江苏省十三大市2023届高三3月份第一次模拟考试数学试卷含解析.doc

2023年高考数学模拟试卷注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知是边长为1的等边三角形，点，分别是边，的中点，连接并延长到点，使得，则的值为（ ）ABCD2已知条件，条件直线与直线平行，则是的( )A充要条件B必要不充分条件C充分不必要条件D既不充分也不必要条件3已知全集，集合，则（ ）ABCD4若实数满足的约束条件，则的取值范围是（ ）ABCD5已知（i为虚数单位，），则ab等于（ ）A2B-2CD6设复数满足，则在复平面内的对应点位于（ ）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限7已知，满足条件（为常数），若目标函数的最大值为9，则（ ）ABCD8如图所示是某年第一季度五省GDP情况图，则下列说法中不正确的是（ ）A该年第一季度GDP增速由高到低排位第3的是山东省B与去年同期相比，该年第一季度的GDP总量实现了增长C该年第一季度GDP总量和增速由高到低排位均居同一位的省份有2个D去年同期浙江省的GDP总量超过了4500亿元9如图所示，已知双曲线的右焦点为，双曲线的右支上一点，它关于原点的对称点为，满足，且，则双曲线的离心率是（ ）.ABCD10将4名大学生分配到3个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案种数是( )A18种B36种C54种D72种11是定义在上的增函数，且满足：的导函数存在，且，则下列不等式成立的是（ ）ABCD12已知，其中是虚数单位，则对应的点的坐标为（ ）ABCD二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13若关于的不等式在时恒成立，则实数的取值范围是_14已知实数，对任意，有，且，则_.15如图，半圆的直径AB6，O为圆心，C为半圆上不同于A、B的任意一点，若P为半径OC上的动点，则的最小值为 .16根据如图所示的伪代码，输出的值为_.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12分）a，b，c分别为ABC内角A，B，C的对边.已知a3，且B60°.（1）求ABC的面积； （2）若D，E是BC边上的三等分点，求.18（12分）如图，在直三棱柱中，为的中点，点在线段上，且平面（1）求证：；（2）求平面与平面所成二面角的正弦值19（12分）设函数，其中（）当为偶函数时，求函数的极值；（）若函数在区间上有两个零点，求的取值范围20（12分）已知函数.（1）求不等式的解集；（2）若存在实数，使得不等式成立，求实数的取值范围.21（12分）已知三棱锥中，为等腰直角三角形，设点为中点，点为中点，点为上一点，且（1）证明：平面；（2）若，求直线与平面所成角的正弦值22（10分）在如图所示的四棱锥中，四边形是等腰梯形，平面，. （1）求证：平面；（2）已知二面角的余弦值为，求直线与平面所成角的正弦值.参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】设，作为一个基底，表示向量，然后再用数量积公式求解.【详解】设，所以，所以.故选：D【点睛】本题主要考查平面向量的基本运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.2、C【解析】先根据直线与直线平行确定的值，进而即可确定结果.【详解】因为直线与直线平行，所以，解得或；即或；所以由能推出；不能推出；即是的充分不必要条件.故选C【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判定，熟记概念即可，属于基础题型.3、B【解析】直接利用集合的基本运算求解即可【详解】解：全集，集合，则，故选：【点睛】本题考查集合的基本运算，属于基础题4、B【解析】根据所给不等式组，画出不等式表示的可行域，将目标函数化为直线方程，平移后即可确定取值范围.【详解】实数满足的约束条件，画出可行域如下图所示：将线性目标函数化为，则将平移，平移后结合图像可知，当经过原点时截距最小，；当经过时，截距最大值，所以线性目标函数的取值范围为，故选：B.【点睛】本题考查了线性规划的简单应用，线性目标函数取值范围的求法，属于基础题.5、A【解析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数相等的条件列式求解【详解】，得，故选：【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数相等的条件，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，是基础题6、C【解析】化简得到，得到答案.【详解】，故，对应点在第三象限.故选：.【点睛】本题考查了复数的化简和对应象限，意在考查学生的计算能力.7、B【解析】由目标函数的最大值为9，我们可以画出满足条件 件为常数）的可行域，根据目标函数的解析式形式，分析取得最优解的点的坐标，然后根据分析列出一个含参数的方程组，消参后即可得到的取值【详解】画出，满足的为常数）可行域如下图：由于目标函数的最大值为9，可得直线与直线的交点，使目标函数取得最大值，将，代入得：故选：【点睛】如果约束条件中含有参数，我们可以先画出不含参数的几个不等式对应的平面区域，分析取得最优解是哪两条直线的交点，然后得到一个含有参数的方程（组，代入另一条直线方程，消去，后，即可求出参数的值8、D【解析】根据折线图、柱形图的性质，对选项逐一判断即可.【详解】由折线图可知A、B项均正确，该年第一季度总量和增速由高到低排位均居同一位的省份有江苏均第一.河南均第四.共2个.故C项正确；.故D项不正确.故选：D.【点睛】本题考查折线图、柱形图的识别，考查学生的阅读能力、数据处理能力，属于中档题.9、C【解析】易得，又，平方计算即可得到答案.【详解】设双曲线C的左焦点为E，易得为平行四边形，所以，又，故，所以，即，故离心率为.故选：C.【点睛】本题考查求双曲线离心率的问题，关键是建立的方程或不等关系，是一道中档题.10、B【解析】把4名大学生按人数分成3组，为1人、1人、2人，再把这三组分配到3个乡镇即得.【详解】把4名大学生按人数分成3组，为1人、1人、2人，再把这三组分配到3个乡镇，则不同的分配方案有种.故选：.【点睛】本题考查排列组合，属于基础题.11、D【解析】根据是定义在上的增函数及有意义可得，构建新函数，利用导数可得为上的增函数，从而可得正确的选项.【详解】因为是定义在上的增函数，故.又有意义，故，故，所以.令，则，故在上为增函数，所以即，整理得到.故选：D.【点睛】本题考查导数在函数单调性中的应用，一般地，数的大小比较，可根据数的特点和题设中给出的原函数与导数的关系构建新函数，本题属于中档题.12、C【解析】利用复数相等的条件求得，则答案可求【详解】由，得，对应的点的坐标为，故选：【点睛】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查复数相等的条件，是基础题二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】利用对数函数的单调性，将不等式去掉对数符号，再依据分离参数法，转化成求构造函数最值问题，进而求得的取值范围。【详解】由 得，两边同除以，得到，设，由函数 在上递减，所以，故实数的取值范围是。【点睛】本题主要考查对数函数的单调性，以及恒成立问题的常规解法分离参数法。14、-1【解析】由二项式定理及展开式系数的求法得，又，所以，令得：，所以，得解【详解】由，且，则，又，所以，令得：，所以，故答案为：【点睛】本题考查了二项式定理及展开式系数的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平15、.【解析】.16、7【解析】表示初值S=1,i=1，分三次循环计算得S=10>0,输出i=7.【详解】S=1,i=1第一次循环：S=1+1=2,i=1+2=3；第二次循环：S=2+3=5,i=3+2=5；第三次循环：S=5+5=10,i=5+2=7；S=10>9,循环结束，输出：i=7.故答案为：7【点睛】本题考查在程序语句的背景下已知输入的循环结构求输出值问题，属于基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）【解析】（1）根据正弦定理，可得ABC为直角三角形，然后可计算b，可得结果.（2）计算，然后根据余弦定理，可得，利用平方关系，可得结果.【详解】（1）ABC中，由csinCasinA+bsinB，利用正弦定理得c2a2+b2，所以ABC是直角三角形.又a3，B60°,所以；所以ABC的面积为.（2）设D靠近点B，则BDDEEC1.，所以所以.【点睛】本题考查正弦定理的应用，属基础题.18、见解析【解析】（1）如图，连接，交于点，连接，则为的中点，因为为的中点，所以，又，所以，从而，四点共面因为平面，平面，平面平面，所以又，所以四边形为平行四边形，所以，所以（2）因为，为的中点，所以，又三棱柱是直三棱柱，所以，互相垂直，分别以，的方向为轴、轴、轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，因为，所以，所以，设平面的法向量为，则，即，令，可得，所以平面的一个法向量为设平面的法向量为，则，即，令，可得，所以平面的一个法向量为，所以，所以平面与平面所成二面角的正弦值为19、（）极小值，极大值；（）或【解析】（）根据偶函数定义列方程，解得.再求导数，根据导函数零点列表分析导函数符号变化规律，即得极值，（）先分离变量，转化研究函数，利用导数研究单调性与图象，最后根据图象确定满足条件的的取值范围【详解】（）由函数是偶函数，得，即对于任意实数都成立，所以. 此时，则.由，解得. 当x变化时，与的变化情况如下表所示： 00极小值极大值所以在，上单调递减，在上单调递增. 所以有极小值，有极大值. （）由，得. 所以“在区间上有两个零点”等价于“直线与曲线，有且只有两个公共点”. 对函数求导，得. 由，解得，. 当x变化时，与的变化情况如下表所示： 00极小值极大值所以在，上单调递减，在上单调递增. 又因为，所以当或时，直线与曲线，有且只有两个公共点. 即当或时，函数在区间上有两个零点.【点睛】利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法(1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解.(2)分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解.(3)转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解.20、（1）；（2）.【解析】（1）将函数的解析式表示为分段函数，然后分、三段求解不等式，综合可得出不等式的解集；（2）求出函数的最大值，由题意得出，解此不等式即可得出实数的取值范围.【详解】.（1）当时，由，解得，此时；当时，由，解得，此时；当时，由，解得，此时.综上所述，不等式的解集；（2）当时，函数单调递增，则；当时，函数单调递减，则，即；当时，函数单调递减，则.综上所述，函数的最大值为，由题知，解得.因此，实数的取值范围是.【点睛】本题考查含绝对值不等式的求解，同时也考查了绝对值不等式中的参数问题，考查分类讨论思想的应用，考查运算求解能力，属于中等题.21、 (1)证明见解析；(2) 【解析】（1）连接交于点，连接，通过证，并说明平面，来证明平面（2）采用建系法以、所在直线分别为、轴建立空间直角坐标系，分别表示出对应的点坐标，设平面的一个法向量为，结合直线对应的和法向量，利用向量夹角的余弦公式进行求解即可【详解】证明：如图，连接交于点，连接，点为的中点，点为的中点，点为的重心，则，又平面，平面，平面；，可得，又，则以、所在直线分别为、轴建立空间直角坐标系，则， ，设平面的一个法向量为，由，取，得设直线与平面所成角为，则直线与平面所成角的正弦值为【点睛】本题考查线面平行的判定定理的使用，利用建系法来求解线面夹角问题，整体难度不大，本题中的线面夹角的正弦值公式使用广泛，需要识记22、（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）由已知可得，结合，由直线与平面垂直的判定可得平面；（2）由（1）知，则，两两互相垂直，以为坐标原点，分别以，所在直线为，轴建立空间直角坐标系，设，0，由二面角的余弦值为求解，再由空间向量求解直线与平面所成角的正弦值【详解】（1）证明：因为四边形是等腰梯形，所以.又，所以，因此，又，且，平面，所以平面.（2）取的中点，连接，由于，因此，又平面，平面，所以.由于，平面，所以平面，故，所以为二面角的平面角.在等腰三角形中，由于，因此，又，因为，所以，所以以为轴、为轴、为轴建立空间直角坐标系，则，设平面的法向量为所以，即，令，则，则平面的法向量，设直线与平面所成角为，则 【点睛】本题考查直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解空间角，属于中档题