高中数学：1.1.1平面直角坐标系与曲线方程.pdf

1 第一章DIYIZHANG坐标系 1平面直角坐标系平面直角坐标系 1.1平面直角坐标系与曲线方程 课后篇巩固探究巩固探究 A 组 1.已知平行四边形 ABCD 的三个顶点 A,B,C 的坐标分别为(-1,2),(3,0),(5,1),则点 D 的坐标是()A.(9,-1)B.(-3,1)C.(1,3)D.(2,2)解析:设点 D 的坐标为(x,y).则解得 故点 D 的坐标为(1,3).答案:C 2.已知ABC 中,A(4,-3),B(5,-2),重心 G(2,-1),则点 C 的坐标为()A.(-3,2)B.(3,-2)C.(2,-3)D.(-2,3)解析:设点 C(x,y),线段 AB 的中点 D.依题意得=2,即(x-2,y+1)=2.得解得 故 C(-3,2)为所求.答案:A 3.方程(x2-4)2+(y2-4)2=0 表示的图形是()A.两条直线 B.四条直线 C.两个点 D.四个点 解析:由方程得解得故选 D.2 答案:D 4.将圆 x2+y2-2x-4y+1=0 平分的直线是()A.x+y-1=0 B.x+y+3=0 C.x-y+1=0 D.x-y+3=0 解析:因为(x-1)2+(y-2)2=4,所以圆心是(1,2),将圆心坐标代入各选项验证知选 C.答案:C 5.平面上有三个点 A(-2,y),B,C(x,y),若,则动点 C 的轨迹方程是.解析:-(-2,y)=(x,y)-,=0.=0,即 y2=8x.动点 C 的轨迹方程为 y2=8x.答案:y2=8x 6.在 平 面 直 角 坐 标 系 中,已 知 点 A 为 平 面 内 的 一 个 动 点,点 B 的 坐 标 为(2,0).若=|(O 为坐标原点),则动点 A 的轨迹为.解析:设动点 A 的坐标为(x,y),则=(x,y),=(x-2,y),|=2.代入已知条件得 x(x-2)+y2=2,即(x-1)2+y2=3,它表示一个圆.答案:圆 7.已知真命题:若点 A 为O 内一定点,点 B 为O 上一动点,线段 AB 的垂直平分线交直线OB 于点 P,则点 P 的轨迹是以点 O,A 为焦点,OB 长为长轴长的椭圆.类比此命题,写出另一个真命题:若点 A 为O 外一定点,点 B 为O 上一动点,线段 AB 的垂直平分线交直线 OB 于点P,则点 P 的轨迹是.解析:如图,连接 AP,因为 P 是线段 AB 的垂直平分线上一点,所以|PA|=|PB|.因此|PA|-|PO|=|PB|-|PO|=|OB|=R=定值,其中 R 为O 的半径.由于点 A 在圆外,故|PA|-|PO|=|OB|=R3)D.=1(x4)解析:如图,|AD|=|AE|=8,|BF|=|BE|=2,|CD|=|CF|,所以|CA|-|CB|=|AD|-|BF|=8-2=6.根据双曲线定义,所求轨迹是以点 A,B 为焦点,实轴长为 6 的双曲线的右支,方程为=1(x3).答案:C 2.已知椭圆的焦点是 F1,F2,点 P 是椭圆上的一个动点.若点 M 是线段 F1P 的中点,则动点 M的轨迹是()A.圆 B.椭圆 C.双曲线的一支 D.抛物线 解析:如图,设椭圆的方程为=1(ab0).则|PF1|+|PF2|=2a,连接 MO,由三角形的中位线可得,|F1M|+|MO|=a(a|F1O|),则动点 M的轨迹是以点 F1,O 为焦点的椭圆.故选 B.答案:B 3.设圆(x+1)2+y2=25 的圆心为 C,点 A(1,0)是圆内一定点,Q 为圆周上任一点.线段 AQ 的垂直平分线与 CQ 的连线交于点 M,则点 M 的轨迹方程为()A.=1 B.=1 C.=1 D.=1 5 解析:点 M 为 AQ 垂直平分线上一点,|AM|=|MQ|,|MC|+|MA|=|MC|+|MQ|=|CQ|=5|CA|=2,故点 M 的轨迹为椭圆.a=,c=1,则 b2=a2-c2=,椭圆的标准方程为=1.答案:D 4.已知两条直线 l1为 2x-3y+2=0,l2为 3x-2y+3=0,有一动圆(圆心和半径都动)与 l1,l2都相交,且 l1,l2被圆截得的弦长分别是定值 26 和 24,则动圆圆心的轨迹方程是.解析:设动圆的圆心为 M(x,y),半径为 r,点 M 到直线 l1,l2的距离分别为 d1和 d2.由弦心距、半径、半弦长间的关系得,消去 r 得动点 M 满足的几何关系为=25,即=25.化简得(x+1)2-y2=65,此即为所求的动圆圆心的轨迹方程.答案:(x+1)2-y2=65 5.已知双曲线-y2=1 的左、右顶点分别为 A1,A2,点 P(x1,y1),Q(x1,-y1)是双曲线上不同的两个动点.(1)求直线 A1P 与 A2Q 交点的轨迹 E 的方程;(2)若过点 H(0,h)(h1)的两条直线 l1和 l2与轨迹 E 都只有一个交点,且 l1l2,求 h 的值.解(1)由题设知|x1|,A1(-,0),A2(,0),则直线 A1P 的方程为 y=(x+),直线 A2Q 的方程为 y=(x-).6 联立解得交点坐标为 x=,y=,即 x1=,y1=,则 x0,|x|1),联立+y2=1 与 y=kx+h(h1),得(1+2k2)x2+4khx+2h2-2=0.令=16k2h2-4(1+2k2)(2h2-2)=0,得 h2-1-2k2=0,解得 k1=,k2=-.由于 l1l2,则 k1k2=-=-1,故 h=.过点 A1,A2分别引直线 l1,l2通过 y 轴上的点 H(0,h),且使 l1l2,因此 A1HA2H,由=-1,得 h=.此时,l1,l2的方程分别为 y=x+与 y=-x+,它们与轨迹 E 分别仅有一个交点.所以,符合条件的 h 的值为.6.学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验.设计方案如图:航天器运行(按顺时针7 方向)的轨迹方程为=1,变轨(即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线)后返回的轨迹是以 y 轴为对称轴、M为顶点的抛物线的实线部分,降落点为 D(8,0).观测点 A(4,0),B(6,0)同时跟踪航天器.(1)求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程.(2)试问:当航天器在 x 轴上方时,观测点 A,B 测得离航天器的距离分别为多少时,应向航天器发出变轨指令?解(1)由题意,可设曲线方程为 y=ax2+,将点 D(8,0)的坐标代入,得 0=a64+,解得 a=-.故所求曲线方程为 y=-x2+.(2)设变轨点为 C(x,y).根据题意可知 消去 x 得 4y2-7y-36=0,解得 y=4 或 y=-(舍去),于是 x=6 或 x=-6(舍去),故点 C 的坐标为(6,4).应用两点间距离公式计算,得|AC|=2,|BC|=4.故当观测点 A,B 测得离航天器的距离分别为 2,4 时,应向航天器发出变轨指令.7.导学号 73144003设椭圆方程为 x2+=1,过点 M(0,1)的直线 l 交椭圆于 A,B两点,O 为坐标原点,点 P 满足),点 N 的坐标为,当直线 l 绕点 M 旋转时,求:8(1)动点 P 的轨迹方程;(2)|的最大值和最小值.解(1)直线 l 过定点 M(0,1),设其斜率为 k,则 l 的方程为 y=kx+1.设 A(x1,y1),B(x2,y2),由题意知,A,B 的坐标满足方程组 消去 y 得(4+k2)x2+2kx-3=0.则=4k2+12(4+k2)0,x1+x2=-,x1x2=.由),得点 P 是 AB 的中点.设 P(x,y),则 消去 k 得 4x2+y2-y=0.当斜率 k 不存在时,AB 的中点是坐标原点,也满足这个方程,故点 P 的轨迹方程为4x2+y2-y=0.(2)由(1)知 4x2+,得-x.而|2=-3,故当 x=-时,|取得最大值,当 x=时,|取得最小值.9