辽宁省锦州市联合校2022-2023学年高三第五次模拟考试数学试卷含解析.doc
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辽宁省锦州市联合校2022-2023学年高三第五次模拟考试数学试卷含解析.doc
2023年高考数学模拟试卷考生须知:1全卷分选择题和非选择题两部分,全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂;非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1执行如图所示的程序框图后,输出的值为5,则的取值范围是( ). ABCD2已知函数f(x)ebxexb+c(b,c均为常数)的图象关于点(2,1)对称,则f(5)+f(1)( )A2B1C2D43若复数满足(为虚数单位),则其共轭复数的虚部为( )ABCD4给出以下四个命题:依次首尾相接的四条线段必共面;过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面;空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行,那么这两个角必相等;垂直于同一直线的两条直线必平行.其中正确命题的个数是( )A0B1C2D35如图所示,三国时代数学家赵爽在周髀算经中利用弦图,给出了勾股定理的绝妙证明.图中包含四个全等的直角三角形及一个小正方形(阴影),设直角三角形有一内角为,若向弦图内随机抛掷500颗米粒(米粒大小忽略不计,取),则落在小正方形(阴影)内的米粒数大约为( )A134B67C182D1086不等式组表示的平面区域为,则( )A,B,C,D,7在中,已知,为线段上的一点,且,则的最小值为( )ABCD8设,则ABCD9已知底面为正方形的四棱锥,其一条侧棱垂直于底面,那么该四棱锥的三视图可能是下列各图中的( )ABCD10抛物线的焦点是双曲线的右焦点,点是曲线的交点,点在抛物线的准线上,是以点为直角顶点的等腰直角三角形,则双曲线的离心率为( )ABCD11已知,则a,b,c的大小关系为( )ABCD12已知向量,则向量在向量上的投影是( )ABCD二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13已知公差大于零的等差数列中,、依次成等比数列,则的值是_14 “六艺”源于中国周朝的贵族教育体系,具体包括“礼、乐、射、御、书、数”某校在周末学生业余兴趣活动中开展了“六艺”知识讲座,每艺安排一节,连排六节,则满足“礼”与“乐”必须排在前两节,“射”和“御”两讲座必须相邻的不同安排种数为_15设函数 满足,且当时,又函数,则函数在上的零点个数为_.16设、满足约束条件,若的最小值是,则的值为_.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17(12分)已知函数(1)当时,证明,在恒成立;(2)若在处取得极大值,求的取值范围.18(12分)手工艺是一种生活态度和对传统的坚持,在我国有很多手工艺品制作村落,村民的手工技艺世代相传,有些村落制造出的手工艺品不仅全国闻名,还大量远销海外.近年来某手工艺品村制作的手工艺品在国外备受欢迎,该村村民成立了手工艺品外销合作社,为严把质量关,合作社对村民制作的每件手工艺品都请3位行家进行质量把关,质量把关程序如下:(i)若一件手工艺品3位行家都认为质量过关,则该手工艺品质量为A级;(ii)若仅有1位行家认为质量不过关,再由另外2位行家进行第二次质量把关,若第二次质量把关这2位行家都认为质量过关,则该手工艺品质量为B级,若第二次质量把关这2位行家中有1位或2位认为质量不过关,则该手工艺品质量为C级;(iii)若有2位或3位行家认为质量不过关,则该手工艺品质量为D级.已知每一次质量把关中一件手工艺品被1位行家认为质量不过关的概率为,且各手工艺品质量是否过关相互独立.(1)求一件手工艺品质量为B级的概率;(2)若一件手工艺品质量为A,B,C级均可外销,且利润分别为900元,600元,300元,质量为D级不能外销,利润记为100元.求10件手工艺品中不能外销的手工艺品最有可能是多少件;记1件手工艺品的利润为X元,求X的分布列与期望.19(12分)在四边形中,;如图,将沿边折起,连结,使,求证:(1)平面平面;(2)若为棱上一点,且与平面所成角的正弦值为,求二面角的大小.20(12分)已知函数(,为自然对数的底数),.(1)若有两个零点,求实数的取值范围;(2)当时,对任意的恒成立,求实数的取值范围.21(12分)已知分别是内角的对边,满足(1)求内角的大小(2)已知,设点是外一点,且,求平面四边形面积的最大值.22(10分)已知函数.(1)求不等式的解集;(2)若不等式在上恒成立,求实数的取值范围.参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】框图的功能是求等比数列的和,直到和不满足给定的值时,退出循环,输出n.【详解】第一次循环:;第二次循环:;第三次循环:;第四次循环:;此时满足输出结果,故.故选:C.【点睛】本题考查程序框图的应用,建议数据比较小时,可以一步一步的书写,防止错误,是一道容易题.2、C【解析】根据对称性即可求出答案【详解】解:点(5,f(5)与点(1,f(1)满足(51)÷22,故它们关于点(2,1)对称,所以f(5)+f(1)2,故选:C【点睛】本题主要考查函数的对称性的应用,属于中档题3、D【解析】由已知等式求出z,再由共轭复数的概念求得,即可得虚部.【详解】由zi1i,z ,所以共轭复数=-1+,虚部为1故选D【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算和共轭复数的基本概念,属于基础题4、B【解析】用空间四边形对进行判断;根据公理2对进行判断;根据空间角的定义对进行判断;根据空间直线位置关系对进行判断.【详解】中,空间四边形的四条线段不共面,故错误.中,由公理2知道,过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面,故正确.中,由空间角的定义知道,空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行,那么这两个角相等或互补,故错误.中,空间中,垂直于同一直线的两条直线可相交,可平行,可异面,故错误.故选:B【点睛】本小题考查空间点,线,面的位置关系及其相关公理,定理及其推论的理解和认识;考查空间想象能力,推理论证能力,考查数形结合思想,化归与转化思想.5、B【解析】根据几何概型的概率公式求出对应面积之比即可得到结论.【详解】解:设大正方形的边长为1,则小直角三角形的边长为,则小正方形的边长为,小正方形的面积,则落在小正方形(阴影)内的米粒数大约为,故选:B.【点睛】本题主要考查几何概型的概率的应用,求出对应的面积之比是解决本题的关键.6、D【解析】根据题意,分析不等式组的几何意义,可得其表示的平面区域,设,分析的几何意义,可得的最小值,据此分析选项即可得答案.【详解】解:根据题意,不等式组其表示的平面区域如图所示,其中 ,设,则,的几何意义为直线在轴上的截距的2倍,由图可得:当过点时,直线在轴上的截距最大,即,当过点原点时,直线在轴上的截距最小,即,故AB错误;设,则的几何意义为点与点连线的斜率,由图可得最大可到无穷大,最小可到无穷小,故C错误,D正确;故选:D.【点睛】本题考查本题考查二元一次不等式的性质以及应用,关键是对目标函数几何意义的认识,属于基础题.7、A【解析】在中,设,结合三角形的内角和及和角的正弦公式化简可求,可得,再由已知条件求得,考虑建立以所在的直线为轴,以所在的直线为轴建立直角坐标系,根据已知条件结合向量的坐标运算求得,然后利用基本不等式可求得的最小值.【详解】在中,设,即,即,即,又,则,所以,解得,.以所在的直线为轴,以所在的直线为轴建立如下图所示的平面直角坐标系,则、,为线段上的一点,则存在实数使得,设,则,消去得,所以,当且仅当时,等号成立,因此,的最小值为.故选:A.【点睛】本题是一道构思非常巧妙的试题,综合考查了三角形的内角和定理、两角和的正弦公式及基本不等式求解最值问题,解题的关键是理解是一个单位向量,从而可用、表示,建立、与参数的关系,解决本题的第二个关键点在于由,发现为定值,从而考虑利用基本不等式求解最小值,考查计算能力,属于难题.8、C【解析】分析:利用复数的除法运算法则:分子、分母同乘以分母的共轭复数,化简复数,然后求解复数的模.详解:,则,故选c.点睛:复数是高考中的必考知识,主要考查复数的概念及复数的运算要注意对实部、虚部的理解,掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念,复数的运算主要考查除法运算,通过分母实数化转化为复数的乘法,运算时特别要注意多项式相乘后的化简,防止简单问题出错,造成不必要的失分.9、C【解析】试题分析:通过对以下四个四棱锥的三视图对照可知,只有选项C是符合要求的.考点:三视图10、A【解析】先由题和抛物线的性质求得点P的坐标和双曲线的半焦距c的值,再利用双曲线的定义可求得a的值,即可求得离心率.【详解】由题意知,抛物线焦点,准线与x轴交点,双曲线半焦距,设点 是以点为直角顶点的等腰直角三角形,即,结合点在抛物线上,所以抛物线的准线,从而轴,所以, 即故双曲线的离心率为故选A【点睛】本题考查了圆锥曲线综合,分析题目,画出图像,熟悉抛物线性质以及双曲线的定义是解题的关键,属于中档题.11、D【解析】与中间值1比较,可用换底公式化为同底数对数,再比较大小【详解】,又,即,故选:D.【点睛】本题考查幂和对数的大小比较,解题时能化为同底的化为同底数幂比较,或化为同底数对数比较,若是不同类型的数,可借助中间值如0,1等比较12、A【解析】先利用向量坐标运算求解,再利用向量在向量上的投影公式即得解【详解】由于向量,故向量在向量上的投影是.故选:A【点睛】本题考查了向量加法、减法的坐标运算和向量投影的概念,考查了学生概念理解,数学运算的能力,属于中档题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】利用等差数列的通项公式以及等比中项的性质,化简求出公差与的关系,然后转化求解的值.【详解】设等差数列的公差为,则,由于、依次成等比数列,则,即,解得,因此,.故答案为:.【点睛】本题考查等差数列通项公式以及等比中项的应用,考查计算能力,属于基础题.14、【解析】分步排课,首先将“礼”与“乐”排在前两节,然后,“射”和“御”捆绑一一起作为一个元素与其它两个元素合起来全排列,同时它们内部也全排列【详解】第一步:先将“礼”与“乐”排在前两节,有种不同的排法;第二步:将“射”和“御”两节讲座捆绑再和其他两艺全排有种不同的排法,所以满足“礼”与“乐”必须排在前两节,“射”和“御”两节讲座必须相邻的不同安排种数为故答案为:1【点睛】本题考查排列的应用,排列组合问题中,遵循特殊元素特殊位置优先考虑的原则,相邻问题用捆绑法,不相邻问题用插入法15、1【解析】判断函数为偶函数,周期为2,判断为偶函数,计算,画出函数图像,根据图像到答案.【详解】知,函数为偶函数,函数关于对称。,故函数为周期为2的周期函数,且。为偶函数,当时,函数先增后减。当时,函数先增后减。在同一坐标系下作出两函数在上的图像,发现在内图像共有1个公共点,则函数在上的零点个数为1故答案为:.【点睛】本题考查了函数零点问题,确定函数的奇偶性,对称性,周期性,画出函数图像是解题的关键.16、【解析】画出满足条件的平面区域,求出交点的坐标,由得,显然直线过时,最小,代入求出的值即可【详解】作出不等式组所表示的可行域如下图所示:联立,解得,则点.由得,显然当直线过时,该直线轴上的截距最小,此时最小,解得.故答案为:【点睛】本题考查了简单的线性规划问题,考查数形结合思想,是一道中档题三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)证明见解析(2)【解析】(1)根据,求导,令,用导数法求其最小值.设研究在处左正右负,求导,分 ,三种情况讨论求解.【详解】(1)因为,所以,令,则,所以是的增函数,故,即.因为所以,当时,所以函数在上单调递增.若,则若,则所以函数的单调递增区间是,单调递减区间是,所以在处取得极小值,不符合题意,当时,所以函数在上单调递减.若,则若,则所以的单调递减区间是,单调递增区间是,所以在处取得极大值,符合题意.当时,使得,即,但当时,即所以函数在上单调递减,所以,即函数)在上单调递减,不符合题意综上所述,的取值范围是【点睛】本题主要考查导数与函数的单调性和极值,还考查了转化化归的思想和运算求解的能力,属于难题.18、(1);(2)可能是2件;详见解析【解析】(1)由一件手工艺品质量为B级的情形,并结合相互独立事件的概率公式,列式计算即可;(2)先求得一件手工艺品质量为D级的概率为,设10件手工艺品中不能外销的手工艺品可能是件,可知,分别令、,可求出使得最大的整数,进而可求出10件手工艺品中不能外销的手工艺品的最有可能件数;分别求出一件手工艺品质量为A、B、C、D级的概率,进而可列出X的分布列,求出期望即可.【详解】(1)一件手工艺品质量为B级的概率为.(2)由题意可得一件手工艺品质量为D级的概率为,设10件手工艺品中不能外销的手工艺品可能是件,则,则,其中,.由得,整数不存在,由得,所以当时,即,由得,所以当时,所以当时,最大,即10件手工艺品中不能外销的手工艺品最有可能是2件.由题意可知,一件手工艺品质量为A级的概率为,一件手工艺品质量为B级的概率为,一件手工艺品质量为C级的概率为,一件手工艺品质量为D级的概率为,所以X的分布列为:X900600300100P则期望为.【点睛】本题考查相互独立事件的概率计算,考查离散型随机变量的分布列及数学期望,考查学生的计算求解能力,属于中档题.19、(1)证明见详解;(2)【解析】(1)由题可知,等腰直角三角形与等边三角形,在其公共边AC上取中点O,连接、,可得,可求出.在中,由勾股定理可证得,结合,可证明平面.再根据面面垂直的判定定理,可证平面平面.(2)以为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,由点F在线段上,设,得出的坐标,进而求出平面的一个法向量.用向量法表示出与平面所成角的正弦值,由其等于,解得.再结合为平面的一个法向量,用向量法即可求出与的夹角,结合图形,写出二面角的大小.【详解】证明:(1)在中,为正三角形,且在中,为等腰直角三角形,且取的中点,连接,平面平面平面.平面平面(2)以为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,则,设.则设平面的一个法向量为.则,令,解得与平面所成角的正弦值为,整理得解得或(含去)又为平面的一个法向量,二面角的大小为.【点睛】本题考查了线面垂直的判定,面面垂直的判定,向量法解决线面角、二面角的问题,属于中档题.20、(1);(2)【解析】(1)将有两个零点转化为方程有两个相异实根,令求导,利用其单调性和极值求解;(2)将问题转化为对一切恒成立,令,求导,研究单调性,求出其最值即可得结果.【详解】(1)有两个零点关于的方程有两个相异实根由,知有两个零点有两个相异实根.令,则,由得:,由得:,在单调递增,在单调递减,又当时,当时,当时,有两个零点时,实数的取值范围为;(2)当时,原命题等价于对一切恒成立对一切恒成立.令 令,则在上单增又,使即当时,当时,即在递减,在递增,由知 函数在单调递增即,实数的取值范围为.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性,极值,最值问题,考查学生转化能力和分析能力,是一道难度较大的题目.21、(1)(2)【解析】(1)首先利用诱导公式及两角和的余弦公式得到,再由同角三角三角的基本关系得到,即可求出角;(2)由(1)知,是正三角形,设,由余弦定理可得:,则,得到,再利用辅助角公式化简,最后由正弦函数的性质求得最大值;【详解】解:(1)由,;(2)由(1)知,是正三角形,设,由余弦定理得:,所以当时有最大值【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系,三角恒等变换公式的应用,三角形面积公式的应用,以及正弦函数的性质,属于中档题.22、(1);(2)【解析】(1)分类讨论去绝对值号,即可求解;(2)原不等式可转化为在R上恒成立,分别求函数与的最小值,根据能同时成立,可得的最小值,即可求解.【详解】(1)当时,不等式可化为,得,无解;当-2x1时,不等式可化为得x>0,故0<x1; 当x>1时,不等式可化为,得x<2,故1<x< 2. 综上,不等式的解集为(2)由题意知在R上恒成立,所以令,则当时,又当时,取得最小值,且又所以当时,与同时取得最小值.所以所以,即实数的取值范围为【点睛】本题主要考查了含绝对值不等式的解法,分类讨论,函数的最值,属于中档题.