高中数学学案：3.2.1函数模型及其应用课堂导学案.pdf

1 3.2.13.2.1 函数模型及其应用函数模型及其应用 课堂导学课堂导学 三点剖析三点剖析 一、常见函数模型【例 1】(一次函数模型)某商店出售茶壶和茶杯,茶壶每个定价 20 元,茶杯每个定价 5 元,该店推出两种优惠办法:(1)买一个茶壶赠送一个茶杯;(2)按总价的 92%付款.某顾客需购茶壶 4 个,茶杯若干(不少于 4 个),若需茶杯 x 个,付款数为 y(元),试分别建立两种优惠办法中 y 与 x 的函数关系,并讨论顾客选择哪种优惠方法更合算.思路分析:本题考查的是建立一次函数模型,并应用一次函数模型解决实际问题的能力.第一种优惠方法中,实际付款是 4 个茶壶的钱和(x-4)个茶杯的钱.第二种优惠方法只需将货款总数乘以 92%,而后再作差比较二者的大小即可.解:由优惠办法(1)可得函数关系式:y1=204+5(x-4)=5x+60(x4),由优惠办法(2)可得函数关系式:y2=(5x+420)92%=4.6x+73.6.比较:y1-y2=0.4x-13.6(x4).当 0.4x-13.60,即 x34 时,y1y2,即当购买茶杯个数大于 34 时,优惠办法(2)合算.当 0.4x-13.6=0,即 x=34 时,两种优惠办法一样合算.当 0.4x-13.60,即 4x34 时,y1y2.优惠办法(1)合算.温馨提示温馨提示 1.建立函数模型后,如果结论不能确定,应注意对其进行分类讨论.2.用数学思想、方法、知识解决实际问题的过程叫作数学建模.函数模型是应用最广泛的数学模型之一.许多实际问题一旦认定是函数关系，就可以通过研究函数的性质把握问题并解决问题.读题是解决实际问题的重要环节.一般的实际问题的叙述都比较长，需要逐字逐句地把问题看懂，这是建立数学模型的前提.二、利用函数模型分析问题【例 2】(指数函数模型)按复利计算利息的一种储蓄,设本金为 a 元,每期利率为 r,存期为x,写出本金和利息总和 y(元)与 x 的函数表达式.如果存入本金 10 000 元,每期 1.98%,试计算 5 期后,本息总和是多少?思路分析:本题考查的是与我们生活中息息相关的储蓄问题,其数学模型是指数函数.由题意知,每期到期后,其本利总和是前一期的(1+r)倍,所以可从第一期开始以此类推.解:本金为 a 元,1 期后本息和为 a+ar=a(1+r);2 期后本息和为 a(1+r)+a(1+r)r=a(1+r)2;3 期后本息和为 a(1+r)2+a(1+r)2r=a(1+r)3;x 期后本息和为 y=a(1+r)x.将 a=10 000,x=5,r=1.98%代入上式得，y=10 000(1+1.98%)5=11 029.99(元).温馨提示温馨提示 在实际问题中,常遇到有关平均增长率的问题,若基数为 a,平均增长率为 p,则总量 y 与2 时间 x 的关系式为 y=a(1+p)x,此为指数型函数.各个击破各个击破 类题演练类题演练 1 1(二次函数模型)某旅店有客房 300 间,每间日房租为 20 元,每天客满.旅店欲提高档次,并提高租金,如果每间客房每日增加 2 元,客房出租数就会减少 10 间.若不考虑其他因素,旅店将租金定为多少时,每天客房的总收入最高?解析：设定租金 x 元，总收入最高，则总收入 y=x(300-10)=-5(x-40)2-1 600，当 x=40 时，y 最大且最大值为 51 600=8 000(元).答案：40 元 变式提升变式提升 1 1 某工厂生产某种产品，固定成本为 20 000 元，每生产一件产品成本增加 100 元，已知总收益 R（总收益指工厂出售产品的全部收入，它是成本与总利润的和，单位：元）是年产量（单位：件）的函数.满足关系式：R=f(Q)=（1）将总利润 L（单位：元）表示为 Q 的函数;（2）求每生产多少件产品时、总利润最大？此时总利润是多少？解析：（1）根据题意，总成本应为 C=g(Q)=20 000+100Q,从而可得总利润函数为 L=(Q)=即 L=（2）当 0Q400 时,L=-（Q-300）2-20 000+45 000=-（Q-300）2+25 000.此时当 Q=300 时，L最大=25 000；当 Q400 时，L=60 000-100Q60 000-100400=20 00025 000；所以，当 Q=300 时，L最大=25 000.答：每年生产 300 件产品时，总利润最大，最大利润为 25 000 元.类题演练类题演练 2 2 某企业计划发行企业债券，每张债券现值 500 元，按年利率 6.5%的复利计息，问多少年后每张债券一次偿还本利和 1 000 元？（参考 lg2=0.301 0,lg1.065=0.027 4）.解析：设 n 年后每张债券一次偿还本利和 1 000 元，由 1 000=500（1+6.5%）n，解得n=lg2/lg1.06511.答：11 年后每张债券应一次偿还本利和 1 000 元.变式提升变式提升 2 2 220 x.400,80000,4000,214002QQQQ,400),10020000(80000,4000),10020000(214002QQQQQQ.400,10060000,4000,20000300212QQQQQ21213 某城市现有人口总数为 100 万人，如果年自然增长率为 1.2%,试解答下列问题：（1）写出该城市人口总数 y（万人）与年份 x（年）的函数关系；（2）计算 10 年以后该城市人口总数（精确到 0.1 万人）.解析：（1）1 年后该城市人口总数为 y=100+1001.2%=100(1+1.2%).2 年后该城市人口总数为 y=100（1+1.2%）+100（1+1.2%）1.2%=100（1+1.2%）2.3 年后该城市人口总数为 y=100（1+1.2%）2+100（1+1.2%）21.2%=100（1+1.2%）3.x 年后该城市人口总数为 y=100（1+1.2%）x.（2）10 年后该城市人口总数为 100（1+1.2%）10112.7（万人）.