高中数学学案：1.1正弦定理和余弦定理1.1.2余弦定理课堂探究学案.pdf

1 1.1.21.1.2余弦定理余弦定理 课堂探究课堂探究 一、三角形中的四类基本问题一、三角形中的四类基本问题 剖析：剖析：解三角形的问题可以分为以下四类：(1)已知三角形的两边和其中一边的对角，解三角形 此种情况的基本解法是先由正弦定理求出另一条边所对的角，用三角形的内角和定理求出第三个角，再用正弦定理求出第三边，注意判断解的个数(2)已知三角形的两角和任一边，解三角形 此种情况的基本解法是若所给边是已知角的对边时，可由正弦定理求另一边，再由三角形内角和定理求出第三个角，再由正弦定理求第三边若所给边不是已知角的对边时，先由三角形内角和定理求第三个角，再由正弦定理求另外两边(3)已知两边和它们的夹角，解三角形 此种情况的基本解法是先用余弦定理求第三边，再用正弦定理或余弦定理求另一角，最后用三角形内角和定理求第三个角(4)已知三角形的三边，解三角形 此种情况的基本解法是先用余弦定理求出一个角，再用正弦定理或余弦定理求出另一个角，最后用三角形内角和定理求出第三个角 二、教材中的二、教材中的“？”在ABC中，令c c，b b，a a，你能通过计算|a a|2aaa a证明余弦定理吗？剖析剖析：如图所示，|a a|2a aa aa a2()()22|cos Ab b2c c22bcbccos A，即a2b2c22bccos A 同理可证b2a2c22accos B，c2a2b22abcos C 知识拓展：知识拓展：除了向量法和几何法来证明余弦定理外，我们还可以用坐标法或正弦定理来解决(1)(坐标法)如图所示，以 A 为坐标原点，AC 所在直线为 x 轴建立如图所示的平面直角坐标系，AB ACBC BC BC ACAB ACAB 2ACACAB 2AB 2ACACAB 2AB 2 则点 A，B，C 的坐标分别为 A(0，0)，B(ccos A，csin A)，C(b，0)，根据两点间的距离公式，得 a=|BC|=，a2=c2cos2A-2bccos A+b2+c2sin2A，即 a2=b2+c2-2bccos A 同理可得b2a2c22accos B，c2a2b22abcos C(2)(用正弦定理证明)a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C，b2c22bccos A 4R2(sin2Bsin2C2sin Bsin Ccos A)4R2sin2Bsin2C2sin Bsin Ccos(BC)4R2(sin2Bsin2C2sin2Bsin2C2sin Bsin Ccos Bcos C)4R2sin2B(1sin2C)sin2C(1sin2B)2sin B sin Ccos Bcos C 4R2(sin2Bcos2C2sin Bsin Ccos Bcos Csin2Ccos2B)4R2sin2(BC)4R2sin2Aa2 同理可证b2a2c22accos B，c2a2b22abcos C 题型一题型一用余弦定理解三角形用余弦定理解三角形【例例 1 1】在ABC中：(1)a1，b1，C120，求c；(2)a3，b4，c37，求最大角；(3)abc132，求A，B，C 分析：分析：(1)直接利用余弦定理即可；(2)在三角形中，大边对大角；(3)可设三边为x，3x，2x 解：解：(1)由余弦定理，得 c2a2b22abcos C1212211(12)3，c3 22cossin0cAbcA3(2)显然C最大 cos Ca2b2c22ab3242372 3 412，C120(3)由于abc132，可设ax，b3x，c2x 由余弦定理，得 cos Ab2c2a22bc3x24x2x223x2x32，A30 同理 cos B12，cos C0，B60，C90 反思：反思：(1)本例为余弦定理的最基本应用，要在此基础上熟练地掌握余弦定理的结构特征(2)对于第(3)小题，根据已知条件，设出三边长，由余弦定理求出A，进而求出其余两角另外也可由边长关系，判断出C为直角，再求角 题型二题型二判断三角形的形状判断三角形的形状【例例 2 2】在ABC中，已知(abc)(bca)3bc，且 sin A2sin Bcos C，试确定ABC的形状 分析：分析：利用余弦定理先求出A60，再根据三角变换公式求得BC 解：解：(abc)(bca)3bc，a2b2c2bc 而a2b2c22bccos A，2cos A1cos A12 A60 又 sin Asin(BC)sin Bcos Ccos B sin C，sin A2sin Bcos C，sin Bcos Ccos Bsin C0，即 sin(BC)0，BC 又BC120，ABC60 故ABC为等边三角形 反思反思：(1)判断三角形的形状是看该三角形是否为某特殊的三角形(如锐角、直角、钝角、等腰、等边三角形等)(2)对于给出条件是边角关系混合在一起的问题，一般地，应运用正弦定理和余弦定理，要么统一为边的关系，要么统一为角的关系再利用三角形的有关知识、三角恒等变形方法、代数恒等变形方法进行转化、化简，从而得出结论(3)常见结论：设a，b，c分别是ABC的角A，B，C的对边，若a2b2c2，则C90；4 若a2b2c2，则C90；若a2b290；若 sin 2Asin 2B，则AB或AB2 题型三题型三三角形的面积公式的应用三角形的面积公式的应用【例例 3 3】在ABC中，A，B，C的对边分别是a，b，c，且cos Bcos Cb2ac求：(1)B的大小；(2)若b13，ac4，求ABC的面积 分析：分析：先由余弦定理求出B，再结合条件列方程求出ac，利用面积公式求出ABC的面积 解：解：(1)cos Bcos Cb2ac，(a2c2b2)2ab(a2b2c2)2acb2ac，整理，得a2c2b2ac，cos Ba2c2b22acac2ac12，从而B120(2)由(1)得a2c2ac13 又ac4，a2c22ac16 由，得ac3，SABC12acsin B123sin 120334 反思：反思：求三角形的面积，要充分挖掘题目中的条件，转化为求两边及夹角的正弦问题，要注意方程思想在解题中的应用 题型四题型四正、余弦定理的综合应用正、余弦定理的综合应用【例例 4 4】(2013课标全国高考，理 17)如图，在ABC中，ABC90，AB3，BC1，P为ABC内一点，BPC90 (1)若PB12，求PA；(2)若APB150，求 tanPBA 5 分析分析：(1)在PBA中，利用余弦定理求得PA；(2)在PBA中，再利用正弦定理列出与PBA和APB有关的方程即可 解：解：(1)由已知得PBC60，所以PBA30 在PBA中，由余弦定理得PA23142312cos 3074故PA72(2)设PBA，由已知得PBsin 在PBA中，由正弦定理得3sin 150sin sin(30)，化简得3cos 4sin 所以 tan 34，即 tanPBA34 反思反思：正、余弦定理在解三角形中的应用关键要明确已知的边和角及所求，正弦定理尤其在边角转化方面功能显著余弦定理的使用要注意选择好“第三边”，这样才能列出有效的方程，再者要熟练掌握三角变换公式，这在解三角形中经常用到 题型五题型五易错辨析易错辨析【例例 5 5】在锐角ABC中，b1，c2，则a的取值范围是()A1a3 B1a5 C3a5 D不确定 错解错解：由三角形的性质，知cb1又A为锐角，从而 cos Ab2c2a22bc5a22bc0，得 0a5 所以 1a0只能推出A为锐角，而不能推出ABC一定为锐角三角形，因为ABC180，所以当ABC为锐角三角形时，不仅 cos A0，还必须满足 cos B0，cos C0 正解：正解：由三角形的性质，知cb1 又由 cos Ab2c2a22bc5a22bc0，得 0a0，得aR R 由 cos Ca2b2c22aba232ab0，得a3 综上，知3a5 答案答案：C【例例 6 6】在ABC中，已知a2，b22，C15，求A 6 错解错解：由余弦定理，得c2a2b22abcos C482222624843，所以c62又由正弦定理，得 sin Aasin Cc12因为 0Aa这一隐含条件，致使增解 正解正解：由余弦定理，得c2a2b22abcos C843，所以c62又由正弦定理，得 sin Aasin Cc12因为ba，所以BA又因为 0A180，所以A30