深圳四校发展联盟体2023年高考数学一模试卷含解析.doc
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深圳四校发展联盟体2023年高考数学一模试卷含解析.doc
2023年高考数学模拟试卷注意事项:1答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。3考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1已知平面向量,满足,且,则与的夹角为( )ABCD2已知是虚数单位,若,则实数( )A或B-1或1C1D3已知函数,则在上不单调的一个充分不必要条件可以是( )ABC或D4己知,则( )ABCD5盒子中有编号为1,2,3,4,5,6,7的7个相同的球,从中任取3个编号不同的球,则取的3个球的编号的中位数恰好为5的概率是( )ABCD6函数在的图象大致为ABCD7若函数有两个极值点,则实数的取值范围是( )ABCD8已知函数,存在实数,使得,则的最大值为( )ABCD9若函数的图象上两点,关于直线的对称点在的图象上,则的取值范围是( )ABCD10已知数列,是首项为8,公比为得等比数列,则等于( )A64B32C2D411已知定义在上的奇函数,其导函数为,当时,恒有则不等式的解集为( )ABC或D或12下列函数中,值域为的偶函数是( )ABCD二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13若,则_.14如图,椭圆:的离心率为,F是的右焦点,点P是上第一角限内任意一点,若,则的取值范围是_15随着国力的发展,人们的生活水平越来越好,我国的人均身高较新中国成立初期有大幅提高.为了掌握学生的体质与健康现状,合理制定学校体育卫生工作发展规划,某市进行了一次全市高中男生身高统计调查,数据显示全市30000名高中男生的身高(单位:)服从正态分布,且,那么该市身高高于的高中男生人数大约为_.16实数满足,则的最大值为_三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17(12分)已知矩阵,.求矩阵;求矩阵的特征值.18(12分)如图所示,在三棱柱中,为等边三角形,平面,是线段上靠近的三等分点.(1)求证:;(2)求直线与平面所成角的正弦值.19(12分)已知椭圆的右顶点为,点在轴上,线段与椭圆的交点在第一象限,过点的直线与椭圆相切,且直线交轴于.设过点且平行于直线的直线交轴于点.()当为线段的中点时,求直线的方程;()记的面积为,的面积为,求的最小值.20(12分)已知函数的导函数的两个零点为和(1)求的单调区间;(2)若的极小值为,求在区间上的最大值21(12分)已知函数,若的解集为(1)求的值;(2)若正实数,满足,求证:22(10分)已知函数.(1)当时,求不等式的解集;(2)若的图象与轴围成的三角形面积大于6,求的取值范围.参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】根据, 两边平方,化简得,再利用数量积定义得到求解.【详解】因为平面向量,满足,且, 所以,所以,所以 ,所以,所以与的夹角为.故选:C【点睛】本题主要考查平面向量的模,向量的夹角和数量积运算,属于基础题.2、B【解析】由题意得,然后求解即可【详解】,.又,.【点睛】本题考查复数的运算,属于基础题3、D【解析】先求函数在上不单调的充要条件,即在上有解,即可得出结论.【详解】,若在上不单调,令,则函数对称轴方程为在区间上有零点(可以用二分法求得).当时,显然不成立;当时,只需或,解得或.故选:D.【点睛】本题考查含参数的函数的单调性及充分不必要条件,要注意二次函数零点的求法,属于中档题.4、B【解析】先将三个数通过指数,对数运算变形,再判断.【详解】因为,所以,故选:B.【点睛】本题主要考查指数、对数的大小比较,还考查推理论证能力以及化归与转化思想,属于中档题.5、B【解析】由题意,取的3个球的编号的中位数恰好为5的情况有,所有的情况有种,由古典概型的概率公式即得解.【详解】由题意,取的3个球的编号的中位数恰好为5的情况有,所有的情况有种由古典概型,取的3个球的编号的中位数恰好为5的概率为:故选:B【点睛】本题考查了排列组合在古典概型中的应用,考查了学生综合分析,概念理解,数学运算的能力,属于中档题.6、A【解析】因为,所以排除C、D当从负方向趋近于0时,可得.故选A7、A【解析】试题分析:由题意得有两个不相等的实数根,所以必有解,则,且,考点:利用导数研究函数极值点【方法点睛】函数极值问题的常见类型及解题策略(1)知图判断函数极值的情况.先找导数为0的点,再判断导数为0的点的左、右两侧的导数符号.(2)已知函数求极值.求f(x)求方程f(x)0的根列表检验f(x)在f(x)0的根的附近两侧的符号下结论.(3)已知极值求参数.若函数f(x)在点(x0,y0)处取得极值,则f(x0)0,且在该点左、右两侧的导数值符号相反.8、A【解析】画出分段函数图像,可得,由于,构造函数,利用导数研究单调性,分析最值,即得解.【详解】由于,,由于,令,在,故.故选:A【点睛】本题考查了导数在函数性质探究中的应用,考查了学生数形结合,转化划归,综合分析,数学运算的能力,属于较难题.9、D【解析】由题可知,可转化为曲线与有两个公共点,可转化为方程有两解,构造函数,利用导数研究函数单调性,分析即得解【详解】函数的图象上两点,关于直线的对称点在上,即曲线与有两个公共点,即方程有两解,即有两解,令,则,则当时,;当时,故时取得极大值,也即为最大值,当时,;当时,所以满足条件故选:D【点睛】本题考查了利用导数研究函数的零点,考查了学生综合分析,转化划归,数形结合,数学运算的能力,属于较难题.10、A【解析】根据题意依次计算得到答案.【详解】根据题意知:,故,.故选:.【点睛】本题考查了数列值的计算,意在考查学生的计算能力.11、D【解析】先通过得到原函数为增函数且为偶函数,再利用到轴距离求解不等式即可.【详解】构造函数,则由题可知,所以在时为增函数;由为奇函数,为奇函数,所以为偶函数;又,即即又为开口向上的偶函数所以,解得或故选:D【点睛】此题考查根据导函数构造原函数,偶函数解不等式等知识点,属于较难题目.12、C【解析】试题分析:A中,函数为偶函数,但,不满足条件;B中,函数为奇函数,不满足条件;C中,函数为偶函数且,满足条件;D中,函数为偶函数,但,不满足条件,故选C考点:1、函数的奇偶性;2、函数的值域二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】因为,所以.因为,所以,又,所以,所以.14、【解析】由于点在椭圆上运动时,与轴的正方向的夹角在变,所以先设,又由,可知,从而可得,而点在椭圆上,所以将点的坐标代入椭圆方程中化简可得结果【详解】设,则,由,得,代入椭圆方程,得,化简得恒成立,由此得,即,故故答案为:【点睛】此题考查的是利用椭圆中相关两个点的关系求离心率,综合性强,属于难题 15、3000【解析】根据正态曲线的对称性求出,进而可求出身高高于的高中男生人数.【详解】解:全市30000名高中男生的身高(单位:)服从正态分布,且,则,该市身高高于的高中男生人数大约为.故答案为:.【点睛】本题考查正态曲线的对称性的应用,是基础题.16、【解析】画出可行域,解出可行域的顶点坐标,代入目标函数求出相应的数值,比较大小得到目标函数最值.【详解】解:作出可行域,如图所示,则当直线过点时直线的截距最大,z取最大值由同理,取最大值故答案为: 【点睛】本题考查线性规划的线性目标函数的最优解问题. 线性目标函数的最优解一般在平面区域的顶点或边界处取得,所以对于一般的线性规划问题,若可行域是一个封闭的图形,我们可以直接解出可行域的顶点,然后将坐标代入目标函数求出相应的数值,从而确定目标函数的最值;若可行域不是封闭图形还是需要借助截距的几何意义来求最值.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、;,.【解析】由题意,可得,利用矩阵的知识求解即可.矩阵的特征多项式为,令,求出矩阵的特征值.【详解】设矩阵,则,所以,解得,所以矩阵;矩阵的特征多项式为,令,解得,即矩阵的两个特征值为,.【点睛】本题考查矩阵的知识点,属于常考题.18、(1)证明见解析(2)【解析】(1)由,故,所以四边形为菱形,再通过,证得,所以四边形为正方形,得到.(2)根据(1)的论证,建立空间直角坐标,设平面的法向量为,由求得,再由,利用线面角的向量法公式求解.【详解】(1)因为,故,所以四边形为菱形,而平面,故.因为,故,故,即四边形为正方形,故.(2)依题意,.在正方形中,故以为原点,所在直线分别为、轴,建立如图所示的空间直角坐标系;如图所示:不纺设,则,又因为,所以.所以.设平面的法向量为,则,即,令,则.于是.又因为,设直线与平面所成角为,则,所以直线与平面所成角的正弦值为.【点睛】本题考查空间线面的位置关系、线面成角,还考查空间想象能力以及数形结合思想,属于中档题.19、()直线的方程为()【解析】(1)设点,利用中点坐标公式表示点B,并代入椭圆方程解得,从而求出直线的方程;(2)设直线的方程为:,表示点,然后联立方程,利用相切得出,然后求出切点,再设出设直线的方程,求出点,利用两点坐标,求出直线的方程,从而求出,最后利用以上已求点的坐标表示面积,根据基本不等式求最值即可.【详解】解:()由椭圆,可得:由题意:设点,当为的中点时,可得:代入椭圆方程,可得:所以:所以.故直线的方程为.()由题意,直线的斜率存在且不为0,故设直线的方程为:令,得:,所以:.联立:,消,整理得:.因为直线与椭圆相切,所以.即.设,则,所以.又直线直线,所以设直线的方程为:.令,得,所以:.因为,所以直线的方程为:.令,得,所以:.所以.又因为.所以(当且仅当,即时等号成立)所以.【点睛】本小题主要考查直线和椭圆的位置关系,考查直线方程以及求椭圆中的最值问题,最值问题一般是把目标式求出,结合目标式特点选用合适的方法求解,侧重考查数学运算的核心素养,本题利用了基本不等式求最小值的方法,运算量较大,属于难题.20、(1)单调递增区间是,单调递减区间是和;(2)最大值是【解析】(1)求得,由题意可知和是函数的两个零点,根据函数的符号变化可得出的符号变化,进而可得出函数的单调递增区间和递减区间;(2)由(1)中的结论知,函数的极小值为,进而得出,解出、的值,然后利用导数可求得函数在区间上的最大值.【详解】(1),令,因为,所以的零点就是的零点,且与符号相同又因为,所以当时,即;当或时,即.所以,函数的单调递增区间是,单调递减区间是和; (2)由(1)知,是的极小值点,所以有,解得, ,所以因为函数的单调递增区间是,单调递减区间是和.所以为函数的极大值,故在区间上的最大值取和中的最大者,而,所以函数在区间上的最大值是【点睛】本题考查利用导数求函数的单调区间与最值,考查计算能力,属于中等题.21、(1);(2)证明见详解.【解析】(1)将不等式的解集用表示出来,结合题中的解集,求出的值;(2)利用柯西不等式证明.【详解】解:(1),因为的解集为,所以,;(2)由(1)由柯西不等式,当且仅当,等号成立【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法,利用柯西不等式证明不等式的问题,属于中档题.22、()()(2,+)【解析】试题分析:()由题意零点分段即可确定不等式的解集为;()由题意可得面积函数为为,求解不等式可得实数a的取值范围为 试题解析:(I)当时,化为, 当时,不等式化为,无解; 当时,不等式化为,解得; 当时,不等式化为,解得 所以的解集为 (II)由题设可得, 所以函数的图像与x轴围成的三角形的三个顶点分别为,的面积为 由题设得,故 所以a的取值范围为