第五章一元函数的导数及其应用章末小结课件-高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册.pptx

第五章第五章 导数导数章末复习讲义章末复习讲义本章内容本章内容5.1 变化率与导数变化率与导数5.2 导数的计算导数的计算5.3 导数在研究函数中的应用导数在研究函数中的应用5.4 生活中的优化问题举例生活中的优化问题举例1.平均变化率与瞬时变化率平均变化率与瞬时变化率(1)平均变化率平均变化率:xyO x1x2x2-x1f(x2)-f(x1)f(x2)f(x1)y=f(x)ABC(2)瞬时变化率瞬时变化率:y=f(x)PxyoP0 x0f(x0)f(x0+x)x0+x2.导数导数函数函数 y=f(x)在在 x=x0 处的瞬时变化率处的瞬时变化率称为函数称为函数 y=f(x)在在 x=x0 处的导数处的导数,记作记作 f(x0)或或 y|x=x0,即即 当当 x0 是变量是变量 x 时时,所得极限叫导函数所得极限叫导函数,简称导数简称导数.知识梳理知识梳理 (1)函数函数 y=f(x)在在 x0 处的导数的几何意义是函数过这点的切线的斜率处的导数的几何意义是函数过这点的切线的斜率.(2)导数为正导数为正,函数增函数增;导数为负导数为负,函数减函数减.(3)导数的绝对值大时导数的绝对值大时,函数增减变化快函数增减变化快,图象陡峭图象陡峭;导数绝对值小时导数绝对值小时,函数增减变化慢函数增减变化慢,图象较平缓图象较平缓.(4)运动函数的导数是瞬时速度运动函数的导数是瞬时速度,速度函数的导数是加速度速度函数的导数是加速度.3.导数的几何意义导数的几何意义Px0+xxyoy=f(x)P0 x0f(x0)f(x0+x)Q4.基本初等函数的导数公式基本初等函数的导数公式(1)若若 f(x)=c,则则 f (x)=0;(2)若若 f(x)=xn(n Q*),则则 f (x)=nxn-1;(3)若若 f(x)=sin x,则则 f (x)=cos x;(4)若若 f(x)=cos x,则则 f (x)=-=-sin x;(5)若若 f(x)=ax,则则 f (x)=ax lna;(6)若若 f(x)=ex,则则 f (x)=ex;(7)若若 f(x)=logax,则则 f (x)=;(8)若若 f(x)=lnx,则则 f (x)=5.导数运算法则导数运算法则(1)f(x)g(x)=f (x)g (x);(2)f(x)g(x)=f (x)g(x)+f(x)g (x);6.复合函数的导数复合函数的导数 复合函数复合函数 y=f(g(x)的导数和函数的导数和函数 y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为的导数间的关系为 yx =yu ux,即即 y 对对 x 的导数等于的导数等于 y 对对 u 的导数与的导数与 u 对对 x 的导数的乘积的导数的乘积.7.导数与函数的单调性导数与函数的单调性 反之反之,若若 f(x)0,则则 f(x)在这个区间内是在这个区间内是增增函数函数;8.导数与极值导数与极值xyoabcde左正右负左正右负左正右负左正右负左正右负左正右负左负右正左负右正左负右正左负右正极值极值点点处的导数处的导数 .等于等于0极极大大值值左左边的导数边的导数 ,右右边的导数边的导数 .大于大于0小于小于0极极小小值值左左边的导数边的导数 ,右右边的导数边的导数 .小于小于0大于大于09.用导数求函数的极值用导数求函数的极值(1)求导数求导数 f(x).(2)解解 f (x)=0,f (x)0,f (x)0.(3)列表确定极值点和极值列表确定极值点和极值:10.函数的最大值与最小值函数的最大值与最小值 如果函数在区间如果函数在区间 a,b 上的图象是一条连续不断的曲线上的图象是一条连续不断的曲线,那么它必那么它必有最大值和最小值有最大值和最小值.将区间将区间 a,b 上所有极值连同端点的函数值进行比较上所有极值连同端点的函数值进行比较,其中最大的其中最大的一个就是一个就是最大值最大值,最小的一个就是最小的一个就是最小值最小值.例例1.函数函数 f(x)的图象如图所示的图象如图所示,下列数值排序正确的是下列数值排序正确的是()(A)0f (2)f (3)f(3)-f(2)(B)0f (3)f(3)-f(2)f (2)(C)0f (3)f (2)f(3)-f(2)(D)0f(3)-f(2)f (2)f (3).排除排除 A,D 选项选项.ABCf(3)-f(2)=|BC|=kAB小于小于 f (2)而大于而大于 f (3).B切线的斜率切线的斜率,作作 ACBC 得得典例研习典例研习例例2.求下列函数的导数求下列函数的导数:(1)y=e2x+1;(2)y=(x3-2x+1)5;(3)y=2xlnx;(4)解解:(1)(3)y=(2x)lnx+2x(lnx)=2lnx+2.(4)yx=2e2x+1.yx =5(3x2-2)(x3-2x+1)4.(2)例例3.如果函数如果函数 y=f(x)的图象如图的图象如图,那么导函数那么导函数y=f (x)的的图象可能是图象可能是()xyOy=f(x)xyO(A)xyO(B)xyO(C)xyO(D)分析分析:函数在最左边是增函数函数在最左边是增函数,导数大于导数大于 0;函数在最右边是减函数函数在最右边是减函数,导数小于导数小于 0.所以所以 A 选项正确选项正确.A例例4.求函数求函数 f(x)=ex-1-ax(a R)的单调区间的单调区间.解解:f (x)=ex-a.解不等式解不等式 ex-a0.当当 a0 时时,不等式恒成立不等式恒成立,x R.当当 a0 时时,exa,xlna.综合综合得得:当当 a0 时时,函数函数 f(x)在在(-,+)上是增函数上是增函数.当当 a0 时时,函数函数 f(x)在在(-,lna 上是减函数上是减函数,在在 lna,+)上是增函数上是增函数.例例5.已知函数已知函数 f(x)=x(x-c)2 在在 x=2 处有极大值处有极大值,求求 c 的值的值.解解:f(x)=x3-2cx2+c2x,f(x)=3x2-4cx+c2,在在 x=2 处有极大值处有极大值,即即 x=2 时导数为时导数为 0,3 22-4c 2+c2=0,解得解得 c=2 或或 c=6.当当 c=2 时时,f(x)=3x2-8x+4,解解 3x2-8x+40 得得或或 x2,于是得于是得 时时,f(x)2时时,f(x)0,则则 x=2 时取得极小值时取得极小值,不合题意不合题意.即只有即只有 c=6.例例6.已知函数已知函数 f(x)=x3+ax2+bx+c,当当 x=-=-1 时时,f(x)的极大值为的极大值为 7;当当 x=3 时时,f(x)有极小值有极小值.求求 (1)a,b,c 的值的值;(2)函数函数 f(x)的极小值的极小值.解解:(1)f (x)=3x2+2ax+b.两极值点两极值点 x=-=-1 和和 x=3 是是 f (x)=0 的两根的两根.则则a=-=-3,b=-=-9.极大值极大值 f(-1)=(-1)3-3(-1)2-9(-1)+c=7,解得解得 c=2.(2)由由(1)得得 f(x)=x3-3x2-9x+2.极小值为极小值为 f(3)=33-3 32-9 3+2=-=-25.例例7.函数函数 f(x)=2x3-6x2+m(m为常数为常数)在在-2,2上有最大值上有最大值 3,那么那么此函数在此函数在-2,2上的最小值为上的最小值为 .解解:f(x)=6x2-12x.解解 6x2-12x0 得得 x0,或或 x2.f(x)在在 x=0 处有极大值处有极大值,在在 x=2 处有极小值处有极小值.在在-2,2 上的最大值是上的最大值是 f(0)=m,m=3.在在-2,2 上的最小值是上的最小值是 f(-2)或或 f(2).f(-2)=2(-2)3-6(-2)2+3=-=-37.f(2)=2 23-6 22+3=-=-5.最小值应是最小值应是-37.-37 例例8.如图如图,过点过点 P(1,1)作直线作直线 AB,与坐标轴围成与坐标轴围成 AOB.当当直线直线 AB 在什么位置时在什么位置时,AOB 的面积最小的面积最小,最小面积是多少最小面积是多少?ABP(1,1)xyO解解:设直线的斜率为设直线的斜率为 k(k0),则则直线方程为直线方程为y-1=k(x-1).直线在直线在 x 轴轴,y 轴上的截距轴上的截距分别为分别为则则AOB的面积的面积 S=解解 得得-1k0,则则 k-1 时时,S 0 且且 x1 时时,f(x)解解:(1)则过点则过点(1,f(1)的切线方程为的切线方程为整理得整理得(2b-a)x+2y-4b+a=0.与与 x+2y-3=0 比较系数得比较系数得a=1,b=1.(2)分析分析:若将不等式变为若将不等式变为求极值点不易求极值点不易,思考尽量化简后求导思考尽量化简后求导:可分段判断正负可分段判断正负,可求导后判断正负可求导后判断正负.例例9.已知函数已知函数 曲线曲线 y=f(x)在点在点(1,f(1)处的切处的切线方程为线方程为 x+2y-3=0.(1)求求 a,b 的值的值;(2)证明证明:当当 x0 且且 x1 时时,f(x)(2)证明证明:由由(1)得得则则令令则则0 且且 x1 时时,