江西省宜春市奉新县第一中学2022-2023学年高三第二次模拟考试数学试卷含解析.doc

2023年高考数学模拟试卷注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1 “”是“直线与互相平行”的（ ）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件2祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.意思是说：两个同高的几何体，如在等高处的截面积恒相等，则体积相等.设、为两个同高的几何体，、的体积不相等，、在等高处的截面积不恒相等.根据祖暅原理可知，是的（ ）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件3在正方体中，分别为，的中点，则异面直线，所成角的余弦值为（ ）ABCD4已知双曲线的左、右焦点分别为，圆与双曲线在第一象限内的交点为M，若则该双曲线的离心率为A2B3CD5我国古代典籍周易用“卦”描述万物的变化每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“”和阴爻“ ”如图就是一重卦在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦至少有2个阳爻的概率是（ ）ABCD6已知是虚数单位，若，则（ ）AB2CD107一个袋中放有大小、形状均相同的小球，其中红球1个、黑球2个，现随机等可能取出小球，当有放回依次取出两个小球时，记取出的红球数为；当无放回依次取出两个小球时，记取出的红球数为，则（ ）A，B，C，D，8计算等于( )ABCD9若ab0，0c1，则AlogaclogbcBlogcalogcbCacbc Dcacb10若执行如图所示的程序框图，则输出的值是（ ）ABCD411已知向量，且，则（ ）ABC1D212已知是平面内互不相等的两个非零向量,且与的夹角为,则的取值范围是（ ）ABCD二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13已知，如果函数有三个零点，则实数的取值范围是_14已知，复数且（为虚数单位），则_，_15如图，为测量出高，选择和另一座山的山顶为测量观测点，从点测得点的仰角，点的仰角以及；从点测得已知山高，则山高_16已知函数的定义域为R，导函数为，若，且，则满足的x的取值范围为_.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12分）已知在多面体中，平面平面，且四边形为正方形，且/，点，分别是，的中点.（1）求证：平面；（2）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.18（12分）在等比数列中，已知，.设数列的前n项和为，且，（，）.（1）求数列的通项公式；（2）证明：数列是等差数列；（3）是否存在等差数列，使得对任意，都有？若存在，求出所有符合题意的等差数列；若不存在，请说明理由.19（12分）已知x，y，z均为正数（1）若xy1，证明：|x+z|y+z|4xyz；（2）若，求2xy2yz2xz的最小值20（12分）若关于的方程的两根都大于2，求实数的取值范围21（12分）设函数.（）讨论函数的单调性；（）如果对所有的0，都有，求的最小值；（）已知数列中，且，若数列的前n项和为，求证：.22（10分）已知关于的不等式有解.（1）求实数的最大值；（2）若，均为正实数，且满足.证明：.参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】利用两条直线互相平行的条件进行判定【详解】当时，直线方程为与，可得两直线平行；若直线与互相平行，则，解得，则“”是“直线与互相平行”的充分不必要条件，故选【点睛】本题主要考查了两直线平行的条件和性质，充分条件，必要条件的定义和判断方法，属于基础题2、A【解析】由题意分别判断命题的充分性与必要性，可得答案.【详解】解：由题意，若、的体积不相等，则、在等高处的截面积不恒相等，充分性成立；反之，、在等高处的截面积不恒相等，但、的体积可能相等，例如是一个正放的正四面体，一个倒放的正四面体，必要性不成立，所以是的充分不必要条件，故选：A.【点睛】本题主要考查充分条件、必要条件的判定，意在考查学生的逻辑推理能力.3、D【解析】连接，因为，所以为异面直线与所成的角（或补角），不妨设正方体的棱长为2，取的中点为，连接，在等腰中，求出，在利用二倍角公式，求出，即可得出答案.【详解】连接，因为，所以为异面直线与所成的角（或补角），不妨设正方体的棱长为2，则，在等腰中，取的中点为，连接，则，所以，即：，所以异面直线，所成角的余弦值为.故选：D.【点睛】本题考查空间异面直线的夹角余弦值，利用了正方体的性质和二倍角公式，还考查空间思维和计算能力.4、D【解析】本题首先可以通过题意画出图像并过点作垂线交于点，然后通过圆与双曲线的相关性质判断出三角形的形状并求出高的长度，的长度即点纵坐标，然后将点纵坐标带入圆的方程即可得出点坐标，最后将点坐标带入双曲线方程即可得出结果。【详解】根据题意可画出以上图像，过点作垂线并交于点，因为，在双曲线上，所以根据双曲线性质可知，即，因为圆的半径为，是圆的半径，所以，因为，所以，三角形是直角三角形，因为，所以，即点纵坐标为，将点纵坐标带入圆的方程中可得，解得，将点坐标带入双曲线中可得，化简得，故选D。【点睛】本题考查了圆锥曲线的相关性质，主要考察了圆与双曲线的相关性质，考查了圆与双曲线的综合应用，考查了数形结合思想，体现了综合性，提高了学生的逻辑思维能力，是难题。5、C【解析】利用组合的方法求所求的事件的对立事件,即该重卦没有阳爻或只有1个阳爻的概率,再根据两对立事件的概率和为1求解即可.【详解】设“该重卦至少有2个阳爻”为事件.所有“重卦”共有种；“该重卦至少有2个阳爻”的对立事件是“该重卦没有阳爻或只有1个阳爻”,其中,没有阳爻（即6个全部是阴爻）的情况有1种,只有1个阳爻的情况有种,故,所以该重卦至少有2个阳爻的概率是.故选：C【点睛】本题主要考查了对立事件概率和为1的方法求解事件概率的方法.属于基础题.6、C【解析】根据复数模的性质计算即可.【详解】因为，所以，故选：C【点睛】本题主要考查了复数模的定义及复数模的性质，属于容易题.7、B【解析】分别求出两个随机变量的分布列后求出它们的期望和方差可得它们的大小关系.【详解】可能的取值为；可能的取值为，故，.，故，,故，.故选B.【点睛】离散型随机变量的分布列的计算，应先确定随机变量所有可能的取值，再利用排列组合知识求出随机变量每一种取值情况的概率，然后利用公式计算期望和方差，注意在取球模型中摸出的球有放回与无放回的区别.8、A【解析】利用诱导公式、特殊角的三角函数值，结合对数运算，求得所求表达式的值.【详解】原式.故选：A【点睛】本小题主要考查诱导公式，考查对数运算，属于基础题.9、B【解析】试题分析：对于选项A，而，所以，但不能确定的正负，所以它们的大小不能确定;对于选项B，,，两边同乘以一个负数改变不等号方向，所以选项B正确;对于选项C，利用在第一象限内是增函数即可得到，所以C错误;对于选项D，利用在上为减函数易得，所以D错误.所以本题选B.【考点】指数函数与对数函数的性质【名师点睛】比较幂或对数值的大小,若幂的底数相同或对数的底数相同,通常利用指数函数或对数函数的单调性进行比较；若底数不同,可考虑利用中间量进行比较.10、D【解析】模拟程序运行，观察变量值的变化，得出的变化以4为周期出现，由此可得结论【详解】；如此循环下去，当时，此时不满足，循环结束，输出的值是4.故选：D【点睛】本题考查程序框图，考查循环结构解题时模拟程序运行，观察变量值的变化，确定程序功能，可得结论11、A【解析】根据向量垂直的坐标表示列方程，解方程求得的值.【详解】由于向量，且，所以解得.故选：A【点睛】本小题主要考查向量垂直的坐标表示，属于基础题.12、C【解析】试题分析：如下图所示，则，因为与的夹角为，即，所以，设，则，在三角形中，由正弦定理得，所以，所以，故选C考点：1向量加减法的几何意义；2正弦定理；3正弦函数性质二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】首先把零点问题转化为方程问题，等价于有三个零点，两侧开方，可得，即有三个零点，再运用函数的单调性结合最值即可求出参数的取值范围.【详解】若函数有三个零点，即零点有，显然，则有，可得，即有三个零点，不妨令，对于，函数单调递增，所以函数在区间上只有一解，对于函数，解得，解得，解得，所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，当时，当时，此时函数若有两个零点，则有，综上可知，若函数有三个零点，则实数的取值范围是.故答案为：【点睛】本题考查了函数零点的零点，恰当的开方，转化为函数有零点问题，注意恰有三个零点条件的应用，根据函数的最值求解参数的范围，属于难题.14、 【解析】复数且，故答案为，15、1【解析】试题分析：在中，,，在中，由正弦定理可得即解得,在中，故答案为1考点：正弦定理的应用16、【解析】构造函数，再根据条件确定为奇函数且在上单调递减，最后利用单调性以及奇偶性化简不等式，解得结果.【详解】依题意，令，则，故函数为奇函数，故函数在上单调递减，则，即，故，则x的取值范围为.故答案为：【点睛】本题考查函数奇偶性、单调性以及利用函数性质解不等式，考查综合分析求解能力，属中档题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）构造直线所在平面，由面面平行推证线面平行；（2）以为坐标原点，建立空间直角坐标系，分别求出两个平面的法向量，再由法向量之间的夹角，求得二面角的余弦值.【详解】（1）过点交于点，连接，如下图所示：因为平面平面，且交线为,又四边形为正方形，故可得，故可得平面，又平面，故可得.在三角形中，因为为中点，故可得/，为中点；又因为四边形为等腰梯形，是的中点，故可得/；又，且平面，平面,故面面，又因为平面，故面.即证.（2）连接，作交于点，由（1）可知平面，又因为/，故可得平面，则；又因为/，故可得即，两两垂直，则分别以，为，轴建立空间直角坐标系，则，设面的法向量为，则，则，可取，设平面的法向量为，则，则，可取，可知平面与平面所成的锐二面角的余弦值为.【点睛】本题考查由面面平行推证线面平行，涉及用向量法求二面角的大小，属综合基础题.18、（1）（2）见解析（3）存在唯一的等差数列，其通项公式为，满足题设【解析】（1）由，可得公比，即得；（2）由（1）和可得数列的递推公式，即可知结果为常数，即得证；（3）由（2）可得数列的通项公式，设出等差数列，再根据不等关系来算出的首项和公差即可.【详解】（1）设等比数列的公比为q，因为，所以，解得.所以数列的通项公式为：.（2）由（1）得，当，时，可得，得，则有，即，.因为，由得，所以，所以，.所以数列是以为首项，1为公差的等差数列.（3）由（2）得，所以，.假设存在等差数列，其通项，使得对任意，都有，即对任意，都有.首先证明满足的.若不然，则，或.（i）若，则当，时，这与矛盾.（ii）若，则当，时，.而，所以.故，这与矛盾.所以.其次证明：当时，.因为，所以在上单调递增，所以，当时，.所以当，时，.再次证明.（iii）若时，则当，这与矛盾.（iv）若时，同（i）可得矛盾.所以.当时，因为，所以对任意，都有.所以，.综上，存在唯一的等差数列，其通项公式为，满足题设.【点睛】本题考查求等比数列通项公式，证明等差数列，以及数列中的探索性问题，是一道数列综合题，考查学生的分析，推理能力.19、（1）证明见解析；（2）最小值为1【解析】（1）利用基本不等式可得 , 再根据0xy1时, 即可证明|x+z|y+z|4xyz.（2）由, 得，然后利用基本不等式即可得到xy+yz+xz3，从而求出2xy2yz2xz的最小值.【详解】（1）证明：x，y，z均为正数，|x+z|y+z|（x+z）（y+z），当且仅当xyz时取等号又0xy1，|x+z|y+z|4xyz；（2），即，当且仅当xyz1时取等号，xy+yz+xz3，2xy2yz2xz2xy+yz+xz1，2xy2yz2xz的最小值为1【点睛】本题考查了利用综合法证明不等式和利用基本不等式求最值，考查了转化思想和运算能力，属中档题20、【解析】先令，根据题中条件得到，求解，即可得出结果.【详解】因为关于的方程的两根都大于2，令所以有，解得，所以.【点睛】本题主要考查一元二次方程根的分布问题，熟记二次函数的特征即可，属于常考题型.21、（）函数在上单调递减，在单调递增；（）；（）证明见解析【解析】（）先求出函数f（x）的导数，通过解关于导数的不等式，从而求出函数的单调区间；（）设g（x）f（x）ax，先求出函数g（x）的导数，通过讨论a的范围，得到函数的单调性，从而求出a的最小值；（）先求出数列是以为首项，1为公差的等差数列，问题转化为证明：，通过换元法或数学归纳法进行证明即可【详解】解：（） f（x）的定义域为（1，+），当时，f（x）2，当时，f（x）2，所以函数f（x）在上单调递减，在单调递增（）设，则，因为x2，故，（）当a1时，1a2，g（x）2，所以g（x）在2，+）单调递减，而g（2）2，所以对所有的x2，g（x）2，即f（x）ax；（）当1a1时，21a1，若，则g（x）2，g（x）单调递增，而g（2）2，所以当时，g（x）2，即f（x）ax；（）当a1时，1a1，g（x）2，所以g（x）在2，+）单调递增，而g（2）2，所以对所有的x2，g（x）2，即f（x）ax；综上，a的最小值为1（）由（1an+1）（1+an）1得，anan+1anan+1，由a11得，an2，所以，数列是以为首项，1为公差的等差数列，故，由（）知a1时，x2，即，x2法一：令，得，即因为，所以，故法二：下面用数学归纳法证明（1）当n1时，令x1代入，即得，不等式成立（1）假设nk（kN*，k1）时，不等式成立，即，则nk+1时，令代入，得，即：，由（1）（1）可知不等式对任何nN*都成立故考点：1利用导数研究函数的单调性；1、利用导数研究函数的最值； 3、数列的通项公式；4、数列的前项和；5、不等式的证明22、（1）；（2）见解析【解析】（1）由题意，只需找到的最大值即可；（2），构造并利用基本不等式可得，即.【详解】（1），的最大值为4.关于的不等式有解等价于，（）当时，上述不等式转化为，解得，（）当时，上述不等式转化为，解得，综上所述，实数的取值范围为，则实数的最大值为3，即.（2）证明：根据（1）求解知，所以，又，当且仅当时，等号成立，即，所以，.【点睛】本题考查绝对值不等式中的能成立问题以及综合法证明不等式问题，是一道中档题.