单调性与最大(小)值同步练习-高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册.docx
3.2.1单调性与最大(小)值同步练习一、基础巩固1.已知定义在区间-5,5上的函数y=f(x)的图象如图所示,则下列关于函数f(x)的说法错误的是()A.函数在区间-5,-3上单调递增B.函数在区间1,4上单调递增C.函数在区间-3,14,5上单调递减D.函数在区间-5,5上不具有单调性2.已知函数f(x)是定义在R上的单调函数,A(0,1),B(2,-1)是其图象上的两点,则不等式|f(x-1)|>1的解集为()A.(-1,1)B.(-,-1)(1,+)C.(1,3)D.(-,1)(3,+)3.下列函数中,在区间(-,0)内单调递增,且在区间(0,+)内单调递减的函数是()A.y=1x2B.y=1xC.y=x2D.y=x34.已知函数f(x)的单调递增区间是(-2,3),则y=f(x+5)的单调递增区间是()A.(3,8)B.(-7,-2)C.(-2,3)D.(0,5)5.已知函数f(x)=-x2+4x+a(x0,1),若f(x)的最小值为-2,则f(x)的最大值为()A.1B.0C.-1D.26.若函数y=ax与y=bx在区间(0,+)内都单调递减,则函数y=ax2+bx在区间(-,0)内()A.单调递增B.单调递减C.先单调递增后单调递减D.先单调递减后单调递增7.已知函数f(x)满足:对任意的x1,x2R,都有(x1-x2)f(x1)-f(x2)>0,则f(-3)与f(-)的大小关系是.8.已知函数f(x)=3-x2,-1x<2,x-3,2x5.(1)在平面直角坐标系中画出f(x)的图象;(2)写出f(x)的单调递增区间及值域;(3)求不等式f(x)>1的解集.二、能力提升1.(多选题)已知函数f(x)=x2-2x+2,关于f(x)的最大(小)值有如下结论,其中正确的是()A.f(x)在区间-1,0上的最小值为1B.f(x)在区间-1,2上既有最小值,又有最大值C.f(x)在区间2,3上有最小值2,最大值5D.当0<a<1时,f(x)在区间0,a上的最小值为f(a),当a>1时,f(x)在区间0,a上的最小值为12.已知函数f(x)=x2-2x+3在区间0,t上有最大值3,最小值2,则t的取值范围是()A.1,+)B.0,2C.(-,2D.1,23.某公司在甲、乙两地销售一种品牌车,利润(单位:万元)分别为L1=-x2+21x和L2=2x,其中x(xN,单位:辆)为销售量.若该公司在这两地共销售15辆车,则能获得的最大利润为万元.4.有下列四种说法:函数y=2x2+x+1在区间(0,+)内不是单调递增的;函数y=1x+1在区间(-,-1)(-1,+)内单调递减;若函数f(x)=(2b-1)x+b-1,x>0,-x2+(2-b)x,x0在R上为增函数,则实数b的取值范围是1b2;若函数y=|x-a|在区间(-,4上单调递减,则实数a的取值范围是a4.其中说法正确的有(填序号).5.已知二次函数f(x)的最小值为1,f(0)=f(2)=3.(1)求f(x)的解析式;(2)若f(x)在区间2a,2a+1上不单调,求a的取值范围;(3)若xt,t+2,试求f(x)的最小值.6.已知f(x)是定义在R上的恒不为零的函数,且对任意的x,y都满足f(x)·f(y)=f(x+y).(1)求f(0)的值,并证明对任意的xR,都有f(x)>0;(2)设当x<0时,都有f(x)>f(0),证明:f(x)在R上为减函数.参考答案一、基础巩固1.C由题图可知,f(x)在区间-3,1,4,5上单调递减,单调区间不可以用并集符号“”连接.故选C.2.D据题意知,f(0)=1,f(2)=-1.f(x)是R上的单调函数,f(x)在R上单调递减,由|f(x-1)|>1得,f(x-1)<f(2),或f(x-1)>f(0),x-1>2或x-1<0,解得x>3或x<1,原不等式的解集为(-,1)(3,+).3.A对于A,令y=f(x)=1x2,任取x1,x2(0,+),且x1<x2,则f(x1)-f(x2)=1x121x22=(x2-x1)(x2+x1)x12x22>0,即f(x1)>f(x2),所以函数y=1x2在区间(0,+)内单调递减.同理可得函数y=1x2在区间(-,0)内单调递增.对于B,易知函数y=1x在区间(-,0)和(0,+)内都单调递减.对于C,易知函数y=x2在区间(-,0)内单调递减,在区间(0,+)内单调递增.对于D,易知函数y=x3在区间(-,+)上单调递增.4.B函数f(x)的单调递增区间是(-2,3),y=f(x+5)的单调递增区间应由-2<x+5<3解得,故x(-7,-2),此即为函数y=f(x+5)的单调递增区间.5.Af(x)=-x2+4x+a在区间0,1上为增函数,f(x)的最小值为f(0)=a=-2,f(x)的最大值为f(1)=3+a=1.6.A因为函数y=ax与y=bx在区间(0,+)上都单调递减,所以a<0,b>0.所以函数y=ax2+bx的图象开口向下,对称轴为直线x=-b2a,且-b2a>0,所以函数y=ax2+bx在区间-,-b2a内单调递增.又(-,0)-,-b2a,所以函数y=ax2+bx在区间(-,0)内单调递增.7.f(-3)>f(-)由题意得f(x)为增函数,又-3>-,所以f(-3)>f(-).8.解 (1)f(x)的图象如图所示.(2)由图可知f(x)的单调递增区间为-1,0,2,5,值域为-1,3.(3)令3-x2=1,解得x=2或x=-2(舍去);令x-3=1,解得x=4.结合图象可知不等式f(x)>1的解集为-1,2)(4,5.二、能力提升1.BCD函数f(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1的图象开口向上,对称轴为直线x=1.在选项A中,因为f(x)在区间-1,0上单调递减,所以f(x)在区间-1,0上的最小值为f(0)=2,所以A中结论错误;在选项B中,因为f(x)在区间-1,1上单调递减,在区间1,2上单调递增,所以f(x)在区间-1,2上的最小值为f(1)=1,又因为f(-1)=5,f(2)=2,f(-1)>f(2),所以f(x)在区间-1,2上的最大值为f(-1)=5,所以B中结论正确;在选项C中,因为f(x)在区间2,3上单调递增,所以f(x)在区间2,3上的最小值为f(2)=2,最大值为f(3)=5,所以C中结论正确;在选项D中,当0<a<1时,f(x)在区间0,a上单调递减,所以f(x)的最小值为f(a),当a>1时,f(x)在区间0,a上的最小值为f(1)=1,所以D中结论正确.2.D函数f(x)=x2-2x+3=(x-1)2+2在x=1时有最小值2,且f(0)=3,f(2)=3.因为f(x)=x2-2x+3在区间0,t上有最大值3,最小值2,所以1t2.3.120设公司在甲地销售x辆,则在乙地销售(15-x)辆,故总利润L=-x2+21x+2(15-x)=-x2+19x+30=-x-1922+30+1924(0x15,xN),当x=9或10时,L最大为120万元.4.对于,y=2x2+x+1=2x+142+78在区间-14,+内单调递增,故该函数在区间(0,+)内单调递增,故中说法错误;对于,函数y=1x+1在区间(-,-1)内单调递减,在区间(-1,+)内单调递减,但在其并集(-,-1)(-1,+)内不单调递减,故中说法错误;对于,因为函数f(x)=(2b-1)x+b-1,x>0,-x2+(2-b)x,x0在R上为增函数,所以有2b-1>0,2-b20,b-10,解得1b2.故中说法正确;对于,函数y=|x-a|=x-a,xa,-x+a,x<a,因为函数y=|x-a|在区间(-,4上单调递减,所以a4.故中说法正确.5.解 (1)f(x)是二次函数,且f(0)=f(2),其图象的对称轴为直线x=1.又f(x)的最小值为1,可设f(x)=m(x-1)2+1,又f(0)=3,m=2.f(x)=2(x-1)2+1=2x2-4x+3.(2)要使f(x)在区间2a,2a+1上不单调,需2a<1<2a+1,解得0<a<12.(3)由(1)知,f(x)图象的对称轴为直线x=1.若t1,则f(x)在区间t,t+2上单调递增,则当x=t时,f(x)取得最小值,且最小值为f(t)=2t2-4t+3.若t+21,即t-1,则f(x)在区间t,t+2上单调递减,则当x=t+2时,f(x)取得最小值,且最小值为f(t+2)=2t2+4t+3.若t<1<t+2,即-1<t<1,则当x=1时,f(x)取得最小值,且最小值为f(1)=1.综上可知,当t1时,f(x)的最小值为2t2-4t+3;当-1<t<1时,f(x)的最小值为1;当t-1时,f(x)的最小值为2t2+4t+3.6.(1)解 由题意知,f(0)·f(0)=f(0),f(0)0,f(0)=1.fx20,f(x)=fx2·fx2=fx22>0.对任意的xR,都有f(x)>0.(2)证明 设x1,x2R,且x1<x2,则f(x1)-f(x2)=f(x1-x2)+x2-f(x2)=f(x1-x2)f(x2)-f(x2)=f(x2)f(x1-x2)-1.x1-x2<0,f(x1-x2)>f(0)=1,f(x1-x2)-1>0.又f(x2)>0,f(x2)f(x1-x2)-1>0,f(x1)>f(x2),f(x)在R上为减函数.学科网（北京）股份有限公司
