC SAS更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC 数学更多见 QQ 群：391979252，微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue 微信号：AA-teacherBDCE，故答案为：相等；18018045()BPCABDABCBCPBCPACE 90BPC故答案为：90（2）（1）中结论不成立，3BDCE；结论成立，理由：在Rt ABC中，30ABC，3ABAC，在Rt ADE中，30ADE，3ADAE，ADAEABEC，90BACDAE，BADCAE，ADBAEC VVABDACE；=3BDADCEAE；18018030()BPCABDABCBCPBCPACE 90BPC（3）解：如图，当点E在AB上时，2BEABAE更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC 数学更多见 QQ 群：391979252，微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue 微信号：AA-teacher90EAC，22221310CEAEAC同（1）可证ADBAECDBAECA 又PEBAEC，PEBAECPBBEACCE2310PB3 105PB如图，当点E在BA延长线上时，4BEABAE90EAC，10CE更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC 数学更多见 QQ 群：391979252，微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue 微信号：AA-teacher同（1）可证ADBAECDBAECA BEPCEA，PEBAECPBBEACCE4310PB6 105PB综上所述，PB的长为3 105或6 105【点睛】本题是三角形综合题，主要考查的是旋转的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的性质和判定、相似三角形的性质和判定，证明得PEBAEC是解题的关键17如图所示，已知 AEAB，AFAC，AE=AB，AF=AC判断线段 EC 与 BF 数量关系和位置关系，并给予证明【答案】EC=BF，ECBF，理由详见解析更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC 数学更多见 QQ 群：391979252，微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue 微信号：AA-teacher【分析】先由条件可以得出EAC=BAE，再证明EACBAF 就可以得出 EC=BF，再利用角度之间的转化可得BMD=90，即可证明 ECBF【详解】解：EC=BF，ECBF证明如下：AEAB，AFAC，BAE=CAF=90，BAE+BAC=CAF+BAC，即EAC=BAF，在ABF 和AEC 中，AEABEACBAFAFAC，ABFAEC（SAS），EC=BF，AEC=ABF，AEAB，BAE=90，AEC+ADE=90，ADE=BDM（对顶角相等），ABF+BDM=90，更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客;微信公众号：ABC 数学更多见 QQ 群：391979252，微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue 微信号：AA-teacher在BDM 中，BMD=180-ABF-BDM=180-90=90，ECBF【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质的运用，垂直的判定的运用解答时注意证明三角形全等的手拉手模型18如图，B，C，E 三点在一条直线上，ABC 和DCE 均为等边三角形，BD 与 AC 交于点 M，AE 与 CD交于点 N（1）求证：AEBD；（2）连接 MN，求证：MNBE；（3）若把DCE 绕点 C 顺时针旋转一个角度，（1）中的结论还成立吗？说明理由【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）成立，理由见解析【分析】（1）根据等边三角形边长相等的性质和各内角为60的性质可求得BCDACE，根据全等三角形对应边相等的性质即可求得AEBD（2）CMN是等边三角形，由BCDACE 可知CBMCAN，根据ASA可证明BCMACN，得到CMCN，又60MCN，可知CMN是等边三角形，得到60CMN，由60ACB，得到CMNACB，所以/BCMN（