高中数学学案：1.2.1函数及其表示课堂导学案.pdf

1 1.2.11.2.1 函数及其表示函数及其表示 课堂导学课堂导学 三点剖析三点剖析 一、函数的概念【例 1】下列对应是从集合 M 到集合 N 的函数的是（）A.M=R,N=R,f:xy=B.M=R,N=R+(正实数组成的集合)，f:xy=C.M=x|x0,N=R,f:xy2=x D.M=R,N=y|y0,f:xy=x2 思路分析：本题主要考查函数的定义.解：A.对于 M 中的元素-1，N 中没有元素与之对应，故该对应不是从 M 到 N 的函数.B.对于 M中的元素-1，N 中没有元素与之对应，该对应 f:MN 不是函数.C.对于 M 中的任一元素如 x=4，通过对应法则 f:xy2=x 得到 N 中有两个元素2 与之对应，故 f:xy2=x 不是从 M 到 N 的函数.答案：D 温馨提示温馨提示 判断一个对应法则是否构成函数，关键是看给出定义域内任一个值，通过给出的对应法则，y 是否有且只有一个元素与之对应.【例 2】下列四组函数中，有相同图象的一组是（）A.y=x-1,y=B.y=,y=C.y=2,y=D.y=1,y=x0 解析：y=x-1 与 y=|x-1|的对应法则不同；y=的定义域为1,+)，y=的定义域为(1,+)，两函数的定义域不同；y=1 的定义域为 R，y=x0的定义域为(-,0)(0,+)，两函数定义域不同；y=2 与 y=是两相等的函数，所以图象相同.选 C.答案：C 温馨提示温馨提示 1.定义域、对应关系、值域分别相同的函数有相同的图象，三要素中只要有一项不同，两个函数就不相等.由于值域由定义域与对应关系所确定，所以判断函数是否相等，只要判断定义域与对应关系是否相同即可.2.判断对应法则是否相同，可以化简以后再判断，但是求函数的定义域必须通过原函数解析式去求.11xx2)1(x1x11xx24222xx2)1(x1x11xx24222xx2 二、求函数解析式、定义域【例 3】如图，有一块半径为 R 的半圆形钢板，计划剪裁成等腰梯形 ABCD 的形状，其下底 AB是O 的直径，上底 CD 的端点在圆周上，梯形周长 y 是否是腰长 x 的函数？如果是，写出函数关系式，并求出定义域.思路分析：判定两个变量是否构成函数，关键看两个变量之间的对应关系是否满足函数定义.该题中的每一个腰长都能对应唯一的周长值，因此周长 y 是腰长 x 的函数.若要用腰长表示周长的关系式，应知等腰梯形各边长，下底长已知为 2R，两腰长为 2x,因此只需用已知量(半径 R)和腰长 x 把上底表示出来，即可写出周长与腰长的函数关系式.解：由题意可知，每一个腰长 x 都能对应唯一的周长值 y，因此周长 y 是腰长 x 的函数.如上图，AB=2R，C、D 在O 的半圆周上，设腰长 AD=BC=x,作 DEAE，垂足为 E，连结BD，那么ADB 是直角，由此 RtADERtABD.AD2=AEAB,即 AE=.CD=AB-2AE=2R-.周长 y 满足关系式 y=2R+2x+(2R-)=-+2x+4R，即周长 y 和腰长 x 间的函数关系式 y=-+2x+4R.ABCD 是圆内接梯形，AD0，AE0，CD0，即解不等式组，得函数 y的定义域为x|0 xR.温馨提示温馨提示 该题是实际应用问题，解题过程是从实际问题出发，利用函数概念的内涵，判断是否构成函数关系，进而引进数学符号，建立函数关系式，再研究函数关系式的定义域，并结合问题的实际意义作出回答.这个过程实际上就是建立数学模型的最简单的情形.【例 4】求下列函数的定义域.(1)y=;(2)y=;(3)y=+.Rx22Rx2Rx2Rx2Rx2.02,02,022RxRRxx222xx21xx31xx4x3 思路分析：具体函数即有具体解析式的函数的定义域是求使解析式有意义的 x 取值集合，其求法通常是转化为求不等式组的解集，实际问题还要注意符合实际意义.解：要使函数解析式有意义，(1)0或2 或 x-2.所以函数定义域为x|x2 或 x0,解得 x0 且 x,即函数 y=-(2+)x2+lx 的定义域是 0 x.变式提升变式提升 3 3 如右图所示，等腰梯形 ABCD 的两底分别为 AD=2，BC=1，BAD=45,直线 MNAD 交 AD 于M，交折线 ABCD 位于 N，记 AM=x,试将梯形 ABCD 于直线 MN 左侧的面积 y 表示为 x 的函数，并写出函数的定义域和值域，画出函数的图象.解：过 B、C 分别作 AD 的垂线，垂足分别为 H 和 G，则 AH=，AG=，当 M 位于 H 左侧时，AM=x,MN=x.y=SAMN=xx=x2(0 x).当 M 位于 H、G 之间时，y=AHBH+HMMN =+（x-）=x-（x）.当 M 位于 G、D 之间时，y=S梯形 ABCD-SMDN =（2+1）-（2-x）(2-x)=-x2+2x-(x2).所求函数的关系式为 2l222x2l222l22l22l2123212121212121212121218121232121212145237 函数的图象如右图所示，函数的定义域为0，2，函数的值域为0，.类题演练类题演练 4 4 求下列函数的定义域：（1）y=;(2)y=+.解：（1）令 故函数的定义域为 x|x0 且 x-1.(2)令 故函数的定义域为 x|-x且 x.变式提升变式提升 4 4(1)若函数 f(x)的定义域是0,1，则函数 f(2x)+f(x+)的定义域为_.解析：此类函数没有具体的解析式，由 f(x)的定义域已知,那么 f(2x)中的 2x 与 f(x+)中的 x+处在自变量位置上就要满足 f(x)的条件要求.f(x)的定义域是0,1，f(2x)+f(x+)中的 x 必须满足.223,45221,2321,8121,210,2122xxxxxxx43xxx|)1(03231x25x.0,1|,10|,01xxxxxxxx.55,305,0322xxxx553323232328 0 x.因此所求函数定义域为0,.答案：0,(2)已知函数 f(2x-1)的定义域为0,1），求 f(1-3x)的定义域.解析：f(2x-1)的定义域为0,1，即 0 x1,-12x-11.f(x)的定义域为-1，1，即-11-3x1,0 x.故函数 f(1-3x)的定义域为（0，）.类题演练类题演练 5 5 已知 f(x)=(xR 且 x-1),g(x)=x2+2(xR).(1)求 f(2),g(2)的值;（2）求 fg(2)的值；（3）求 fg(x)的解析式.解：(1)f(2)=,g(2)=22+2=6.(2)fg(2)=f(6)=.(3)fg(x)=f(x2+2)=.变式提升变式提升 5 5(1)已知 f(x)=求 ff()=_.解析：fg()=f(1)=0.答案：0 (2)已知：f(x)=2x+a,g(x)=(x2+3),若 gf(x)=x2+x+1,求 a 的值.解析：gf(x)=g(2x+a)=(2x+a)2+3 =x2+ax+(a2+3)，又gf(x)=x2+x+1，a=1.3132,210.1320,120 xxxx3131313232x112113161171)2(112 x312x为有理数为无理数xx,0,11010414141,1)3(41,12aa9 类题演练类题演练 6 6 已知函数 y=x2+2.(1)求 xx|x|2,xZ时的函数的值域;（2）x-1,2时的函数的值域.解析：（1）2，3，6.（2）由函数图象可得 ymin=f(0)=2,ymax=f(2)=6.所求值域为2，6.答案：（1）2，3，6 （2）2，6 变式提升变式提升 6 6 求函数 y=x2-4x+5 在 xm,6时的值域.解析：（1）当 2m6 时，其图象如右图所示,由二次函数的性质可得 ymin=f(m)=m2-4m+5.ymax=f(6)=62-46+5=17.原函数的值域为m2-4m+5,17.(2)当-2m2 时，f(x)min=1,f(x)max=f(6)=17,值域为1，17.(3)当 m-2 时，f(x)min=f(2)=1,f(x)max=f(m)=m2-4m+5,其值域为1，m2-4m+5.