高中数学学案：3.5二元一次不等式组与简单的线性规划问题3.5.1二元一次不等式组所表示的平面区域.pdf

1 3.5.13.5.1二元一次不等式二元一次不等式(组组)所表示的平面区域所表示的平面区域 课堂探究课堂探究 二元一次不等式表示的平面区域的判定方法二元一次不等式表示的平面区域的判定方法 剖析：剖析：方法一：第一步，直线定边界，画出直线AxByC0，当不等式中含有等号时，直线画成实线，否则画成虚线 第二步，特殊点定平面区域，在坐标平面内取一个特殊点，当C0 时，常取原点(0，0)若原点满足不等式，则原点所在的一侧即为不等式表示的平面区域；若原点不满足不等式，则原点不在的一侧即为不等式表示的平面区域当C0 时，可考虑把点(1，0)或(0，1)作为测试点 口诀如下：直线定界，特殊点定域 方法二：AxByC 0，当B 0 时表示区域为直线上方区域；B 0 时为直线下方区域 AxByC 0 时表示区域为直线下方区域，当B 0；P(x1，y1)，Q(x2，y2)在直线AxByC0 异侧(Ax1By1C)(Ax2By2C)0；(2)x2y40 分析分析：本题考查二元一次不等式表示的平面区域问题，先画出直线，再用特殊点确定不等式表示的平面区域 解：解：(1)画出直线l1：xy10(虚线)，取原点O(0，0)代入xy1，得 1 0，不等式成立 所以O(0，0)在xy1 0 表示的平面区域内，故xy1 0 表示的平面区域就是直线l1右下方的区域 画出区域如图(1)所示的阴影部分(不包括直线l1上的点)(2)画出直线l2：x2y40(实线)取原点O(0，0)代入x2y4，得4 0(或AxByC 0)表示的平面区域一定是直线AxByC0 的某一侧要断定究竟是哪一侧，可以取直线AxByC0 某侧的一点，将它的坐标代入不等式，如果不等式成立，那么这一侧就是该不等式表示的平面区域；如果不等式不成立，那么直线的另一侧就是该不等式表示的平面区域如果直线不通过原点，一般取原点(0，0)来进行判断 题型二题型二 二元一次不等式组表示平面区域二元一次不等式组表示平面区域【例 2】画出不等式(x2y1)(xy4)0 表示的平面区域 分析分析：此不等式为二元二次不等式，看似无从下手，注意到不等号右边为 0，左边为两因式乘积，易联想到利用“两数相乘，异号得负”的法则，将其转化为两个二元一次不等式组 解：解：此不等式可转化为Error!Error!或Error!Error!分别画出这两个不等式组所表示的平面区域，这两个平面区域的并集即为所求的平面区域，如图所示(阴影部分)反思反思 (1)画平面区域时作图要尽量准确，特别是画边界；(2)非二元一次不等式表示的平面区域问题往往等价转化为二元一次不等式(组)表示的平面区域问题 题型三题型三 根据平面区域写出不等式根据平面区域写出不等式(组组)【例 3】将下面图中的平面区域(阴影部分)用不等式表示出来 分析：分析：观察图形，先写出边界直线，并确定虚实，然后写出不等式 3 解解：(1)易知直线方程为x1，图中阴影部分的点的横坐标都小于1，故不等式为x1(2)由截距式得直线方程为x2y11，即y12x1 因为 0 1201，且原点在阴影部分中，故阴影部分可用不等式y 12x1，即x2y2 01 且原点在阴影部分中，故阴影部分可用不等式y x1，即xy1 0 表示 反思反思 根据平面区域写二元一次不等式的方法与步骤 第一步：确定直线方程，根据平面区域(阴影部分)的边界与两坐标轴的交点确定直线方程；第二步：在阴影部分中取特殊点确定不等号的方向，写出对应平面区域的二元一次不等式 题型四题型四 求平面区域内的整点坐标求平面区域内的整点坐标【例 4】不等式组Error!Error!表示的平面区域内的整点(横坐标和纵坐标都是整数的点)共有_个 解析：解析：画出不等式组表示的平面区域，如图所示(阴影部分，不含 x 轴和 y 轴)从图形可以看出区域内点的横坐标在区间(0，3)内，取 x=1，2，当 x=1 时，区域内的整点有(1，1)，(1，2)当 x=2 时，区域内的整点有(2，1)共 3 个 答案：答案：3 反思反思 求不等式组所表示的平面区域内的整点坐标常有两种方法：先确定区域内横坐标的范围，确定x的所有整数值，通过x的值再确定y相应的整数值；网格法求整点，此法关键是作图要准确 题型五题型五 易错辨析易错辨析【例 5】画出不等式组Error!Error!表示的平面区域 错解：错解：如图所示的阴影部分 4 错因分析错因分析：不等式 2xy60 表示的平面区域是直线 2xy60 及其右上方的部分，将(0，0)代入 2xy6，得6 0，所以原点不在不等式表示的平面区域内 正解：正解：如图所示的阴影部分