本科毕业设计-常微分一阶微分方程最基本两种类型.doc

目 录摘 要11.一阶微分方程的几种类型及其解法22.一阶微分方程的基本解法32.1变量变换法32.1.1齐次微分方程32.1.2可化为齐次方程的方程42.1.3伯努利微分方程52.1.4里卡蒂（Riccati）微分方程62.2积分因子法72.2.1 恰当微分方程（全微分方程）72.2.2 积分因子法83.一阶微分方程的其他解法103.1常数变易法103.2降阶法103.3参数法12小结：13参考文献:13致谢词:13摘 要本文首先介绍一阶微分方程的最基本的两种类型:可分离变量的微分方程、一阶线性非齐次微分方程的解法.其次介绍了变量变换法.许多一阶微分方程通过变量变换可化为上述基本类型的方程得到解决.再次介绍了恰当微分方程及其求解公式,通过积分因子法可将一些微分方程化为恰当微分方程进而得到解决.最后针对一些特殊类型的一阶微分方程介绍了常数变易法、降阶法、参数法.【关键词】一阶微分方程 变量变换法 积分因子法 ABSTRACTThis paper first introduces first-order differential equation of the most basic two types: separable variables of the ordinary differential equations, first-order nonhomogeneous linear differential equation solution. Secondly introduces variable transformation method. Many first-order differential equation by means of variable transformation can be translated into the basic types of equations solved. Once again introduces appropriate differential equation and solution formula by integral factor method, can be some differential equation into appropriate differential equation and solved. Finally based on some special types of first-order differential equation introduces delay.a new, the reduced order method, parameters method.【KEY-WORDS】 first-order differential equation variable transformation method the integral factor method1.一阶微分方程的几种类型及其解法一阶微分方程的初等解法，即把微分方程的求解问题化为积分问题，其解的表达式由初等函数或超越函数表示.现在先简要介绍一下一阶微分方程的一些基本类型及其基本解法：可分离变量的微分方程：形如 ,其中为连续函数解法：分离变量,即 两边积分,即可求得通解， 化简,整理,即可.可以说只要是可分离变量的微分方程,都可求解.例1 求解方程,.解：方程可变量分离为 积分得 这里为任意常数,上式可化为 ,其中.因方程还有特解,并考虑到条件,于是方程的通解为 .一阶线性非齐次微分方程 解法：方程的通解公式：y=C(x) =+C （常数变易法）恰当微分方程 解法：方程的通解为 ,为任意常数里卡蒂方程 解法：当能够找到方程的一个特解,在经过变换后方程就变为伯努利方程,因而可解.2.一阶微分方程的基本解法一阶微分方程解法主要有变量变换法,积分因子法两种基本解法.2.1变量变换法 我们知道微分方程有很多形式,但最简单的一种就是变量分离方程,它可以用初等积分法求解.而碰到其它的类型,我们最常用的技巧就是用变量变换来改变方程的形状,让它转化为我们能求解的类型,这种方法称为变量变换法.2.1.1齐次微分方程 形如 ，为连续函数.解法：令, 即 . 于是,有 代入,便得方程 即 分离变量,得,两边积分,得求出积分后,再用代,便得所给方程的通解.齐次微分方程可看作一个基本类型,只要能判断这个方程是齐次微分方程,就可利用上述变换将方程变换为可分离变量的微分方程,进而得到解决.例2 求微分方程的通解.解:原方程可化为= ,这是一个齐次微分方程,故可 令,即.则 于是方程变为这是一个可分离变量的微分方程,分离变量得 ,两边积分,得 ,以代入,得所给方程的通解为 .2.1.2可化为齐次方程的方程方程,分以下三种情况进行求解:当 时,可化为齐次方程求解. 当不全为零时,但,即,我们令,可将方程化为求解.当不全为零时,但,即,令变换 其中,是待定常数（即两直线的交点）,可将方程化为关于X与Y的齐次方程 求解,最后代回原变量即可得原方程的解.例3 求微分方程 的通解. 解:解方程组 得现令代入则有,再令,即,则,化为 两边积分得因此.记并代回原方程有容易验证也为原方程的解.因此方程的通解为,其中c为任意常数.2.1.3伯努利微分方程 形如 这里的是的连续函数,是常数.解法：对于,用乘两边,得到引入变量变换,从而.得到,这是一个一阶线性微分方程,可套用一阶线性微分方程的通解公式进行求解.例4 求微分方程的通解.解:将原方程变形为,即,这是的伯努利方程. 令,得一阶线性方程 ,由公式得 ，故通解为 .从上述可以看出齐次微分方程、可化为齐次的微分方程、伯努利微分方程都有着固定的解法,因此可以看作基本类型的方程,其他一阶微分方程只要能通过变量变换转化成上述基本类型,就可求出通解.2.1.4里卡蒂（Riccati）微分方程形如 ,这里为连续函数.这种类型的方程一般没有初等解法,只有当能够找到方程的一个特解,在经过变换后方程就变为伯努利方程,因而可解.例5 求解微分方程.解:由观察得到它的一个特解为，故设它的任一个解为，于是，这是n=2的伯努利方程，两边同除以得： 即 从而故原方程的解为 2.1.5根据方程的特点寻求恰当的变换例6 求微分方程的通解.解:方程可变形为：，注意到变量以整体出现，故可令,则方程可变形为 ,这是齐次方程,再令即,则上面方程化为,整理得,两边同时积分,得,为任意常数.代入,并且化简得原方程的解为 .为任意常数.例7 求微分方程的通解.解:令,则,代入原方程,得,这是一个时的伯努利微分方程.令,算得.代入上面的方程,得.因此有该方程的通解为,计算化简得 .把代入,得. 例8 求微分方程的通解.解:方程可化为 两边同加1得 再由，可知 由上两式得 即 整理得 两边积分得 ,即 另外,也是方程的解.2.2积分因子法2.2.1 恰当微分方程（全微分方程）如果微分方程 (1-2)的左端恰是某一函数的全微分,即, (1-3) 则称(1-2)式为恰当微分方程（或全微分方程）. (1-3)式的通解是 其中是任意常数. 另外,微分方程是恰当微分方程的充要条件是 例9 求微分方程的通解.解：这里这时因此方程是恰当微分方程.现在求u,使它同时满足如下两个方程 ，由对积分得到 (1-4)为了确定，将 (1-4)式对求导数，并使它满足 即得于是积分可得.将代入(1-4)式因此方程的通解为样 ,是任意常数2.2.2 积分因子法通过寻找一个方程的积分因子，将方程化为恰当微分方程的方法称为积分因子法.给出(2-1)式的微分方程 如果它不是恰当微分方程,如果能找到一个函数,使得 (1-5)是一个恰当微分方程,即存在函数,使 则称函数 是方程(1-2)的一个积分因子.这时 是(1-5)式的通解但同一方程可以有不同的积分因子,因此一个方程如果存在积分因子,那么积分因子不只是一个.方程解的形式也不一定相同.函数为(1-2)式的积分因子的充要条件是, 如果方程满足条件它仅是的函数,那么易求其积分因子为.同样,方程满足条件 它仅是的函数,那么易求其积分因子为例10 求微分方程的通解.解:显然,对于方程 ,有 ,因为,所以方程有积分因子.以乘以方程 两边得综上所述,得到原方程的通解为或,是任意常数3.一阶微分方程的其他解法3.1常数变易法形如 的方程称为一阶线性微分方程,其中P(x)、Q(x)都是连续函数.当Q(x) = 0时,方程称为一阶线性齐次微分方程, 其解法为:将方程, 分离变量得两边积分得 方程的通解为 (C任意常数) 当Q(x) 0 ,方程称为一阶线性非齐次微分方程. 其解法为:非齐次方程与齐次方程的差异仅是方程右边的项Q(x).从齐次方程的通解的结构及导数运算的规律, 我们有理由推测非齐次方程的解 形如 (C(x)是关于x的函数） 代入非齐次方程,得一阶非齐次线性方程通解的公式为：此求解方法称为常数变易法. 3.2降阶法某些特殊的高阶微分方程有时很难直接找到求解方法，但在通过适当变量代换后，可化为低阶微分方程，当该低阶微分方程可解时，即原方程可解这种类型的方程称为可降阶的方程,相应的求解方法称为降阶法.这在求解某些高阶微分方程时是一种很有效的方法,通过降阶法最终可化为一阶微分方程再用上述基本方法进行求解,这样就可以化繁为简,大大减少了计算时间.例11 求微分方程的通解.解:设代入原方程，解线性方程，得，即两端积分，得，即也即原方程的通解为例12 求方程满足初始条件的特解.解: 令,则,原方程化为,即,这是变量可分离型方程.分离变量并积分得 ,解得,化为,从而.因为,故舍去负值.将初始条件代入,得,于是 上式为变量可分离型方程.分离变量并积分解得.将代入得,于是所求特解为,化为.就解法的本质而言降阶法是变量变换法,不过一般这里的变换都涉及到的导数.3.3参数法除了以上解法外,还有一种巧妙的方法就是参数法,它也能够解出一些基本解法所不能解出的微分方程.例13 求微分方程的通解.解:令,由,可得,把代入可得 ,由此可得,于是两边积分可得,综上可得方程的参数形式的通解为,c为任意常数.小结：由于上述基本类型的方程都有很成熟的初等解法，因而在熟悉各种类型方程的解法后,正确而敏捷地判断一个给定的方程属于何种类型,从而按照所介绍的方法进行求解,但仅仅能做到这一点还不够,因为我们所遇到的方程只有小部分是我们所介绍过的方程类型,也就是说能有初等解法的微分方程是很有限的,还有大部分微分方程是找不到初等解法的. 参考文献: 1.周义仓,靳祯,秦军林.常微分方程及其应用方法、理论、建模、计算机 M.北京:科学出版社,2003.2.蔡燧林.常微分方程M.杭州:浙江大学出版社,20023.王高雄,周之铭,朱思铭等.常微分方程第3版 M.北京:高等教育出版社,2006.致谢词:在本次论文设计过程中,老师对该论文从选题,构思到最后定稿的各个环节给予细心指引与教导,使我得以最终完成该毕业论文.在学习中,老师严谨的治学态度、丰富渊博的知识、敏锐的学术思维、精益求精的工作态度以及侮人不倦的师者风范是我终生学习的楷模,老师们的高深精湛的造诣与严谨求实的治学精神,将永远激励着我,使我在人生的道路上有了一个完善的精神支柱.此外,这四年中还得到众多老师的关心支持和帮助.在此,谨向老师们致以衷心的感谢和崇高的敬意！最后,我要向百忙之中抽时间对本文进行审阅,评议和参与本人论文答辩的各位老师表示感谢.12