高中数学：2.3参数方程化成普通方程.pdf

1 3参数方程化成普通方程参数方程化成普通方程 课后篇巩固探究巩固探究 A 组 1.曲线(为参数)的一条对称轴的方程为()A.y=0 B.x+y=0 C.x-y=0 D.2x+y=0 解析:曲线(为参数)的普通方程为(x+1)2+(y-2)2=4,圆心为(-1,2),过圆心的直线都是圆的对称轴,故选 D.答案:D 2.下列各点在方程(为参数)所表示的曲线上的是()A.(2,7)B.C.D.(1,0)解析:当 x=时,=,2=,y=cos 2=cos,故选 C.答案:C 3.若已知曲线(为参数),则点(x,y)的轨迹是()A.直线 x+2y-2=0 B.以(2,0)为端点的射线 C.圆(x-1)2+y2=1 D.以(2,0)和(0,1)为端点的线段 解析:x=1+cos 2=1+(1-2sin2)=2-2y,x+2y-2=0.又x=1+cos 20,2,y=sin20,1.点(x,y)的轨迹是以(2,0)和(0,1)为端点的线段.答案:D 4.参数方程(为参数)的普通方程为()A.y2-x2=1 B.x2-y2=1 C.y2-x2=1(|x|)D.x2-y2=1(|x|)解析:x2=1+sin,y2=2+sin,y2-x2=1.又 x=sin+cos sin-,即|x|.故应选 C.答案:C 5.导学号 73144037若 P(x,y)是曲线(02,是参数)上的动点,则 的取值范围是()A.B.C.D.解析:曲线 C:是以(-2,0)为圆心,1 为半径的圆,即(x+2)2+y2=1.设=k,则 y=kx.当直线 y=kx 与圆相切时,k 取得最小值与最大值.=1,解得 k2=.故 的取值范围是.答案:B 6.参数方程(为参数)化成普通方程为.解析:(为参数),cos2+sin2=1,2 x2+(y-1)2=1.答案:x2+(y-1)2=1 7.已知在平面直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为(参数 tR),圆 C 的参数方程为(参数 0,2),则圆 C 的圆心坐标为,圆心到直线 l 的距离为.解析:消参数得到圆的方程为 x2+(y-2)2=4,得圆心坐标为(0,2).消参数后直线方程为 x+y=6,则圆心到直线的距离为=2.答案:(0,2)2 8.已 知 直 线 l:3x+4y-12=0 与 圆 C:(为 参 数),则 它 们 的 公 共 点 个 数为.解析:圆的方程可化为(x+1)2+(y-2)2=4,其圆心为 C(-1,2),半径为 2.由于圆心到直线 l 的距离 d=2,故直线 l 与圆 C 的公共点个数为 2.答案:2 9.把下列参数方程化为普通方程,并说明它们各表示什么曲线.(1)(t 为参数);(2)(t0,t 为参数).解(1)由 x=1-1,得=1-x,代入 y=1+2,得到 y=3-2x.又因为 x1,所以参数方程等价于普通方程 y=3-2x(x1).这是以(1,1)为端点的一条射线(包括端点).(2)由得 t=y-1,代入中,得 x=-4(y-1)2(y1),即(y-1)2=-x(y1).方程表示的曲线是顶点为(0,1),对称轴平行于 x 轴,开口向左的抛物线的一部分.10.导学号 73144038在直角坐标系 xOy 中,直线 l 的方程为 x-y+4=0,曲线 C 的参数方程为(为参数).(1)已知在极坐标系(与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位,且以原点 O 为极点,以 x 轴正半轴为极轴)中,点 P 的极坐标为,判断点 P 与直线 l 的位置关系;(2)设点 Q 是曲线 C 上的一个动点,求它到直线 l 的距离的最小值.解(1)把极坐标系下的点 P化为直角坐标,得点(0,4).因为点 P 的直角坐标(0,4)满足直线 l的方程 x-y+4=0,所以点 P 在直线 l 上.(2)因为点 Q 在曲线 C 上,故可设点 Q 的坐标为(cos,sin),从而点 Q 到直线 l 的距离为 d=cos+2,当 cos=-1 时,d 取得最小值,且最小值为.B 组 1.椭圆(为参数)的焦点坐标为()A.(-2,0),(2,0)B.(0,-2),(0,2)C.(0,-4),(0,4)D.(-4,0),(4,0)解析:利用平方关系化为普通方程=1,c2=16,c=4,焦点在 x 轴上,所以焦点为(-4,0),(4,0),3 故选 D.答案:D 2.以平面直角坐标系的原点为极点,x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,两种坐标系中取相同的长度单位,已知直线 l 的参数方程是(t 为参数),圆 C 的极坐标方程是=4cos,则直线 l 被圆 C 截得的弦长为()A.B.2 C.D.2 解析:由题意得直线 l 的普通方程为 x-y-4=0,圆 C 的直角坐标方程为(x-2)2+y2=4,则圆心到直线 l 的距离 d=,故弦长=2=2.答案:D 3.参数方程(为参数,且 02)表示()A.抛物线的一部分,这部分过点 B.双曲线的一支,这支过点 C.双曲线的一支,这支过点 D.抛物线的一部分,这部分过点 解析:由参数方程得 x2=cos2+sin2+2cos sin=1+sin,故 y=x2,且x0,表示抛物线的一部分.答案:A 4.方程为(为参数),以原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线 l 的极坐标方程为 sin=1,则直线 l 与圆 C 交点的直角坐标为.解析:圆 C 的直角坐标方程为 x2+(y-1)2=1,直线 l 的直角坐标方程为 y=1.所以直线 l 与圆 C 的交点的直角坐标为(-1,1),(1,1).答案:(-1,1),(1,1)5.在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 C1和 C2的参数方程分别为:C1:(t 为参数)和 C2:(为参数),它们的交点坐标为.解 析:曲 线 C1化 为 普 通 方 程 是 x=y2(y0),曲 线 C2化 为 普 通 方 程 是 x2+y2=2,由因此两曲线的交点坐标为(1,1).答案:(1,1)6.两动直线 3x+2y=6t 与 3tx-2ty=6 相交于点 P,若取 t 为参数,则点 P 轨迹的参数方程为.解析:两方程联立得t+得 x=,t-得 y=.故所求点 P 的轨迹的参数方程为(t 为参数,t0).答案:(t 为参数,t0)7.已知曲线 C1为(t 为参数),C2为(为参数).(1)化 C1,C2的方程为普通方程,并说明它们分别表示什么曲线.(2)若 C1上的点 P 对应的参数为 t=,Q 为 C2上的动点,求 PQ 中点 M 到直线 C3:(t为参数)距离的最小值.解(1)C1:(x+4)2+(y-3)2=1,C2:=1.C1为圆心是(-4,3),半径是 1 的圆.C2为中心是坐标原点,焦点在 x 轴上,长半轴长是 8,短半轴长是 3 的椭圆.(2)当 t=时,P(-4,4),Q(8cos,3sin),故 M.C3为直线 x-2y-7=0,点 M 到 C3的距离 d=|4cos-3sin-13|.4 从而当 cos=,sin=-时,d 取得最小值.8.导 学 号 73144039如 图,设 矩 形 ABCD 的 顶 点 C 为(4,4),点 A 在 圆x2+y2=9(x0,y0)上移动,且 AB,AD 两边分别平行于 x 轴、y 轴,求矩形 ABCD 面积的最小值及对应点 A 的坐标.解根据圆的参数方程,可设 A(3cos,3sin)(090),则|AB|=4-3cos,|AD|=4-3sin.S矩形 ABCD=|AB|AD|=(4-3cos)(4-3sin)=16-12(cos+sin)+9cos sin.令 t=cos+sin(1t),则 2cos sin=t2-1.S矩形 ABCD=16-12t+(t2-1)=t2-12t+.故 t=时,S矩形 ABCD取得最小值.此时 解得 故 A或 A.