总体集中趋势的估计-总体离散程度的估计-高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册.pptx

第九章第九章 统计统计9.2.3 总体集中趋势的估计 探索新知你还记得平均数、中位数、众数是什么吗？这些统计量刻画了数据你还记得平均数、中位数、众数是什么吗？这些统计量刻画了数据的什么特点？的什么特点？众众 数：数：一组数据中出现次数最多的数中位数：中位数：一组数据按大小顺序依次排序后，当数据个数是奇数时，处在最中间的数是中位数；当数据个数是偶数时，最中间两个数的平均数是中位数。平均数：平均数：这些统计量刻画了数据的“中心位置”，即数据的集中趋势。问题解析探索新知思考一根据下表中根据下表中100100户居民的月均用水量，计算样户居民的月均用水量，计算样本数据的平均数和中位数，并据此估计全市居本数据的平均数和中位数，并据此估计全市居民用户月均用水量的平均数和中位数。民用户月均用水量的平均数和中位数。9.0 13.6 14.9 5.9 4.0 7.1 6.4 5.4 19.4 2.02.2 8.6 13.8 5.4 10.2 4.9 6.8 14.0 2.0 10.52.1 5.7 5.1 16.8 6.0 11.1 1.3 11.2 7.7 4.92.3 10.0 16.7 12.0 12.4 7.8 5.2 13.6 2.4 22.43.6 7.1 8.8 25.6 3.2 18.3 5.1 2.0 3.0 12.022.2 10.8 5.5 2.0 24.3 9.9 3.6 5.6 4.4 7.95.1 24.5 6.4 7.5 4.7 20.5 5.5 15.7 2.6 5.75.5 6.0 16.0 2.4 9.5 3.7 17.0 3.8 4.1 2.35.3 7.8 8.1 4.3 13.3 6.8 1.3 7.0 4.9 1.87.1 28.0 10.2 13.8 17.9 10.1 5.5 4.6 3.2 21.6探索新知思考二假设某个居民小区有2000户，你能估计该小区的月用水总量吗？根据上述思考可得：全市居民用户的月均用水量约为根据上述思考可得：全市居民用户的月均用水量约为8.79t8.79t，则，则20002000户居民的月用户居民的月用水总量为：水总量为：20008.79=17580t 20008.79=17580t小明用统计软件计算了100户居民用水量的平均数和中位数。但在录入数据时，不小心把一个数据7.7录成了77.请计算录入数据的平均数和中位数。通过计算发现，平均数由原来的通过计算发现，平均数由原来的8.79t8.79t变为变为9.483t9.483t，中位数没有变化，还是，中位数没有变化，还是6.6.8 8t t。思考三探索新知思考四与真实的样本平均数和中位数作比较，哪个量的值变化更大？你能解释其中的原因吗？平均数变化较大。平均数变化较大。这是因为样本平均数与每一个样本数据有关，样本中的任何一个数的改变都这是因为样本平均数与每一个样本数据有关，样本中的任何一个数的改变都会引起平均数的改变；但中位数只利用了样本数据中间位置的一个或两个值，并会引起平均数的改变；但中位数只利用了样本数据中间位置的一个或两个值，并未利用其他数据，所以不是任何一个样本数据的改变都会引起中位数的改变。未利用其他数据，所以不是任何一个样本数据的改变都会引起中位数的改变。因此，因此，与中位数比较，平均数反映出样本数据中的更多信息，对样本中的极与中位数比较，平均数反映出样本数据中的更多信息，对样本中的极端值更加敏感。端值更加敏感。探索新知思考五平均数和中位数都描述了数据的集中趋势，它们的大小关系和数据分布的形态有关。在下图的三种分布形态中，平均数和中位数的大小存在什么关系？如果直方图的形状是对称的，那么平均数和中位数大体上差不多如果直方图在右边“拖尾”，那么平均数大于中位数；如果直方图在左边“拖尾”，那么平均数小于中位数。单峰平均数总是在“长尾巴”那边。例一某学校要定制高一年级的校服，学生根据厂家提供的参考身高选择校服规某学校要定制高一年级的校服，学生根据厂家提供的参考身高选择校服规格。根据统计，高一年级女生需要不同规格校服的频数如下表所示：格。根据统计，高一年级女生需要不同规格校服的频数如下表所示：校服规格校服规格155155160160165165170170175175合计合计频数频数3939646416716790902626386386如果用一个量来代表该校高一年级女生所需校服的规格，那么在中位数、平均如果用一个量来代表该校高一年级女生所需校服的规格，那么在中位数、平均数和众数中，哪个量比较合适？试讨论上表数据估计全国高一年级女生校服规数和众数中，哪个量比较合适？试讨论上表数据估计全国高一年级女生校服规格的合理性。格的合理性。解：为了更直观地观察数据的特征，我们用条形图来表示表中的数据。可以发现，选择校服规格为“165”的女生频数最高，所以用众数165作为该校高一年级女生校服的规格比较合适。由于全国各地的高一年级女生的身高存在一定的差异，所以用一个学校的数据估计全国高一年级女生的校服规格不合理。平均数中位数众数在频率分布直方图中的含义特点探索新知思考六从上述思考题和例题中，你能总结出平均数、中位数、众数各自的特点吗？每个小矩形面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和把频率分布直方图划分左右两个面积相等的分界线与x轴交点的横坐标最高矩形的中点的横坐标与每一个数据有关，任何一个数的改变都会引起它的改变只利用了样本数据中间位置的一个或两个值，并未利用其他数据只利用了出现次数最多的那个值的信息思考七根据平均数、中位数、众数各自的特点，我们应如何选择适合的统计量来表示数据的集中趋势？一般地，对数值型数据一般地，对数值型数据（如用水量、身高、收入、（如用水量、身高、收入、产量等）集中趋势的描述，产量等）集中趋势的描述，可以用平均数、中位数；可以用平均数、中位数；对分类型数据（如校服规对分类型数据（如校服规格、性别、产品质量等级格、性别、产品质量等级等）集中趋势的描述，可等）集中趋势的描述，可以用众数。以用众数。描述集中趋势统计量的选择样本的平均数、中位数和众数可以分别作为总体的平均数、中位数和众数的估计，但在某些情况下我们无法获知原始的样本数据。例如，我们在报纸、网络上获得的往往是已经整理好的统计表或统计图。这时该如何估计样本的平均数、中位数和众数？你能以下面的频率分布直方图提供的信息为例，给出估计方法吗？探索新知思考八例二根据下面的频率分布直方图，估计月均用水量样本数据的平均数、中位数和众数 因为样本平均数可以表示为数据与它的频率的乘积之和，所以在频率分布直方图中，样本平均数可以用每个小矩形底边中点的横坐标与小矩形的面积的乘积之和近似代替。即每一组的平均数为该组小矩形底边中点横坐标。根据中位数的意义可得，在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等。由于0.0773=0.231，（0.077+0.107）3=0.552因此中位数落在区间4.2，7.2）内。设中位数为x，由0.0773+0.107（x-4.2）=0.5，得到x6.71因此，中位数约为6.71。根据众数定义得，出现次数最多数据是众数。如上图所示，月均用水量在区间如上图所示，月均用水量在区间4.2,7.2)4.2,7.2)内的居民最多，可以将这个区间的中点内的居民最多，可以将这个区间的中点5.75.7作为众数的估计值。作为众数的估计值。VS9.0 13.6 14.9 5.9 4.0 7.1 6.4 5.4 19.4 2.02.2 8.6 13.8 5.4 10.2 4.9 6.8 14.0 2.0 10.52.1 5.7 5.1 16.8 6.0 11.1 1.3 11.2 7.7 4.92.3 10.0 16.7 12.0 12.4 7.8 5.2 13.6 2.4 22.43.6 7.1 8.8 25.6 3.2 18.3 5.1 2.0 3.0 12.022.2 10.8 5.5 2.0 24.3 9.9 3.6 5.6 4.4 7.95.1 24.5 6.4 7.5 4.7 20.5 5.5 15.7 2.6 5.75.5 6.0 16.0 2.4 9.5 3.7 17.0 3.8 4.1 2.35.3 7.8 8.1 4.3 13.3 6.8 1.3 7.0 4.9 1.87.1 28.0 10.2 13.8 17.9 10.1 5.5 4.6 3.2 21.6探索新知思考九根据上述计算出的样本平均数、中位数和众数，你有什么结论？100户居民的月均用水量的平均数8.79t.100户居民的月均用水量的中位数是6.8t。100户居民的月均用水量的平均数8.96t.100户居民的月均用水量的中位数是6.71t。结果基本一致 这句话是真实的，但它可能描述的是差异巨大的实际情况。例如，可能这个公司的工资水平普遍较高，也就是员工收入的中位数、众数与平均数差不多；也可能是绝大多数员工的年收入较低，而少数员工的年收入很高；在这种情况下，年收入的平均数就比中位数大得多。尽管在后一种情况下，用中位数或众数比用平均数更合理些，但这个企业的老板为了招揽员工，却用了平均数。所以，我们要强调”用数据说话”,但同时又要防止被误导。探索新知思考十假设你到人力市场去找工作，有一个企业老板告诉你，“我们企业员工的年平均收入是20万元“。你如何理解这句话？你能总结用样本的众数、中位数和平均数来估计总体的数字特征各自的优缺点吗？探索新知名称优点缺点众数(1)体现了样本数据的最大集中点;(2)容易得到(1)它只能表达样本数据中很少的一部分信息;(2)无法客观地反映总体特征中位数(1)不受少数几个极端数据,即排序靠前或靠后的几个数据的影响;(2)容易得到,便于利用中间数据的信息对极端值不敏感平均数能反映出更多关于样本数据全体的信息任何一个数据的改变都会引起平均数的改变,数据越“离群”,对平均数的影响越大课堂检测(1)一组样本数据为:19,23,12,14,14,17,10,12,18,14,27,则这组数据的众数和中位数分别为()A.14,14B.12,14C.14,15.5D.12,15.5(2)有一组数据,其中10,12,13,15,16出现的频率分别是0.15,0.2,0.3,0.2,0.15,则该组数据的平均数为.解析 (1)把这组数据按从小到大排列为10,12,12,14,14,14,17,18,19,23,27,则可知其众数为14,中位数为14.(2)该组数据的平均数为100.15+120.2+130.3+150.2+160.15=13.2.课堂检测(3)判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“”,错误的画“”.一组数据的众数可以是1个或几个,也可以没有.()一组数据的中位数可能不存在.()样本量越小,样本平均数越接近总体平均数.()解析：一组数据中可以有多个众数,也可以没有众数。众数是一组数据中重复出现次数最多的数。如果一组数据有重复出现的数,那就有众数。没有重复出现的数,就没有众数,但有中位数。1、样本的数字特征：众数、中位数和平均数；2、用样本频率分布直方图估计样本的众数、中位数、平均数。（1）众数规定为频率分布直方图中最高矩形下端的中点；（2）中位数两边的直方图的面积相等；（3）频率分布直方图中每个小矩形的面积与小矩形底边中点的横坐标之积相加，就是样本数据的估值平均数。课堂小结 第九章第九章 统计统计9.2.4 总体离散程度的估计 样本的众数、中位数和平均数常用来表示样本数据的“中心值”，其中众数和中位数容易计算，不受少数几个极端值的影响，但只能表达样本数据中的少量信息.平均数代表了数据更多的信息，但受样本中每个数据的影响，越极端的数据对平均数的影响也越大.当样本数据质量比较差时，使用众数、中位数或平均数描述数据的中心位置，可能与实际情况产生较大的误差，难以反映样本数据的实际状况，很多时候还不能使我们做出有效决策.通过上述数据计算得出：甲、乙两名运动员射击成绩的平均数、中位数、众数都是7。从这三个数据来看，两名运动员没有差别。探索新知问题一例如:有两位射击运动员在一次射击测试中各射靶10次,每次命中的环数如下:甲:78795491074 乙:95787686 77如果你是教练,你应当如何对这次射击作出评价?根据以上数据作出频率分布直方图，由图发现：甲的成绩比较分散，乙的成绩相对集中。即甲的成绩波动幅度较大，而乙的成绩比较稳定。可见，他们的射击成绩是存在差异的。探索新知问题二上述问题中，甲、乙的平均数、中位数、众数相同，但二者的射击成绩存在差异，那么，如何度量这种差异呢？我们可以利用极差进行度量。根据上述数据计算得：甲的极差=10-4=6 乙的极差=9-5=4极差在一定程度上刻画了数据的离散程度。由极差发现甲的成绩波动范围比乙的大。但由于极差只使用了数据中最大、最小两个值的信息，所含的信息量很少。也就是说，极差度量出的差异误差较大。方差与标准差问题三你还能想出其他刻画数据离散程度的办法吗？我们知道，如果射击的成绩很稳定，那么大多数的射击成绩离平均成绩不会太远；相反，如果射击的成绩波动幅度很大，那么大多数的射击成绩离平均成绩会比较远。因此，我们可以通过这两组射击成绩与它们的平均成绩的“平均距离”来度量成绩的波动幅度。方差与标准差如何定义“平均距离”？思考1方差与标准差注意 注意 标准差刻画了数据的离散程度或波动幅度，标准差越大，数据的离散程度越大;标准差越小，数据的离散程度越小显然，在刻画数据的分散程度上，方差和标准差是一样的.但在解决实际问题中，一般多采用标准差.在实际问题中，总体平均数和总体标准差都是未知的.就像用样本平均数估计总体平均数一样，通常我们也用样本标准差去估计总体标准差在随机抽样中，样本标准差依赖于样本的选取，具有随机性.表示标准差：考察样本数据的_ _最常用的统计量，是样本数据到_的一种_，一般用标准差的表达式：分散程度的大小平均距离平均数方差的表达式：方差与标准差标准差的范围是什么？方差与标准差问题一例如:有两位射击运动员在一次射击测试中各射靶10次,每次命中的环数如下:甲:78795491074 乙:95787686 77如果你是教练,你应当如何对这次射击作出评价?解析：我们可以根据标准差来判断两名运动员的成绩的离散程度，计算可得s甲=2，s乙1.095.即s甲s乙，由此可知，甲的成绩离散程度大，乙的成绩离散程度小。由此可以估计，乙比甲的成绩稳定。因此，如果要从这两名选手中选择一名参赛，要看一下他们的平均成绩在所有参赛选手中的位置。如果两人都排在前面，就选成绩稳定的乙选手，否则选甲。例一甲、乙两机床同时加工直径为100 cm的零件，为检验质量，各从中抽取6件测量，数据为甲：9910098100100103乙：9910010299100100(1)分别计算两组数据的平均数及方差；(2)根据计算结果判断哪台机床加工零件的质量更稳定例一甲、乙两机床同时加工直径为100 cm的零件，为检验质量，各从中抽取6件测量，数据为甲：9910098100100103乙：9910010299100100(1)分别计算两组数据的平均数及方差；(2)根据计算结果判断哪台机床加工零件的质量更稳定名师提醒平均数向我们提供了样本数据的重要信息，一组数据的平均数可以反映出这组数据的一般情况但当样本数据的平均数相等或相差不多时，就要用样本数据的离散程度来估计总体的离散程度而样本数据的离散程度，一般由标准差来衡量变式练习1为了选拔参加自行车比赛的选手，对自行车运动员甲，乙两人在相同条件下进行了6次测试，测得他们的最大速度(单位：m/s)的数据如下：甲273830373531乙332938342836(1)分别求出甲、乙运动员的中位数；(2)估计甲、乙两运动员的最大速度的平均数和方差，并判断谁参加比赛更合适变式练习1为了选拔参加自行车比赛的选手，对自行车运动员甲，乙两人在相同条件下进行了6次测试，测得他们的最大速度(单位：m/s)的数据如下：甲273830373531乙332938342836(1)分别求出甲、乙运动员的中位数；(2)估计甲、乙两运动员的最大速度的平均数和方差，并判断谁参加比赛更合适例二（教材212页例6）在对树人中学高一年级学生身高的调查中，采用样本量比例分配的分层随机抽样，如果不知道样本数据，只知道抽取了男生23人，其平均数和方差分别为170.6和12.59，抽取了女生27人，其平均数和方差分别为160.6和38.62你能由这些数据计算出总样本的方差，并对高一年级全体学生的身高方差作出估计吗?例二（教材212页例6）在对树人中学高一年级学生身高的调查中，采用样本量比例分配的分层随机抽样，如果不知道样本数据，只知道抽取了男生23人，其平均数和方差分别为170.6和12.59，抽取了女生27人，其平均数和方差分别为160.6和38.62你能由这些数据计算出总样本的方差，并对高一年级全体学生的身高方差作出估计吗?例二（教材212页例6）变式练习2某学校有高中学生500 人，其中男生320 人，女生180人.有人为了获得该校全体高中学生的身高信息，采用分层抽样的方法抽取样本，并观测样本的指标值（单位:cm)，计算得男生样本的均值为173.5，方差为17，女生样本的均值为163.83，方差为30.03.(1）根据以上信息，能够计算出总样本的均值和方差吗?为什么?(2）如果已知男、女样本量按比例分配，你能计算出总样本的均值和方差各为多少吗?(3）如果已知男、女的样本量都是25，你能计算出总样本的均值和方差各为多少吗?它们分别作为总体均值和方差的估计合适吗?为什么?变式练习2某学校有高中学生500 人，其中男生320 人，女生180人.有人为了获得该校全体高中学生的身高信息，采用分层抽样的方法抽取样本，并观测样本的指标值（单位:cm)，计算得男生样本的均值为173.5，方差为17，女生样本的均值为163.83，方差为30.03.(1）根据以上信息，能够计算出总样本的均值和方差吗?为什么?(2）如果已知男、女样本量按比例分配，你能计算出总样本的均值和方差各为多少吗?(3）如果已知男、女的样本量都是25，你能计算出总样本的均值和方差各为多少吗?它们分别作为总体均值和方差的估计合适吗?为什么?变式练习2某学校有高中学生500 人，其中男生320 人，女生180人.有人为了获得该校全体高中学生的身高信息，采用分层抽样的方法抽取样本，并观测样本的指标值（单位:cm)，计算得男生样本的均值为173.5，方差为17，女生样本的均值为163.83，方差为30.03.(1）根据以上信息，能够计算出总样本的均值和方差吗?为什么?(2）如果已知男、女样本量按比例分配，你能计算出总样本的均值和方差各为多少吗?(3）如果已知男、女的样本量都是25，你能计算出总样本的均值和方差各为多少吗?它们分别作为总体均值和方差的估计合适吗?为什么?课堂检测课堂检测课堂检测平均数、方差性质课堂检测课堂检测1.极差的定义及特征：2.方差、标准差的定义及特征 总体方差、总体标准差的定义 样本方差、样本标准差的定义3.会求方差、标准差，并做出决策4.方差的运算性质：5.会求分层抽样的方差课堂小结